三阶行列式

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

33

21

12

32

23

11

31

22

13

32

21

13

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

-

-

-

+

+

=

称为三阶行列式.

事实上行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，所以对于

二阶行列式和三阶行列式计算公式可以用对角展开来记，如图2.8，

其中实线连接的无素乘积前用负号.

三阶行列式的计算也可以用降阶的方法来计算；

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

32

31

22

21

13

33

31

23

21

12

33

32

23

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

+

-

=

利用三阶行列式，我们可以把向量积写成行列式形式，如果

)

(a

a

a

a z

y

x

，

，

=，)

(a

a

a

b z

y

x

，

，

=，则

b

b

b

a

a

a

z

y

x

z

y

x

k

j

i

b

a=

?

在上述行列式中，将i，j，k看成是一般的参数，按行列式计算方法

计算即可.直接计算（或者通过4.2节的行列式性质4.2.1，性质4.2.2，

可以得到向量积的如下性质：

性质4.2.3 设a ，b ，c ，是空间的任意向量，λ是实数，则

c ；

b c a c b a ；b a b a b a a ；

b b a i j k i k k ，，j i ?+?=?+?=?=??-=?=?=?=?)()

4()()()()3()2()1(λλλ；，

例2.2.11 设)123()211(--=-=，，，，，b a ，求同时垂直于a ，b 的单位量. 解 由向量积的定义知

k j i k

j i

b a ++=--=?531

2

3

211

同时垂直于a ，b ，所以35

1)

(0

=

?b a (3,5,1)就是要求的单位向量.

例2.2.12 已知△ABC 的顶点A （1，2，3），B （3，4，5，），C （2，4，7，），求△ABC 的面积和角A 的正弦.

解

.2641

23

211

),

4,2,1(222k j i k

j i

AC ），，，（AB +-=--=?==

S △ABC

=

,142

1

=

.3

2sin sin =

>=?<=A 例2.2.13 证明恒等式.)·()·

()(a c b b c a c b a -=??

证明 设，

，，，，，，，，)()()(321321321c c c b b b a a a a b b ===则 ),,,)(2

3

2

2

2

3

1

3

1

1

1

3

3

3

2

3

2

3

1

2

1

1

1

2

3

3

1

3

1

3

2

1

1

2

1

2

(c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a

c b a +-+--++--+-=??).

()(),()(),

()((.)·()·(3

3

2

2

1

1

3

3

3

2

2

1

1

3

3

3

2

2

1

1

2

3

3

2

2

1

1

2

3

3

2

2

1

1

1

3

3

2

2

1

1

1

c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b a c b b c a ++++-++-+++-++=- 所以.)·()·()(a c b b c a c b a -=??

注意：上面的公式通常称为二重向量积展开式，我们也可以不用向量的坐标，而直接用向量的积来证明（请看补充题2.2）.从这个公式可以看出，向量积不满足结合律，就是说，一般

).()(c b a c b a ??≠??

向量的混合积 定义 2.2.14 设

a

a a 3

2

1

，，为三个向量，定义混合积

[a a a 321，，]=)21(a a ?·a 3.

如果),,,1111(z y x a =),,,2222(z y x a =),,,3333(z y x a =则可以得到

（2）零向量0的公解式是唯一的；

（3）把,,21v v …，v r 任意公成两组,,2v v i il …，v jt 与,,2v v j jl v jt （s+t=r ）,则有

（++v v i il 2…v is ） （++v v i il 2…v jt ）={0}；

（4）设v i 的一个基为},,,{ααij il ?（1≤i ≤r ）,则 是v v v r +?+21的一个基；

（5）.dim dim dim )dim(2121v v v v v v r r +?+=+?+

这个定理的证明与r=2的情形基本一样，这里就不再重复了.

习题6.5

习题6.5.1 设M （R ）是全体实函数所成的实数域上的线性空间，W 1是全体偶函数所成的子集，W 2是全体厅函数所成的子集，证明：

W 1与W 2是M （R ）的子空间，且M （R ）= W 1 ○

+W 2. 习题 6.5.2 设W 1与W 2分别是齐次线性方程组021=?++x x x n 与

x x x n =?==21的解空间.证明R n

= W 1 ○

+W 2,这里R 是实数域. 习题6.5.3 如果v v v 21⊕=，而v v v 12111⊕=，证明：v v v v 21211⊕⊕=. 习题6.5.4 试用几何空间的例子来说明：若U ，V ，Y 是子空间，且

满足条件U ○

+V=X ，X U ?，是否必有?)()(V Y U Y Y ⊕= 6.6 线性空间的同构

定义6.6.1 数域F 上两个线性空间V 与V '称为同构，如果存在

一个由V 到V /

的又射W V ?→?

