微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第三章中值定理与导数的应用
第3章中值定理与导数的应用
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值
ξ。
（1）
]511[32)(2.,,x x x f ---=；
（2）
]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/
=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2
--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，
∴
32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得
)511(4
1
.,ξ-∈=
即为所求。 （2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴
x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令
()0
f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数
25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)
()10
f f f ξ-'=
-，若得到的根]10[,
ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32
()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴2542
3
-+-=x x x y 在
区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又
2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，
∴要使
(1)(0)
()010
f f f ξ-'=
=-，只要：(01),ξ=
，
∴5(01)12,ξ?=
∈，使(1)(0)
()10
f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数
4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
解：要使
(2)(1)()21
f f f ξ-'=-，只要3
415ξξ=?=从而(12)ξ,=
即为满足定理的ξ。
★★4.试证明对函数
r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为][a,b ，则函数r qx px y ++=2
在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，从
而有
()()
()f b f a f ξb a
-'=
-，即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222， 解得2
a
b ξ+=
，结论成立。 ★5.函数
3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满
足定理的数值ξ。
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程
()()()
()()()
f ξf b f a
g ξg b g a '-='-，得到的根ξ便为所求。
解：∵3
)(x x f =及2
g()1x x =+在]21[,上连续，在)21(,内可导，且在)21(,内的每一点处有
()20g x x '=≠，所以满足柯西中值定理的条件。要使
()(2)(1)
()(2)(1)
f ξf f
g ξg g '-='-，只要
37232=ξξ，解得)21(9
14
,ξ
∈=
， ξ即为满足定理的数值。 ★★★6.设
)(x f 在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(=f 。求证：
存在)10(,ξ∈，使()
()f ξf ξξ
'=-
。 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：从ξ
ξf ξf )()(/
-
=结论出发，变形为
0)()(/=+ξf ξξf ，构造辅助函数使其导函数为
)()(/x f x x f +， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
证明：构造辅助函数)()(x xf x F =，()()()F x f x xf x ''=+
根据题意)()
(x xf x F =在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(1)1(=?=f F ，
0)0(0)0(=?=f F ，从而由罗尔中值定理得：存在)10(,ξ∈，使 ()()()0F ξf ξξf ξ''=+=，即()
()f ξf ξξ
'=-
。 注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()
()f x f x x
'=-
，只要
()1[()][ln ()][ln ][ln ()]00[()]0()()
f x xf x f x x xf x xf x f x x xf x ''
''''=-?=-?=?=?= ∴只要设辅助函数)()
(x xf x F =
★★7.若函数
)(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==
)(321b x x x a <<<<，证明：在)(31,x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=。
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。
证明：∵ )(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，∴)(x f 在][21,x x 、][32,x x 内连续，
在)(21,x x 、)(32,x x 内可导，又)()()(321x f x f x f ==，
∴由罗尔定理，至少有一点)(211,x x ξ∈、)(322,x x ξ∈，
使得
1()0f ξ'=、2()0f ξ'=；又()f x '在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，
从而由罗尔中值定理，至少有一点?∈)(21,ξξξ
)(31,x x ，使得()0f ξ''=。
★★8.若4次方程04322314
0=++++a x a x a x a x
a 有4个不同的实根，证明：
023*******=+++a x a x a x a
的所有根皆为实根。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
证明：令432
23140)(a x a x a x a x a x f ++++=
则由题意，)(x f 有4个不同的实数零点，分别设为4321,x ,x ,x x ，
∵)(x f 在][21,x x 、][32,x x 、][43,x x 上连续，在)(21,x x 、)(32,x x 、)(43,x x 上可导， 又
0)()()()(4321====x f x f x f x f ，
∴由罗尔中值定理，至少有一点)(211,x x ξ∈、)(322,x x ξ∈、)(433,x x ξ∈
使得
123()()()0f ξf ξf ξ'''===，即方程023*******=+++a x a x a x a 至少有3个实根，又
三次方程最多有3个实根，从而结论成立。
★★★9.证明：方程
015=-+x x 只有一个正根。
知识点：零点定理和罗尔定理的应用。
思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来
讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
解：令1)(5
-+=x x x f ，∵)(x f 在]10[,上连续，且01)1(>=f ，01)0(<-=f ，
∴由零点定理，至少有一点)10(,ξ∈，使得01)(5=-+=ξξξf ；
假设015
=-+x x 有两个正根，分别设为1ξ、2ξ（21ξξ<），
则
)(x f 在在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，且0)()(21==ξf ξf ，
从而由罗尔定理，至少有一点)(21,ξξξ∈，使得4()510f ξξ'=+=，这不可能。
∴方程015
=-+x x
只有一个正根。
★★10.不用求出函数
)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，
并指出它们所在的区间。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。
解： ∵)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 在]21[,、]32[,、]43[,上连续，
在)21(,、)32(,、)43(,内可导，且0)4()3()2()1(====f f f f ，
∴由罗尔中值定理，至少有一点)21(1,ξ∈、)32(2,ξ∈、)43(3,ξ∈，
使得
123()()()0f ξf ξf ξ'''===，即方程()0f x '=至少有三个实根，
又方程()0f x '=为三次方程，至多有三个实根，
∴
()0f x '=有3个实根，分别为)21(1,ξ∈、)32(2,ξ∈、)43(3,ξ∈。
★★★11.证明下列不等式：
（1）
b a b a -≤-arctan arctan ； （2） 当 1>x 时，ex e x > ；
（3） 设 0>x
，证明x x <+)1(ln ； （4） 当0>x 时，x
x +>
+11
)11(ln 。 知识点：利用拉格朗日中值定理。
思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数()y f x =，通过式子()()()f b f a f ξb a
-'=
-（或
()()()()f b f a f ξb a '-=-）证明的不等式。
证明：（1）令x x f arctan )(=， ∵)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
2
1
arctan arctan ()()1a b f ξb a b a b a ξ
'-=-=
-≤-+。
（2）令
x e x f =)()1(>x ，∵)(x f 在]1[,x 上连续，在)1(,x 内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得e e x
- )(x e ξ1-=，
∵x ξ<<
1，∴e ex x e x e e e ξx -=->-=-)1()1(，从而当 1>x 时，ex e x >。
（3）令
