线性流形上矩阵方程$AXA^{T}=B$的极小Frobenius范数对称正交对称解

291Vol.29No.1 20061ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Jan.,2006

I

?

(100871)

(E-mail:weizp@https://www.wendangku.net/doc/dd13652904.html,)

(100871)

Weibull I

Weibull I

MR(2000)62N05

O202

1

(“”

),

“I”(I type interval censored data),

()n t1,t2,···,t n, z1,z2,···,z n i t i(

t i),z i=0;(t i),z i=1(i=1,···n),

(t1,z1),(t2,z2),···,(t n,z n)(1.1)

I X(),R(t0)=P(X>t0)

t0t0R(t0)

(1.1)R(t0)

I[1].

R(t0)(),[2].(z i=1,

),R(t0)[1][2] 200310142005818

?(10471007)

8229 n

[3]().

Weibull R(t0)

2Weibull

X Weibull

P(X≤x)=F(x,η,β)=1?exp

?

x

η

β

,x≥0,(2.1)

η,βX1,X2,···,X n(2.1). t1,t2,···,t n n

Z=(Z1,Z2,···,Z n),(2.2)

Z i=

1,X i>t i,

0,X i≤t i.

i=1,···,n,

Z

E=

(i1,···,i n):i k=01,k=1,···,n

.(2.3)

t0>0,

R(t0)=P(X>t0)=exp

?

t

η

β

.(2.4)

R(t0)([4][5]).

[3],E≥x=(x1,···,x n)∈E,y=(y1,···,y n)∈E, x≥y(x y),

1)

n

i=1x i>

n

i=1

y i;

2)

n

i=1x i=

n

i=1

y i

n

i=1

t i x i≥

n

i=1

t i y i.

z∈E,

G n(z,η,β)=Pηβ,Z≥z,(2.5) Pηβ(A)Weibullη,βA

α∈(0,1),

R L(z)=inf

e?(t0η)β:η>0,β>0G n(z,η,β)>α

,(2.6)

(infφ 1).

[4][5]

1)R L(Z)R(t0)1?α

inf η>0,β>0Pηβ

R(t0)≥R L(Z)

≥1?α.(2.7)

1I83

2)R L(Z)ψ(Z)R(t0)1?α

ψ(Z)≤R L(Z),R L(Z)R(t0)1?α

?(·)“”≥,x≥y?(x)≥?(y).

2)R L(Z)

t0≤max(t1,···,t n)()(2.7)

R L(Z)

ψ(Z)

Pηβ

R(t0)≥ψ(Z)

≡1?α,(η,β)?(2.8)

2.1α∈(0,1),ψ(Z)(2.8).

ψ(Z)(2.8),a=ψ(z0),z0=(1,1,···,1)( 1,).

1)a<1.

β>0,ηR(t0)=exp

?

t0

η

β

>a,

(2.8)

1?α≥Pηβ(R(t0)≥ψ(z0),Z=z0)=Pηβ(Z=z0)=exp

?

n

1

t

i

η

β

.

η→∞1?α≥1.

2)a≥1.

(2.8)

α=Pηβ

R(t0)<ψ(Z)

≥Pηβ(R(t0)<ψ(z0),Z=z0)

=Pηβ(Z=z0)=exp

?

n

1

t

i

η

β

.

η→∞α≥1.

(2.8)

(Z=z0=(1,1,···,1))G(z0,η,β)=exp

?

n

1

t i

η

β

.

(2.6)([7] 2.1)

R L(z0)=?

???

??

???

??

0,t0>t(n),

α1p,t0=t(n)p=#{i:1≤i≤n,t i=t(n)},

α1f(β?),t?

α1n,0

(2.9)

t(n)=max(t1,t2,···,t n),t?= n

1

t i)1n,#A A

f(β)=

n

1

t

i

t0

β

,(2.10)

8429

β?

f (β)=0(β>0)

R L (Z )

R L (Z )≤R L (z 0).

(2.9)

t 0>t (n )R L (Z )≡0,

inf

η>0,β>0

P ηβ R (t 0)≥R L (Z )

=1>1?α.

t 0>t (n )

R L (Z )

ψ(Z )R (t 0)

ψ(Z )≤ψ(z 0)(

),ψ(Z )≡0.

[7] 1.2

2.2

t 0≤max (t 1,···,t n ),

inf η>0,β>0

P ηβ R (t 0)≥R L (Z )

=1?α.

