求解最优控制问题的伪谱法

变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域

D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x

变分原理及变分法

第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A

② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x

非线性系统最优控制理论综述

非线性系统最优控制理论综述 时间：2015-06-17 作者：马玲珑 摘要：非线性系统，其最优控制求解相当困难，寻求近似的最优控求解方法是当下解决这一问题的主要途径。目前，比较成熟的最优控制求解方法主要有七类，本文对这七种方法进行了详细的阐述，并对其优缺点进行了客观的对比。 论文关键词：非线性,最优控制 近年来，最优控制理论[1,2]的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统，其最优控制求解相当困难，需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题，除简单情况外[9]，这两个问题都无法得到解析解。因此，许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13]，通过近似解得到近似的最优控，即次优控制。 1、非线性最优控制理论研究成果分类 目前，较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。 1）幂级数展开法：幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律，得到序列形式的近似最优解，或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解，或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。 将上式代入HJB方程求得级数近似解，也可利用Adomian分解将非线性项进行分解，由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。 2）Galerkin逐次逼近方法：由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程，引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。 3）广义正交多项式级数展开法：其主要思想是将最优控制问题中的状态变量，控制输入，性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开，利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵 将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后，得到 ，T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题，从而避免了求解时变非线性Riccati方程。 4）有限差分和有限元方法：经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性

变分原理

变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l

优化理论课件(变分法与最优控制理论)

优化理论课件（2） 第二部分动态优化：变分法和最优控制理论 变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。 目录 一、什么是动态优化？ (3) （一）动态优化问题的基本要素 (4) （二）泛函及其相关概念 (4) （三）可变终结点 (5) （四）横截条件 (7) （五）目标泛函 (7) 二、变分法 (8) （一）基本问题：固定终结点问题 (8) （1）基本问题及其假定 (8) （2）一阶条件：欧拉方程 (8) （二）推广：多状态变量与高阶导数 (11) （1）多状态变量 (11) （2）高阶导数 (11) （三）可变端点问题 (12) （1）一般性横截条件 (12) （2）垂直终结线问题 (13) （3）水平终结线问题 (14) （4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。 (14) （5）截断的垂直终结线问题 (14) （6）截断的水平终结线问题 (14) （7）多变量和高阶导数情形 (15) （四）二阶条件（充分条件） (15) （1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (15) （2）凹凸性充分条件 (16) （3）变分 (17) （五）无限期界问题 (18) （1）收敛性 (18) （2）横截条件 (19)

（3）充分条件 (19) （六）带约束的优化问题 (19) （1）等式约束 (19) （2）不等式约束 (21) （3）积分约束（等周问题） (21) 三、最优控制理论 (22) （一）最优控制理论导论 (22) （二）最大值原理及其横截条件 (23) （1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (23) （2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (26) （3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (29) （4）推广到多变量 (29) （三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (30) （1）最大值原理的经济学解释 (30) （2）现值的汉密尔顿函数 (32) （四）充分条件（二阶条件） (32) （1）曼加萨林定理 (32) （2）阿罗条件 (34) （五）无限期界问题 (35) （1）横截条件与反例 (35) （2）作为充分条件一部分的横截条件 (36) （六）有约束的最优控制问题 (36) （1）涉及控制变量的约束 (37) （2）状态空间约束 (43) 四、拉姆齐模型 (47) （一）相关理论发展背景 (47) （二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (49) （三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (53) （1）稳定性与渐进稳定性 (53) （2）稳定性判别基本定理 (53) （2）平面动力系统的奇点 (54)

变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A

② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x

变分原理与变分法

变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③

特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =

变分原理与变分法

第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 （求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映 射）关系 特征描述法：{ J: X D R|J （x ） r R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 = 数域 ② 函数的积分：函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB

b J f n (X )dX f n D a Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短（忽略摩擦 力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标（a, b ）, 设曲线为 y = y （x ）,并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： i.梁的弯曲应变能： 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量： f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能： l I o qwdx iv.系统总的势能： 左Ej （d 丫）2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支；x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域） ;值域是实数域。 max f (x)； a x b f(X,y) ； 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x

变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ①光线最短路径传播； ②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③光线折射遵循时间最短的途径（ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A

D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ①判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(；3x+5y=2；?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i.梁的弯曲应变能：?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii.弹性地基贮存的能量：dx kw l f ?=∏0 221 iii.外力位能：?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ②最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重 物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii.建立泛函： 设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： x