)1ln()(x x f +=)0(>x ，∵)(x f 在]0[,x 上连续，在)0(,x 内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得1
ln(1)ln(1)ln(10)()(0)1x x f ξx x ξ
'+
=+-+=-=
+， ∵x ξ<<0，∴
x x ξ
<+11
，即0>x ， x x <+)1ln(。 （4）令
x x f ln )(=)0(>x ，∵)(x f 在]1[x x,+上连续，在)1(x x,+内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得11ln(1)ln(1)ln ()(10)x x f ξx ξ
'+
=+-=-=， ∵x ξx +<<1，∴
x ξ+>111，即当0>x 时，x
x +>+11
)11ln(。
★★12.证明等式：)1(12arcsin
arctan 22
≥=++x πx
x
x . 知识点：()0()f x f x C '=?=（C 为常数）。
思路：证明一个函数表达式)(x f 恒等于一个常数，只要证()0f x '=
证明：令)1(12arcsin
arctan 2)(2
≥++=x x
x
x x f ， 当1=x 时，有π=+1arcsin 1arctan 2；当1>x 时，有
22
2
22222
2
2(1)222122()1(1)1(1)1x x x x f x x
x x x x +-?-'==+?++++- =
0)12
(122
2=+-++x
x ，∴()(1)f x C f π===；
∴)1(12arcsin
arctan 22
≥=++x πx x
x 成立。 ★★★13.证明：若函数
)(x f 在)(∞+∞,-内满足关系式()()f x f x '=，且1)0(=f ，则x e x f =)(。
知识点：()0()f x f x C '=?= 思路：因为 ()()1x
x
f x e e
f x -=?≡，所以当设()()x F x e f x -=时，只要证()0F x '=即可 证明：构造辅助函数()()x
F x e
f x -=，
则()
()()0x x F x e f x e f x --''=-=；
∴()(0)1x
F(x)e f x C F -=≡==
∴
x e x f =)(。
★★★14.设函数
)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内有二阶导数，且有
b c a c ,f b f a f )(0)(0)()(<<>==，
试证在)(a,b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''<。
知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数)()
(ξf
n 在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析
各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。
证明：∵ )(x f 在][a,c 、][c,b 上连续，在)(a,c 、)(c,b 内可导，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一点)(1a,c ξ∈、)(2c,b ξ∈，
使得2()()()0f c f b f ξc b -'=
<-，1()()
()0f a f c f ξa c
-'=>-；
又
()f x '在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，从而至少有一点)(21,ξξξ∈， 使得
2121
()()
()0f ξf ξf ξξξ''-''=
<-。
★★★15.设
)(x f 在][a,b 上可微，且()0()0()
()
f a ,f b ,f a f b A,+-''>>==试证明)(/
x f 在
)(a,b 内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间)(a,b 内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b 上有三个零点，即可
以利用罗尔中值定理，得出结论。
证明：∵()()
()lim 0x a
f x f a f a x a
+
+→-'=>-，由极限的保号性知，
)(1a,δ+? （不妨设21b-a δ<
），对于)(1a,δx +∈? ，均有0)
()(>--a
x a f x f ， 特别地，)(11
a,δx +∈? ，使得
0)
()(11>--a
x a f x f ，∴得A a f x f =>)()(1；
同理，由
()0f b ,-'>得)(22b,δx -∈? （2
2b-a
δ<
），使得
0)()(22>--b x b f x f ， 从而得A b f x f =<)()(2；
又∵)(x f 在][21,x x 上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,x x ξ∈使得A ξf =)(；
∵
)(x f 在][a,ξ、][ξ,b 上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b 内可导，且A b f ξf a f ===)()()(，
∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1
a,ξξ∈、)(2ξ,b ξ∈，使得12()()0f ξf ξ''==，结论成立。
★★★16.设
)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>，试证明存在唯一的b c c,a <<，使得
()()()f b f a f c b a
-'=
-。
知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。
思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的
单调性得出结论。
证明：存在性。
∵
)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点)(a,b c ∈，使得
()()
()f b f a f c b a
-'=
-。
唯一性的证明如下：
方法一：利用反证法。假设另外存在一点)(a,b d ∈，使得()()
()f b f a f d b a
-'=
-，
又∵
()f x '在][c,d （或][d,c ）上连续，在)(c,d （或)(d,c ）内可导，
∴由罗尔中值定理知，至少存在一点)()(a,b c,d ξ?∈（或)()(a,b d,c ξ?∈），使得()0f ξ''=，
这与
)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>矛盾。从而结论成立。
方法二：∵)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>，∴()f x '在][a,b 单调递增，
从而存在存在唯一的)(a,b c ∈，使得
()()
()f b f a f c b a
-'=
-。结论成立。
★★★17.设函数
)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有n 阶导数，且
(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'==
==试用柯西中值定理证明：
)10()
()()(<<=θn!θx f x x f n n
。
知识点：柯西中值定理。
思路：对)(x f 、n
x x g =)(在]0[,x 上连续使用n 次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵)(x f 、n
x x g =)(及其各阶导数在]0[,x 上连续，在)0(,x 上可导，
且在)0(,x 每一点处，(1)
()!0n g
x n x -=≠，又(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====，
∴连续使用n 次柯西中值定理得，
(1)(1)11111(1)111()(0)
()()(0)
()()(0)(0)(0)
(0)
n n n n n n n n n f ξf f f ξf f x f x f x x g n n ξg n!ξg ξξ-------'''---=====
'--- )10()()(<<=θn!
θx f n ，从而结论成立。
习题3-2
★★1.用洛必达法则求下列极限：
（1） x e e x
x
x sin lim 0-→-； （2） x-a a x a x sin sin lim -→； （3）22
)
2(sin ln lim x π-x πx →； （4）x arc x x cot )
11ln(lim ++∞→；
（5）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→； （6）e
e x x x x -+-→ln 1lim
31； （7） x
x-x
x x sin tan lim
0-→； （8）x x x 2cot lim
→；
（9） 2
1
2
lim
x
x e x →； （10）)1(lim
1
-∞→x
x e x ； （11）)1
11(lim 0--→x x e x ； （12）)ln 1
1(lim 1x x-x x -→；（13）x x x
a )1(lim +∞→； （14）x
x x sin 0lim +→； （15）x x x tan 0)1(lim +→； （16）x x-x e x x arctan 1)1ln(lim 0--+→；
（17）x
x x 1
0)sin 1(lim +→； （18）x x x )1(ln lim 0+→； （19）x x x x 1
2
)1(lim +++∞→； （20）2)1tan (lim n n n
n ++∞→。
知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：
0型与
∞
∞
型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞?0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0
0型、∞1型与0
∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
解： （1） 2cos lim sin lim
00=+=--→-→x
e e x e e x
x x x x x ；
（2） a x
a x a x a x a x cos 1
cos lim sin sin lim
==--→→；
（3）818sin lim )2(4cos lim )2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2
2
2
22
-=-=-=-=-→
→→→x πx x πx x x
x πx πx πx πx πx ；
（4）1)1(1lim 11
)1(1lim cot )
11ln(lim
