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浅谈中学不等式的证明及解法

浅谈中学不等式的证明及解法
浅谈中学不等式的证明及解法

浅谈中学不等式的证明及解法

刘永强

一、不等式的概念

定义:用不等号联结两个解析式所成的式子,叫做不等式。

常用的不等号有两类:“>”或“<”,叫做严格不等号;“≥”和“≤”的非严格不等号(相应的不等式叫做严格不等式和原严格不等式),例如:a≥b表示“a>b 或a=b有一个成立”,因此1≥0或1≤1都是真的。

另外,还有一种只肯定不等关系,但不区别大小的不等号,即“≠”。

二、不等式的性质:

讨论不等式性质的出发点,是实数域上的运算化软性质。

(1)a>b?a-b>0

(2)a

(3)a=b?a-b=0

这个性质相当于给a>b,a

不等式的重要性质可概括如下:

1、对递性

若a>b,则bb ①

证明略:

2、传递性

若a>b,b>c,则a>c ②

证明略:

概据①;②可进一步表示为

若c

3、加法单调性

若a>b,a+c>b+c ④

证明略

由④说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式不等式同向:

利用④可以得出:如果a+b>c,那么a>c-b ⑤

证明:∵a+b>c

∴a+b+(-b)>c+(-b)

∴a>c-b

也就是说:不等式中任何一项改变符号后,可以把它以一边移到另一边。

4、乘法单调性

若a>b,c>o,则ac>bc;若a>b,c

上面这四条是不等式的基本性质,其实这们就是实数,域作为有序域所必须满足的一些条件。可用运算比较性质给出简易的证明,由这四个基本性质,可以推出关于两个不等式相加、相减、相乖的如下法则。

5、机加法则

若a>b,c>d,则a+c>b+d ⑦

很明显,这个结论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,这就是说,两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与非不等式同向:

6、相减法则:

若a ≤b ,cb-d ⑨ 证明:∵a-b ≥o ,d-c>o

∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>o ∴a-c>b-d 7、相乘法则:

若a>b>o ,c>d>o ,则ac>bd ⑩ 证明:∵a>b c>o

∴ac>bc 又∴c>d ,b>o

∴bc>bd ∴ac>bc>bd 即ac>bd

显然,这一法则可以推广到任意有限个两边都是正数相同向不等式两边分别相乖,这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与非不等式同向。 8、相除法则:

若a ≥b>o ,o

b

c

a > ○

12 证明:∵o

c

>>

1

1 又∴a ≥b>o ∴d

b c

a > 9、乘方法则:

设a 、b ∈R +,若a>b ,整数h>1,则a h >b h ○

13 证明:∵个n o b a o b a o b a ???

?

???

>>>>>>

∴a h >b h

10、开方法则:

设a 、b ∈R +,若a>b ,整数h>1,则h h b a > ○

14 以上十条性质中,1,3,4,9和10里可以递推的它们既可用于证明不等式,也可用于解不等式的依据,其余性质不可递推,不能用作解不等式的依据,但可以用来证明不等式。 三、几个重要的不等式 1、均值不等式 (1)简单均值不等式

如果a 、b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab (当且仅当a=b 时取“=”号) 证明略:

定理:如果a 、b 是正数;那么ab b

a ≥+2

(当且仅当a=b 时取“=”号) 证明:∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+

即:

ab b

a ≥+2

[如果把2

b

a +看作是正数a 、

b 的等差中项,ab 看作是正数a 、b 的等比中

项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项] 这里,我们称

2

b

a +为a 、

b 的算术平均数;称ab 为a 、b 的几何平均数。因而,这一事实上理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

下面给出这一定理的一种几何解释:(如右图)

以a+b 长的线段为直径作圆,在直径AB 上取点C ,使AC=a ,CB=b ,过点C 作重直于直径AB 的弦DD ',连接AD ,DB ,易证Rt △ACD ~Rt △DCB ,

那么 CD 2=CA ·CB 即:CD=ab 这个圆的半径为

2b a +,显然,它大于或等于CD ,即

ab b

a ≥+2

其中当且仅当点C 与圆心重合;即a=b 时,等号成立。 例1:求证:)(222222444c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++ 证明:∵22442b a b a ≥+ 22442c b c b ≥+ 22442a c a c ≥+

∴)(2)(2222222444a c c b b a c b a ++≥++ 即:222222444a c c b b a c b a ++≥++

又c ab c b b a 222222≥+ 222222abc a c c b ≥+

bc a b a a c 222222≥+

∴)(2)(2222222222bc a abc c ab a c c b b a ++≥++ 即:)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++ ∴)(222222444c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++

证明:由?????=+≥+1

2

b a ab

b

a a 、

b ∈(o ,+∞) 得41

4121≥?