:?，它具有性质： （1）;,),()()(V ∈?+=+βαβ?α?βα? （2）F k V k ∈∈?=,),()(αακαα?.

这样的映射?称为线性空间V 与V '的同构映射，记作V V '?. 由定义可以看出同构映射有如下性质：

);

()()()(2);

()(,0)0(122112211α?α?α?ααα????r r r r k k k k k k a a +?++=+?++-=-=、、

3、V 中向量α1，ααr ，，?2线性相关的充分必在条件是V '中的对应量

)()()(21ααα???r ，，，?线性相关；

4、如果?是线性空间V 到线性空间V '的同构映射，则

V V '=dim dim ；

5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射. 这5条很容易证明的，作为习题留给读者自己来做.

定理6.6.2 数域F 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.

证明 必要性上面已有，现证充分性。

设},,{21a a a n B ?=是线性空间V 的一个基，},,{21'

?'

'

='a a a n B 是线性空间V '的一个基，下面我们就来找一个V 到V '的同映射. 我们取V 到V '的这们一个映射：使关于基B 与B '有相同坐标的向量相对应，即

αααααααα?'''+?++='→+?++=n n n n x x x x x x 22112221:， ?为双射是显然的.我们来证明?具有定义6.6.1中所述性质.

任取V ∈βα,，且设

αα

ααααβαn

n n n x y y x x x +?++=

+?++=2

2

1

1

2211

则

α

α

α

βαn

n

n y x y x y x )()()(2

2

21

1

1+

+?++

++

=+

按?的定义，

同样可证)()(α?α?k k =，故?是同构映射，即V 到V '同构. 在线性空间的抽象讨论中，同构的线性空间都有相同的代数性质，因而对于同构的线性空间没有必在再加以区别，我们可以把同构的线性空间看作是同一个空间.因此，定理6.6.2说明了，维数是有限维线性空间唯一的本质特征.

特别，每一个数域F 上n 维线性空间都与F n 同构，而同构的空间有相同的性质，所以，我们以前所得到的关于有序n 元数组的向量空间的一些结果，在一般的线性空间中也是成立的，而不必一一重新证明.

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1）3 81141 1 02---； （2）b a c a c b c b a （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x + ++. 解 注意看过程解答（1） =---3 811411 2 811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2）=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n ； （6）1 3 …)12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

线性代数习题参考答案

第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

利用对角线法则计算下列三阶行列式

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644

(2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acbbaccbabbbaaaccc 3abca 3b 3?c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2?ac 2ba 2cb 2 (ab )(bc )(ca ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (xy )yyx (xy )(xy )yxy 3(xy )3x 3 3xy (xy )y 33x 2 yx 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4

解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

三阶行列式

教学内容 【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开 ②按某一行(或列)展开法 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11 a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32 3122 21a a a a 记 32 2211a a M = 33 23a a ，111111)1(M A +-=；31 2112a a M = 33 23a a ， =12A 1221)1(M +-；31 2113a a M = 32 22a a ， 133113)1(M A +-= 。 称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式， j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。 则三阶行列式就可以写成D =33 32 31 232221 13 1211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++, 2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ?三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，则1 1223 3 11121ABC x y S x y x y ?= A 、 B 、 C 三点共线的充分必要条件为1 12 2331 101 x y x y x y = 【例题精讲】

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

三阶行列式

9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计

一、情景引入 1．观察 (1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321=?-? 02 013(2)31-=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？

1利用对角线法则计算下列三阶行列式

第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）2 22111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3 333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 2 22222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个

二阶三阶行列式

精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 二阶三阶行列式 教学目的 1、掌握行列式及算法有关的概念；掌握行列式的初等变换;理解行列式的意义； 2、掌握二阶行列式展开的对角线法则。 教学内容 【知识梳理】 1、掌握行列式展开的对角线法则：11 122122 b b a a b a b a =- 2、二元一次方程组：111222 , a x b y c a x b y c +=??+=?，其中x,y 为未知数，方程组系数不全为0 系数行列式11 22 b b a D a =；11 22 b b x c D c =；1122 c c y a D a = （1）当0D ≠时，方程有唯一解x y D x D D y D ?=????=?? （2）当0D =，0x y D D ==时，方程组有无穷多解； （3）当0D =，,x y D D 中至少有一个不为零，方程组无解. 3、掌握三阶行列式展开的对角线法则，以及按某一行（列）展开的方法； 【典型例题分析】 【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - （3）432101421--

巩固练习1.计算 a b b a log 21log =__________________ 2． y x y x y x y x sin sin cos cos cos cos sin sin +-+- 3．将函数 3sin ()1cos x f x x = 的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数， 则a 的最小值为___________ 【例2】不解方程，判断下列方程组解的情况 （1）?? ?=-=+1232y x y x （2）???=+=+5918324y x y x 巩固练习：1. 用行列式法求解下列方程组： （1）???=-=+1232y x y x （2）???=-+-=-0 9218.05.1y x y x

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

(整理)二阶与三阶行列式.

