线性规划题型例题
高中数学线性规划常见题型
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??
≤??+≥?
，则z=x+2y 的取值范
围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平
移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A
二、求可行域的面积
例2、不等式组260302x y x y y +-≥??
+-≤??≤?
表示的平面区域的面积为 （）
A 、4
B 、1
C 、5
D 、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形
OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
解：|x |＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)
2(0,0)2
(0,0)
x y x y x y x y x y x y x y x
y
+≤≥≥??-≤≥?
?
-+≤≥??--≤?
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围
例4、已知x 、y 满足以下约束条件5
503x y x y x +≥??
-+≤??≤?
，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）
A 、－3
B 、3
C 、－1
D 、1
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值
的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x 、y 满足以下约束条件220
240330x y x y x y +-≥??
-+≥??--≤?
，则
z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）
A 、13，1
B 、13，2
C 、13，
4
5
D
、
5
解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为
4
5
，选C 六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点
（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>??-+-
由右图可知33
30
m m +>??
-
七·比值问题
当目标函数形如y a
z x b
-=
-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例 已知变量x ，y 满足约束条件???x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，
则 y
x
的取值范围是（ ）.
（A ）[95，6] （B ）（－∞，9
5]∪[6，＋∞）
（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6] 解析 y
x
是可行域内的点M （x ，y ）与原点O
（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y
x 取得
最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y
x
取得最大值6. 答案A
线性规划常见题型全集
绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 （ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413 a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? 则 y x的取值范围是( ) A． 9[6] 5 ,B．9 (][6) 5 -∞,?,+∞C．(3][6) -∞,?,+∞D．(3,6]
线性规划经典例题及详细解析
一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值就是 。 3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95 ]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值 就是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A. －3 B 、 3 C 、 －1 D 、 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大
高考全国卷及各省数学线性规划真题附答案.docx
2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5.
2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________．
线性规划典型例题
例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)
工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，
线性规划常见题型大全
线性规划常见题型大全 Revised by BETTY on December 25,2020
绝密★启用前 2014-2015学年度?学校8月月考卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D
【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤? ?≥??? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截 距为a ， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个 三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥? ?+≤ ?表示的平面区域是一个四边形区域 （如图3所示），当43a ≥时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所 示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤, ?? ≥,??+-≤, ? 则y x 的取值范围是( ) A ．9[6]5, B ．9(][6)5-∞,?,+∞ C ．(3][6)-∞,?,+∞ D ．(3,6] 【答案】A 【解析】 试题分析：画出可行域， y x 可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（59,22），（1,6）则可知k ＝y x 的范围是9[6]5,. 考点：线性规划，斜率. 4．（5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组 给定．若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为 ，则 z=的最大值为（ ）
六种经典线性规划例题
线性规划常见题型及解法 求线性目标函数的取值范围 2 2 2 x y A D y 2 O x x=2 求可行域的面积 y y M 5 2 x y 2 y x y 2 x y 2 x y x (3,5] y =2 ( 13 例1 x+2y 时 6 的点 C 、 x ， 个 y 6 y 3 2 x + y —3 = 0 C 、 5 A 、 4 B 、 1 D 、无穷大 () 0,将 有 最小值 故选A .B A --- 作出可行域如右图 点个数为13个，选D x + y =2 则z=x+2y 的取值范围是 () 旦y =2 0 0表示的平面区域的面积为 三、求可行域中整点个数 解：|x| + |y| <2等价于 解：如图，作出可行域，作直线I : I 向右上方平移，过点A ( 2,0 ) 2,过点B ( 2,2 )时，有最大值 [2,6] B 、[2 ,5] C 、[3,6] 解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的 面积即可，选B 例 3、满足 |x| + |y| <2 A 、9 个 B 、10 个 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 (x 0,y 0) (x 0,y p 0) (xp 0,y 0) (xp 0,y p 0) 是正方形内部(包括边界)，容易得到整 y)中整点(横纵坐标都是整数)有() D 、 14 个 2x 例2、不等式组x x 若x 、y 满足约束条件 y O C V —? x 2x + y —6= 0
高考题分类线性规划
线性规划 1. （安徽11）若满足约束条件：；则的取值范围为 【解析】的取值范围为 约束条件对应边际及内的区域： 则 2. 北京2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）（B）（C）（D） 【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 ，故选D。 【答案】D 3.福建9.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最 大值为（） A． B．1 C． D．2 考点：线性规划。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。 解答：可行域如下：
所以，若直线上存在点满足约束条件， 则，即。 4.广东 5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) 【解析】选约束条件对应边际及内的区域： 则 5.江苏14．（2012年江苏省5分）已知正数满足： 则的取值范围是▲．
