不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem :如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???,则f 存在一个不动点1n x B +∈(即满足(0)0f x x =)。 (一)、压缩算子: 1、定义: 设(1)X 距离空间; (2)算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤∈,恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤, 则称T 是X 上的压缩算子。θ为压缩系数。 2、性质:压缩算子T 是连续的 证 :若n x x →,即(,)0n x x ρ→,则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→ 例:1 1 :T R R →,则 ①12 Tx x = 是压缩算子 因为1111(,)(,),222 2 Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=- = = ②0Tx x =是压缩算子(0θ= ) ③Tx x =不是压缩算子(1θ= ) (二)、不动点定理 1、定义:设(1)X ---- 是完备的距离空间; (2):T X X →的压缩算子。 则T 在X 上存在唯一的不动点* x ,即* * * ,..x X s t x Tx ?∈= 2、注意 (1)定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明。
(2)定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 (3)迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近,其收敛速度越快,而不影响精确度。 (4)误差估计 ①事前(或先验)误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步,将* n x x ≈,则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后(或后验)误差:计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-,若该值小于预定的精度要求,则取* n x x ≈。此方法简单,但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步,将*n x x ≈,则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤: Step1 提供迭代初始点0x ; Step2 计算迭代点10x Tx =; Step3 控制步数,检查10(,)x x ρ,若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步,继续迭代,当10(,)x x ρε≤时终止,取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论,为了便于应用,下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设(1)X ----完备的距离空间; (2):T X X →的算子。
2020 年重庆一中高 2021 级高三上期第一次月考 数学试题卷 2020.9 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、单项选择题。本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的. 1. 设集合 A = {} , B = ,则 A B= ( ) A. B. C. D. 2.,,,则 A,B 的大小关系是( ) A. AB C. A B D. A B 3.已知直线是曲线的切线,则的方程不可能是 A. B. C. D. 4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为,画面中剩余部分的面积为,当与的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A.π B. C. D. 5. 若函数存在零点,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 己知,函数,对任意,都有,则ω的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 7. 函数的一个个单调递减区间是( ) A. B. C. D. 8.设函数在上存在导数,对任意的,有,且在上有
,则不等式的解集是 A. B. C. D. 二、多项选择题。本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.已知中,角的对边分别为且,则角的值不可能是( ) A. B. C. D. 10.下列说法正确的是( ) A “”是“”的充分不必要条件: B. 命题: “若”的否定是真命题: C.命题“”的否定形式是“” D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像,则的图像关于点对称11. 在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石,布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔 (L. E.J. Brouwer) ,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点函数”,下列为“不动点函数”的是 A. B. C. D. 12. 已知函数,其中表示不超过实数的最大整数,关于有下述四个结论,正确的是 A.的一个周期是 B.是非奇非偶函数 C.在上单调递减 D.的最大值大于 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20分. 13. 若幂函数过点,则满足不等式的实数α的取值范围是
题目:不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理,Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程,积分方程,以及其他方程的解的存在唯一性时,将问题转换为求某一映射的不动点,利用不动点原理进行解决。 关键词:压缩映射原理;Schauder不动点定理;不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理(距离空间) (1) 1.2压缩映射原理(巴拿赫空间) (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
