2016高考_龙泉一轮-数文-作业 (45)

题组层级快练(四十五)

1.如图是2015年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一呈现出来的图形是()

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答案 A

解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A.

2.已知a1=3,a2=6,且a n+2=a n+1-a n,则a2 016=()

A.3B.-3

C.6 D.-6

答案 B

解析∵a1=3,a2=6,∴a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,…,∴{a n}是以6为周期的周期数列.又2 016=6×335+6,∴a2 016=a6=-3.选B.

3.定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:

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A.n B.n+1

C.n-1 D.n2

答案 A

解析由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2= (1)

4.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集)

①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0?a=b”.

②“若a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0?a>b”.

③“若a,b,c,d∈R,则复数a+b i=c+d i?a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b2=c+d2?a=c,b=d”.

其中类比得到的结论正确的个数是()

A.0 B.1

C.2 D.3

答案 C

解析提示:①③正确.

5.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=() A.28 B.76

C.123 D.199

答案 C

解析 记a n +b n =f (n ),则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=3+4=7;f (5)=f (3)+f (4)=11.通过观察不难发现f (n )=f (n -1)+f (n -2)(n ∈N *,n ≥3),则f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76;f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.

6.(2015·济宁模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2=1

4,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1

V 2

=( ) A.18 B.19 C.164 D.127

答案 D

解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故体积之比为V 1V 2=1

27.

7.已知x ∈(0,+∞),观察下列各式: x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4

x 2≥3, x +27x 3=x 3+x 3+x 3+27

x

3≥4,…,

类比有x +a

x n ≥n +1(n ∈N *),则a =( )

A .n

B .2n

C .n 2

D .n n 答案 D

解析 第一个式子是n =1的情况,此时a =1,第二个式子是n =2的情况,此时a =4,第三个式子是n =3的情况,此时a =33,归纳可以知道a =n n .

8.已知a n =(1

3

)n ,把数列{a n }的各项排成如下的三角形:

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9

……

记A (s ,t )表示第s 行的第t 个数,则A (11,12)=( ) A .(13)67

B .(13)68

C .(1

3)111

D .(13)112

答案 D

解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5,…,

那么第10行的最后一个数为a 100,

第11行的第12个数为a 112,即A (11,12)=(1

3

)112.

9.(2015·郑州质检)设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2S

a +

b +

c .

类比这个结论可知:四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为r ,四面体ABCD 的体积为V ,则r =( )

A.V

S 1+S 2+S 3+S 4 B.2V

S 1+S 2+S 3+S 4 C.3V

S 1+S 2+S 3+S 4 D.4V

S 1+S 2+S 3+S 4

答案 C

解析 设四面体ABCD 的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是r ,所以四面体ABCD 的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积的和,则四面体ABCD 的体积为V =1

3(S 1

+S 2+S 3+S 4)r ,

所以r =3V

S 1+S 2+S 3+S 4

,故选C.

10.(2015·河北冀州中学期末)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项,如下表所示:

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按如此规律下去,则a 2 013=( ) A .501 B .502 C .503 D .504

答案 D

解析 由a 1,a 3,a 5,a 7,…组成的数列恰好对应数列{x n },即x n =a 2n -1,当n 为奇数时,x n =n +1

2.

所以a 2 013=x 1 007=504.

11.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.

答案 1∶8

解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方. 同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方.

∴它们的体积比为1∶8.

12.设数列{a n }是以d 为公差的等差数列,数列{b n }是以q 为公比的等比数列.将数列{a n }的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处,经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n }的相关量或关系式,则在右侧的“?”处应该是________.

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答案 B n =b 1×(q )n -

1

解析 注意类比的对应关系:+→×,÷→开方,×→乘方,0→1,所以B n =b 1×(q )n -

1.

13.已知 2+2

3=223, 3+38=3

38, 4+415

= 4

415,…,若 6+a t =6

a t

,(a ,t 均为正实数),类比以上等式,可推测a ,t 的值,则a +t =________. 答案 41

解析 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n +n

n 2-1

=n n

n 2-1

,所以当n =6时a =6,t =35,a +t =41.

