长沙理工大学高等数学 练习册 第五章 定积分答案
习题
略
习题— （A ）
一 计算下列定积分
1．?20
3cos sin π
xdx x
解：原式23
4
20
11cos cos cos 44xd x x π
π
=-=-=?
2．?-a dx x a x 0
222
解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2
π=
t
原式???=20
22cos cos sin π
tdt a t a t a
()??-==
20
4
20
2
4
4cos 18
2sin 4
π
π
dt t a tdt a
420
4
4
164sin 41828a t a a π
ππ
=-=
3．?
+3
1
2
2
1x
x
dx
解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为
4π，3
π
原式θθθθ
π
πd tg ?=3
4
22sec sec
()?-=34
2
sin sin π
πθθd
33
22-= 4．?
--11
45x
xdx
解：令u x =-45，则2
4145u x -=
，udu dx 2
1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()
6
1
5811
32=-=?du u 5．?
+4
1
1
x dx
解：令t x =，tdt dx 2=
当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式??
????+-=+=???
212
121
1212t dt dt t tdt
()[]
3
2
ln
221ln 22
12
1+=+-=t t 6．?--1
4
3
1
1x dx
解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=
x 时0,2
1=u 原式2ln 2111
121221
00
21-=-+-=--=??du u u du u u
7．?
+2
1
ln 1e x
x dx
解：原式()?
?++=+=221
1
ln 1ln 11ln ln 11e e x d x
x d x
232ln 1221
-=+=e x
8．?
-++0
222
2x x dx
解：原式()
()?
--+=++=02
22
111x arctg x dx
()2
4
4
11π
π
π
=
+
=--=arctg arctg
9．dx x ?
+π
2cos 1
解：原式??==π
π
2
cos 2cos 2dx x dx x
()??-+=π
ππ
2
20
cos 2cos 2dx x xdx
22sin sin 2220=?????
?-=πππ
x x 10．dx x x ?-π
π
sin 4
解：∵x x sin 4为奇函数
∴?-=π
π
0sin 4xdx x
11．dx x ?-22
4cos 4π
π
解：原式()?
?=?=2
2
2
20
4
cos 22cos 24π
πdx x xdx
()
()
??
++=+=20
220
2
2cos 2cos 2122cos 12π
π
dx x x dx x
()?
?+++=20
20
20
4cos 12cos 22π
π
π
dx x xdx x
?+++=20
2
044cos 41
22sin 2π
π
π
πx xd x πππ
23
4sin 412320
=+=x
12．?-++5
524
231
2sin dx x x x
x 解：∵1
2sin 2423++x x x
x 为奇函数
∴01
2sin 5
524
23=++?-dx x x x
x 13．?3
4
2
sin π
πdx x x
解：原式?-=34
π
πxdctgx
?+-=34
3
4
π
πππctgxdx xctgx
34sin ln 9341π
ππx +?
??
? ??-= 22
ln 23ln 9341-+???? ??-=π 23
ln 219341+???
? ??-=π 14．?
4
1
ln dx x
x
解：原式?=4
1
ln 2x xd
??????-=?4141ln ln 2x d x x x ?????
?
-=?4112ln 42dx x x
?-
-=41
2
1
22ln 8dx x
42ln 8-= 15．?1
0xarctgxdx
解：原式?=
10
2
21arctgxdx ??
????+-=?1022102
121dx x x arctgx x
??++-=102
10121218x dx
dx π
1
01021
218arctgx x +-=π
2
14-=
π
16．?20
2cos π
xdx e x
解：原式?=20
2sin π
x d e x
??-=20
220
22sin sin π
πdx e x x
e x x
?+=20
2cos 2π
π
x d e e x
??-+=20
220
22cos 2cos 2π
ππdx e x x
e e x x
?--=20
2cos 42π
π
xdx e e x
故()
25
1cos 20
2-=
?π
π
e xdx e x 17．()dx x x ?
π
2
sin 解：原式()??-==π
π
2
2
2
2cos 1sin dx x
x dx x x ??-=
ππ02
022cos 2
121xdx x dx x ?-
=ππ
02
3
2sin 4
16
1
x d x x ????
???--=
?πππ002
3
22sin 2sin 416xdx x x x ?-
=
π
π03
2cos 4
16
x xd 462cos 2cos 4163003
πππππ-=????
??--=
?xdx x x
18．()dx x e
?1
ln sin
解：原式()()??-=e e
dx x
x x x x 111ln cos ln sin
()?-=e
dx x e 1
ln cos 1sin
()()?????