22
=++=+-
+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x ； （5）17cos 27tan 2tan 2cos 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim
2202200=??==+→+→+→x
x x x x
x x x
x x x x x ； （6）e e x x e
e x
x x
x x x 41
3lim ln 1lim
213
1
=+
=-+-→→；
（7） 2230000tan sec 12tan sec 2
lim lim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x
→→→→--====--； （8）2
1
2sec 21lim 2tan lim
2cot lim
2000
=
==→→→x x x x x x x x ； （9） +∞==-
-==→→→→22
2
2
103
1
3021
01
2
lim 2
2lim 1lim lim
x x x x x x x
x e x e x x e e x ；
（或解为：2
2
1120
lim lim lim 1
u u u x x x u u e e x
e
u =
→→+∞→+∞===+∞） （10）1lim 1
1lim 1)1(lim
)1(lim 1
2
1
21
1==--=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x
x x x e x
e x x e e x ； （或解为：∵当x →∞时，11
1~
x
e x
-，∴1
1/11/lim (1)lim
lim 11/1/x x
x x x e x
x e x x
→∞→∞→∞--===） （11）(1)~20000111111
lim()lim lim lim 1(1)22
x
x x x e x x
x x x x x e x e x e x e x e x x -→→→→------====--；
（12）21
2ln ln 1lim 1ln ln lim
ln )1(1ln lim )ln 11(
lim 1111
=++=-+
=-+-=--→→→→x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x ； （或解为：ln(1)~12
100ln 1(1)ln(1)(1)ln(1)lim lim lim (1)ln ln(1)u u u x x u u x x x u u u u u u
x x u u u +=-→→→-+++-++-==-+
0ln(1)1
lim
22
u u u →+==）
（13）ln(1)
lim ln(1)lim
lim 11
lim(1)x x x a
a a x x x x
a x
x x
x a e x
e e
e
→∞→∞
→∞++→∞
+
====；
（14）
0000ln 1
tan sin lim sin ln lim
lim
lim
sin 0csc cot csc 0
lim 1x x x x x
x x x x
x x
x x x
x
x x e e
e
e
e +
+++
→→→→+
--→======；
（15）
22
0001
ln sin lim lim lim
tan 0cot csc 000
1lim ()lim lim lim 1x x x x
x
x x x
x x
x x x x e e e e x +++→→→++
+
+
-
--→→→→=====；
（16）2
202
00)1()1)(1(lim 11111
lim arctan 1)1ln(lim x x e xe x x x e x x x e x x x x x x x -+-+=+-
-+
=---+→→→ 200(1)1
lim lim 22
x x x x x xe e xe x x →→-+=-=-=-；
（17）e e
e
x x
x
x x
x)
(x x
x x x ===++→+→→→→sin
1cos lim
sin 1ln lim
1
00
lim lim )
sin 1(lim ；
（18）0020011()
ln[ln ]
ln lim lim
1
11lim
lim
ln 1/01lim(ln )1x x x x x x x
x
x
x
x
x
x
x e
e
e
e
x
++
→→++→→+?------→=====；
（19）
1)1(lim 2
2
2
211lim
111lim
)1ln(lim 12====+++++++
+++∞
→+∞
→+∞
→+∞→x x x x x x
x x x
x x x x e
e
e
x x ；
（20）令
2
)1tan ()(x x
x x f =，则22
201ln tan ln 1
lim 01tan lim (tan )lim()t t t t
x
x t t x t t x e x t +
→+=
-→+∞→==
2223
323
00001
sin 2sec tan sec tan sin cos 2lim
lim
lim
lim 2tan 22cos 2t t t t t t t t t t t t
t t t t t
t t t
t e
e
e
e
+
+
+
+
→→→→----====
22
2
2
00(1cos )~1cos221lim
lim
2
663
t t x x t t t t
e
e
e +
+→→--===
=
∴2
1
31lim (tan )n n n e n
+→+∞= ★★2.验证极限x
x
x x sin lim
+∞→存在，但不能用洛必达法则求出。
知识点：洛必达法则。
思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决
所有的未定型极限问题。
解：∵ 101)sin 1(lim sin lim
=+=+=+∞→∞→x x x x x x x ，∴极限x
x
x x sin lim
+∞→存在； 若使用洛必达法则，得x x x x sin lim +∞→x x
x x cos lim 11
cos 1lim ∞→∞→+=+=，
而x x cos lim
∞
→不存在，所以不能用洛必达法则求出。
★★★3.若
)(x f 有二阶导数，证明2
()2()()
()lim
h f x h f x f x h f x h →+-+-''=。
知识点：导数定义和洛必达法则。
思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h 的导数，然后利用导数定义得结论。
证明：∵ 200()2()()()()
lim
lim 2h h f x h f x f x h f x h f x h h h
→→''+-+-+--= 0()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h →''''+-+--=
//001()()1()()lim lim ()22h h f x h f x f x h f x f x h h
→→''''+---=+=-，∴结论成立。 ★★★4.讨论函数?????+=-,
e ,
e
x x f x x 2
111])1([)(0
0≤>x x 在点0=x 处的连续性。 知识点：函数在一点连续的概念。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。
解：∵1
2
000111
1
(1)ln(1)1lim ln lim
lim
1200(1)lim ()lim[]x
x x x x x x
x x x
e
x
x x
x x x f x e e
e
e ++
+→→→++-++-+→→+====
011lim 21x x
e
+→-+=)0(2
1f e
==-
，∴)(x f 在0=x 处右连续；
又∵
)0()(lim 2
10f e x f x ==-→-
，∴)(x f 在0=x 处左连续；
从而可知，
?????+=-,
e ,e
x x f x x 2
111])1([)(0
0≤>x x 在点0=x 处连续。 ★★★5.设
)(x g 在0=x 处二阶可导，且0)0(=g 。试确定a 的值使)(x f 在0=x 处可导，并求
(0)f '，其中
()
,0() ,
0g x x f x x a x ?≠?
=??=? 。
知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。 解：要使)(x f 在0=x 处可导，则必有)(x f 在0=x 处连续，
又∵)(x g 在0=x
处(0)0g =，∴x x g x f a x x )(lim
)(lim 0
→→==)0(0
)
0()(lim /0g x g x g x =--=→； 由导数定义，0()(0)(0)lim 0x f x f f x →-'=-2
00()
(0)
()(0)lim lim
0x x g x g g x g x
x x x →→'-'-==- 0()(0)1lim (0)22
x g x g g x →''-''==。
习题3-3
★1.按)1(-x
的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导
数在0x x
=处的值，然后带代入公式即可。
解：3
()46f x x x '=+，(1)10f '=；2
()126f x x ''=+，f (1)18''=；
()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ；
将以上结果代入泰勒公式，得
(4)23
4
(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。
★★2.求函数
x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：同1。 解
：()f x '=
，
1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1
(4)32
f ''=-；
52
3()8f x x -'''=，3(4)256
f '''=；27
41615)(--=x x f
)(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23
4(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+-
42
7
32)4(1285)4(512
1
)4(641)4(412--
-+---+=x ξ
x x x ，（ξ介于x 与4之间）。
★★★3.把
2
2
11)(x x x x x f +-++=
在0=x
点展开到含4x 项，并求)0()3(f 。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论
)(111
2n n x o x x x x
+++++=- 。 解：
3
2222211)
1(2112112111)(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-+=+-++-=+-++=
)(2221))(1)(1(2144233x o x x x x o x x x +-++=+-++=；
又由泰勒公式知3
x 前的系数
(0)
03!