9.3（1）二阶行列式—--导学案 供稿人—赵艳波 学习目标： 1.了解行列式产生的背景； 2.经历引入二阶行列式的过程； 3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组． 学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组 学习过程 一 知识链接： 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中 一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念． 德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ b a ”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． 二 新知导学： 1．二阶行列式的引入 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解： ??? ? ?? ?--=--=1221122 112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 21b b 1221b a b a -=． 2.行列式的相关概念： 行列式 二阶行列式 行列式的展开式 行列式的值 行列式的元素 对角线法则 = D 2 1a a 2 1b b ，= x D 2 1c c 2 1b b ，= y D 2 1a a 2 1c c ，则当=D 21a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，

3阶行列式计算方法-三对角行列式计算方法

2017年9月13日15:53:58 由于本人最近在学习线性代数，刚学，很多东西不懂。于是边学边总结经验。 三阶行列式比二阶行列式计算难一些。于是总结计算方法如下。 二阶行列式 要计算三阶行列式的前提条件是，你要会计算二阶行列式 如下就是一个二阶行列式 222112 11a a a a 二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a 11a 22)减去副对角线乘积(a 12a 21). 222112 11a a a a =a 11a 22-a 12a 21 会了二阶行列式之后，你会发现二阶行列式其实不难。但是三阶行列式其实跟二阶行列式相比，难度就不在一个等级。我通过看书自学，发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一：对角线 只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐 3332 312322 211312 11a a a a a a a a a 这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。方法如下 a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 – a 13a 22a 31 – a 12a 21a 33 – a 11a 23a 32 例题 2 131323 21=1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 理解对角线的关键在哪里呢？？？ 这里也是我做这个文档的原因。因为我发现很多教材包括我看到的，都是让你圈让你找。。。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位移。 当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的悟性。看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你，因为所有的东西都涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说a 12a 21a 33的时候，你可以通过对角线找到a 12a 21但是你怎么确定a 31的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二：转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单，非常容易计算，虽然我们有了方法一可以解决大部分问题，但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题，我们用更简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半功倍。

线性代数第三章习题解

线性代数第三章习题解 1. 计算下列行列式: 1) 4 321; 2) 2 2b b a a ; 3) 7 04 0- 解: 1) 26432414 321-=-=?-?=; 2) )(222 2a b ab b a ab b b a a -=-=; 3) 0)4(0707 40=-?-?=-. 2. 计算下列三阶行列式: 1) 241130 4 21--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b c b a 解: 1) 将行列式按第一列展开 2) 将行列式按第二行展开 3) 3. 计算下列行列式: 1) 0 00 0000005 5 4433 2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x y y x y x y x D n 0 0000 000 00 =; 3) f e d c b a 00000000 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得 3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得 4. 利用行列式的性质计算下列行列式

1) 2 60 5 232112131412 -; 2) ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 3) 2 2 2 2 2222 2 2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 解: 下面都将所求行列式的值设为D . 1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得 再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得 5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值 1) 1 5 2 3 21353140422 -----; 2) 2 1 6 4 72954 1732152----- 解: 1) 2) 6. 计算下列n 阶行列式 1) 12125 4 3 1432321-n n n 2) a b b b a b a 解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为 )1(2 1 321+= ++++n n n , 将此公因式提出, 因此有 再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得 2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n n b a D 1 )1(+-+= 7. 证明下列行列式 1) ))()((1 11 a c c b b a ab ca bc c b a ---=

三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ a3 b3 C3 ［说明］

(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 G C 2 C 3 等等. 二、学习新课 1 .知识解析 阶行列式运算的式子，主要有: 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将三阶行列式 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 b i a 2 C 2 a 3 C 3 C i a 2 b 2 a 3 b 3 在刚才的实验中，将三阶行列式 a i b i C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 表示成了含有二个二 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b 2 C 2 b i a 2 C 2 a 2 b 2 a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b 2 C 2 bi C i b i C i a i b 3 C 3 a 2 a 3 C 3 a 3 b 2 C 2 a 2 C 2 b 2 a i C i b 3 a i C i a 3 C a 3 C 3 a 2 C 2 等等. 事实上，以 ai bi a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 bi a 2 C a 3 C 3 C i a 2 a 3 b 2 b 3 为例，先将展 开式 a i bi C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 a a b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为: C i C 2 C b i