?
?+-=?e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin ()?-+-=e
dx x e e 1
ln sin 11cos 1sin
故()()11cos 1sin 2
ln sin 1
+-=
?e
dx x e
19．?--24
3cos cos π
πdx x x
解：原式()?--=24
2cos 1cos π
πdx x x
()??
+-=-
20
04
sin cos sin cos π
π
xdx x dx x x
()()2
2
30
4
2
3cos 32cos 32ππ??????-+??????=-x x
3
2
344-=
20．?+4
sin 1sin π
dx x
x
解：原式()?--=4
2
sin 1sin 1sin π
dx x
x x ???
? ??-=40
22cos sin π
dx x tg x x ()
??---=4024
21sec cos cos π
π
dx x x
x d ()24
2cos 1
4040
-+
=--=
π
π
πx tgx x
21．dx x
x
x ?
+π0
2cos 1sin
解：令t x -=
2
π
，则
原式?-??
? ??-+??? ??-??? ??--=2
222cos 12sin 2π
ππππdt t t t ?-
+-+-=2
2
2
2sin 1cos sin 1cos 2π
ππ
dt t t t t t
()4sin sin 1cos 220202π
ππππ
==+=?t arctg dt t t
22．?-+21
11ln
dx x
x
x 解：原式?
???
?
??-+=210
2211ln x d x x ()()()
?--+--?+-?--+=21
0222
1
02
111111211ln 2dx x x x x x x x x x ?-+=21
02
21
ln 3ln 81dx x x
??-++=21
0221013ln 8
1x dx
dx
2
1
011
ln 21213ln 81+-++=x x
3ln 8
321-=
(B)
一 解答
1．求由0cos 0
=+??x
y
t
tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy 。 解：将两边对x 求导得
0cos =+x dx dy
e y
∴y e x dx dy cos -=
2．当x 为何值时，函数()?-=x
t dt te x I 0
2
有极值
解：()2
x xe x I -='，令()0='x I 得0=x
当0>x 时，()0>'x I 当0 ∴当0=x 时，函数()x I 有极小值。 3．() ?x x dt t dx d cos sin 2cos π。 解：原式()() ???? ??+=??t a a x dt t dt t dx d cos 2 sin 2cos cos ππ ()() ???? ??+-=??x a x a dt t dt t dx d cos 2sin 2cos cos ππ ()()() ()' +'-=x x x x cos cos cos sin sin cos 22π ()()()x x x sin cos cos cos sin cos 2 2 -+-=ππ ()()x x x x 22sin cos sin cos sin cos πππ---= ()()x x x 2sin cos cos sin π-= 4．设()??? ??>≤+=1,2 11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。 解：()()? ??++=21 2 10 20 2 11dx x dx x dx x f 3 861212 131 02=+??? ??+=x x x 5．()1 lim 2 2 +?+∞ →x dt arctgt x x 。 解：()()() x x arctgx x dt arctgt x x x 212 1lim 1 lim 212 2 20 2-+∞ →∞ ∞ +∞ →++?型 ()() x arctgx x x x arctgx x x x 2 2 2 211lim 1lim + =+=+∞→+∞ → ()411lim 222π=+=+∞ →arctgx x x 6．设()?????≤≤=其它, 00,sin 21 π x x x f ，求()()?=x dt t f x 0 ?。 解：当0 ===??x x dt dt t f x ? 当π≤≤x 0时，()2 cos 1sin 210x tdt x x -= =? ? 当π>x 时，()()()()10sin 2 1000=+=+==?????x x x dt tdt dt t f dt t f dt t f x π πππ? 故()()???????>≤≤-<=时当时当时当ππ?x x x x , 10,cos 12 1 0, 0。 7．设()?????? ?<+≥+=时当时当0,110,11 x e x x x f x ，求()?-2 1dx x f 。 解：()?????? ?<+≥=--时当时当1,111,1 11 x e x x x f x ()()?? ? -+++=--211 0120 111 11dx x e dx dx x f x ()??+-+-+=---211 01 1 1111x dx x d e e e x x x ()2ln 1ln 11 01++-=-x e ()e +=1ln 8．() 22 21lim n n n n n +++ ∞→Λ。 解：原式n n n n n n 1 21lim ???? ??+ ++=∞→Λ 3 2 1lim 101 ==?=?∑ =∞ →dx x n n i n i n 9．求∑ =∞ →+n k n k n k n ne n e 1 2lim 。 解：原式∑ =∞ →+=n k n k n k n n e e 1 211lim 1 1 200arctan arctan 14 x x x e dx e e e π===-+? 10．设()x f 是连续函数，且()()?+=1 2dt t f x x f ，求()x f 。 解：令()A dt t f =?1 ，则()A x x f 2+=， 从而()()A dx A x dx x f 22 1 21 10 += +=?? 即A A 221+= ，2 1-=A ∴()1-=x x f 11．若? = -2ln 26 1 x t e dt π ，求x 。 解：令u e t =-1，则()21ln u t +=，du u u dt 2 12+= 当2ln 2=t 时，3=u 当x t =时，1-=x e u ∴( ) 31 31 2 2ln 22121 --=+=-? ? x x e e x t arctgu u u udu e dt 6 132π π=??? ??