f '''=，从而(0)0f '''=。
★★4.求函数
x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为对数函数时，通常利用已知的结论
x x =+)1ln()(1
)1(3211
32++++-+-+-n n n x o n x x x 。 方法一：（直接展开）1()f x x '=
，1(2)2f '=；21()f x x ''=-，1(2)4f ''=-； 3
2()f x x '''=
，
1(2)4f '''=；n n n x n x ,f )!1()1()(1)(--=- ，n n n n f 2
)!1()1()2(1)(--=-； 将以上结果代入泰勒公式，得
(4)23
4(2)(2)(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!
f f f f x f x x x x !''''''=+-+-+-+-+
n (n)x n f )2(!)2(-+))2((n x o -+=23)2(21)2(212ln ---+x x --?+33
)2(2
31
x ))2(()2(2
1
)1(1
n n n
n x o x n -+-?-+-。 方法二：2
)2
2(21222ln )221ln(2ln )22ln(ln )(---+=-++=-+==x x x x x x f 2313)2(21)2(212ln ))22(()22(1)1()22(31---+=-+--+--+-x x x o x n x n n n ))2(()2(2
1)1()2(231133n n n n x o x n x -+-?-+--?+- 。 ★★5.求函数x
x f 1
)(=按)1(+x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论
212
1
111(1)n n n x x x x x
ξ++=+++++
--。
方法一：2
1()f x x '=-
，
(1)1f '-=-；3
2()f x x ''=
，
(1)2f ''-=-；4
6()f x x '''=-
，
(1)6f '''-=-1
)(!)1()(+-=n n
n x
n x ,f ，!)1(!)1()1(1)(n n f n n
n -=--=-+； 将以上结果代入泰勒公式，得
2
31(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!
f f f f x x x x ''''''---=-+++++++
n
n x n f
)1(!
)1()
(+-+
1)1()1()!1()(+++++
n n x n ξf =n
x x x x )1()1()1()1(13
2
+--+-+-+-- 121
)1()1(++++-+n n n x ξ
（ξ介于x 与1-之间）
。 方法二：
n x x x x x x )1()1()1()1(1[)
1(11132+++++++++-=+--= ])1()1(121++++-+n n n x ξ=n
32)1()1()1()1(1+--+-+-+--x x x x 121)1()1(++++-+n n n x ξ
（ξ介于x 与1-之间）。
★★6.求函数
x xe y =的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。
知识点：麦克劳林公式。
思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。)(x f 中含有x
e 时，通常利用已知结论
)(212n n x
x o n!
x !x x e +++++= 。
方法一：(1)x y x e '=+，(0)1y '=；(2)x y x e ''=+，(0)2y ''=；x (n)
e n x ,y
)(+= ，
n y n =)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得
23
(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!
!
(n)x n
n f f f f xe f x x x x o x n ''''''=+++++
++
+++=!
232
x x x )!1(-+n x n )(n
x o +。
方法二： +++=+-++++=--!
2))()!1(!21(32
112x x x x o n x x x x xe n n x
)!
1(-+n x n )(n
x o +。 ★★7.验证当2
10≤ +++≈计算x e 的近似值时，所产生的误差小于 010.，并求e 的近似值，使误差小于010.。 知识点：泰勒公式的应用。 思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。 解： 010192 121!42!4!4)(4 42 1 43.x e x e x R ξ<=≤≤=；6460481 81211.e ≈+++≈。 ★★8.用泰勒公式取5=n ，求21ln .的近似值，并估计其误差。 知识点：泰勒公式的应用。 解：设)1ln()(x x f +=，则 (5)2 5 (0)(0)(0)()(0)1!2! 5! f f f f x f x x x '''≈+++ + 2 2 x x -=55x + + ，从而182305 2042032022020)20(21ln 5 432.......f .≈+-+-≈=；其 误差为： 00001070620)1(61)(66 6 5..x ξx R ≈≤+-=。 ★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限： （1） )3(lim 233x x x x x --++∞→； （2）2 2 2 sin )(cos 1211lim 2 x e x x x x x -+-+ → 。 知识点：泰勒展开式的应用。 思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。 解：（1）])1 1()31([lim )3(lim 21 3122 3 3 x x x x x x x x x x --+=--++∞→+∞→ ))]1 (12) 121 (21)1(211())]1(o 3311([lim 2222x o x x x x x x x +?-+-?+-+?+=+∞→2 1))1(8921(lim =++=+∞→x o x x 。 （2）2 2 1 2202220 )(cos )1(21 1lim sin )cos (1211lim 2 2x e x x x x e x x x x x x x -+-+=-+-+→→ 121) (2 3)(81lim )))(1()(21() (2) 12 1(21211(211lim 444402222244220-=+-+=++-+-+-++-+=→→x o x x o x x x o x x o x x o )x x x x x 。 ★★10.设0>x ，证明：)1ln(2 2 x x x +<-。 知识点：泰勒公式。 思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展 开的一部分时，可考虑用泰勒公式。 解：33 2)1(32)1ln(ξx x x x ++ -=+（ξ介于0与x 之间），∵ 0>x ，∴0) 1(33 3 >+ξx ， 从而2 )1(32)1ln(2 332x x ξx x x x - >++-=+，结论成立。 （也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之） ★★11.证明函数 )(x f 是n 次多项式的充要条件是0)()1(≡+x f n 。 知识点：麦克劳林公式。 思路：将)(x f 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。 解：必要性。易知，若)(x f 是n 次多项式，则有0)() 1(≡+x f n 。 充分性。∵ 0)() 1(≡+x f n ，∴)(x f 的n 阶麦克劳林公式为： 2 (0)()(0)(0)2! f x f x f f x '''=++ 3()(1)1(0)(0)()3!!(1)!n n n n f x f x f ξx n n ++'''++ ++=+2(0)(0)(0)2! f x f f x '''++ 3 (0)3! f x '''+! )0() (n x f n n + + ，即)(x f 是n 次多项式，结论成立。 ★★★12.若 )(x f 在][a,b 上有n 阶导数，且(1)()()()()()0n f a f b f b f b f b -'''==== == 证明在)(a,b 内至少存在一点ξ，使 )(0)()(b ξa ξf n <<=。 知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。 思路：证明)(0)() (b ξa ξf n <<=，可连续使用拉格朗日中值定理，验证)() 1(x f n -在][a,b 上满足 罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据 )(x f 在b x =处的泰勒展开式及已知条件得结论。 方法一：∵ )(x f 在][a,b 上可导，且)()(b f a f =， ∴由罗尔中值定理知，在)(a,b 内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=； ∵ ()f x '在][][1a,b ,b ξ?上可导，且()0f b '=， ∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b ,b ξ?内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ''=； 依次类推可知， )() 1(x f n -在][1,b ξn - ][a,b ?上可导，且0)()() 1(1) 1(==---b f ξf n n n ， ∴由罗尔中值定理知，在)() (1a,b ,b ξn ?