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单纯形法表的解题步骤

单纯形法表结构如下：

j c →

对应变量的价值系数

i θ

B C

b X

1x 2x 3x " j x

基变量的价值系数

基变量资源列

θ规则

求的值

j σ

检验数

①一般形式

若线性规划问题标准形式如下：

123451231425max 23000284164120,1,2,5

j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=??+=??

+=??≥=?"

取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。这样就得到初始可

行基解：()()0

0,0,8,16,12T

X =。将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表

1-1所示：

表 1-1 ()()00,0,8,16,12T

X =

j c →

2 3 0 0 0

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x

0 3x 8 1 2 1 0 0 4 0

16 4 0 0 1 0 -

12 0 [4] 0 0 1 3

j σ

2 3 0 0 0

若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的

θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。修改后的单纯形表如表

1-2所示：

表 1-2 ()()10,3,2,16,0T

X =

检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：

表 1-3 ()()22,3,0,8,0T

X =

表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：

表 1-4 ()()34,2,0,0,4T

X =

检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：

()()3*4,2,0,0,4T

X X ==

*14z =

②带人工变量

现有线性规划问题：

12312312313123min 3211

42321,,0

z x x x x x x x x x x x x x x =?++?+≤???++≥??

?+=??≥? 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：

1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =?++++++?++=???++?+=??

?++=??≥=?

其中，M 是一个任意大的正数。用单纯形法表进行计算，由于是求MIN ，所以用所有0j σ≥来判别目标函数是否实现了最小化。初始单纯行表如表2-1所示：

j c →

-3 1 1 0 0 M M

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 4x 10 3 -2 0 1 0 0 -1 - M 6x 1 0 [1]

0 0 -1 1 -2 1

1 -

2 0 1 0 0 0 1 -

j σ

-1 1-M 0 0 M 0 3M-1

j c →

-3 1 1 0 0 M M

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 4x 12 [3]

0 0 1 -2 2 -5 4

1 2x 1 0 1 0 0 -1 1 -

2 - 1

1 -

2 0 1 0 0 0 1 -

j σ

-1 0 0 0 1 M-1 M+1

上表中得到最优解，12345674,1,9,0,2x x x x x x x z ========?

③两阶段法（含有人工变量的线性规划问题）

下面介绍求解加入人工变量的线性规划问题的两阶段法。

第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解，给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。如

1111111

21122211

12min 001,,,0n n m n n n n n n n m mn n n m m

n m x x x x a x a x x b a x a x x b

a x a x x b

x x x ω++++++=++++++++=??+++=??

?+++=?≥??

"""""""

然后用单纯形法求解上述模型，若得到0ω=,这说明原问题存在基可行解，可以进行第二阶段计算。否则原问题无可行解，应停止计算。

第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量。将目标函数行的系数，换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。

各阶段计算方法及步骤与第3节单纯形法相同。下面举例说明。例：线性规划问题

12312312313min 3211423211,2,30

z x x x x x x x x x x x x x x =?++++≤???++≥??

?+=??≥?

解：先在上述线性规划问题的约束方程中加入人工变量，给出第一阶段的数学模型为：

1234123561374567min 211423211,2,3,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ω=++++=???++?+=??

?++=??≥? 这里6x ，7x 是人工变量。用单纯形法求解，如表3-1所示：

表 3-1 两阶段法求解含人工变量的线性规划问题第一阶段

j c →

0 0 0 0 0 1 1

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 4x 10 3 -2 0 1 0 0 -1 - 1 6x 1 0 [1]

0 0 -1 1 -2 1

1 -

2 0 1 0 0 0 1 -

j σ

0 -1 0 0 1 0 3

j c →

0 0 0 0 0 1 1

i θ

B C

b X

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 4x 12 3 0 0 1 -2 2 -5 0 2x 1 0 [1]

