当前位置：文档库 › 1.5,1.6函数及其表示教案1

1.5,1.6函数及其表示教案1

函数及其表示

（一）知识梳理

1．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则

注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。注意：

（1）① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；

②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（2）构成函数的三要素是什么？

定义域、对应关系和值域（3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示．

（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？

通过三个已知的函数：y =ax +b (a ≠0) y =ax 2+b x +c (a ≠0)

y =

(k ≠0) 比较描述性定义和集合与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

例题分析：例1 已知函数f (x ) =

3+x +

1+x （1）求函数的定义域；（2）求f （－3），f (

)的值；（3）当a ＞0时，求f （a ）,f (a －1)的值.

例2 设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.

●几类函数的定义域：

（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. 例3 求下列函数的定义域

① 1()||

f x x x =

-② 1

()11f x x

=+ ③ f (x ) =

1+x +

x -21 ④ f (x ) = 2

++x x

⑤ ()131f x x x =-++-

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±．

例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个

例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x

x x f =

)(，??

?<-≥=;

,01)(x x x g

（3）x

x f =)(1+x ，x x x g +=

2)(；

（4）12)(2

--=x x x f ，12)(2

--=t t t g

（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *

）；

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（）

A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x -

例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f (x)＞2x ＋5. ．

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 例2.已知(

)

()11,f x x f x +=-=则_____________。

题型3：求抽象函数解析式

例1．已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1

(2)(=+，求)(x f

例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.函数()21

f x x x =-+

-的定义域为（）

A ．[)(]22+∞-∞-，，

B ．[)

()2,33+∞，

C ．(]

[)()22,33-∞-+∞，，

D ．(]2-∞-，

例2、函数x

x x x f -+=

0)1()(的定义域是（）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域

例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________

考点5：求函数的值域

1．求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，例1、322

+--=x x y

例2、2

285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x

（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2

+-+=

x x x y 的值域例3、1

222

2+-+-=x x x x y 例4、112++-=x x x y

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数例5、x x y 21-+

= 例6、13432)(-+-=x x x f

（4）分段函数分别求函数值域，例7、53-++=x x y

例8、函数2

22(03)

()6(20)

x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（）

A ．R

B ．[)9,-+∞

C ．[]8,1-

D ．[]9,1- （5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数32

x y x +=

-的值域

例9、1

122

+-=x x y

例10、设函数111y x

+的定义域为M ，值域为N ，那么（）

()A {0},{0}M x x N y y =≠=≠ ()B {0},{}M x x N y y R =≠=∈

()C {01,0}M x x x x =<≠->且或，{0011}N y y y y =<<<>或或

()D {1100}M x x x x =<--<<>或或， {0}N y y =≠

课后练习一（函数的概念）：

1、判断下列对应:f A B →是否是从集合Ａ到集合Ｂ的函数：

（１）{}

,0,:,:;A R B x R x f x x f A B ==∈>→→ （２）*,,:1,:.A N B N f x x f A B ==→-→

（３）{}

0,,:,:.A x R x B R f x x f A B =∈>=→→

2、已知函数()()()3,10,

,85,10,x x f x x N f f f x x -≥??=∈=?

??其中则（）

Ａ．２

Ｂ．４

Ｃ．６

Ｄ．７

3、已知，则()(){}

2,0,,0,30,0.x x f x x f f f x π?>?

==-??????

那么的值等于

（）

Ａ．０

Ｂ．π

Ｃ．2

Ｄ．９

4、已知函数()11x

f x x

+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =????的定义域为Ｂ，则

（）Ａ．A

B B =

Ｂ．A B 豣

Ｃ．A B =

Ｄ．A B B =

5、已知函数()()()5

8,210,2f x x ax bx f f =+++-=且那么等于

（）

Ａ．-18

Ｂ．６

Ｃ．-10

Ｄ．１０

6、若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（）

Ａ．[]1,1-

Ｂ．1,12??????

Ｃ．13,22

??????

Ｄ．10,2

??????

7、函数1y x x =++的值域为_____________________.

8、已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217,f x f x x +--=+求()f x ．

9、设函数()f x 的定义域为Ｒ，且对,,x y R ∈恒有()()(),

x y f x f y

=+若()()83,2f f

==则

（）Ａ．1

Ｂ．１

Ｃ．

Ｄ．

10．对于定义在Ｒ上的函数()f x ，如果存在实数0,x 使()00,f x x =那么0x 叫做函数()f x 的一个不动点．已知函数()221f x x ax =++不存在不动点，那么a 的取值范围的

（）

Ａ．13,22??

???

Ｂ．31,22??

???

Ｃ．()1,1-

Ｄ．()(),11,-∞-+∞

11．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝________ 12．函数()312f x ax a =+-在()1,1-存在0x ，使()00f x =，则a 的取值范围是（）

Ａ．11,5?

?- ???

Ｂ．1,5??+∞ ???

Ｃ．()

1,1,5??-∞-+∞ ???

Ｄ．(),1-∞-

13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v （公里／

小时）的平方与车身长s （米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d 关于v 的函数关系式（其中s 为常数）．

课后练习二（函数的表示）：一、选择题

1、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（）

A 、{}{}1,0,1,1,0,1,A

B f =-=-：A 中的数平方； B 、{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方；

C 、,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数；

D 、,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值；

2、设集合A=R ，集合B=R ＋

，则从集合A 到集合B 的映射只可能是（）

A 、x y x f =→:

B 、 x y x f =

→:

C 、 x y x f -=→3:

D 、)1(log :2x y x f +=→

3、已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5，6}，映射B A f →:，且满足1的象是4，则这样的映射有（）

A 2个

B 4个

C 8个

D 9个

4、设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是（）

A 、2:x y x f =→

B 、23:-=→x y x f

C 、4:+-=→x y x f

D 、24:x y x f -=→

5、函数y ＝ax 2＋a 与y ＝

（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

6、直角梯形OABC 中AB ∥OC 、AB=1、OC=BC=2，

直线t x l =:截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数S=)(t f 的图像大致为（） A B

D 7、若)(x f 的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为（）

A 、[0，1]

B 、[2，3]

C 、[－2，－1]

D 、无法确定

二、填空题

8、给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点1

1(,)66

-的原象是__________________。

9、设函数3,(10)

()((5)),(10)x x f x f f x x -≥?=?

，则(5)f ＝_______________________。

10、将二次函数2

2y x =-的顶点移到(3,2)-后，得到的函数的解析式为_____________。 11、12)(2++=x x x f ，]2,2[-∈x 的最大值是

12、若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _________________。三、解答题

13、画出下列函数的图象、

（1）22

-=x y ，x ∈Z 且｜x ｜≤2；（2）x x y 322+-=，x ∈（0，2］；（3）y ＝x ｜2－x ｜；

（4）??

??≥≤．

－，＜－－，＜－＝2322323x x x

x y

y O

2 1

C B

t S O

t S

O t S

2 1

1 3

2 1 2 1

1 2

14、已知(,)x y 在映射f 的作用下的像是(,)x y xy +，求(2,3)-在f 作用下的像和(2,3)-在f

作用下的原像。

15、对于二次函数2483y x x =-+-，

（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；

（2）画出它的图像，并说明其图像由24y x =-的图像经过怎样平移得来；（3）求函数的最大值或最小值；