概率论大题练习题
第一章练习题
1. 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,
当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率.
2. 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％， (1)全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？
(2)全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少
3. 在电源电压不超过200V 、200-240V 、超过240V 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001、0.2，假设电压2
~(220,25)X N ，试求电子元件损坏的概率（(0.8)0.7881Φ=）。
4. 三人同时向一敌机独立射击，击中的概率都是0.5，一人击中 vvvvvvvvvvvvvvv ，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落，试求敌机被击落的概率。
5. 人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价
格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.
6. 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。 （1）问取到白球的概率是多少？
（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？ 7一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h 以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h 以上的概率。 8. 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85， （1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。 9.设工厂甲和工厂乙的产品的次品率分别为1％和2％，现从由甲和乙的产品分别占60％和40％的一批产品中随机的抽取一件，求（1）取到的产品是次品的概率。（2）若取到的产品发现是次品，求该次品是工厂甲生产的概率
10. 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。
11.某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求： （1）该厂产品能出厂的概率。
（2）任取一出厂产品未经调试的概率。
12. 用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
第二章练习题
2 设随机变量X ～??
?
??<-=,0,1,1)(2x x c
x f 求：（1）常数.c ,(2) X 的分布函数)(x F ，（3）X
落在区间)2
1
,21(-的概率。
3 设随机变量X 的概率密度??
???
≥<-=,1,0,1,11)(2x x x x f π试求（1）随机变量X 落在区间
)21,21(-内的概率，（2）X 的分布函数)(x F
4. 设随机变量X 的概率密度为??
???
>≤=.2,0,2,cos )(ππx x x A x f 试求（1）系数X A )2(,的分布函
数，（3）)4
,0(π
落在区间X 内的概率。
5. 用X 表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是 ???≤>-=-0,
00,1)(4.0x x e
x F x
（1）求},3{≤X P （2）求},3{=X P （3）求概率密度).(x f
6. 已知X 的概率密度为???≤>=-.0,
0,
0,)(2x x e ax x f x λ试求（1）未知系数a ,(2) X 的分布函数
0x >其它，
()F x ；（3）{3}X <的概率。
解法二（公式法）2x y =在（0，2）单增，由于反函数y x =在（0，4）可导，y
x y 21='，
从而由公式得
??
???
≤≤==.,0,40,4121)
().(其它y y
y y f y f X Y 13. 设随机变量X 的概率密度函数为X x X e Y x x e x f =??
?<≥=-求,,
0,0,
0,)(的概率密度函数).(y f Y
解：当1 Y 当1≥Y 时： ,0}ln {}{}{)(ln 1 1 dx e dx y X P y e P y Y P y F x y X Y -∞ -? ? +=≤=≤=≤= 所以：?? ???<≥='=.1,0,1,1 )().(2y y y y F y f Y Y 例14. 设X ～X Y N =求),1,0(的概率密度， 解 当0>y 时，?-- = <=y y t Y dt e y Y P y F 2221}{)(π ?????<>=?= -- ? 0, 00,2 )(2220 22 2 y y e y f dt e y Y y t π π 15. 已知随机变量X 的概率密度函数,,2 1)(+∞<<-∞= -x e x f x 则X 的分布函数 .)(= x F （ 解：随机变量X 的分布函数.)(}{)(dx x f x X P x F x ?∞-=≤= 当.2 121)()(,0x x x x e dx e dx x f x F x === ?∞-∞-有时 当,2 1 12121)()(,000x x x x x e dx e dx e dx x f x F x --∞-∞--=+==≥???有时 故X 的分布函数?????≥-<=-,0, 11, 0,21)(x e x e x F x x 16.设随机变量X 31X Y -=的 概率密度函数).