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高中数学数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版

高中数学数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版
高中数学数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版

【例1】 在等比数列{}n a 中,22a =,5128a =,则它的公比q =_______,前n 项和

n S =_______.

【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且53655-=S S ,则4=a .

【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若

63

3S S =,则96=S

S ( )

A .2

B .

7

3

C .83

D .3

【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列,1>q ,令1(12)=+=n n b a n ,,,

若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--,

,,,中,则6=q .

【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为n S ,公比1q ≠,若

105S S =31

32

,则105a a 等于 .

【例6】 等比数列{}n a 中,1512a =,公比1

2

q =-,用n ∏表示它前n 项的积:12...n n a a a ∏=,

则1∏,2∏,…,n ∏中最大的是_______.

典例分析

等比数列的通项公式与求和

【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1

(1)()3

N n n S a n *=-∈.

⑴求1a ,2a ,3a 的值; ⑵求n a 的通项公式及10S .

【例8】 在等比数列{}n a 中,12327a a a ??=,2430a a +=

试求:⑴1a 和公比q ;⑵前6项的和6S .

【例9】 在等比数列{}n a 中,已知对任意正整数n ,有21n n S =-,则

22

2

12n a a a ++

+=________.

【例10】 求和:2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-+

+-≠.

【例11】 在等比数列{}n a 中,423a =

,3520

9

a a +=.若数列{}n a 的公比大于1,且3

log 2

n

n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .

【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中,若783b b ?=,则3132log log b b ++……

314log b +等于( )

A .5

B .6

C .7

D .8

【例13】 等比数列}{n a 中,已知对任意自然数n ,=+?+++n a a a a 32121n -,

则222

12n a a a ++???+=( ) A .()221n - B .()1213n - C .41n - D .()1

413

n -

【例14】 若210lg lg lg 110x x x ++?+=,求210lg lg lg x x x ++?+的值.

【例15】 在等比数列{}n a 中,423a =

,3520

9

a a +=.若数列{}n a 的公比大于1,且3

log 2

n

n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .

【例16】 在等比数列{}n a 的前n 项中,1a 最小,且12166,128n n a a a a -+==,前n 项和

126n S =,求n 和公比q .

【例17】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ,若3692S S S +=,求数列的公比q .

【例18】

{}n a 的相邻两项1n n a a +,是方程21

()03

n n x c x -+=的两根,且12a =,求数列{}n c 的前n 项和n S .

【例19】 已知数列{}n a :1,12()2-,213()2-,…,11

()2

n n --,求它的前n 项和.

【例20】 已知:数列{}n a 满足21123333,3

n n n

a a a a a -++++

+=∈N .

⑴求数列{}n a 的通项;

⑵设,n n

n

b a =求数列{}n b 的前n 项和n S

【例21】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =?,求其前n 项和公式.

【例22】 求数列a ,22a ,33a ,…,n na ,…,(a 为常数)的前n 项的和.

【例23】 已知等差数列{}n a ,公差为d ,求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++

(10)x x ≠≠且

【例24】 设{}n a 为等比数列,121(1)2n n n T na n a a a -=+-+???+,已知11T =,24T =.

⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式.

【例25】 已知1a ≠,数列{}n a 是首项为a ,公比为a 的等比数列,令

lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ,

⑴当2a =时,求数列{}n b 的前n 项和n S ;

⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时,求a 的取值范围.

【例26】 已知函数()f x 是一次函数,且()815f =,()2f ,()5f ,()14f 成等比数列,

设()n a f n =,()*n ∈N .

⑴ 求n T ;

⑵ 设2n n b =,求数列{}n n a b 的前n 项和n S .

【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和()0n S n +>∈N .

⑴求q 的取值范围;

⑵设213

2

n n n b a a ++=-,记{}n b 的前n 项和为n T ,试比较n S 与n T 的大小.

【例28】 设

{}n a 是由正数组成的等比数列,

n S 是前n 项和,证明

0.50.52

0.51log log log 2

n n n S S S +++>

【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 是前n 项和.

⑴证明:

2

1lg lg lg 2

n n n S S S +++<;

⑵是否存在常数0C >使得()()

()21lg lg lg 2

n n n S C S C S C ++-+-=-成立?并证明

你的结论.