--=x e arctg 从而2ln =x 12．证明：? - -- <<21 2 12 1222 dx e e x 。 证：考虑? ?????-21,21上的函数2 x e y -=，则 2 2x xe y --='，令0='y 得0=x 当??? ??-∈0,21x 时，0>'y 当??? ? ?∈21,0x 时，0<'y ∴2 x e y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2 x e y -=在2 1± =x 处取最小值2 1- e 故? ? ? - --- -<<21 2 1212 121 2 12 112 dx dx e dx e x 即? - --<<21 2 12 1222 dx e e x 。 13．已知?∞+-+∞→=?? ? ??+-a x x x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 解：左端a x x e a x a 221lim -+∞ →=??? ??+-= 右端()()? ? ∞ +-∞+--=--=a x a x de x x d e x 2222222 ?? ? ? ?--=? ∞+-∞+-a x a x dx xe e x 22222 ? ∞ +---=a x a xde e a 22222 ?? ? ? ?--=? ∞+-∞+--a x a x a dx e xe e a 222222 ()a e a a 22122-++= ∴()a a e e a a 222122--=++ 解之0=a 或1-=a 。 14．设()?????≥<+=-0 , 0, 12 x e x x x f x ，求()?-3 1 2dx x f 。 解：令t x =-2，则 ()()() e dt e dt t dt t f dx x f t 1 37121 1 211 3 1 -= ++==-???? --- 15．设()x f 有一个原函数为x 2 sin 1+，求()?'20 2π dx x f x 。 解：令t x =2，且()() x x x f 2sin sin 12=' += ()()()?? ? '='='π ππ 20 412122dt t f t dt t f t dx x f x ()()()???? ??-== ??ππ π0004141dt t f t tf t tdf () 0sin 12sin 41020=???? ??+-=ππ t t t 16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()?3 1 dx x f 最 小。 解：当()?3 1 dx x f 最小，即()?-+3 1 ln dx x b ax 最小，由()0ln ≥-+=x b ax x f 知， b ax y +=在x y ln =的上方，其间所夹面积最小，则b ax y +=是x y ln =的切线，而x y 1 = '，设切点为()00ln ,x x ，则切线()000ln 1x x x x y +-=，故01x a =， 1ln 0-=x b 。 于是()?? -??? ??+=-+=313 1 231 ln 2ln xdx bx x a dx x b ax I ()?-+-=3 1 ln ln 124xdx a a 令024=-='a I a 得2 1 =a 从而20=x ，12ln -=b 又02 2 >=''a I a ，此时()?31dx x f 最小。 17．已知()2 x e x f -=，求()()?'''1 dx x f x f 。 解：()2 2x xe x f --=' ()()()()()[]1 2 10 10 21x f x f d x f dx x f x f '=''='''? ? 21 222212 --=? ?? ? ?-=e xe x 18．设()()()??+-=1 20 22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。 解：设()A dx x f =?10 ，()B dx x f =?2 ，则()A Bx x x f 22+-= ∴()() A B dx A Bx x dx x f A 221 3121 021 0+-= +-==?? ∴()() A B dx A Bx x dx x f B 2423 8 20220+-=+-==?? 解得：31=A ，34 =B ，于是 ()3 2 342+-=x x x f 19．()()[]? '-π 2 sin cos cos cos dx x x f x x f 。 解：原式()()??'+=π π0 cos cos sin cos cos x d x f x xdx x f ()()()??-+=π π π0 00 cos cos cos sin cos cos xdx x f x xf xdx x f 0= 20．设0→x 时，()() ()dt t f t x x F x ''-=?022的导数与2x 是等价无穷小，试求 ()0f ''。 解：()()()2 30 2 2 2lim 3 lim x dt t f x x dt t f t x x x x x ??''=''-→→ ()()x f x x dt t f x x x ξ''=''=→→?2lim 2lim 000 ()()x ,0∈ξ ()102=''=f 故()2 1 0= ''f 21．设()() ?? ???-==?2 1 2 2 cos 21cos cos t udu u t t y t x ，求dx dy ，2 22π = t dx y d 。 解： () () () () t t t t t t t t t t x y dx dy t t =-- -=' ' =2sin 2cos 21 2sin cos 2 22 22 ()() π π π π π 212 2 1sin 21 2 2 2 2 2 2-=-= -= ' '= = = = t t t t t t x t dx y d 习题 一 略 二1．?∞ +∞-++dx x x 4 2 11 解：原式?? ∞+∞+++=++=0 2 2 2 4 2 111211dx x x x dx x x ??? ? ? -+??? ? ?-=? ∞+x x d x x 12 1120 2 π22 1 220=- =+∞ + x x arctg 2．?20 sin ln π xdx 解：原式()??++??? ? ? -==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln π πdt t t dx x x t x 令 ?? ? ???++=??4040cos ln sin ln 22ln 2π ππ tdt tdt ?? ????++??-=24402 sin ln sin ln 22ln 2π πππ π udu tdt u t ?