-内至少存在一点ξ，使得0)()(=ξf n 。 方法二：根据已知条件，)(x f 在b x =处的泰勒展开式为： (1)()21() ()()()()()()()()()2!(1)!! n n n n f b f b f ξf x f b f b x b x b x b x b n n --'''=+-+-+ +-+--n n b x n ξf )(! ) ()(-=)(b ξx <<， ∴ )(a f 0)(! ) ()(=-= n n b a n ξf ，从而得0)()(=ξf n ，结论成立。 习题3-4 ★1.证明函数 )1ln(2x x y +-=单调增加。 知识点：导数的应用。 思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I 上，()0f x '>（()0f x '<）， 则 )(x f 在I 单调增加（减少）。 微积分（经管类复习题）2011.5 一、选择题 1. 二元函数) 3ln(1),(2 2 y x y x f --= 的定义域为（ ） .A 222<+y x .B 222≤+y x .C 322<+y x .D 322≤+y x 2. 点),(00y x 使0),(='y x f x 且0),(=' y x f y 成立，则（ ） .A ),(00y x 是),(y x f 的极值点 .B ),(00y x 是),(y x f 的最小值点 .C ),(00y x 是),(y x f 的最大值点 .D ),(00y x 可能是),(y x f 的极值点 3. 级数 ∑∞ =1 n n aq 收敛的充分条件是（ ） .A 1>q .B 1=q .C 1 一. 单项选择题(共45分,每题3分) 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1. 数列{}n x 有界就是数列{}n x 收敛的( ) A 、 充分条件 B 、 充要条件 C 、 必要条件 D 、 非充分又非必要 条件 2.设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=,则a =( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 -1 3.当1x →时,函数 1 2111 x x e x ---的极限就是( ) A 、 2 B 、 不存在也不就是∞ C 、 ∞ D 、 0 4.如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值,则( ) A 、 0()0f x '= B 、 0()0f x ''< C 、 0()0f x '=且0()0f x ''< D 、 0()0f x '=或0()f x '不存在 5.若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,则,a b 的值为( ) A 、 0,2a b ==- B 、 1,3a b ==- C 、 3,1a b =-= D 、 1,1a b =-=- 6.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为100.01P Q =-,则4P =时的边际收益为( ) A 、 300 B 、 200 C 、 100 D 、 0 7.设函数()f x 可导,且0 lim ()1x f x →'=,则(0)f ( ) A 、 就是()f x 的极大值 B 、 就是()f x 的极小值 C 、 不就是()f x 的极值 D 、 不一定就是()f x 的极值 8.设()f x 就是连续函数,则下列计算正确的就是( ) A 、 11 221 ()2()f x dx f x dx -=? ? B 、 131 ()0f x dx -=? 《高等数学》经管类期末考试 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填 入各题的空格处） 1. 函数221y x z --=的定义域 ； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分11==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ??==b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ； 4. 将函数()2cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项， 其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内） 6. 在空间解析几何中方程422=+y x 表示（ ）。 A ．圆 B ．平面 C ．圆柱面 D ．球 面 7. 设函数22y x z =，则=??22x z （ ）。 A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则??D dxdy 等于（ ） 。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 9. 级数∑ ∞=121n n （ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收敛，其和为3 10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。 A ．y y dx y d ='+22 B ．y x y '+=''2)( C ．y y x y '+=''2 D ． x y y y +'=''2)( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步 骤，说明必要的理由） 11. 设),(v u f z =，y x u 2 =，y x v =，求y z x z ????,。 12. 求函数 122++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ??D xyd σ，其中D 是由抛物线 x y =2及直线2-=x y 所围成的 闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2，其中D 为：4122≤+≤y x 。（要求画草图。提示：在极 坐标下计算） 15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0=z 所围成 立体的体积（第一卦限）． 16. 判断级数∑∞ =1 2sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞=11的收敛区间与和函数。 高等数学经管类-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一. 单项选择题（共45分，每题3分） 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1． 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ ） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分 又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3．当1x →时，函数 1 2111 x x e x ---的极限是（ ） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 0 4．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（ ） A. 0()0f x '= B. 0()0f x ''< C. 0()0f x '=且0()0f x ''< D. 0()0f x '=或0()f x '不存在 5．若两曲线2y x ax b =++与321y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（ ） A. 0,2a b ==- B. 1,3a b ==- C. 3,1a b =-= D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（ ） A. 300 B. 200 C. 100 D. 7．设函数()f x 可导，且0 lim ()1x f x →'=，则(0)f （ ） A. 是()f x 的极大值 B. 是()f x 的极小值 C. 不是()f x 的极值 D. 不一定是()f x 的极值 8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（ ） A. 1 1 221 ()2()f x dx f x dx -=?? B. 1 31 ()0f x dx -=? C. 0+∞-∞ =? D. 11 221 0()2()f x dx f x dx -=? ? 9．设2sin ()sin x t x F x e tdt π+=? ，则()F x （ ） A. 为正常数 B. 为负常数 C. 恒为零 D. 不为常数 10．设直线1158 :121x y z L --+== -，20:23 x y L y z -=??+=?，则12,L L 的夹角为（ ） A. 6 π B. 4π C. 3 π D. 2 π 11．设()f x,y 在点()a,b 处偏导数存在，则极限()() n f a x,b f a x,b lim x →+∞ +--= （ ） A. ()x f a,b B. ()2x f a,b C. ()2x f a,b D. ()1 2 x f a,b 12．设函数()f x 连续，则22 0()dt x d tf x t dx -=?（ ） A. ()2xf x B. ()2xf x - C. ()22xf x D. ()22xf x - 13．设二次积分2sin 0 d (cos ,sin )d I f r r r r π θθθθ=??，则I 可写成（ ） A. 2 2d (,)d x f x y y -? B. 2 20 d (,)d y f x y x -? C. 2 0d (,)d x f x y y ? D. 2 d (,)d y f x y x ? 