奇偶性例2后
小林镇第一中学理想课堂导学案用纸
专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.
函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等， 判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称； ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3+= （2）2 432)(x x x f += （3）1)(2 3--=x x x x f （4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x =+. 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论.
(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；
函数奇偶性与单调性的综合应用--专题.
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；
3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . 【典型例题】
函数奇偶性与单调性
一、函数的奇偶性 奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数； ()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数. 性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言; (2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分) (3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分) (4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数?()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数?函数()f x 图像关于原点对称； 函数()f x 是偶函数?函数()f x 图像关于y 轴对称. (6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有:
(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数?偶次项系数全为0； 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数?奇次项系数全为0. 二、函数的单调性 单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间. 性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式： ① ()() ()121200f x f x x x ->?>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x -->
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1
高中数学函数奇偶性专题复习
【函数的奇偶性】专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ； （7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+； （9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集） ： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????=±????两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。
奇偶性奥数专题
奇偶性奥数专题 关于奇偶性奥数专题 1、已知a、b、c有一个为5，有一个为6，有一个为7，那么：（a-1）（b-2）（c-3）的积是奇数还是偶数？ 2、在黑板上记上数1，2，3，4，……,1994。允许擦去任意的2个数，且写上他们的和或者差，重复下去，直到黑板上仅留下1个 数为止。这个数可能为0吗？ 3、有7只正立的茶杯，要求全部口翻过来。规定每次翻动其中 6只。试问此事能否办成？若茶杯是10只，每次只翻动7只，又能 否把正立的茶杯全部翻过来？ 4、能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的 最大数都等于组内其余各数的和？ 6、在一次同学聚会中，大家见面彼此握手问候，那么握手次数 是奇数的同学人数是奇数还是偶数？ 7、50盏红灯拍成一排，按顺序分别编上号码，1，2，3，4，，，，49，50。每盏灯按一下就会变成绿灯，再按一下，就会变 成红灯。有50个人，第一个人走过来把凡是号码为1的倍数的按钮 按一下，第二个人走过来把凡是号码为2的倍数的按钮按一下，第 三个人走过来把凡是号码为3的倍数的按钮按一下，这样继续下去，当第50个人走过来把号码为50的倍数的按钮按一下，问最后哪几 盏灯是绿灯？ 8.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？ 9.有6张扑克牌，画面都向上，小明每次翻转其中的5张。那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？ 10.博物馆有并列的5间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……，走到第五间后往回走，走到第四
间，再走到第三间……，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 专题34 数列中的奇偶性问题 一、题型选讲 题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题 含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论. 例1、(2015扬州期末)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1 2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________． 答案：[2,3] 思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n －4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有??? ?－1 2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1 2n 1－??? ?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23????1－ ????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又 1S n －4n ≤p ≤3 S n －4n ,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的 是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2 3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∈????23，1＝????12，1内的所有值． 例2、(2019苏州三市、苏北四市二调)已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n } 的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n∈N *. (1) 求a 1,a 2的值； (2) 证明：数列{a n }是等比数列； (3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值． 思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0,令n ＝1,2得到方程,解得a 1,a 2的值． (2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中,对n 赋值作差,消去T n,再对n 赋值作差,消去S n ,从而得到a n ＋1＝－1 2a n ,证得数列{a n }是等比数列． (3)先求出a n ＝????－1 2n －1,由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立,确定λ＝0适合,再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立． 规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n∈N * . 令n ＝1,得3a 21－4a 1＋a 21＝0,因为a 1≠0,所以a 1＝1. 有关函数单调性、奇偶性的综合应用 函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．作为函数的两个最重要的性质，我们往往将二者结合起来研究．本文将针对这一方面的综合应用举例说明． 例1 已知()y f x =是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，试问1()() F x f x =在(,0)-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【分析】根据函数的单调性的定义，可以设210x x x ?=-<，进而判断21()()Y F x F x ?=-2111()()f x f x =-=1212()()()() f x f x f x f x -的正负号． 【解析】任取12(,0)x x ∈-∞、，且210x x x ?=-< ，则有21()()0x x x -?=--->． ()y f x =在(0,)+∞上是增函数，且()0f x < ， ∴ 12()()0f x f x ---<， 又()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=- 所以12()()0f x f x ->． 于是21()()Y F x F x ?=-2111()()f x f x =-=1212()()()() f x f x f x f x -0>， ∴1()() F x f x =在(,0)-∞上是减函数． 【评析】本题最容易发生的错误是一开始就在(0,)+∞内任取21x x <，展开证明，这样就不能保证12,x x --在(,0)-∞内的任意性而导致错误． 例2 已知函数()y f x =，(1,1)x ∈-，即是偶函数又是减函数，解不等式(1)(23)0f x f x -+-<． 【解析】先求(1)(23)f x f x -+-的定义域： —函数的单调性和奇偶性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ （五）函数的单调性、奇偶性与周期性 （一）知识归纳 ▲函数的单调性 1．单调性概念 如果函数y= f (x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x，当x 函数单调性和奇偶性综合 ? 教学重点、难点：函数奇偶性、单调性的综合应用． ? 教学过程： 一、复习提问 1．奇偶函数的定义及奇偶函数的图象特征． 2． 练习：已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题： （1）()0f x =； （2）若 ()f x 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则()f x 在)(0,∞-上有最大值1； （3）若 ()f x 在 [1, )∞+上为增函数，则()f x 在](1,-∞-上为减函数． 其中正确的序号是： ① ② 二、新课讲解 例1．已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数． 证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数． ∴12()()f x f x ->-,又()f x 在R 上是奇函数． ∴12()()f x f x ->-,即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数． 说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！ 例2．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2 ()231f x x x =-++，求()f x 的解析式． 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--， 又0x ->，由已知有22()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()0 02310x x x f x x x x x ?-++>?==??+--?-<-?解之得112m -≤<． 例4：（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性； （2）函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性． 解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x += ① 令①式中x 为1x 得：112()()f f x x x += ② 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 1)f(x)在[5，10]上单增，； 2)； (2)画出草图 1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2). 举一反三： 【变式1】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 解：(1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1，3]时f(x)的值域为. 5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 . 举一反三： 【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________. 解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）. 类型四、判断函数的奇偶性 函数单调性和奇偶性 一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分) 1．命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．sin y x = B ．sin y x x = C ．21x y = D ．x x y 212- = 3．下列函数中，在其定义域是增函数而且又是奇函数的是（ ） A ．2x y = B ．2x y = C ．22x x y -=- D ．22x x y -=+ 4．下列函数中，不是偶函数的是（ ） A ．24y x =+ B ．tan y x = C ．cos 2y x = D ．33x x y -=- 5．（2015秋?校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（ ） A ．y=﹣ B ．y=sinx C ．y=x D ．y=ln|x| 6．如图，给出了偶函数()y f x =的局部图象，那么()1f 与()3f 的大小关系正确的是 ( ) A wxc.833200./.()()13f f ≥ B wxc.833200./.()()13f f ≤ C wxc.833200./.()()13f f > D wxc.833200./.()()13f f < 7．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数专题34 数列中的奇偶性问题(解析版)
函数奇偶性与单调性
函数的单调性和奇偶性练习题
五函数的单调性奇偶性与周期性
函数单调性和奇偶性综合
《函数的单调性和奇偶性》经典例题解析
函数单调性和奇偶性练习题