0 0 -1 1 -2

1 -

2 0 1 0 0 0 1

j σ

0 0 0 0 0 1 1

第一阶段求得的结果是0ω=，得到最优解是：

12345670, 1.1,12,0x x x x x x x =======

因为人工变量670x x ==，所以()0,1,1,12,0T

是该线性规划问题的基可行解。于是可以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消并填入原问题的目标函数的系数。进行第二阶段的计算，如表3-2所示：

表 3-2两阶段法求解含人工变量的线性规划问题第二阶段

j c →

-3 1 1 0 0

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x

0 4x 12 [3]

0 0 1 -2 4

1 2x 1 0 1 0 0 -1 - 1

1 -

2 0 1 0 0 -

j σ

-1 0 0 0 1

表3-2中得到最优解为1234,1,9x x x ===，目标函数值2z =?。

④退化情况

单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。这时换出变量。

尽管计算过程的循环现象极少出现，但还是有可能的。可利用勃兰特规则解决该问题：

（1）选取0j j c z ?>中下标最小的非基变量k x 为换入基变量，即

()min |0j j k j c z =?>

（2）当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。

单纯形法步骤例题详解

单纯形法演算 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 无穷 0 4x 24 6 2 0 1 0 4 0 5x 5 1 1 0 0 1 5 j j z c -（检验数） 2 1 首先列出表格，先确定正检验数最大值所在列为主列，然后用b 除以主列上对应的同行数字。除出来所得值最小的那一行为主行，根据主行和主列可以确定主元（交点）。接着把主元化为1并把X4换成X1. ??? ??? ?≥=++=++=+++++=0,,524261550002max 5152 14213 25 4321x x x x x x x x x x x x x x x z ??????? ≥≤+≤+≤+=0 ,5 24261552max 21212122 1x x x x x x x x x z

j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5 1 1 0 0 1 j j z c - 2 1 这时进行初等行列变换，把主列换单位向量，主元为1。也就是X5所在行减去X1所在行。并且重新计算检验数。 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5-4 1-1=0 1-2/6 =4/6 0-1/6=-1/6 1 j j z c - 2-2*1-0*0-0*1=0 1-0*5-2*2/6-0*4/6=1/3 0-0*0-2*1/6-0*-1/6=-1/3 再次确定主元。为4/6。然后把X5换成X2。并且把主元化成1。

(完整word版)单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.

解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8

（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量

单纯形法的计算方法

第4章单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。（1）第一种情况：若线性规划问题 max z = 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对及 ( i = 1 , 2 , ? , m; j = 1 , 2 , ? , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约

束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。 4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则 (1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切且有则为最优解。称为检验数。 (2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解，且对于一切且有又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。 (3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ?, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。 4.3 基变换

单纯形法求最优解问题及一些知识点整理

单纯形法求最优解问题题目（老师布置的那道作业题）：2153m ax x x f +=，其中 ??? ??? ?=≥=++=+=+5,4,3,2,1,0182312245214 231j x x x x x x x x j ，求2153m ax x x f +=的最大值。这张表是根据题目画的，Cj （行向量）为5432100053m ax x x x x x f ++++=中各个变量的系数，Ci （列向量）为与X B （列向量）相对应的各项的系数，X B 称为基变量（3列，由题目中的方程个数决定），起初的基变量由构造的变量x3、x4、x5组成，b 为对应三个方程等式右边的常数，z j 为Ci 各列与xj 各列乘积的和，如z1=0*1+0*0+0*3=0。i θ为判别将哪个基变量换出的依据，根据c j -z j 为正，要先将x2换入XB 中，关键是判断x3、x4、x5哪个跟x2换，这就要根据各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，如上表可知x2跟x4换，换完之后注意原来x4所对应的列向量为[0 1 0]T ,故要将x2所对应的列向量变换为为[0 1 0]T ，注意b 也要跟着变化，于是得下表.