(y f Y 解：由定义有： })1({}1{}1{}{)(333y X P y X P y X P y Y P y F Y -≥=-≥=≤-=≤= ].)1arctan(2[1arctan 1 ) 1(3)1(2)1(3 3 y x x dx y y --= = +=∞ +-∞ +-? π ππ π 故所求Y 的概率密度函数6 2 ) 1(1)1(3)()(y y y F y f Y Y -+-='=π 17. 设X ～x e Y N =求)1(),1,0(的概率密度，（2）求122+=X Y 的概率密度， 18. 设~(1,1)X N ，2(1)Y X =-，试求Y 的概率密度()Y f y 。 19. 设~(0,1)X N ，1X Y e =+，试求Y 的概率密度()Y f y 。 20. 设随机变量X Y ln =服从正态分布)1,0(N ，求随机变量X 的概率密度函数 )(x f X . 第三章练习题 1. 设随机变量X 和Y 的联合分布律如下表： （1）求随机变量X 和Y X 和Y 是否相互独立? （3）求)(XY E . 2.设X 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量 1,,1,20,k X k X k X k >?==? ≤? 求1X 与2X 的联合分布律。 3. 设有下表 试求X 与Y 的联合分布律及[min(,)]E X Y 。 4. 设随机变量X 与Y 的联合密度为 22 1,1 (,)0, x y f x y π?+ 试判定X 与Y 是否独立。 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为? ??<<=-,,0, 0,),(其它y x e y x f y （1）求随机变量X 的 密度),(x f X （2）求概率}1{≤+Y X P ， .21][211)1(21 - -----+=+-=? e e dx e e x x 6. 一仪器由二个部件构成，以X 和Y 分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知X 和 Y 的联合分布函数?? ?≥≥+--=+---其他， ,00 ,0,1),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x （1990考研数学4） （1）X 与Y 是否独立？（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率α 7. 设随机变量),(Y X 的概率密度函数为：???<<<<=,, 0, 10,10,),(2其它y x cxy y x f （1）求 .c ,(2)问Y X 与是否相互独立？ 8. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为? ??>>=+-,,0, 0,0,),()43(其它y x Ae y x f y x （1） 求常数Y X A ,)2(,的边缘概率密度。（3）}20,10{≤<≤ ,04 2,20),6(),(y x y x k y x f 试求（1）常数k ；（2）};3,1{< 10.随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F = )3arctan )(2arctan (1 2y C x B ++π . 求：（1）),(Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X 与Y 是否独立？ 11. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为 ),(y x f =,, 00,10),2(8.4?? ?<<<<-其它x y x x y 求边缘概率密度. 12. 设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表： （1） 求Y X ,的边缘分布律。 （2）求1=Y 的条件下X 的条件分布律及2=X 的条件下Y 的条件分布律。 13. 设,31)(,31)(,41)(=== A B P B A P A P 令? ??=?? ?=,,0, ,1,,0,,1不发生发生不发生发生B B Y A A X 求Y X ,的联合概率分布。 14. 在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试 验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X , Y 如下： ???=,1,0若第一次取出的是次品 若第一次取出的是正品，X ?? ?=;1,0若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品，Y 试分别就（1）、（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律．并问随机变量X 和Y 是 否相互独立？ 第四章练习题 1. 假设10只同种元件中有2只次品，从中任取一只，若是次品，则扔掉重取一只；若仍是次品，则扔掉再取一只。试求在取到正品前，取出的次品数X 的分布律及方差()D X 。 2. 设流水线上生产的某零件内径()11,1X N :，已知销售利润T 与内径X 有如下关系： 20,1012 5,X T ≤≤?=? -? 其他 求销售一个零件的平均利润()E T 。()()10.8413Φ= 3. 设随机变量X 的概率密度为()2,010, +<<=???a bx x f x 其它，已知()53 =X E ，求： (1),a b 的值; (2)()X D . 4. 一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，概率密度为 ?????≤>=-. 0, 0,0,4 1)(4x x e x f x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工 厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 5. 设随机变量21,X X 的概率密度分别为：?? ?≤>=???≤>=--.0, 0, 0,4)(.0,0,0,2)(4221x x e x f x x e x f x x 求)32().()1(2 2121X X E X X E -+.（2）又设21,X X 相互独立，求).(21X X E 6. 