(2.11)

R L (Z )

(2.6)

ε0∈(0,α)

ε∈(0,ε0),

β0>0,η0>0

R L (z 0)=exp

?

t 0

η0

β0 .(2.12)exp ?

n 1

t i η0 β0

≥α?ε.(2.13)

z 0=(1,1,···,1)(

1).

t ?= n 1

t i 1n

,t (n )=max (t 1,···,t n ).

(1)t ?

β0=β?,β?

f (β)=0

(f (β)

(2.10)).

η0=

n 1

t i

β?

?ln α 1β?

.

(2.9)

R L (z 0)=α

1

f (β?)

=exp

?

t 0

η0

β0 .exp ?n 1 t i η0 β0

=exp

?

n 1

t i t 0 β0· t 0η0 β0

=exp ?f (β?)·(f (β?))?1·(?ln α)

=α,

(2.12)(2.13)

(2)0

t 0

ε∈(0,α)β0>0

f (β0)=n

ln(α?ε)ln α

.

1I85

η0=

n

1t iβ0

?ln(α?ε)

1

β0,

(2.9)

R L(z0)=α1n=exp

?

t

η0

β

,

exp

?

n

1

t

i

η0

β

≥α?ε.

(3)0

t i≡t0,β0=1,η0=nt0

?lnα

,

R L(z0)=α1n=exp

?

t

η0

β

,

exp

?

n

1

t

i

η0

β

=exp

?nt

η0

=α.

(4)t0=t(n)p=#{i:1≤i≤n,t i=t(n)}

ε0∈(0,α),ε∈(0,ε0)

ln(α?ε)

lnα<

n p

,

β0>0f(β0)=p ln(α?ε)

lnα(f(2.10)).η0=t0

p

?lnα

1

β0,(2.9)

R L(z0)=α1p=exp

?

t

η0

β

.

exp

?

n

1

t

i

η0

β

=exp

?

n

1

t

i

t0

β

·

t

η0

β

=α?ε,

(2.12)(2.13)

η<η0,(2.12)

inf η>0,β>0Pηβ

R(t0)≥R L(Z)

≤Pηβ

R(t0)≥R L(Z)

=Pηβ

exp

?

t

η

β

≥R L(Z)

≤Pηβ

exp

?

t

η0

β

>R L(Z)

=Pηβ

R L(z0)>R L(Z)

=1?Pηβ

0(Z≥z0)=1?G n(z0,η,β0)=1?exp

?

n

1

t

i

η

β

.

η→η0,(2.13)

inf η>0,β>0Pηβ

R(t0)≥R L(Z)

≤1?α+ε.

8629ε→0,(2.7)(2.11)

2.2

β∈[β1,β2](0<β1<β2<∞,βi).(1.1)R(t0)

0<α<1,

R

L(z)=inf

exp

?

t

η

β

:η>0,β∈[β1,β2]G n(z,η,β)>α

.(2.14)

G n(z,η,β)(2.5).

[4][5] R L(Z)R(t0)1?α

inf

η>0,β∈[β1,β2]Pηβ

R(t0)≥ R L(Z)

≥1?α,(2.15)

R

L(Z)1?α

z0=(1,1,···,1),(2.11)([8]2.1),

R

L(z0)=α

1

f(β0).

f(β)=n

1

(t i

t0

)β.

β0=

?

??

??

β1,0

β2,t0≥t(n),

max

β1,min(β?,β2)

,t?

(2.16)

t?,t(n),β?(2.9).z=z0 R L(z)

2.3t0∈(0,∞)

inf

η>0,β∈[β1,β2]Pηβ

R(t0)≥ R L(Z)

=1?α.(2.17)

(2.17)J,(2.15)J≥1?α.J≤1?α.β0(2.16)

η0=

n

1tβ0i

?lnα

1

β0,

exp

?

t

η0

β

=α1f(β0)= R L(z0),

exp

?

n

1

t

i

η0

β

=α.

η<η0

J≤Pηβ

exp

?

t

η

β

≥ R L(Z)

1

I

87

≤P ηβ0 exp

?

t 0

η0

β0

> R L (Z )

=P ηβ0 R

L (z 0)> R L (Z ) =1?P ηβ0(Z ≥z 0)=1?G n (z 0,η,β0)

=1?exp ?n 1

t i η β0

.

