人教版九年级上册数学 第二十四章 《圆》单元试卷含答案

人教版九年级上册数学《第二十四章 圆》单元试卷

一、单选题

1．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若40C ?∠=，则B D的度数为（ ）

A ．60?

B ．50?

C ．40?

D ．30? 2．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，

连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）

A ．

B ．4

C ．

D ．4.8

3．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )

A 2π-

B 2π+

C ．π

D ．2π

4．如图，AD 是圆O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（ ）

A ．2AP OP =

B ．2CD OP =

C ．OB AC ⊥

D ．AC 平分OB 5．如图，AB 为O 的直径，BC CD 、是O 的切线，切点分别为点B D 、，点

E 为

线段OB 上的一个动点，连接,,OD CE DE ，已知AB =2BC =，当CE DE +的值最小时，则CE DE

的值为（ ）

A ．910

B ．23

C

D 6．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长

线于点E ，连接BD ．下列结论：

①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD ∽；④ED BC BO BE ?=?．其中正确结论的个数有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

二、填空题 7．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．

8．已知圆锥的底面半径是1_____度．

9．如图，ABC ?是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且60BPC ?∠=，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是___．

10．如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，2OB =，P 为AB 上任意一点，过点P 作

PE OB ⊥于点E ，

设M 为OPE ?的内心，当点P 从点A 运动到点B 时，则内心M 所经过的路径长为_____．

11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12

=（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB ）

可以求解．现已知弦8AB =米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．

12．如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，100AOC ∠=，35OCD ∠=，那么OED ∠=_____．

三、解答题

13．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为BC 的中点．过点D 作直线AC 的垂线，垂足为E ，连接OD ．

（1）求证：A DOB ∠=∠；

（2）DE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．

14．如图，BD 是O 的直径，弦BC 与OA 相交于点E ，AF 与O 相切于点A ，交DB 的延长线于点F ，0030,120,8F BAC BC ∠=∠==．

（1）求ADB ∠的度数；

（2）求AC 的长度．

⊥，15．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分BAC

∠，DE AC

垂足为E．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，60

∠=，求线段EF的长．

BAC?

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．

(1)求⊙O的半径；

(2)点P为AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；

(3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

17．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，

∠=∠．

过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA

（1）求证：AC是⊙O的切线；

==

（2）若CE AE

18．如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

(2)求证：ND ＝NE ；

(3)若DE ＝2，EC ＝3，求BC 的长．

19．如图，AB 为O 的直径，且AB =，点C 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．

(1)求证：EC 是O 的切线； (2)当30D ?∠=时，求阴影部分面积．

20．如图，点I 是ABC ?的内心，BI 的延长线与ABC ?的外接圆O 交于点D ，与AC 交于点E ，延长CD 、BA 相交于点F ，ADF ∠的平分线交AF 于点G .

（1）求证：DG CA ；

（2）求证：AD ID =；

（3）若4DE =，5BE =，求BI 的长.