设随机变量 Y X ,相互独立，其概率率密度分别为： ? ??≤>=???≤≤=--.5,0,5,)(.,0,10,2)()5(y y e y f x x x f y Y X 其它求)(XY E 7. 设随机变量),(Y X 的概率密度为???≤≤≤=,,0, 10,12),(2其它x y y y x f 求： ),(),(),(XY E Y E X E 8. 设随机变量X 服从某一期间上的均匀分布，且.3 1 )(,3)(==X D X E （1）求X 的概率密度。（2）求}2{=X P ；（3）求}.31{< 9. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天就停止工作，若一周5 个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元，发生二次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 第五章练习题 1. 设总体X ～2 2 ,),,(σ μσμN 均未知，已知样本容量16=n ,样本均值 }.4.0{,333.5,5.122<-==μX P s X 求样本方差 解：由于σ未知，需用t 统计量，312.2333.5≈= s 由104页定理4， {} }.4.0{4.01}4.0{-<-->--=<-μμμX P X P X P ?? ? ???????>--??????????-<--=<-692.04/312.2692.04/312.21}4.0{)15()15(t t X P X P X P μμμ . 5.025.021692.04/312.221} 4.0{)15(=?-≈??? ? ??????>--= <-查表 分布的对称性 t t X P X P μμ 2.在正态总体)3,20(N 中抽取2个独立样本，样本均值分别为Y X ,，又样本容量分别为10，15，则6774.0} 3.0{=>-Y X P 理工大02级试题） 注：X ～),103, 20(N Y ～),15 3 ,20(N Y X ,独立。 ， 2 1153103)(,0)(=+= +=-=-Y D X D Y X D Y X E 6774 .0)23.0(2}23.02 1{ 1[2} 23.02 1{ }23.02 1 { 1}3.0{≈=>--=-<-+>--=<-φY X P Y X P Y X P Y X P 故 3.在正态总体),(2σμN 中抽取16个独立样本，2,σμ均未知，2S 为样本方差，则 99.0}041.2{22 =≤σS P 注：99.001.01}615.3015{1}041.21515(}041 .2{)15(2 2 2 2 222 =-=>-=?≤=≤χσσσ查S P S P S P 第六章练习题 1. 随机地取 8 只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）： ,002.74,0067.74,993.74,000.74,001.74,003.74,005.74,001.74 试求总体均值均值μ及方差2σ的矩估计. 2. 设滚珠轴承直径服从正态分布，从某天的产品里随机的抽出5个，量得直径（单位㎜）如下：14.6，15.1，14.9，15.2，15.1。若知道直径的方差是0.05，试找出平均直径的置信度为0.05的置信区间。（已知).975.0)96.1(=Φ 3. 设有一批零件，其长度X ～),(2σμN ，为了估计参数,μ今从中抽取9件，测得样本均值 )(:5.21cm X =，样本方差)(0256.022cm s =，求μ的置信度为95％的置信区 间.(306.2)8(025.0=t ) 4. 设总体X 的概率密度，??? <<+=其它 ,0,10,)1()(x x x f αα其中,1->α未知参数为α.，设 n x x x ,,21为其样本值，试求α的极大似然估计和矩估计， 5. 设总体X 的概率密度，? ??≤≤=-,,0, 10,)(1其它x x x f θθ其中0>θ为未知参数，n x x x ,,21是总体的样本值，求θ的极大似然估计。 6. 设n X X X ,,21是来自参数为θ的指数分布的总体X X ,的概率密度，???≤>=-0 , 0, 0,)(x x e x f x θθ其中,0>θ未知参数为θ，试求θ的极大似然估计和矩估计。 其中)2 1 0(<<θθ是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3。求θ的极 大似然估计和矩估计 8. 设总体X ～),(2σμN ，样本观察值：56.7,02.9,88.6,20.8,54.6 求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间 （1）已知2.1=σ （2）未知σ 9. 设总体X ～),(2σμN ,现从总体取得容量为4的样本值：1.2， 3.4， 0.6， 5.6， （1）若已知3=σ，求μ的置信水平为99％的置信期间2）若已知σ未知，求μ的置信水平为95％的置信期间。 10. 设12,,...,n X X X 是取自总体()P λ的样本，试证明：样本方差2 S 是未知参数λ的无偏估计量。 11. 设0.5,1.25,0.80,2.00是来自总体X 的样本值，已知()Y=lnX N ,1μ:, 试求： （1）μ的矩估计； （2）μ的置信水平为95%的置信区间。 ()0.0250.025 1.96u z == 1） μ的矩估计是： ()12341 ?4 y y y y y μ ==+++ ()1 ln0.5ln1.25ln0.80ln 2.004 = +++ 1 ln104 == （2）μ的置信区间是： ()0.98,0.98u u y y αα? ? ?=- ? ??? 设总体1 ~(100,),,...,n X B p X X 是 X 的样本，1,...,n x x 是样本值，试求p 的矩估计。 设,)(μ=X E ,)(2 σ=X D 12,X X 是X 的样本，用1122?k X k X μ=+作为μ的无偏估计1k ，2k ，使?μ 最有效，其中121k k +=。 设总体X 的概率分布为： 2 2)1()1(23 21θθθθ--i p X 其中θ为未知参数.现抽得一个样本1,2,1321===x x x ，求θ的矩估计值. 