η→η0

J ≤1?exp

?

n 1

t i η0

β0 =1?α.

(2.17)

2.3

R

L (Z )3Weibull

z =z 0=(1,1,···,1)()

R L (z 0)

z =z ?=(0,0,···,0)()

R L (z ?)= R

L (z ?)=0.z =z 0z =z ?

3.1z =z ?=(0,0,···,0),

β>0,G n (z,η,β)

η

lim η→0

G n (z,η,β)=0,

lim η→∞

G n (z,η,β)=1.

β

X

F (x,η,β)=1?exp

? x η

β

,x >0η

[5]

3.1

3.1

G n (z,η,β),

≥

a ni =

n

k =1

t k +t i (i =1,···,n ),

?(z 1,···,z n )=

n i =1

a ni z i .

(3.1)3.2

x ∈E,y ∈E (E

(2.3)),

x ≥y

?(x )≥

?(y ).

G n (u,η,β)=P ηβ(?(Z )≥u ).

3.2

G n (z,η,β)= G n (?(z ),η,β).

ψn (a 1,...,a n ,u,η,β)=P η,β

n i =1

a i Z i ≥u

,

Z i

(2.2),

88

29

G n (u,η,β)=ψn (a n 1,···,a nn ,u,η,β),

ψ1(a 1,u,η,β)=???????0,u >a 1,exp ? t 1η β

,

0

u ≤0.

3.3

n ≥2,

ψn (a n 1,···,a n,n ,u,η,β)

=ψn ?1(a n 1,···,a n,n ?1,u ?a nn ,η,β) 1?F (t n ,η,β)

+ψn ?1(a n 1,···,a n,n ?1,u,η,β)F (t n ,η,β),

F (t,η,β)=1?exp

? t

η

β .ψn

3.3G n (z,η,β)n

3.1

Z z =(z 1,···,z n ),(

z i

1,

0),

R (t 0)1?α

R L (z )=inf

exp

?

t 0η(z,β) β

:β>0 ,(3.2)

η(z,β)

G n (z,η,β)=α,

η

(3.3)

3.1(3.3)

η(z,β).

β>0

inf

exp

?

t 0

η

β

:η>0,

G n (z,η,β)>α =exp ?

t 0η(z,β)

β

.

(2.6)

(3.2)

β∈[β1,β2]

R

L (z )=inf

exp

?

t 0η(z,β) β

:β1≤β≤β2 .(3.4)

(3.2)(3.4),

R L (z )

R L (z )β∈[β1,β2](0<β1<β2<∞).

β1=β(1)<···<β(l )=β2,

β(i +1)?β(i )

(0.01),

G n (z,η,β(i ))=α,

i =1,···,l (3.5)

(G n

(2.3)),

η(i )=η(z,β(i )).

a =max

1≤i ≤l

t 0η(i )

β

(i ),R ?L (z )=e ?a ,

R ?

L (z )

Z =z

1?α

R

L (z )β

β1

(

β1=0.1),β2

(

β2=10),

R ?

L (z ),

R L (z )

1

I

89

R ?L

t i 667911131481616z i 1111111011t i 18192221252628303333z i

1

11

1

1

1

1

1

11

N =20,Weibull β

[β1,β2]=[0.1,10],

[β1,β2]

M((3.5)l =M +1),

M =50M =400

T =30,

M (

)

500.78053400

0.785028

T =15,

M (

)

500.908913400

0.908913

Weibull

M

β?

Weibull β

1.

Weibull

β[β1,β2]

Weibull

ββ?

,

M

2.

Weibull

β

[β1,β2]

Weibull

β

β?,

β?

β?=β1β?=β2,

β?=β1

β1,

β?

=β2

β2,

M

3.1

X

Weibull t i 2323474818

1212121256z i 1110111111t i 444442322274847z i

1

111

1

11

(z i =1

t i ,z i =0

t i ).