21．已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．

（1）如图①，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；

（2）如图②，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若BC=5，BD=4，求AD AB AC

+ 的值．

22．如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ．

（1）求点A 的坐标；

（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，

连接AC ，BE ，BO ，当a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值

答案

1．B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．A 7．6. 8．90

9．6+． 10 11．10 12．60°

13．解(1)连接OC ，

D Q 为BC 的中点，

∴CD BD =，

12

BOD BOC ∴∠=∠， 12

BAC BOC ∠=∠， A DOB ∴∠=∠；

(2)DE 与⊙O 相切，理由如下：

A DO

B ∠=∠，

//AE OD ∴，

∴∠ODE+∠E=180°，

DE AE ⊥，

∴∠E=90°，

∴∠ODE=90°，

OD DE ∴⊥，

又∵OD 是半径，

DE ∴与⊙O 相切．

14．解：（1）∵AF 与⊙O 相切于点A ，

AF OA ∴⊥ ，

∵BD 是⊙O 的直径，

90120303030903060BAD BAC DAC DBC DAC F F DBC AF BC OA BC BOA ∴∠?∠?∴∠?∴∠∠?∠?∴∠∠∴∴⊥∴∠???＝，

＝，

＝，

＝＝，

＝，＝，

，

，

＝﹣＝，

1302

ADB AOB ∴∠∠?＝＝； （2）∵OA BC ⊥ ， ∴142

BE CE BC ＝＝＝ ，

∴AB ＝AC ，

60AOB OA OB ∠?＝，＝，

∴△AOB 是等边三角形，

∴AB ＝OB ， 30OBE ∠?＝ ，

142

OE OB BE ∴＝，＝， ∴OE

， ∴AC ＝AB ＝OB ＝2OE

． 15．解（1）直线DE 与⊙O 相切，

连结OD ．

∵AD 平分BAC ∠，

∴OAD CAD ∠=∠，

∵OA OD =，

∴OAD ODA ∠=∠，

∴ODA CAD ∠=∠，

∴OD AC ，

∵DE AC ⊥，即90AED ?=∠，

∴90ODE ?∠=，即DE OD ⊥，

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）过O 作OG AF ⊥于G ，

∵2AF AG =，

∴60BAC ?∠=，2OA =， ∴112

AG OA ==， ∴2AF =，

∴AF OD =，

∴四边形AODF 是菱形，

∵DF OA ∥，2DF OA ==，

∴60EFD BAC ?∠=∠=， ∴112

EF DF ==．

16．解(1)连接OB ，如图

∵OA=OB ，

∴∠ABO=∠A=30°，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠OBC=30°，

在Rt △OBC 中，cos BC OBC OB ∠=

， 即1cos30OB

?=，

解得OB =

即⊙O

； (2)连接OP ，设AB 与QP 交于点M ，

∵点P 为AB 的中点，

∴OP ⊥AB ，

∴∠QPO+∠PMB=90°，

∵PQ ⊥AC ，

∴∠A+∠AMQ=90°，

又∵∠AMQ=∠PMB ，

∴∠QPO=∠A=30°，

在Rt △OPQ 中，sin OQ QPO OP

∠=，

即sin30?=

∴12OQ ==(3)在Rt △OBC 中，

∵OB =∠OBC=30°，∠ACB=90°

∴sin OC OB =?