14．点(0,0)是函数z xy =的（ ） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 驻点 D. 非驻点 《有机化学》考试大纲 （201409修改） 一、考试目的 有机化学是一门研究有机物的组成、结构、性质、合成以及与此相关的理论、规律的科学。通过考试，使同学们系统地掌握有机化学的基本概念、基本理论，熟练掌握有机化合物分子结构与性质之间的关系，有机化合物的合成及相互转化的方法和规律，具有基本科学的思维方法和理论联系实际独立分析问题解决问题的能力。 二、考试内容 第一章绪论 1．1有机化合物和有机化学 有机化合物的定义 1.2 有机化合物的特征 1.3 分子结构和结构式 短线式、缩简式、键线式 1.4 共价键 1.4.1 共价键的形成 Lewis 结构式、价键理论、轨道杂化（sp、sp2、sp3 杂化） 1.4.2 共价键的属性 键长、键能、键角、键的极性、诱导效应 1.4.3 共价键的断裂和有机反应的类型 均裂（产生自由基）、异裂（形成正、负离子）、自由基反应、离子型反应 1.5 分子间的相互作用力 偶极-偶极相互作用、范德华力、氢键 1.6 酸碱的概念 1.6.1 Br? nsted 酸碱理论 Br? nsted 酸、Br? nsted 碱、共轭酸碱 1.6.2 Lewis 酸碱理论 Lewis 酸、Lewis 碱 1.7 有机化合物的分类 1.7.1 按碳架分类 脂肪族化合物、脂环族化合物、杂环化合物 1.7.2 按官能团分类 官能团 第二章饱和烃：烷烃和环烷烃 烃、脂肪烃、脂环烃、饱和烃 2.1烷烃和环烷烃的通式和构造异构 烷烃：CnH2n+2 环烷烃：CnH2n 构造异构体 2.2 烷烃和环烷烃的命名 伯、仲、叔、季碳原子；伯、仲、叔氢原子；烷基、环烷基烷烃的命名、单环环烃的命名 2.3烷烃和环烷烃的结构 2.3.1 σ键的形成及其特征 2.3.2 环烷烃的结构与环的稳定性 角张力 2.5 烷烃和环烷烃的物理性质 2.6 烷烃和环烷烃的化学性质 2.6.1 自由基取代反应 卤化反应、自由基的稳定性次序、卤素的活性次序 2.6.2 氧化反应 2.6.5 小环环烷烃的加成反应 加氢、加溴、加溴化氢 第三章不饱和烃: 烯烃和炔烃 3.1烯烃和炔烃的结构 碳碳双键的组成、碳碳叁键的组成、π键的特性 3.2烯烃和炔烃的同分异构 经管类《微积分》（上）习题参考答案 第一章 函数、极限与连续 习题一 一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否. 二、1．)[()5,33,2?； 2．()πππ+k k 2,2；3． 2,24>-<<-x x 或； 4．[]a a -1,；。5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略） 四、1(略)；2．2 12+x ； 3．11 -+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++?x x ． 六、50 500,,)50(8.050)(>≤=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。 物流班高数复习重点 题型：选择题3'X 5=15 填空3'X 5=15 解答题 ? X8 =60 应用10'X1=10 #1、P15判断二元函数在某点处的极限例5 例6 2、P20偏导数的计算例5 P27 1（1）(5) 3、P29 7.4.2可微于连续、偏导数存在之间的关系两个定理 P51 5 ，6 # 4、P35 多元复合求偏导例4 P31 全微分计算例3 例4 #5 P44 求二元函数的极值例4 #6 P49 拉格朗日乘数发求各种极值问题例9 P50 6 , 7 7、P60交换积分次序例2 例3 #8、P61 直角坐标下的二重积分例4 Y型积分区域 #9、P65求坐标系下二重积分计算例1 10、P73常见的级数敛散性1）等比级数2）调和收敛3）P级数 11、P73常数项级数性质1——3 P75级数收敛必要条件 12、P82比值判断法1、（5） 13、任意项级数、绝对收敛、条件收敛、例3 P86 1、（1） 14、P90求幂级数的收敛性例2 #15、P92求幂级数的和函数例4 P92 2、（1） =1+x+x2+……+x n(|x|<1) 16、P98 将f(x) 展开成幂级数4个e x sin x1 1?x ln(1+x) 17、P111可分变量的微分方程例1----例4 18、P115齐次方程求解例7 19、P120 一阶线性方程例1 例2 #20、P125可降阶的高阶微分方程类型II（不含y）例3 例4 #21、P132 表10—1 例7、例8、例9 P134 2、指数函数情形f(x)=A e ax 这时二阶常系数线性非齐次方程为y′′+p y′+qy=A e ax 微积分讲义（期中考试之前） 1、求极限 （1）有界量与无穷小的乘积是无穷小； 求极 ??? ??--+→211cos 4 lim x x x x （2）变换根号，利用()()22-的形式（很是常见） ； 求极限( ) 11lim 2 2 +-- +++∞ →x x x x x 求极限x x x 11lim -+→ （3）利用书本第32页的公式； 求极限() () () 5 4112lim 2 4 3 -++--+∞ →x x x x x x 求极限x x x x x sin 53cos 7lim +++∞ → 求极限1 3 1 1lim 3 1 -- -→x x x 求极限() () 2 100 100 2 3 22 3lim ++∞ →x x x （4）两个重要极限1* sin*lim *=→、e =??? ? ? +∞→* **11lim 或()e =+→*1 0**1lim （*可以是一个变量或 表达式！自己灵活应用） 求极限2 2cos 1lim x x x -→ 求极限x x x 2sin lim ∞ → 求极限()x x x sin 2 31lim +→ （5）等价无穷小，书本P43的公式必须记住。另外还有三个比较重要的等价无穷小： 21 sin tan lim 3 = -→x x x x 、6 1sin lim 3 = -→x x x x 、3 1tan lim 3 = -→x x x x ；（老老实实记公式） 求极限() x x x x x x 3 sin sin tan tan lim -→ 求极限()()x x x e x x 2 2 2 tan cos 11 lim --→ （6）利用洛必达法则！（最最基本的） 微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质 一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。 五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理 一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-. 三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。 六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法 一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。 三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分 一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥ 一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填 入各题的空格处） 1. 函数2 2 1y x z --= 的定义域 ； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分1 1==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ? ?= = b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后 ),( ； 4. 将函数()2 cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项， 其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内） 6. 在空间解析几何中方程42 2=+y x 表示（ ）。 A ．圆 B ．平面 C ．圆柱面 D ．球面 7. 设函数2 2 y x z =，则 =??22 x z （ ）。 A. 2 2y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则??D dxdy 等于（ ）。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 9. 级数∑∞ =1 21 n n （ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收 敛，其和为3 10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。 A ． y y dx y d ='+22 B ． y x y '+=''2 )( C ．y y x y '+=''2 D ．x y y y +'=''2 )( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步 骤，说明必要的理由） 11. 设),(v u f z =，y x u 2 =，y x v = ，求 y z x z ????, 。 12. 求函数12 2 ++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ?? D xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的 闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2，其中D 为：412 2≤+≤y x 。