(

β1=0.1,β2=10)R (20)=P (X >20)

0.8

R L =0.70372.

t 0>T >0,R c =P (X >t 0|X >T )

R c =exp ?t 0β?T βηβ

,

R c (

(1.1)),

9029

[1]Huang J,Wellner J A.Interval Censored Survival Data:A Review of Recent Progress.Lecture

Notes in Statistics(M).New York:Springer-Verlag,1996

[2]Groeneboom P,Wellner J https://www.wendangku.net/doc/dd13652904.html,rmation Bounds and Nonparametric Maximum Likelihood Estima-

tion.Basel:Birkh¨a user Verlag,1992

[3]The Research Group of Life and Reliability at Peking University.Con?dence Limits in the Case of

Double Censoring.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,1990,6(4):354–361(in Chinese)

[4]Chen J.The Order Relation in Sample Space and the Con?dence Limits of Parameters.Advances in

Mathematics,1993,22(6):542–552(in Chinese)

[5]Chen J.An Introduction to Surrival Analysis and Reliability.Hefei:Anhui Education Press,1993

(in Chinese)

[6]School of Mathematical Science.The Statistical Inference on Interval Censored Data.The Report

on Science and Technology of China National Defence,2000(in Chinese)

[7]Chen J,Sun W,Li B.On the Con?dence Limits in the Case of No Failure Data.Acta Mathematicae

Applicatae Sinica,1995,18(1):90–100(in Chinese)

[8]Sun Wanlong,Chen Jiading.Some New Results on the Con?dence Limits for Reliability Parameters

in the Case of No Failures.System Science and Mathematical Sciences,1999,12(1):70–81

On the Con?dence Limits of the Reliability

in the Case of I Type Interval Censored Data

WEI Zhongpeng

(School of Mathematical Sciences,Peking University100871)

(E-mail:weizp@https://www.wendangku.net/doc/dd13652904.html,)

CHEN Jiading

(School of Mathematical Sciences,Peking University100871)

Abstract In the Weibull distribution case,the con?dence limit of the reliability via I type interval censored data is proposed.The related theory and computational method are given. Key words Weibull distribution;I type interval censored data;reliability;

con?dence limit

MR(2000)Subject Classi?cation62N05

Chinese Library Classi?cation O212

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)

性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数

§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(n n n R R ?或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此， 这就需要对量空间n R (或n n R ?矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。 },{1为复数i n n x x x x x C ??????????== 称为n 维复向量空间。 },)({为复数ij n n ij n n a a A A C ??==称为n n ?复矩阵空间。 (2)设n n n C A C x ?∈∈,,称T n H x x x x =≡),,(1 为x 的共轭转置 ， T H A A =称为A 共轭转置矩阵。 在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足 正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 n R x ∈(或n C x ∈)的某个实值非负函数 x x N ≡)(，如果满足下述条件 (1)正定性 00,0=??=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α) (3)三角不等式 )(,,n n C R y x y x y x ∈∈?+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。

由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 设)(),,(1n n T n C x R x x x ∈∈=或 (1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞ ∞=≡1max )( (2)向量的“1”范数 ∑==≡n i i x x x N 1 1 1)( (3)向量的“2”范数 2/11 2 2 /12 2)() ,()(∑===≡n i i x x x x x N (4)向量的能量范数 设n n R A ?∈为对称正定阵 2 /1),()(x Ax x x N R x A A n =≡→∈? 称为向量的能量范数。 设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是n R 上(或n C )的向量范数。 证明 只验证三角不等式：对任意n R y x ∈,，则222 y x y x +≤+ 利用哥西不等式：22 ),(y x y x ≤，则有 ),(22 y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22 2 2 22 2y y x x ++≤222))(y x += 对任何n R y x ∈,则 (1) ∞∞ ≤≤x n x x 2 (2) 212 x n x x ≤≤ (3) ∞∞ ≤≤x n x x 1

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；

5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，

总结求线性方程组的方法

总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2014年12月31日

摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。 关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.

第三章知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使

线性方程组与矩阵

高代小练习 专业课研究部 一、填空题 1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成． 2．向量组123,,ααα线性无关，则122331(,,)rank αααααα+++=__3____. 3．设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关，则r __<=___s （填大小关系）. 4.在数域K 上的4维向量空间K 4内，给定向量组α1 =（1，-3，0，2）α2 =（-2，1，1，1）α3 =（-1，-2， 1，3），则此向量组的秩是_2____. 5.若V={(a+bi ，c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘，在复数域上是__2____维的，而在实数域上是__4_____维的. 6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解，则秩A ?>=??秩B. 7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21______。 8.设任意一个ｎ维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量，则=)(A r ______。 9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系，那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+- 10.在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求 21V V ?=_原点____，和21V V ?=_整个空间R 3 ____。 二．解答题 1.在4维向量空间中， （1）求基 到基 的过渡矩阵。