【答案】。 【考点】可行域。 【解析】条件可化为：。 设，则题目转化为： 已知满足，求的取值范围。 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须。 ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。 当（）对应点时，， ∴的最大值在处，为7。
∴的取值范围为，即的取值范围是。 6.江西8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 8.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为 .线性约束条件为即作出不等式组 表示的可行域,易求得点. 平移直线，可知当直线经过点,即 时,z取得最大值,且（万元）.故选B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
线性规划常见题型大全
. 绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是 （ ） B.01a <≤ C. D.01a <≤或【答案】D
试卷第2页，总17页 【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a += 斜率为1 -，纵截距为a， 自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+ ≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示） 时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示）时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? ( ) A．(3][6) -∞,?,+∞ D．(3,6] 【答案】A
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
高考线性规划必考题型(非常全)
线性规划专题 一、命题规律讲解 1、 求线性（非线性）目标函数最值题 2、 求可行域的面积题 3、 求目标函数中参数取值范围题 4、 求约束条件中参数取值范围题 5、 利用线性规划解答应用题 一、线性约束条件下线性函数的最值问题 线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。 例1 已知4335251x y x y x -≤-??+≤??≥? ，2z x y =+，求z 的最大值和最小值 例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=??+≥??-≥-? ，求z=5x y -的最大值和最小值 二、非线性约束条件下线性函数的最值问题 高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。 例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值 例4 求函数4y x x =+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。 三、线性约束条件下非线性函数的最值问题 这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。 例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，求22448x y x y +--+的最小值。 例6 实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?，求11y x -+的最小值 四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题 在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。 例7 已知,x y 满足y 2 y x +的最大值和最小值 1. “截距”型考题方法：求交点求最值
线性规划题型总结
线性规划题型总结 1. “截距”型考题 在线性约束条件下，求形如(,) =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转 z ax by a b R 化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行 域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1．（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3 答案：D 解：变量x，y满足约束条件的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 2．（2017新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则 z=3x﹣4y的最小值为． 答案：﹣1． 解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣， 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 3．（2017浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 答案：D． 解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值， 由解得C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 4．（2016河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（） A．10 B．8 C．6 D．3 答案：C． 解：作出不等式组，对应的平面区域如图： （阴影部分） 由z=|x+2y|， 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大 值，
线性规划经典例题及详细解析
1 / 6 一、 已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤?? ≥??+≤? ,则 错误! 的取值范围是（ )。 A 。 ［错误!，6] B.（－∞，错误!］∪［6，＋∞） C.（－∞，3］∪［6，＋∞） D 。 ［3，6］ 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、 已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤?? -≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C 。 －1 D. 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D 。 无穷大
高考线性规划题型归纳
线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知10,220x y x y ?? -+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表 示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满 足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。 图2 x y 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最 小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， 4 5 D 、13，255 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2 =13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离 的平方，即为4 5，选C 练习2、已知x ，y 满足?? ? ??≥-+≥≥≤-+0320,10 52y x y x y x ，则 x y 的最大值为___________，最小值为 ____________． 2，0 三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例3、在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表 示的平面 区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 2x + y - 2= 0 x – 2y + 4 = 3x – y – 3 = 0 O y
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2 .线性规划问题的一般形式有何特征？ 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7?试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问 题呢？ 11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续 第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2 .线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的 范围一般将扩大。 5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被 选作换入变量。 8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形 表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额 不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：