由上表知c 1-z 1=3>0，故仍需将x1换入XB 中，用各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，结合i θ可知，x1跟x5换，于是得下表。由上表可知c j -z j 均非正，故5432100053m ax x x x x x f ++++=取最大值时，????? ?? ?????????=00662x ，对应的最大值36max =f . 系统工程导论知识点整理：系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合的具有特定功能的有机整体。系统的特征：整体性、相关性、目的性、环境适应性。系统的功能是指系统与外部环境相互作用所反映的能力。结构是功能的内在根据，功能是结构的外在表现。系统功能的特性：易变性、相关性。系统工程就是用科学的方法规划和组织人力、物力、财力，通过最优途径的选择，使人们的工作在一定期限内收到最合理、最经济、最有效的效果。科学的方法：从整体观念出发，通盘筹划，合理安排整体中的每一个局部，以求得整体的最优规划、最优管理和最优控制，使每个局部都服从一个整体目标，力求避免资源的损失和浪费。

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都就是非负的(否则无解),接下来的m 列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试如果目标行的所有单元格都就是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题就是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量与主元行 5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格与新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0)、把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行与列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化与处理(本程序所用的实例用的就是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组、用于很难预先估计矩阵的行与列,所以在程序中才了动态的内存分配、需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行就是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断就是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列就是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划就是否就是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中就是否全部为正(不包括目标行)

单纯形法步骤

单纯形法步骤： 1. 给定初始点 )0(x 初始单纯形边长 a ， α ，收缩系数 β ，延伸系数 γ 以及精度要求 ε。 2. 作出初始单纯形图 3. 找出坏点 )(h x 、好点 )(e x 计算中心点 )1(+n x 及反射点 )2(+n x 和各点上的目标函数值 4. 比较反射点和除了坏点上的函数值， 5. ⑴. 如果反射点上的函数值比好点差，但比坏点外的其他顶点函数值好，认为反射成功，将反射点代替坏点构成新的单纯形，转7 ⑵. 如果反射点上的函数比好点还要好，说明反射点很好，可以沿此方向作延伸尝试，如果延伸点上的函数值比好点还好，则将延伸点取代坏点，形成新单纯形，转7。反之，延伸点上函数值不如好点，说明延伸失败，但反射还是成功的，所以仍可用反射点代替坏点，然后转7 5. 如果反射点连坏点都不如，说明反射失败，那么作收缩，找出收缩点的函数值，并转 6.；如果反射点仅比坏点好，则将反射点取代坏点，然后收缩，转下一步6。 6. 如果收缩点上函数比坏点还差，说明收缩也失败，作缩小运算，形成缩小后的单纯形转7；反之（即收缩点上的函数值比坏点好），说明收缩成功，用收缩点代替坏点，形成新的单纯形转。转下一步7。 7. 检查是否满足精度要求 ()(1)max (()i n f x f x ε+-≤ 如满足，停止迭代，否则转3，继续迭代。 %三个考察点，最优，次差，最差 best = vx(: , 1) ; fbest = vf(1) ;

soso = vx(: , n) ; fsoso = vf(n) ; worst = vx(: , n+1) ; fworst = vf(n+1) ; center = sum(vx(: , 1:n) , 2) ./ n ; r = 2 * center - worst ;%反射点 fr = feval(fun , r) ; if fr < fbest %比最好的结果还好，说明方向正确，考察扩展点，以期望更多的下降 e = 2 * r - center ; %扩展点 fe = feval(fun , e) ; if fe < fr %在扩展点和反射点中选择较优者去替换最差点 vx(: , n+1) = e ; f(: , n+1) = fe ; else vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ; end else if fr < fsoso %比次差结果好，能够改进 vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ; else %比次差结果坏，当压缩点无法得到更优值的时候，考虑收缩 shrink = 0 ; if fr < fworst %由于r点更优所以向r点的方向找压缩点 c = ( r + center ) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ; if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进 vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ; else %否则的话，准备进行收缩

单纯形法表的解题步骤

单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下： j c → 对应变量的价值系数 i θ B C b X b 1x 2x 3x " j x 基变量的价值系数基变量资源列 θ规则求的值 j σ 检验数 ①一般形式若线性规划问题标准形式如下： 123451231425max 23000284164120,1,2,5 j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=??+=?? +=??≥=?" 取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。这样就得到初始可行基解：()()0 0,0,8,16,12T X =。将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表 1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12T X = j c → 2 3 0 0 0 i θ B C b X b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 8 1 2 1 0 0 4 0 4x 16 4 0 0 1 0 -