【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以

后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱?

【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升,然后填满水,再倒出1升混合溶液

后又用水填满.如此继续下去,那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?

【例32】 某企业年初有资金1000万元,如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长

率为50%,但每年年底都要扣除消费基金x 万元,余下基金投入再生产,为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后),那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)?

【例33】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行,月利按复利计算,月利

率为0.2%,

每够一年就将一年的本利和改存,年利按复利计算,年利率为6%,问三年后取出本利共多少元(保留到个位)?

【例34】 用n 个不同的实数12,,

,n a a a 可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一

个!n 行的数阵。对第i 行12,,,i i in a a a ,记12323....(1)n i i i i in b a a a na =-+-++-,

1,2,3,,!i n =。

例如:用1,2,3、可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,1261221231224b b b ++

+=-+?-?=-,那么,

在用1,2,3,4,5形成的数阵中,12120b b b ++

+=________。

1231231231231231

2

3

【例35】 我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为

1,公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数

是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.

⑴ 设第2行的数依次为12n B B B ,,,,试用n q ,表示12n B B B ++

+的值;

⑵ 设第3行的数依次为123n c c c c ,

,,,,求证:对于任意非零实数1322q c c c +>,;

⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第一问).

①能否找到q 的值,使得⑵中的数列123n c c c c ,

,,,的前m 项()123m c c c m ,,,≥成为等比数列?若能找到,m 值有多少个?若不能找

到,说明理由.

②能否找到q 的值,使得填表格后,除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?并说明理由.

【例36】 已知数列012n a a a a ,,,,,满足关系式()()13618n n a a +-+=,且03a =,则

1

n

i i

a

=∑的值是 .

【例37】 在n 行n 列矩阵

12321

234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ? ???? ?????????????????????? ? ????---??

中,记位于第i 行第j 列的数为(,12)ij a i j n =???,

,,. 当9n =时,11223399a a a a +++???+= .

【例38】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n ∈N

⑴ 证明:{}1n a -是等比数列;

⑵ 求数列{}n S 的通项公式,并求出n 为何值时,n S 取得最小值,并说明理由.

【例39】 已知数列{}n a 的首项10a ≠,其前n 项的和为n S ,且112n n S S a +=+,则lim

n

n n

a S →∞= A .0 B .

1

2

C . 1

D .2

【例40】 已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,

且369s s =,则数列1n a ??

????

的前5项和为

A .158或5

B .3116或5

C .3116 C .158

【例41】 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=,则5

2

S S = A .11

B .5

C .8-

D .11-

【例42】 在数列{}n a 中,11a =,()()

1*121n n n a ca c n n ++=++∈N ,其中实数0c ≠.

⑴求{}n a 的通项公式;

⑵若对一切*

k ∈N 有21k zk a a ->,求c 的取值范围.

【例43】 设{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为其前n 项和.已知241a a =,37S =,

则5S =

A .152

B .314

C .334

D .172

【例44】 设等比数列{}n a 的公比为1

2

q =

,前n 项和为n S ,则44S a = .

【例45】 设{}n a 是等比数列,若141,8a a ==,则q = ,数列{}n a 的前6项的和

6S = .

【例46】 在数列{}n a 中,13a =,122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N .

⑴求2a ,3a 的值;

⑵证明:数列{}n a n +是等比数列,并求{}n a 的通项公式; ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S .

【例47】 在数列{}n a 中,13a =,121n n a a n -=--+(2n ≥且*)n ∈N .

⑴求2a ,3a 的值;

⑵证明:数列{}n a n +是等比数列,并求{}n a 的通项公式; ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S .

【例48】 设数列{}n a 为等比数列,数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+

++,n *∈N ,

已知1b m =,232

m

b =

,其中0m ≠. ⑴求数列{}n a 的首项和公比;

⑵当1m =时,求n b ;

⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若对于任意的正整数n ,都有[1,3]n S ∈,求实数m 的取值范围.

【例49】 若,4,3a a 为等差数列的连续三项,则0129a a a a +++???+的值为( )

A .1023

B .1025

C .1062

D .2047

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