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a

=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b)(b -c)(c -a). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y 3-(x +y)3-x 3 =3xy(x +y)-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个)

9.4.1 三阶行列式(含答案)

【课堂例题】 例1.用对角线法则计算下列行列式，并化简： (1)3 022 1 323 1 -- (2)123 4 56789 例2.求证：a d g d a g b e h e b h c f i f c i =- 例3.利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=?? -+=??++=? (选用)课堂练习 1.用对角线法则展开下列行列式，并化简： (1)1 011111 11a a -+-；(2)000 a b c d e f 2.求关于,,x y z 的方程组1 3x y mz x my z m x y z ++=?? ++=??-+=? 有唯一解的条件，在此条件下写出方程组的解.

【知识再现】 1.行列式1 11 2 223 3 3 a b c a b c a b c = . (按对角线法则展开) 2.关于,,x y z 的三元线性方程组111122223 333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?的系数行列式D = , 若记 x D = ， y D = ， z D = ， 当D 时，方程有唯一解：x = ，y = ，z = . 【基础训练】 1.把下列行列式按对角线法则展开并求值: (1)1 23 1 423 01-= = ； (2)1230 123 3 1 -= = . 2. 计算：2 01 10 =- . 3.按对角线法则展开下列行列式，并化简： (1)0 00a b b a a b = = ； (2)000x y z p q r = = . 4.已知齐次线性方程组1112223 330 00a x b y c z a x b y c z a x b y c z ++=?? ++=??++=?，若系数行列式111 2 2233 3 0a b c a b c a b c ≠， 则方程组的解是 .

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:

(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)

同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(行列式)【圣才出品】

同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题 第1章行列式 1．利用对角线法则计算下列三阶行列式： 2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1234； （2）4132； （3）3421； （4）2413； （5）13…（2n－1）24…（2n）； （6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2． 解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0； （2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3

的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4； （3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5； （4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3； （5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为 （6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为 3．写出四阶行列式中含有因子的项． 解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆 序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与 4．计算下列各行列式：

利用对角线法则计算下列三阶行列式

第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 2 0 1 (1) 1 -4 -1 ； -18 3 2 0 1 解 1 -4 -1 -18 3 =2 (-4) 3 0 (T) (-1) 1 1 8 -0 1 3-2 (T) 8T (_4) (_ 1) =-24 8 16-4 = -4 a b c ⑵b c a ■ c a b a b c 解 b c a c a b 二acb bac cba-bbb-aaa-ccc =3abc_a3_b3_c3 1 1 1 ⑶ a b c ；a b c 1 1 1 解 a b c 2 . 2 2 a b c =bc2 ca2 ab2-ac2-ba2-cb2 =(a_b)(b_c)(c_a)

x =x(x y)y yx(x y) (x y)yx-y 3-(x y)3-x 3 = 3xy(x y)-y 3-3x 2 y-x 3-y 3-x 3 一 2(x 3 y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序 ?求下列各排列的逆序 (1) 1 2 3 4 解逆序数为0 (2) 4 1 3 2 解逆序数为4 (3) 3 4 2 1 解逆序数为5 (4) 2 4 1 3 解逆序数为3 (5) 1 3 - (2n-1) 2 4 - (2n) 解逆序数为凹? : 2 3 2 (1 个) 5 2 - 5 4(2 个) 41-43-42-32 3 2- 3 1- 4 2- 4 1, 2 1 2 1 - 4 1 - 4 3

x 7 2 - 7 4 - 7 6(3 个)

(2n-1)2. (2 n-1)4. (2n-1)6?….(2 n-1)(2 n-2) (n-1 个) (6) 1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2 解逆序数为n(n-1): 3 2(1 个) 5 2- 5 4 (2 个) (2n-1)2- (2 n-1)4. (2n-1)6，(2 n-1)(2 n-2) (n-1 个) 4 2(1 个) 6 2 - 6 4(2 个) (2n )2.(2 n) 4?(2 n) 6?，(2n)(2 n-2) (n-1 个) 3 ■写出四阶行列式中含有因子ana23的项 解含因子ana23的项的一般形式为 (T)a11a23a3「a4s 其中rs是2和4构成的排列.这种排列共有两个?即24和42 所以 含因子ana23的项分别是 t 1 (T) a11a23a32a44 = (T) ana23a32a44二-ana23a32a44 (T)t ana23a34a42 = (T)2a11a23a34a42=ana23a34a42 4 ■计算下列各行列式： (1) 4 12 4