第七章练习题 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的每袋糖重是一个随机变量, 假定 .当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为σ=0.015千克., 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问在显著性水平0.05α=下，检验机器是否正常? （96.1025.0025.0==z u ， 3060.2)8(025.0=t ） 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（％）：3.25，3.27，3.24，3.26，3.24；设 问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25。 （.3649.3)5(,0322.4)5(,7469.3)4(,6041.4)4(01.0005.001.0005.0====t t t t 3. 设考生成绩服从正态分布，抽得36位考生成绩，平均分为66.5分，标准差为15分，问在水平0.05下，是否可认为平均成绩为70分？给出检验过程。参考数据如下表所示。(1998 4. 设在木材中抽出100根，得到样本平均数为,6.2,2.112 cm cm x ==σ已知标准差问该 批木材的直径能否认为在12㎝以上？（,05.0=α已知标准正态分布函数)95.0)65.1(=Φ。 第九章练习题 求Y 关于x 的线性回归方程x b a y ???+=，计算用到的中间数据为： 解：532.044.1471 595.2)(1 21 1 2 =?-=-= ∑∑ ==n i i n i i xx x n x S 03.846.211417 1 2.3104)(12112 =?- =-= ∑ ∑ ==n i i n i i yy y n y S 6083.693.7861.85))(( 11 1 1 =-=-= ∑∑∑ ===n i i n i i n i i i xy y x n y x S x y a S S b xx xy 5503.129584.13?,9584.136.128.37 14.14571?,5503.12?+==??-?=== 2. 设Y x ,固定时为正态变量，对Y x ,有如下表所示的观察值 求Y 关于x 的线性回归方程x b a y ???+=，计算用到的中间数据为： 解： 34 .4)1.1(539.105,36.258 .11,1.155.5225 1 2=-?-=-=-=-=-=-=∑=x x S y x i i xx 48.15)36.2()1.1( 546.285))((5 1 51 =-?-?-=-=--=∑∑==y x y x y y x x S i i i i i i xy ， 5668.334 .448.15?===xx xy S S b 5635.1)1.1(5668.336.2??=-?--=-=x b y a x y 5668.35635.1?+= （1） 画出散点图，（2）求Y 关于 x 的线性回归方程x b a y ???+=，（3）求2σε的方差的无偏估计；（ 4）检验假设,0:,0:10≠=b H b H （5）若回归效果显著，求b 的置信水平为0.95的置信期间；（6）求)(50.0x x μ处=的置信水平为0.95的置信期间；，（7）求 Y x 处观察值50.0=的置信水平为0.95的置信期间； 解：(1)画出散点图略. (2)求线性回归方程x b a y ???+=.现在7=n ,为求线性回归方程,所需计算列表如下: 532.044.1471 595.2)(12112 =?- =-= ∑ ∑ ==n i i n i i xx x n x S 03.846.2114171 2.3104)(121 12 =?-=-= ∑∑ ==n i i n i i yy y n y S 68.693.7861.85))(( 11 1 1 =-=-= ∑∑∑ ===n i i n i i n i i i xy y x n y x S 于是,可得a b ,的估计值为 x y b y n x n a S S b n i i n i i xx xy 5503.129584.13?,9584.136.128.371 4.14571?)1( 1 ?,5503.12?1 1 +==??-?=-===∑∑ == ; 04322.05216.02?:.216.068.655.1203.84??)3(222==-=≈?-=-=-=n S S b S S b S S e xx yy xy yy e σσ的无偏估计故 . .,5706.2)5(,05.445321.00432 .055.12) 5()2(??,)24.3(304,0:,0:)4(0025.0025.02 10即认为回归效果显著故拒绝而拒绝域为式由H t t t t n t S b t P b H b H xx =>≈= =-≥=≠=ασ （5）b 的置信水平为0.95的置信期间为 )28.13,82.11()05321.00432 .05706.25503.12()?) 5(?(025.0=? ±=±xx S t b σ； （6）)(50.00x x μ处=的置信水平为0.95的置信期间为 ]44.20,03.20[]53 .004.07145.057.22.21[])(1?)5(?[2 2 02 0≈+?±=-+±xx S x x n t y σα；， （7）由308页（3.32）式，Y x 处观察值 50.0=的置信水平为0.95的置信期间为；]8.20,66.19[57.05321.0)5429.050.0(7110432.05706.2)50.0(11?)2(23.2050.05503.129584.13?],) (711?)5(?[222 0202 0得预测预测期间为而=-++??=-++-=?+=-++±xx xx S x n n t y S x x t y σ σαα 4. 红棉铃虫的产卵数)(C x Y 与温度的一组试验数据如下表所示： （1）求x Y 关于的回归方程，并进行显著性检验（).05.0=α （2）求红棉铃虫的产卵期C x 30=温度时，产卵数Y 的置信水平为0.95的预测期间。 解: (1) 画出散点图略.散点图看起来呈指数关系,于是令Y Z ln =. 