5x 12 0 [4] 0 0 1 3 j σ 2 3 0 0 0 若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的 θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。修改后的单纯形表如表 1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0T X = 检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0T X =

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)

单纯形法求解原理过程

单纯形法需要解决的问题：如何确定初始基本可行解；如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降；如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵中可以看出其中有个标准基，即与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：

F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为两步进行：第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量；第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10

单纯形法例题讲解

例1 max z=2x1+3x2 （标准形式即所有的变量均为负、所有约束条件为等式、所有的右端项系数非负） a=(2,3) b1=(80,160,120) A2=NULL b2=NULL A3=NULL b3=NULL n.iter=n+2*m maxi=TRUE ● simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,maxi=TRUE)： m1=3,m2=0,m3=0 m=3,n=2 a.o=a=(2,3) if(maxi) a=-a(-2,-3) if(m2+m3==0) a=(-2,-3,0,0,0) b=(80,160,120) init=(0,0,0,80,160,120) basic=(3,4,5) eps=1e -10 out1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps) ? simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps): N=5,M=3 nonbasic=(1,2) if(stage==2) obfun=(-2,-3) it=1 ◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=3 if(stage==2) neg=(1,3) x1+2x2<=80 4x1<=160 4x2<=120 x1，x2>=0 A1= 1 2 4 0 0 4 A= 1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4 tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4 0 -2 -3 转化为标准形式 x1+2x2+x3=80 4x1+x4=160 4x2+x5=120 x1,x2,x3,x4,x5>=0

图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式

线性规划单纯形法例题

《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》 ??? ??≥=++=+++++=?? ? ??≥≤+≤++=0,,,24 261553).(002max ,,0,24 261553).(2max 14.1843214213 214 321432121212 1x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x )1000(00)0010(01 )2050(12)6030(24321=?+?-==?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择41x x

3 /1)6/122/10(00 )0210(03 /1)3/1240(10)1200(24321-=?+-?-== ?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择32x x 24 /724/528/11012/112/124/1100 021110120124321-=?+-?-=-=-?+?-==?+?-==?+?-=）（）（）（）（σσσσ 433 4341522max ,)4 3,415( ),(2112= +?=+===x x z x x X T T 故有：所以，最优解为

??? ??? ?≥=+ +=+=+ ++++=?????? ?≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0 ,182312212 ).(52max 24.185432152142315 43215432121212 1x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】（页【 )000010(00001000000000100520200052300010254321=?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-=σσσσσ）（）（）（）（为出基变量。为进基变量，所以选择42x x

单纯形法的计算方法

第4章单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =n j j j=1c x ∑ 1,1,2,...,0,1,2,...n ij j i j j a x b i m x j n =?==???≥=?∑ 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基 121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1?? （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n )进行编号, 则可得下列方程组 11,1111 22,1122,1112.........,,...,0 m m n n m m n n m m m m nn n n n x a x a x b x a x a x b x a x a x b x x x +++++++++=?? +++=?? ??+++=??≥? 显然得到一个m ×m 单位矩阵

单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表. （1）（1）把原线性规划问题化为标准形式；（2）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；（3）（3）目标函数非基化；（4）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. （1）找到最大正检验数，设为，并确定

（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）. 表 6.8 x1 x2x3x4x5常数 x 3 x 4 x 51 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 （1）0 0 1 5 10 4 S′ 1 3 0 0 0 0 x 3 x 4 x2 1 0 1 0 0 （1）0 0 1 -2 0 1 0 0 1 5 2 4 S′ 1 0 0 0 -3 -12 x 3 x 1 x 20 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 3 2 4 S′0 0 0 -1 -1 -14

单纯形法表的解题步骤

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单纯形法求解线性规划的步骤

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