+= 20 sin ln 22ln 2 π π tdt 故2ln 2 sin ln 20 π π - =?xdx 3．( )() ? ∞+++0 211α x x dx ()0≥α 解：令t x 1=，则dt t dx 21 -= 原式()() ??∞+∞+++=+?+- =020******** ααα αt t dt t t t t t dt t ∴( )()()()()() ??? ∞+∞+∞ ++++++=++02020 21111112α αααx x dx x x x dx x x dx 2110 2π==+=∞ +∞ +?arctgx dx x 故( )() 4110 2π α =++?∞+x x dx 自测题 1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知 ()()()?? ????+??? ??+= ? 12140611 f f f dx x f ，求()dx x g b a ?。 解：设()a t a b x +-=，则 ()()()()??-+-==1 dt a b a t a b g dx x g I b a ()()()?+--=1 dt a t a b g a b 令()()()t f a t a b g =+- 于是()()a g f =0，?? ? ??+=??? ??221a b g f ，()()b g f =1 由已知得()()?? ????+??? ??++-= b g a b g a g a b I 246 2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ， 使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a ''-+??? ??+-=?3 24 12。 证：由泰勒公式 ()()()()()()20000! 2x x f x x x f x f x f -''+ -'+=ξ 其中()b a x x ,,0∈，ξ位于0x 与x 之间。 两边积分得： ()()()()()()dx x x f dx x x x f dx x f dx x f b a b a b a b a 2 0000!2-''+-'+=? ? ?? ξ ()()()()()[] ()() ()[] 3 03 2020006 2 x a x b f x a x b x f x f a b ---''+---'+-=ξ 令2 0b a x +=，则 ()()??? ???????? ??+--??? ?? +-??? ??+'+??? ??+-=? 2 2222122b a a b a b b a f b a f a b dx x f b a ()??? ? ??????? ??+--??? ??+- ''+3 3 226b a a b a b f ξ ()()()ξf a b b a f a b ''-+ ??? ??+-=324 1 2，()b a ,∈ξ。 3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。试证 ()()()()()()2 a f b f a b dx x f a f a b b a +-<<-?。 证明：当()b a x ,∈时，由()0>'x f ，()0>''x f 知()x f 是严格增及严格凹的，从而()()a f x f >及()()()()()a x a b a f b f a f x f ---+ < 故()()()()a f a b dx a f dx x f b a b a -=>?? ()()()()()?? ?? ? ???---+ dx a x a b a f b f a f dx x f ()()()()()22 1 a b a b a f b f a f a b ---+ -= ()()()2a f b f a b +-= 4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f b a ?'≤ 2 1 (b x a <<)。 证明：因为在[]b a ,上()x f '可积，故有 ()()()??? '+'='b x x a b a dt t f dt t f dx x f 而()()?'=x a dt t f x f ，()()dt t f x f b x ?'=- 于是()()()???? ??'-'=??b x x a dt t f dt t f x f 21 ()()()()???'=???? ??'+'≤b a x a b x dt t f dt t f dt t f x f 2121 5．设()x f 在[]1,0上连续，()010 =?dx x f ，()11 =?dx x xf ，求证存在一点x ， 10≤≤x ，使()4>x f 。 证：假设()4≤x f ，[]1,0∈x 由已知()?=10 0dx x f ，()11 =?dx x xf ，得 ()()()?????? ? ?-=-=10101 021211dx x f x dx x f dx x xf ()??-≤- ≤101 2 1 421dx x dx x f x 1212 14121210=????????? ??-+??? ??-=??dx x dx x 故()dx x dx x f x ??-=- 101 2 1421 从而()()042 1 1 =-- ?dx x f x ∴()04=-x f 因为()x f 在[]1,0连续，则()4=x f 或()4-=x f 。从而()41 0=?dx x f 或4-， 这与()?=1 0dx x f 矛盾。故()4>x f 。 6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()() d t t x tf x F x ?-=0 22，求()40 lim x x F x →。 解：令u t x =-2 2 ，则()()?=2 21x du u f x F ，显然()()2x xf x F =' 于是()()() () ()( ) ()41 0410 40lim 4lim 4lim lim 2202203040='=--=='=→→→→f x f x f x x f x x F x x F x x x x 。 7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则 () ()()x f dx x f a b b x a b a '≤-≤≤?max 4 2 。 证：因()x f 在[]b a ,上连续可微，则()x f 在????? ?+2,b a a 和??? ???+b b a ,2上均满足拉格朗日定理条件，设()x f M b x a '=≤≤max ，则有 ()()()?? ?+++=b b a b a a b a dx x f dx x f dx x f 2 2 ()()()()()()??