记i i Y Z ln =,并作),(i i Z x 的散点图略所示,可见各点基本上处于一条直线上. 设 ),0(~,2 σεεN bx a Z ++= 经计算可得 848.3?,272.0?-==a b 从而有 x z 272.0848.3?+-= 将上述结果代回原变量,得曲线回归方程为 x e y 272.00213.0?=. 又可求得5706.2)5(3537.18)(??025.01 2=>=-= ∑=t x x b t n i i σ 由此可见,线性回归效果是高度显著的. 解: (2)根据(1)知回归方程为x z 272.0848.3?+-= 把C x 30=代入回归直线方程,得312.430272.0848.3?0=?+-=z 2?2-=n S e σ=∑=--n i i i y y n 1 2)?(21=)(212xx xy yy S S S n -- = 5 1622 .0=0.03244 1801.0?=σ xx i S x x n n t 2 2)(11?)2(-++-σα =) 4286.274286.773(7)4286.2730(7111801.05706.222 -?-++?=0.5046 因此, 红铃虫产卵期温度C x 30=时, 产卵数0ln Y 的预测区间(05.0=α)为 ))(11?)2(?(2 20xx i S x x n n t z -++-±σα=)5046.0312.4,5046.0312.4(+- =)8166.4,8074.3( 所以,红铃虫产卵期温度C x 30=时, 产卵数0Y 的置信水平为0.95的预测区间为 )124,45(. 5. 为研究温度 ()0x c 对产品利率()%y 的影响，进行了10次观测，相关结果如下： 10 i 1 1450i x ==∑，10 i 1 673i y ==∑，10 2i 1 218500i x ==∑，10 2i 1 47225i y ==∑，10 i 1 101570i i x y ==∑ 试根据上述数据： （1）求y 对x 的回归直线方程； （2）在水平0.05α=下，检验回归效果的显著性。()()0.0258 2.3060t = 6. 为研究腐蚀时间 x 与腐蚀深度y 之间的关系，进行了11次观测，相关结果如 下： 11 11 11 11 11 2 21 1 1 1 1 510,214,36750,5422,13910i i i i i i i i i i i x y x y x y ==========∑∑∑∑∑ 试根据上述数据，求以下问题，结果保留4位小数 （1）求y 对x 的回归直线方程； （2）在水平0.05α=下，检验线性回归效果的显著性（0.025(9) 2.2622t =）。 7. 设x 固定时，Y 为正态变量，对,x Y 有下表所示观察值： 求y 对x 的线性回归方程.求解过程中可能用到的中间数据如下： ?? ? ??===-=-=∑∑∑∑∑=====46.28,72.94,39.10,8.11,5.55 1512 5125151i i i i i i i i i i i y x y x y x 概率论期末测验复习方案 概率论练习题 一. 是非题:(正确填√,错误填×) 1.多次反复试验下,终究会发生的事件是必然事件.( ) 2.掷一枚骰子，只考虑出现奇数点还是偶数点，则样本空间的元素只有两个。（ ） 3.设A=数学书，B=外文书，C=书皮是红色的，则C AB =不是红皮书的外文数学书。（ ） 4.事件A 与B 互不相容，则A 与B 是对立事件。（ ） 5.若B A ?，则一定有)()(B P AB P =。（ ） 6.古典概型中，基本事件的等可能性是一个必不可少的条件。（ ） 7.若A 与B 独立，B 与C 独立，则A 与C 独立。( ) 二．选择题（只有一个结果正确，将字母填入括号中） 1.一付扑克牌52张（无王），从中任取3张，事件{恰有两张花色相同}的概率为：（ ） A ：352213C C B ： 352213213213213 C C C C C C ：352213213213213C C C C C +++ D ：3 52 1392134C C C 2.设A ，B 为二随机事件，把下面四个概率用等号或不等号连接，则有（ ）必成立。 A ：)()()()()( B P A P AB P B A P A P +≤≤?≤ B ：)()()()()(B P A P B A P AB P A P +≤?≤≤ C ：)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤?≤≤ D ：)()()()(B A P B P A P AB P ?≤+≤ 3．如果A ,B 为任意事件，下列命题正确的是 ( )。 A ：若A , B 互不相容，则A B ,也互不相容 B ：若A ,B 相互独立，则A B ,也相互独立 C ：若A,B 相容，则A B ,也相容 D ： AB A B =? 4. 某人独射击时中靶率为 4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率是( ) A:3 43??? ?? B: 41432 ???? ?? C: 43412 ???? ?? D: 3 41?? ? ?? 5. 设随机变量X 的密度为2 1)(x C x f +=，则=C ( ) A:π2 B:π21 C:π2 D:π 1 6. 设()Y X ,的密度为???>>=+-其它0 ,0),()43(y x ke y x f y x ，则=k ( ) A: 6 B:12 C: 7 D: 25 7.设)1,3(~..-N X V R ，)1,2(~..N Y V R ，且X 和Y 相互独立，令72+-=Y X Z ， 则~Z （ ）分布。 A:)5,0(N B:)3,0(N C:)46,0(N D:)54,0(N 8. 设X V R ..的期望()10=X E ，方差()4=X D ，利用切贝谢夫不等式，估计： {}≤≥-310X P （ ） A:94 B:95 C:1 D:4 1 三． 填空题： 1．随机试验E 的____________称为E 的随机事件，其________________称为E 的样本空间。 2．抛一硬币两次，观察正反面，样本空间为_______________________。 3．