（要求画草图。提 示：在极坐标下计算） 15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0 =z 所围成立体的体积 16. 判断级数∑ ∞ =12 sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑ ∞ =1 1的收敛区间与和函数。 18. 求解微分方程xy x y -= '1。 习题1-7 1(1)5)21413(lim )243(lim 2 1 2 1 =-+?=-+→→x x x x (2)93 252lim 35lim 2 222-=-+=-+→→x x x x (3)0 1 )3(3)3(lim 1 3lim 2 2 3 2 2 3 =+-=+-→→x x x x (4)01 11 1lim 11lim 1 12lim 112 2 1 =+-=+-=-+-→→→x x x x x x x x (5)2)002(lim )1 12(lim )112(lim 22=+-=∞ +∞-=+-∞→∞→∞→x x x x x (6)4 23 22 4 2 /1)3/(11/1/1lim 1 3lim x x x x x x x x x x +-+=+-+∞→∞ → 00 0100lim /1)3/(11/1/1lim 423 2 =+-+=∞+∞-∞ +∞=∞→∞→x x (7)3 2 1424lim 12lim 4 586lim 442 2 4=--=--=+-+-→→→x x x x x x x x x (8)2 123124lim 2324lim 2 02 2 3 =++-=++-→→x x x x x x x x x x (9)x h x h x h x h h 2)2(lim )(lim 02 2 0=+=-+→→ (10)2)1 122(lim )12)(11(lim 322=--+=-+∞→∞→x x x x x x x (11)x x x x e e e e x --+≤ +≤ 1cos 0 cos lim 1lim 0-=+=+∴∞++∞++∞→-+∞→-+∞→-x x x x x x x x x x e e x e e e e e e x 故趋向于故趋向于，趋向于时，当 (12) 5 2334sin 5 233402 2 +--≤ +--≤ x x x x x x x sin 5 233 4lim /5/23/3/4lim 5233 4lim 2 2 22 =+--=+--=+--+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x 故 (13))448318(lim 231lim 323 838x x x x x x x x x +++÷+---=+---→-→ 23 )8(1) 8(824lim 3 144lim 32 38 32 3 8 -=+---+--- =+-++- =-→-→x x x x x (14)∞ ==-?+=-+→→→0 16lim ) 22(222lim ) 2(2lim 22 2 3 2 2 2 3 2 x x x x x x (15)x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞ →+∞ →2 2 2 2 1) 1)(1(lim )1(lim 一. 单项选择题（共45分，每题3分） 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1． 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ ） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3．当1x →时，函数 1 2111 x x e x ---的极限是（ ） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 0 4．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（ ） A. 0()0f x '= B. 0()0f x ''< C. 0()0f x '=且0()0f x ''< D. 0()0f x '=或0()f x '不存在 5．若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（ ） A. 0,2a b ==- B. 1,3a b ==- C. 3,1a b =-= D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（ ） A. 300 B. 200 C. 100 D. 0 7．设函数()f x 可导，且0 lim ()1x f x →'=，则(0)f （ ） A. 是()f x 的极大值 B. 是()f x 的极小值 C. 不是()f x 的极值 D. 不一定是()f x 的极值 8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（ ） A. 11 2 2 1 ()2()f x dx f x dx -=? ? B. 131()0f x dx -=? C. 0+∞-∞ =? D. 11 221 0()2()f x dx f x dx -=? ? 《高等数学B(经管类)》课程教学大纲(Advanced Mathematics B（Economics and Management）) 课程编号：161990172 学 分：10 学 时：160 （其中：讲课学时：160 实验学时：0 上机学时：0 ） 先修课程：无 后续课程：线性代数、概率论与数理统计 适用专业：经管类专业本科生 开课部门：理学院 一、课程的性质与目标 本课程属于经管类公共基础必修课。本课程的任务是使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，以及在经济管理中的一些简单应用，为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生思维能力、推理能力、自学能力、解决问题的能力。 二、课程的主要内容及基本要求 第1章 函数 （4学时） [知 识 点] 集合、 函数的基本性质、复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、函数关系的建立、经济学中的常用函数 [重 点] 函数概念，基本初等函数；经济学中的常用函数 [难 点] 建立函数关系 [基本要求] 1、识 记：函数的基本性质；复合函数、反函数的概念及其运算； 2、领 会：基本初等函数的类型，理解初等函数的概念； 3、简单应用：简单问题中函数关系的建立； 4、综合应用：经济学中的常用函数关系的建立 [考核要求] 回顾中学相关知识，介绍有关函数的新知识，为后续学习打下基础第2章 极限与连续（18学时） [知 识 点] 数列的极限、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则、两个重要极限、连续复利、无穷小的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 [重 点] 极限运算法则，求极限的方法，无穷小的比较、函数的连续性 [难 点] 求极限的方法；函数的间断点的判定 [基本要求] 1、识 记：数列极限的定义和性质；函数极限的定义和性质；无 穷小的定义、性质及其与无穷大的关系；函数连续性、间断点的概念；闭区间上连续函数的性质 2、领 会：理解极限运算法则，掌握求极限的方法；理解极限存在准则，掌握两个重要极限，；掌握等价无穷小及其在求极限中的应用方法； 3、简单应用：等价无穷小及其在求极限中的应用； 习题1-1 1、（1）[)(]1001-,11-,0-1x -10x 122，，定义域为即得，由得由 ∴≤≤≥≠x x x （2）,1,011 122-,0-4-422>>--≤≤≥x x x x x x 即得，由即得由 (]21，定义域为∴ （3）[]31-31-,12 11-21arcsin ，定义域为，即得由∴≤≤≤-≤-x x x （4）()(]300-01arctan 30-3-3，，定义域为，得，由，即得由 ∞∴≠≤≥x x x x x （5）110111 30-3)3lg(>-<>--<>-x x x x x x x 或，即得，由，即得由 ()()311--，，定义域为 ∞∴ （6）()4141,01601)16(log 221，定义域为， 得且得由∴<<>->---x x x x x 2、（1）0lg 2)(0lg )(2>=≠=x x x g x x x f 的定义域为，的定义域为不同， （2）0)(2≥=∈=x x y R x x y 的定义域为，的定义域为不同， （3）相同 （4）函数表达式不同与不同，x y x x y cos 2cos 22cos 1==+= 3、0)2(2 2)4sin()4(224sin )4(216sin )6(=-=-=-====?ππ?ππ?ππ?，，， 4、（1），则，且，内任取两点，在2121)1(x x x x <-∞ ()内是单调增加的。，在所以，即，故又因为，内任意两点，所以，是，因为)1(1)() ()(0)()(00 1011-) 1)(1(11)()(21212121212121221121-∞-=<<-<->->-∞---=---=-x x x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f x f （2），则，且，内任取两点，在2121)0(x x x x <∞+ 内是单调增加的在所以，即故，，，所以因为),0(ln 2)() ()(0)()(0ln 10-ln )(2)ln 2(ln 2)()(21212 12121212121221121+∞+=<<-<<<<+-=+-+=-x x x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f 习题1-6 1(1)错.无穷小是趋向于0，非常小是趋向于负无穷 (2)对 (3)对 (4)错.，趋向于无穷大，则，设x x g x f x x g x x f ===)() (1)(1)(2 (5)错.