矩阵分解与线性方程组求解

一、 用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组： ?????? ?-=+--=++---=--+=--+36 15531495102210762133421342143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x 程序： function x=gaussa(a) m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1 [c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end for i=k+1:n a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end for j=n:-1:1 x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end 执行过程： >> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a = -10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10 -22 1 13 -2 -34 13 -3 -5 0 15 -36 >> gaussa(a) a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 1.0000 13.0000 -2.0000 -34.0000 13.0000 -3.0000 -5.0000 0 15.0000 -36.0000 a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 0 12.9000 -1.5000 -33.1000 14.4000 -3.0000 -5.0000 0 15.0000 -36.0000 a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 0 12.9000 -1.5000 -33.1000 14.4000 0 -4.7000 -1.5000 12.3000 -40.2000

线性方程组的矩阵求法

线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩

阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= L L L L L L L L L L L L L L L 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L L L L 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵

矩阵在线性方程组中的应用

矩阵在线性方程组中的应用 摘要 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯—若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。 关键词矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组

MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT Matrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices. KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)

线性代数习题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、

习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、

3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

线性方程组AX=B的数值计算方法实验

线性方程组AX=B的数值计算方法实验 【摘要】在自然科学与工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组的问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。 关键字高斯消元法、三角分解法、高斯-赛德尔迭代、稀疏矩阵 一、实验目的 1.掌握高斯消元法、三角分解法、高斯—赛德尔迭代发的编程技巧。 2.掌握线性方程组AX=B的数值计算方法。 3.掌握矩阵的基本编程技巧。 二、实验原理 1.高斯消元法

数学上，高斯消元法是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。高斯（Gauss ）夏鸥按法其实是将一般的线性方程组变换为三角形（上三角）方程组求解问题（消元法），只是步骤规，便于编写计算机程序。 一般高斯消元法包括两过程：先把方程组化为同解的上三角形方程组，再按相反顺序求解上三角方程组。前者称为消去或消元过程，后者称回代过程。消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。 对一般的n 阶方程组，消去过程分n-1步：第一步消去11a 下方元素。第二步消去22a 下方元素，......，第n-1步消去1-n 1-n a ，下方元素。即第k 步将第k 行的适当倍数加于其后各行，或可说是从k+1~n 行减去第k 行的适当倍数，使它们第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k 行对应列元素的倍数。 2.三角分解法 三角分解法是将原正方 (square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU 分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。

线性方程组和矩阵知识总结.doc

线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 线性方程组的解法 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 （1）、写出线性方程组的增广矩阵。 （2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。 （3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。 （4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。如果r=n ，则方程组有唯一解；如果r

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of

Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：

矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知121011251-?? ? = ? ?-??A ，求()R A . 2．已知3210 1032 100000200000-?? ?- ? = ?- ? ?? ?B ，求()R B . 3．若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（ ）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D) ()max{(),()}R R R ≥A B C 4． 设矩阵X 满足关系2=+AX A X ，其中423110123?? ? = ? ?-??A ，求X . 5． 设矩阵101210325?? ?= ? ?--?? A ，求1 ()--E A . 6．A 是m n ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b 必有无穷多解； (B) 0=Ax 必有非零解； (C) 0=Ax 仅有零解； (D) 0=Ax 一定无解. 8． 求解线性方程组 （1）12312312312333332x x x x x x x x x +-=??+-=??-+=?， （2）72315 532151011536 x y z x y z x y z ++=?? -+=??-+=? （3）123412341 23420 202220 x x x x x x x x x x x x ++-=?? ++-=??+++=?

9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-?? -=-??-=--+-? 有无穷多解，则λ= . 10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ). (A)()2,1,1- (B)201011-?????? (C)102011-????-?? (D)011422010-?? ??--?? ???? 3.4.2 提高练习 1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则* ()R A = . 2．设矩阵12332354445037a a -????=-?? ??-?? A ，以下结论正确的是( ). (A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A 3．设A 是43?矩阵，且()2R =A ，而102020103?? ? = ? ?-??B ，则()R =AB . 4．设12243311t -?? ? = ? ?-??A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -?? ? =-- ? ?-?? A , 问k 为何值，可使 （1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A . 6．设矩阵111111111111k k k k ?? ? ? = ? ? ??? A ，且()3R =A ，则k = .