最优控制总结(小五字体,每页四个)

/系统的数学模型,物理约束条件及性能指标。数学描述:设被控对象的状态方程及初始条件为 ()[(),(),],(0)0x t f x t u t t x t x == ；其中,()x t X Rn ∈?为状态向量，X 为状态向量的可容许集；()u t Rm ∈Ω?为控制向量，Ω为控制向量的可容许集。试确定容许的最优控制*()u t 和最优状态轨迹*()x t ，使得系统实现从初始状态(0)x t 到目标集[(),]0x tf tf ψ=的转移,同时使得性能指标0 [(),][(),(),]tf t J x tf tf L x t u t t dt ?=+ ? 达到极值。 系统状态方程形式(连续,离散)(2)最优控制形式(开环,闭环) (3)实际应用(时间,燃料,能量,终端 ) (4)终端条件(固定,自由) (5)被控对象形目标函数及约束条件组成的静态优化问题可以描述为：在满足一系列约束条件的可行域中，确定一组优化变量，(极大值或极小值)。 数学描述：min (),,:n n f x x R f R R ∈→，..()0,:;()0,:n m n l s t g x g R R h x h R R =→≥→ 静态最优化问题 ，也称为参数最优化问题，它的三个基本要素是优化变量、目标函数和约束条件，其本质是解决函数，也称为最优控制问题，它的三个基本要素是被控对象数学模型、物理约束条件和性能指标，其本质是解 多变量目标函数沿着初始搜索点的负梯度方向搜索,函数值下降最快,又称最速下降法;(2)多变量无约束。 根据具体的最优换问题构造合适的惩罚函数,将多变量有约束最优化问题转换为一系列多变量无约束最优化问题,从而采用合适 ;(2)多变量有约束(外点法:等式约,不等式约束;内点法:不等式约束)。 通过构造拉格朗日函数,将原多变量有约束最优化问题转化为一个多变量无约束最优化问题,从而采用合适的无约束方法继(等式约束,不等式约束)。 梯度定义12()()()()f x x f x f x f x x x ??? ??????=?=?????? ???，Hessian 矩阵2222 1212 22 2212()()f f x x x f x H x x f f x x x ?? ?????????? == ?? ???????????? ,最优梯度法(无约束)：迭代(1)()()()()k k k k x x f x α+=-?，()()() ()()() ()()()()() k T k k k T k k f x f x f x H x f x α ??=??，终止误差() ()()k p k f x ε=-?≤ 例：(),(0),()f x f x H x ??；(0)[(0)(0)]f x T f x α=???/[(0)( 0)]T f x H f x ????；(1)(0)(0)(0)x x f x α=-??；()f xk ε?<，()x k 是极()0,()0x x =≥g h (1) 等式约束：(,)()()T H x f x x λ=+λg ，利用 1210,0,0,0,0n m H H H H H x x x λλ?????=====?????解出极大值点或极小值点。 (2) 不等式约束：()0x ≤h ，引入附加变量2i v 使得不等式约束变为等式约束：2()0i i h x v +=，再有等式拉格朗日乘子法. (1)外部：1)等式约束21 112 2 (,)()()()()()m T i i P x f x g x f x g x g x ρρρ==+=+∑ ,用/0P x ??=求解出*()x ρ,令ρ→+∞求出*x ; 2)不等式约束()0x ≥h ：21 1(,)(){min[(),0]}l i i P x f x h x ρρ==+∑ 3) 复合形式：2 1 122 (,)()()(){min[(),0]}T i P x f x x x h x ρρρ=++∑g g (2)内部：只适用于不等式约束，惩罚函数11(,)()()l i i P x f x h x μμ-==+∑，21(,)()()l i i P x f x h x μμ-==+∑ ，1(,)()ln[()]l i i P x f x h x μμ==-∑利用 0P x ?=?求解出*()x μ，令0μ+→求出*x C3（变分法） 0(,)()|J x x J x x α δαδα=?=+?，变分规则：1100t t t t Jdt Jdt δδ=??，d x x dt δδ= 欧拉方程****(,,)(,,)[][]0g x x t d g x x t dt ??-=??x x ,横截条件方程****** *(,,)(,,)[ ]|(,,)[]|0f f T T t f t f g x x t g x x t x g x x t t δδ????+-=???? x x x