加法公式()P A B =________________, 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： （1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A 表示“点数之和为7”； （2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A 表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”； （3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A 表示“寿命在2 000到2 500小时之间”. 2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间； （2）试写出下列事件所包含的样本点：A ={至少出现一个正面}，B ={出现一正、二反}，C ={出现不多于一个正面}； （3）如记i A ={第i 枚硬币出现正面}（i =1，2，3），试用123,,A A A 表示事件A ，B ，C . 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A ＝{取得球的号码是偶数}，B ＝{取得球的号码是奇数}，C ={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： （1）A B U ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C U ；（7）A C -. 4. 在区间上任取一数，记112A x x ??=<≤????，1 34 2B x x ??=≤≤????，求下列事件的表 达式：（1）A B U ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B U . 5. 用事件A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件： （1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现； （8）三个事件中至少有二个出现. 6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第次抽到废品”，试用的运算表示下列各个事件： （1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品； （4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品. 7. 接连进行三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试用表示下述事件： （1）A ={前两次至少有一次击中目标}； （2）B ={三次射击恰好命中两次}； ]2,0[i A i i A i A 321,,A A A 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； 正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比 雪夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不 超过0.01？ 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩 概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？ 解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1） 解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率论与数理统计期末应用题专项训练 应用题专项训练 1. 一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨, 现测得最近 5 天的产量分别 为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为800吨。（取05.0=α），此题中 7764 .2)4(025.0=t 。 2. 设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布 未知 u u N ,),,(22σσ,现他声称他的温度计读数 的标准差为不超过0.5, 现检验了一组16只温度计,得标准0。7度，试检验制造商的言是否正确（取05.0=α），此题中996.24)15(2 05.0=χ。 3. 某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为0.4、0.35和0.25，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为0.5、0.65和0.45．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率． 4. 某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X （单位：千升）是一随机变量，其密度函数为 ()?? ???< 6. 7. （1）抽到次品的概率为： ; （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： ． 8. 某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。如果你是顾客，你对于是否购买此彩票的明智选择为： （买，不买或无所谓）。 9. 甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品， 求该次品为甲厂生产的概率． 10. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每 年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知8413.0)1(=φ，9772.0)2(=φ。 11. 