，趋向于无穷小，则，设0)()()()(=+-==x g x f x x g x x f 2(1)无穷小 (2)无穷小 (3)无穷大 3，所以对任意给定的0,0-1 sin >≤εx x x 时为无穷小为，即故时，就有则当，，要取要使01sin 01sin lim 0-1sin 00-1sin 0→==<<<=<→x x x y x x x x x x x x εδεδε 4(1)3)23(lim 23lim =+=+∞→∞→x x x x x (2)2)2(lim 24lim 02 0=+=--→→x x x x x (3)∞→→→→x x x x cos -110cos -11cos 0，，时，当 5存在极限，1lim lim 0 /1==∞→∞→e e x x x 不存在极限，+∞==∞ →→e e x x x 0/10lim lim 6是有界函数，则假设x x y cos = ()，所以函数不是无穷大此时的情况，时，存在当内无界， 在故函数所以假设不成立， ，，使得显然不存在，00cos -cos cos cos ==∞→∞+∞=≤≤∴≤≤y x x x x y M x M M x x x x M x x 7是有界量，时，)(0x g x x → 是无穷大 即，则，时，恒有使得当，内无限增大，则存在在假设是无穷大，时，时，恒有使得当，内有界，则存在在假设)()(0)()(.)(000)()(.)(000)(222202*********x g x f M M x g x f M x f x x M x x x g x f x x M x g x x M x x x g ±=±≥±≥<-<><-<→≤<-<><-<δδδδ 8，内无限增大，则存在在假设’00)(0><- 一． 一． 单项选择题（每小题3分,共45分） 1．若级数∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n au ()0≠a （① ） ① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散 ③ a ＞0时收敛，a ＜0 发散 ④a ＞0时收敛，a ＜0 时发散。 2．级数∑∞ =1n n u 收敛的充要条件是（ ③ ） ①0lim =∞→u n n ② 11lim r u u n n n =+∞ → ③ s n n lim ∞→存在 ④ n u n 2 1 ≤ 3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ ) ① ∑∞ =13s i n n n π ② ∑∞ =1 3 2sin n n n ③ ∑∞ =1 2 1a r c t a n n n ④ () +++-+--+n n n 13423111 4. 0lim =∞→u n n ,则级数∑∞ =1 n n u ( ③ ) ① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛 5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① ∑ ∞ =13 1 n n ② ++++16 1 814121 ③ +++3001.0001.0001.0 ④ -+-+-535353535 4 3 2 53 6.下列级数中收敛的是( ④ ) ① ∑ ∞ =+1 1 21 n n ② ∑∞ =+1 13n n n ③ ∑ ∞ =1 100 n q ④ ∑∞=-1 ` 13 2n n n 7. 下列级数中,收敛的是(① ) ① ∑∞ =-1521n n ② ∑∞=11 s i n n n ③ ∑∞=11s i n n n ④ ∑?? ? ??∞ =1 35n n 8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ① ∑∞ =1 2sin n n π ② () n n n 1 1 1 1∑-∞=- ③ ∑??? ??∞ =1 43n n ④ ∑?? ? ??∞ =1 3 1n n 9.级数∑ ∞ =+1 1 1 n p n 发散,则有( ① ) ① p ≤0 ② p ＞0 ③p ≤1 ④ p ＜1 10. 级数∑∞ =1 n n u 收敛(u n ＞0)则下列级数中收敛的是( ③ ) ①)1001 (∑∞=+n n u ② )1001 (∑∞=-n n u ③∑∞ =1 100n n u ④∑ ∞ =++11100 n n n u u 11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①() ∑-∞=+1 1 1n n n n ② () n n n 11 1∑-∞= ③ () n n n 2 1 1 1∑-∞= ④() () 11 1 1+∑-∞=n n n n 12. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①∑ ∞ =+11 21 n n ② ()?? ? ??∑-∞ =2311n n n ③ ()n n n 3 1 1 1 1∑-∞ =- ④()n n n n `11 1-∑-∞ = 13. 级数x n n n n ∑∞ =+12 2的收敛半径R 是( ③ ) ① 1 ② 2 ③ 2 1 ④ ∞ 14. 级数x n n n n ∑∞ =+13 3的收敛半径R 是( ③ ) 习题7-1 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2， -3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1235y x z + +=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 习题1-5 1、不是。 11)()(11)()(1)()(，存在极限 始终等于则，，则，假设x g x f n n x g x f n x g n x f =?=?== 2、，即欲使001 .04<-y 0.00020002.05 001.02001.025224422,001.04422==<-∴<-<+-=-→+∴→<-=-ε，即即， x x x x x x x x y 3、11 12+=--=x x x y 0.55.012-12=∴<-=+=-ε， x x y 4、（1），，要使，所以，对任意给定的εε<-+>=-+3 23320132332x x x x x 32332lim 3 233210=+<-+<< =+∞→x x x x x x 故时，就有，则当只要取εδεδ （2），，要使 ，所以，对任意给定的εε<->≤-0sin 01 0sin x x x x x 0sin lim 0sin 1 0=<-<<=+∞→x x x x x x 故时，就有，则当只要取ε δεδ （3），，要使，所以，对任意给定的εε<-->--=--11 10111111x x x 11 1lim 11 11110=-<--<-- <=+∞→x x x x 故时，就有，则当只要取εδεδ （4），，要使，所以，对任意给定的εε<--->-=---21011212222x x x x x x x 2 1lim 211102222=--<---<-<=+∞→x x x x x x x x 故时，就有，则当只要取εδεδ 5、极限不存在 不存在二者不相等，故，而且，且，则，取’’’’’x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n n 0x n n n n n n lim -1.n 1-n 1-lim lim 1n 1n 1lim lim 00lim 00lim }n 1{-}{}n 1{}{→∞→∞→∞→∞→∞ →∞→====≠=≠=== 6、a x f x x =→)(lim 0 假设 有界，即有时，，属于，当任意则有：存在， ，再取，，的某个领域属于即为而即，时，有，使当存在， 的正数根据定义，对任意给定)()()(0}max{)(. )()(000000x f M x f x U x a a M x U x x x x a x f a a x f x x <>+-=<-+<<-<-<->δδεεδδεεεδδε 北京化工大学2009——2010学年第二学期 《高等数学》(经管类)期末考试试卷 班级: 姓名: 学号: 分数: 一、填空题(3分×6=18分) 1. 40 d x e x +∞-=? 。 2.已知点(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2)A B C 则BAC ∠= 。 3.交换二次积分次序:1 10 2d (.)d y y f x y x -?? = 。 4.已知级数 12n n n x n ∞ =?∑,其收敛半径R= 。 5. 已知二阶线性常系数齐次常微分方程的特征根为12-和则此常微分方程是 。 6. 差分方程1230x x y y ++=的通解为 。 二、解答题(6分×7=42分) 1. 求由0,,sin ,cos x x y x y x π==== 所围平面图形的面积。 2. 求过点(2,0,3) -且与两平面2470,35210 x y z x y z -+-=+-+=平行的直线方程。 3. 求 x y → → 4. 设可微函数(,)z z x y =由函数方程 22()x z y f x z +=- 确定,其中f 有连续导数,求z x ??。 5. 设 2 2 (,),z f xy x y f =具有二阶连续偏导数,求 22 , z z x x ????。 7. 求函数 3322(,)339f x y x y x y x =-++- 的极值。 三、解答题(6分×5=30分) 1. 判断级数 2 21sin 2 n n n nx ∞ =∑ 的敛散性。 2. 将2()2 x f x x x = --展开成x 的幂级数,并写出展开式的成立区间。微积分(经管类复习题)
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k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；
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