++-'++-'+=b b a b a a dx b x f b f dx a x f a f 2 221ξξ ()()()()?? ++-'+-'=b b a b a a dx b x f dx a x f 2 22 1ξξ ()22 24 a b M dx b x M dx a x M b b a b a a -= -+-≤??++ 故 () ()M dx x f a b b a ≤-?2 4 。 8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx k x f k x f b a k ? -+→0 lim ()()a f b f -=。 证：()()()()??? -+=-+b a b a b a dx x f k dx k x f k dx k x f k x f 11 令u k x =+，则()()??++=+k b k a b a du u f dx k x f 于是()()()()??? -=-+++b a k b k a b a dx x f k dx x f k dx k k f k x f 11 ()()??++-=k a a k b b dx x f k dx x f k 11 故()()()()???+→+→→-=-+k a a k k b b k b a k dx x f k dx x f k dx k x f k x f 1lim 1lim lim 000 ()()a f b f -= 9．设()x f 为奇函数，在()+∞∞-,内连续且单调增加，()()()dt t f t x x F x ?-=03， 证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。 证：(1) ()()()()()??-+-----=--=-x u t x du u f u x dt t f t x x F 00 33 ()()()?+-x x f du u f u x 03为奇函数 ()()()x F du u f u x x -=--=?0 3 ∴()x F 为奇函数。 (2)()()()'?? ????-='??x x dt t tf dt t f x x F 003 ()()()x xf x xf dt t f x 30 -+=? ()()x xf dt t f x 20 -=? ()()[]()x xf dt x f t f x --=?0 由于()x f 是奇函数且单调增加，当0>x 时，()0>x f ， ()()[]00 <-?x dt x f t f ()x t <<0Θ ，故()0<'x F ，()+∞∈,0x ，即()x F 在[)+∞,0上 单调减少。 10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ?+1 0的结果与x 无关，试求()x f 。 解：记()()[]C dt xt xf x f =+?1 ，则 ()()[]()()C du u f x f dt xt xf x f x =+=+??010 由()x f 可微，于是 ()()0=+'x f x f 解之()x ke x f -=（k 为任意常数） 11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明： ()()[]?=''+π 3sin xdx x f x f 。 解：因()()??'=''π π0 sin sin x f xd xdx x f ()()?'-'=π π 0cos sin xdx x f x f x ()?'-=π cos xdx x f ()()()??--=-=π π π0 00 sin cos cos xdx x f x x f x xdf ()()()?-+=π π0 sin 0xdx x f f f ()()??-=-+=π π0 sin 3sin 21xdx x f xdx x f 所以()()[]? =''+π 3sin xdx x f x f 。 不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分 1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos ( 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+ 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 不定积分内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ?? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______. 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d （3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间， 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ? 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 授课单元12教案 教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b?????? 第四章不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节不定积分的概念与性质 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 =， s s t () 则质点在时刻t的瞬时速度表示为 =． () v s t' 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度 v v t =， () 求出质点的位移函数 =． s s t () 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义 1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以 sin x 是 cos x 在 (,) -∞+∞上的一个原函 数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是1x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论： 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。高数不定积分例题
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