A. Barrios:La Catedral (大教堂) A. Lauro:ValsesVenezolanos No. 3(委内瑞拉圆舞曲第三号) A. Ruiz-Pipo:Cancion y Danza No. 1 (歌与舞曲第一号) A. Tansman:DanzaPomposa (壮丽的舞曲) A. Tansman:Suite in Mode Polonico (波兰组曲) A. Tansman:Variacionessobre un tema de Scriabin(史克里亚宝主题与变奏) Alonso Mudarra:Fantasia No.10 穆达那(幻想曲第十号) Anon :Romance de Amor (爱的罗曼斯) Antonio Lauro:Venezuelan Waltzes拉罗(委内瑞拉圆舞曲) Astor Piazzola:Tango suite for two guitars 探戈组曲(双吉他) Astor Piazzola:History of Tango for Guitar and flute皮亚梭拉探戈历史(吉他和长笛)Augustin Barrios:Paraguayan Dance No.1巴利奥斯巴拉圭舞曲第一号 Augustin Barrios:Concert studies 巴利奥斯演奏会用练习曲 Augustin Barrios:Julia Florida 巴利奥斯船歌 Augustin Barrios:Last tremolo 巴利奥斯祈求上帝的爱 Augustin Barrios:Un Sueno en la florest巴利奥斯森林之梦 Augustin Barrios:Waltzes 巴利奥斯圆舞曲 Augustin Barrios:Las Abejas巴利奥斯蜜蜂 B. Britten:Nocturnal Op. 70 (布列顿的夜曲) CaprichoArabe (阿拉伯幻想曲) Carlo Domeniconi:Bird bridge 多明尼康尼鹊桥 Carlo Domeniconi:Turkish variation多明尼康尼土耳其变奏曲 Choro da Saudade (乡愁鸠罗曲) Cimarosa:Sonatas 史麦罗沙奏呜曲 Concerto Antico for guitar and small orchestra 理查德·哈维(古风协奏曲)Concierto de Aranjuez罗德里戈(阿兰胡埃斯协奏曲) D. Scarlatti:Sonatas 史格拉第奏呜曲 DanzaCaracteristica (个性舞曲) E. Pujol:Los Abejorros (大黄蜂) E. Sainz de la Maza:Habanera (哈巴奈拉舞曲) F. Martin:Quatre Pieces Breves (四首小品) F. Mompou:Suite Compostelana (蒙波的康波斯特拉组曲) F. Tarrega:Gran Jota de Concierto(大霍塔舞曲) F. Tarrega:Lagima; Adelita; Marieta(泪,阿德丽塔,玛莉叶塔) F. Tarrega:Preludios; Maria(Gavotta); Rosita(前奏曲、玛莉雅、小玫瑰) F. Tarrega:Recuerdos de la Alhambra(阿尔罕布拉宫的回忆) Fantasia paraurGentilhombre罗德里戈(绅士幻想曲) Fernando Sor:Variations on a Theme from The Magic Flute 索尔莫扎特主题变奏曲Francisco Tarrega:Mazurkas 泰雷加马祖卡舞曲 Francisco Tarrega:Alborada泰雷加晨歌 Francisco Tarrega:CaprichoArabe泰雷加阿拉伯风格随想曲 Francisco Tarrega:Vals泰雷加圆舞曲 Francisco Tarrega:Sueno泰雷加梦 Franz Gruber: Silent Night弗朗兹·格鲁贝尔(平安夜)
泛函分析与微分方程有着密切的联系,泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论,不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先,算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题,且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明:当稠定闭算子A 满足定理条件时,是下列方程的解, 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵,方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥,考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来: ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如,应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件: (1)(),F x y 在整个平面上连续; (2)()()11,,F x y F x y K y y -≤-,其中K >0; 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明:用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体,其中d 满足1K d <。,f g X "?,用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离,同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
N首古典吉他名曲 0l。加纳利奥斯一桑斯 02(奏鸣曲一斯卡拉蒂 03(幻想曲一穆达拉 04( 鲁特琴前奏曲一巴赫 05( 月光一索尔 06(网尔汉布拉宫的回忆一泰雷加 07(阿狄利达一塔雷加 08( 阿斯图里亚斯的传奇一阿尔贝尼斯 09(练习曲第一号一维拉?巴利奥斯 1O圣诞颂一奥占斯丁?巴利奥斯 11(探戈一阿尔贝尼斯 12(委内瑞拉华尔兹之三一劳罗 13( 委内瑞拉华尔兹之黑男孩一劳罗 l 4(皮革探戈一迪安斯 l 5(阳光一安德鲁?约克 16(爱的罗曼斯一叶佩斯 17(卡伐丽娜一迈尔斯 目录 (秋日私语…………………………………………………塞内维尔、图森(ooD 1 2(童年的回忆………………………………………………塞内维尔、图森(005) 3(水边的阿狄丽娜…………………………………………………塞内维尔(009) 4(梦中的婚礼………………………………………………塞内维尔、图森(ol 3)