14.如图所示,在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有勾股定理c 2

=a 2+b 2.空间中的正方体,用一平面去截正方体的一角,截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1,S 2,S 3,截面面积为S ,类比平面的结论有________.

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答案 S 2=S 21+S 22+S 2

3

解析 建立从平面图形到空间图形的类比,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时,注意平面几何中点的性质可类比推理空间几体中线的性质,平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质,平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥,线段的长

度类比图形的面积,于是作出猜想:S 2=S 21+S 22+S 2

3.

15.(2015·山东日照阶段训练)二维空间中圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2,观察发现S ′=l ;三维空间中球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =4

3πr 3,观察发现V ′=S .已知四

维空间中“超球”的三维测度V =8πr 3,猜想其四维测度W =________.

答案 2πr 4

解析 据归纳猜想可知(2πr 4)′=8πr 3,所以四维测度W =2πr 4. 16.(2014·陕西理)观察分析下表中的数据:

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答案 F +V -E =2

解析 三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F +V -E =2.

17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°; ②sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°; ③sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°; ④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 答案 (1)34 (2)sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34

解析 方法一:(1)选择②式,计算如下: sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° =1-12sin30°=1-14=3

4

.

(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.

证明如下:

sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)

=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+32sin αcos α+14sin 2α-32sin αcos α-1

2sin 2α

=34sin 2α+34cos 2α=3

4. 方法二:(1)同解法一. (2)三角恒等式为

sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.

证明如下:

sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)

1-cos2α2+1+cos (60°-2α)

2

-sin α·(cos30°cos α+sin30°sin α) =12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-32sin αcos α-12sin 2α =12-12cos2α+12+14cos2α+34·sin2α-34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=34

.

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1.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图.

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易知第三行有白圈5个,黑圈4个,我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数.比如第一行记为(1,0),第二行记为(2,1),第三行记为(5,4).

(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________;

(2)照此规律,第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为________. 答案 (1)(14,13) (2)(3n -

1+12,3n -

1-12

)(n ∈N *)

解析 (1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律:一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈,一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈,因此第4行的白圈个数为5×2+4×1=14,黑圈个数为5×1+4×2=13,所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14,13).

(2)第n 行中的白圈和黑圈总数为3n

-1

个,设“坐标”为(a n,3n -

1-a n ),则第n +1行中的白圈和黑圈总

数为3n

个,设“坐标”为(a n +1,3n

-a n +1)=(a n +3

n -1,

2×3

n -1

-a n ),即a 1=1,a n +1=a n +3

n -1

?a n =3n -

1+1

2

从而得到第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为(3n -

1+12,3n -

1-1

2

)(n ∈N *).

2.(2013·湖北理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n (n +1)2=12n 2+1

2n .记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个

数的表达式:

三角形数 N (n,3)=12n 2+1

2n ,

正方形数 N (n,4)=n 2, 五边形数 N (n,5)=32n 2-1

2n ,

六边形数 N (n,6)=2n 2-n ,

……

可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)=________. 答案 1 000

解析 方法一:已知式了可化为: N (n,3)=12n 2+12n =3-22n 2+4-3

2n ,

N (n,4)=n 2=4-22n 2+4-4

2n ,

N (n,5)=3

2n 2+-12n =5-22n 2+4-52n ,

N (n,6)=2n 2-n =6-22n 2+4-6

2n ,

由归纳推理,可得N (n ,k )=

k -22n 2+4-k

2

n , 故N (10,24)=24-22×102+4-24

2

×10=1 100-100=1 000.

方法二:由题意,设N (n ,k )=a k n 2+b k n (k ≥3),其中数列{a k }是以12为首项,1

2为公差的等差数列,数

列{b k }是以12为首项,-1

2为公差的等差数列,所以N (n,24)=11n 2-10n ,当n =10时,N (10,24)=11×102

-10×10=1 000.

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