某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正 态分布未知22 ,),,(σσu u N ,该校校长声称学生 平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平05.0=α下，检验该校长的断言是否正确。（此题中1315.2)15(025 .0=t ） 12. 某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90% 以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以 练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B； (2)AB； (3)A－B； (4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB . 解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或 练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况： 出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计 男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率论习题解答(第4章) 第4章习题答案 三、解答题 1. 设随机变量X 的分布律为 求)(X E ，)(2 X E ，)53(+X E ． 解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp = ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2 ) = ∑∞ =1 2 i i p x = 44.0?+ 03.0?+ 43.0?= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-?+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为 6 ,,2,1,6/1}{Λ===i i X P 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙 {}k X == λ λ-e k k ! ，k = 1,2,... 又P {}5=X =P {}6=X , 所以 λ λ λλ--= e e ! 6!56 5 解得 6=λ，所以 E (X ) = 6. 6. 设随机变量 X 的分布律为 ,,4,3,2,1,6 }{2 2Λ--== =k k k X P π问X 的数学期望是否存在？ 解：因为级数∑∑∑∞ =+∞ =+∞ =+-=-=?-1 1 2 1 211 221 1 )1(6)6)1(()6) 1((k k k k k k k k k k πππ， 而 ∑∞ =11k k 发散，所以X 的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 ?????>=-.0 ,0,9 1)(3 /其它x xe x f x 求一天的平均耗电量． 解：E (X ) =??? ∞ -∞ -∞∞ -==0 3/20 3/9191)(dx e x dx xe x dx x f x x x =6. 8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为 ?????>-=.0 , 5,25 1)(2 其它x x x F 求这种家电的平均寿命E (X )． 第一章 概率论的基本概念 §1.1 -1.2 一、选择题 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ） A 、甲种产品滞销，乙种产品畅销 B 、甲乙两种产品均畅销 C 、甲种产品滞销 D 、甲种产品滞销或乙种产品畅销 2．设必然事件123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=其中(1,2,3,4,5,6)i i ω=是基本事件，事件 1235{,,,}A ωωωω=，24{,}B ωω=，123{,,}C ωωω=，则下列选项正确的是（ ） A 、A B ? B 、B A = C 、A C -与B C -互斥 D 、A C -与B 逆 二、填空题 1．同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的电数之和，则样本空间Ω= ． 2．上题中，设事件A 表示“点数之和为偶数”，事件B 表示“点数之和大于7” 事件C 表示“点数之和为小于5的偶数”，则A B ?= ，A B -= ， AB = ，A B C ??= 。 三、设事件A 、B 、C 分别表示某运动员参加的三个项目，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）该运动员只参加A 项目，不参加B 、C 项目； （2）该运动员参加A 、B 两项目，不参加C 项目； （3）该运动员参加全部三个项目； （4）该运动员三个项目都不参加； （5）该运动员仅参加一项； （6）该运动员至少参加一项； （7）该运动员至多参加一项； （8）该运动员至少参加两项． §1.3 一、从5双不同的鞋中任取4只，求其中恰有一双配对以及其中至少有两只配对的概率． 二、将n只球随机地放入() N N n ≥个盒子中去，试求每个盒子最多有一只球的概率． 三、随机的向由 1 01, 2 y x <<<所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形内任何 区域的概率与区域面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于3 4 π的概率． 四、将三个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最多个数分别为1,2,3的概率． 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U概率论练习题
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