5(星空的旋律………………………………………………塞内维尔、图森(016) 6(爱的协奏曲………………………………………………………塞内维尔(020) 7(秘密的庭院………………………………………………塞内维尔、图森(026) 8(乡愁……………………………一……………………(塞内维尔、图森(029) 9(柔如彩虹…………………………………………………塞内维尔、图森(032) 10(给母亲的信………………………………………………塞内维尔、图森(035) 11(梦中的鸟…………………………………………………………塞内维尔(039) 1(“看牛歌”主题变奏曲……………………………………西班牙歌曲改编(042) 2(加那利奥斯…………………………………………………………桑斯(046) 3(吉格舞曲……………………………………………………………佚名(049) 4(幻想曲………………………………………………………………穆达拉(050) 5(奏鸣曲……………………………………………………………斯卡拉蒂(05 3) 6(小步舞曲……………………………………………………………巴赫(057) 7(库朗舞曲……………………………………………………………巴赫(059) 8(布列舞曲……………………………………………………………巴赫(064) 9(大提琴前奏曲………………………………………………………巴赫(066) 10(鲁特琴前奏曲………………………………………………………巴赫(070) 11(献给爱丽斯…………………………………………………………贝多芬(07 3) 12(练习曲第一号……………………………………………………卡尔卡西(079) (练习曲第二号……………………………………………………卡尔卡西(082) 13 14(练习曲第三号……………………………………………………卡尔卡西(084) 15(练习曲第十一号…………………………………………………卡尔卡西(086) 16(练习曲第十八号…………………………………………………卡尔卡西(088)
谁说数学是枯燥的?在数学里,有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理,不但深受数学家们的喜爱,在数学迷的圈子里也广为流传。 喝醉的小鸟 定理:喝醉的酒鬼总能找到回家的路,喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。 假设有一条水平直线,从某个位置出发,每次有50% 的概率向左走1米,有50%的概率向右走1米。按照这种方式无限地随机游走下去,最终能回到出发点的概率是多少?答案是100% 。在一维随机游走过程中,只要时间足够长,我们最终总能回到出发点。 现在考虑一个喝醉的酒鬼,他在街道上随机游走。假设整个城市的街道呈网格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等地选择一条路(包括自己来时的那条路)继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢?答案也还是100% 。刚开始,这个醉鬼可能会越走越远,但最后他总能找到回家路。
不过,醉酒的小鸟就没有这么幸运了。假如一只小鸟飞行时,每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向,那么它很有可能永远也回不到出发点了。事实上,在三维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率只有大约34% 。 这个定理是著名数学家波利亚(George Pólya)在1921 年证明的。随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率是19.3% ,而在八维空间中,这个概率只有7.3% 。 “你在这里” 定理:把一张当地的地图平铺在地上,则总能在地图上找到一点,这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。
也就是说,如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图,那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。 1912 年,荷兰数学家布劳威尔(Luitzen Brouwer)证明了这么一个定理:假设 D 是某个圆盘中的点集,f 是一个从 D 到它自身的连续函数,则一定有一个点x ,使得f(x) = x 。换句话说,让一个圆盘里的所有点做连续的运动,则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理(Brouwer fixed point theorem)。 除了上面的“地图定理”,布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸,把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上,根据布劳威尔不动点定理,纸团上一定存在一点,它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。 这个定理也可以扩展到三维空间中去:当你搅拌完咖啡后,一定能在咖啡中找到一个点,它在搅拌前后的位置相同(虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方)。 不能抚平的毛球
不动点理论及其应用 主要内容: ●不动点理论—压缩映像原理 ●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用 目录: 一、引言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它
一、 引言 取一张照片,按比例缩小,然后把小照片随手放在大照片上, 那么大小两张照片在同一个部位,一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。 函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。 二、 压缩映像原理 定理:(Banach 不动点定理—压缩映像原理) 设 ),(ρX 是一个完备的距离空间, T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射,则T 在X 上存在唯一的不动点。