∴CQ CO OQ =+=，

∴tan PQ PCA CQ ∠==．

17．解（1）证明：连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ， ∴90AFO ∠=，

∴90EAO AOF ∠+∠=，

∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=

∠， ∵12

EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，

∵EAC EDA ∠=∠，

∴EAC AOF ∠=∠，

∴90EAO EAC ?∠+∠=，

∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，

∴90CAO ?∠=，

∴OA AC ⊥，

∴AC 是⊙O 的切线；

（2）解：∵CE AE ==

∴C EAC ∠=∠，

∵EAC C AEO ∠+∠=∠，

∴2AEO EAC ∠=∠，

∵OA OE =，

AEO EAO ∠=∠，

∴2EAO EAC ∠=∠，

∵90EAO EAC ?∠+∠=，

∴30EAC ?∠=，60EAO ?∠=，

∴OAE ?是等边三角形，

∴OA AE =，60EOA ∠=，

∴=OA

∴2S π=扇形AOE ，

在Rt OAE ?中，sin 3OF OA EAO =?∠==，

∴11322

AOE S AE OF =?=?=，

∴阴影部分的面积=2π-

18．解

(1)四边形AMCD 是菱形，理由如下：

∵M 是Rt △ABC 中AB 的中点，

∴CM ＝AM ，

∵CM 为⊙O 的直径，

∴∠CNM ＝90°，

∴MD ⊥AC ，

∴AN ＝CN ，

∵ND ＝MN ，

∴四边形AMCD 是菱形；

(2)∵四边形CENM 为⊙O 的内接四边形，

∴∠CEN+∠CMN ＝180°，

∵∠CEN+∠DEN ＝180°，

∴∠CMN ＝∠DEN ，

∵四边形AMCD 是菱形，

∴CD ＝CM ，

∴∠CDM ＝∠CMN ，

∴∠DEN ＝∠CDM ，

∴ND ＝NE ；

(3)∵∠CMN ＝∠DEN ，∠MDC ＝∠EDN ，

∴△MDC ∽△EDN ， ∴MD DC DE DN

=， 设DN ＝x ，则MD ＝2x ，由此得

252x x =，

解得：x x 不合题意，舍去)，

∵MN 为△ABC 的中位线，

∴BC ＝2MN ，

∴BC ＝．

19．解(1)如图，连接BC ，OC ，OE ，

AB 为O 的直径，

ACB 90∠?∴=，

在Rt ΔBDC 中，BE ED =，

DE EC BE ∴==，

OC OB =，OE OE =，

()ΔOCE ΔOBE SSS ∴?，

OCE OBE ∠∠∴=，

BD 是O 的切线，

ABD 90∠?∴=，

OCE ABD 90∠∠?∴==，

OC 为半径，

∴EC 是O 的切线；

(2)OA OB =，BE DE =，

AD OE ∴，

D OEB ∠∠∴=，

D 30∠?=，

OEB 30∠?∴=，EOB 60∠?=，

BOC 120∠?∴=，

OB ∴=，

BE 6∴==．

∴四边形OBEC

的面积为ΔOBE 12S 262

=???=， ∴

阴影部分面积为

OBEC BOC S S 4π

-==-四边形扇形． 20．解(1)∵点I 是ABC ?的内心，

∴27∠=∠，

∵DG 平分ADF ∠，

∴1

12ADF ∠=∠，

∵ADF ABC ∠=∠，

∴12∠=∠，

∵32∠=∠，

∴13∠=∠， ∴DG

AC ；

(2)∵点I 是ABC ?的内心，

∴56∠=∠，

∵47536∠=∠+∠=∠+∠，

即4DAI ∠=∠，

∴DA DI =；

(3)∵37∠=∠，ADE BAD ∠=∠，

∴DAE DBA ?~?，

∴::AD DB DE DA =，即:94:AD AD =，

∴6AD =，

∴6DI =，

∴963BI BD DI =-=-=．

21解：（1）如图①在AD 上截取AE=AB ，连接BE ，

∵∠BAC=120°，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°， ∴△ABE 和△BCD 都是等边三角形，

∴∠DBE=∠ABC ，AB=BE ，BC=BD ，

∴△BED ≌△BAC （SAS ），

∴DE=AC ，

∴AD=AE+DE=AB+AC ；

故答案为：AB+AC=AD ．

（2）．理由如下：

如图②，延长AB 至点M ，使BM=AC ，连接DM ，

∵四边形ABDC 内接于⊙O ，

∴∠MBD=∠ACD ，

∵∠BAD=∠CAD=45°，

∴BD=CD ，

∴△MBD ≌△ACD （SAS ），

∴MD=AD ，∠M=∠CAD=45°，

∴MD ⊥AD ．

∴，即，

∴；

（3）如图③，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠NBD=∠ACD，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND=AD，∠N=∠CAD，

∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，

∴AN AD BC BD

=，

∴AD BD AN BC

=，

又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，

∴

4

5 AD BD

AB AC BC

==

+

．

22．解（1）令ax2+bax=0

ax（x+6）=0

∴A（－6,0）

（2）连接PC，连接PB延长交x轴于M

P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点 PM OA ∴⊥，90PBC BOM ∠+∠= 又∵PC =PB

PCB PBC ∴∠=∠，

∵CE 为切线

90PCB ECD ∴∠+∠=°

， 又BDP CDE ∠=∠

ECD COE ∴∠=∠，

∴CE =DE ，

（3）设OE =m ，即E （m,0）

由切割定理：CE 2=OE ·

AE ()()2

2662t m t m m m t -=?+?=+①， CAE CBD ∠=∠，

已知CAE OBE ∠=∠，CBO EBO ∠=∠ 由角平分线定理：

BD DO BE OE

=

66

t t m m t -=?=--② 由①②得22618360626

t t t t t t =?++=+-- ∴t 2=－18t －36

211113616t OD OE t m t +-=--=-=