≤?≤ab

ab ab (1)∵2

14

121212)(222=?-≥-=-+=+ab ab b a b a ∴2

1

22≥+b a (2)∵

821122≥≥+ab b a ∴81

122≥+b

a

(3)由(1)(2)的结论,知:

2258421114)1()1(222222=++≥++++=+++b a b a b b a a

∴2

25

)1()1(22=+++b b a a

(4)425

2)212(22)1(1)1)(1(22=

+-+≥+-++=+++=++ab ab

b a a b ab ab b

a a

b b b a a ∴4

25)1)(1

(=

++b

b a

a 例3、已知a 、

b 、

c ∈R +,且a+b+c=1,求证:8)11)(11)(11

(≥---c

b a 证明:∵a 、b 、

c ∈R +,a+b+c=1 ∴a bc

a c a

b a

c b a a a

·2111≥+=+=-=

- 同理:c

ab c ,b ac b ·211·

211

≥-≥- 上述三个不等式两边均为正,分别机乘,得:

82·2·2)11)(11)(11(=≥---c

ab b ac a bc c b a 当且仅当a=b=c=8

1

时,取“=”号

例4、设a 、b 、c 都是正数,求证:c b a a

c

c b b a ++≥++2

2

2

证明:∵a>0,b>0,c>0

∴a b b

a b b a 2·222

=≥+ 同理:c a a

c

b ,

c c b 222

2

≥+≥+

三式相加,得)(22

2

2

c b a c b a a c

c b b a ++≥+++++

即:c b a a

c

c b b a ++≥++22

2

(2)两个数的调和平均、平方平均、几何平均、算术平均数关系

若a 、b ∈R +

,则有22112

2

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+ 证明:∵a 、b ∈R + ∴ab

b a 1211≥+ 即

ab b

a ≤+112

当且仅当b

a

11=;即a=b 时,等号成立

又∵2

442)2(2

22222222b a b a b a b ab a b a +=+++≤++=+ ∴2

22

2b a b a +≤

+,当且仅当a=b 时,等号成立,而2b a ab +≤,于是 22112

2

2b a b a ab b a +≤

+≤≤+ 当且仅当a=b 时,取“=”号 例:求函数1

lg 4

lg )(-+=x x x f 的值域 解:11

lg 4

1lg )(+-+

-=x x x f (1)当01lg <-x ,即100<

3142)(-=+-≤x f

当且仅当1

lg 4

1lg -=-x x ,即1.0=x 时等号成立 ∴3)(-≤x f

(2)当10≥x 时,5142)(=+≥x f

当且仅当1000=x 时,等号成立 ∴5)(≥x f 综上,)(x f 的值域为),5[]3,(+∞?--∞

(3)一般均值不等式

常用的用均值除了几个正数的几何平均值,G n 和算术平均值A n 之外,还有另外两种,定义如下:

定义,几个函数的倒数的算术平均值的倒数,叫做这几个正数的调和平地产值,用H n 表示;几个正数的k 次幂的算术平均值的k 次算术根,叫做这几个正数的k 次幂平均值,用M k 表示,即:

n

a a a n

Hn 11121+??++=;Mk=n a a a k

n

k

k

+?++21

其中h ,k 均为大于1的自然数

定理2G n ≤A n ,即若a i ∈R+(i=1,2,……h ) 则n

a a a a a a n

n n +?++≤

??2121 ①

当且仅当a 1=a 2=……=a n 时的等号 证明:用数学归纳法 1)当n=2时,原不等时成为

2

2

121a a a a +≤

此式明显成立,当且仅当a 1=a 2时的等号 2)假设h=k-1时结论成立

当h=k 时,不妨假设a 1≤a 2≤……a k -1≤a k 令 k

a a a A k

+?++=

21,则

A k

a a a k ka a k

k k =+?++≥=21(同理a 1≤A ) ②

∴01>-+A a a k

根据归纳假设,有下式成立:

A k A

kA k A a a a a a A a a a a a k k k k k =--=--++-?++≤

-+-?-1

1)(1)(11321

132

即:1132)(1-≤-+-?k

A A a a a a a k k ∴k

A A A a a a a a k k ≤-+-?)(1132

∴0))(()(1111≤--=-+-k k a A a A A A a a k a (根据②) ∴A A a a a a k k )(11-+≤

∴k k k k k A A A a a a a a a a a a ≤-+?≤?--)(1132121 ③ 当且仅当a 1=a 2=…=a k 时,③中等号成立 将③两边的k 次算术根,即是

A a a a a k

k k ≤?-121

当且仅当a 1=a 2=…=a k 时的等号 由1)、2)可知,不等式①成立

定理3、H n ≤G n ,即若a i ∈R +(i=1,2…,h ) 则

n n n

a a a a a a n

?≤+?++21211

11

证明:根据定理2

n n

n a a a n a a a 1

··1·11112121?≥+?++

上式两边都是正数,两边取倒数得异向不等式

n n n

a a a a a a n

?≤+?++2121111

定理4、A n ≤M 2,即若a i ∈R +(i=1,2…,h )

则n

a a a n a a a n n 2

2

22

1

21+?++≤+?++

综上所述,四种平均值之间的关系是:

H n≤G n≤A n≤M2 ④

④式(或其中一部分)被统称为均值不等式

2、基本的绝对不等式

定理:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

证明略

推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|

推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

证明:由上面的定理可知

|a|-|b|≤|a+(-b)| ≤|a|+|-b|

即:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

例:已知:m

+

=2

)

((m为常数)且|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+2

f+

x

x

x

证明:∵|x-a|<1 ∴|x|-|a|<1,|x|<|a|+1

∴|f(x)-f(a)|=|x2+x+m-a2-a-m|

=|x2-a2+x-a|=|x-a||x+a+1|

≤|x+a+1|≤|x|+|a|+2<|a|+1+|a|+0

=2|a|+2

四、不等式的证明

1、比较法

比较法是直接作出所求证不等式两边的差(或商),然后推演结论的方法。具体地说,欲证A>B(或A

A与1比较大小(也称比商法)差法);或者当A、B∈R+时,直接将商式

B

例:设a、b、c为△ABC的三边,求证:

a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)

证明:∵a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)

= a2+b2+c2-a(b+c)-b(a+c)-c(a+b)

=a[a-(b+c)]+b[b-(a+c)]+c[c-(a+b)]

∴a[a-(b+c)]<0 b[b-(a+c)] <0 c[c-(a+b)] <0

∴a[a-(b+c)]+b[b-(a+c)]+c[c-(a+b)] <0

即:a2+b2+c2-2(ab+bc+ca) <0

∴a2+b2+c2 <2(ab+bc+ca)

例:已知a>b>c,求证:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2

证明:a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)

=(a2b-bc2)+(b2c -ab2)+(c2a-ca2)

=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)

=(a-c)[ba+bc-b2-ca]

=(a-c)(b-c)(a-b)

∵a>b>c,∴a-c>0,b-c>0,a-b>0

∴(a-c)(b-c)(a-b)>0

即:a2b+b2c+c2a> ab2+bc2+ca2

2、综合法

综合法是“由因导果”,即以已知条件出发,依据不等式性质,函数性质或熟知的基本不等式,逐步推导出要证明的不等式。

列:已知x1·x2·x3·……·x n=1,且x1,x2,……,x n都是正数,

求证:(1+x 1)(1+x 2)……(1+x n )≥2n 证明:∵x 1·x 2·x 3·……·x n 都是正数 ∴(1+x 1)(1+x 2) (1+x 3)……(1+x n )≥2

n

n n x x x x 2321=?

例:已知a 、b 、c 为不全相等的正数,求证:

3>-++-++-+c

c

b a b b a

c a a c b 证明:∵

c c

b a b b a

c a a c b -++-++-+ =3)()()(-+++++a

c

c a c b b c b a a b

∴a 、b 、c 为不全相等的正数 ∴2·2=≥+b

a a

b b a a b ,同理:

2,2≥+≥+a

c

c a c b b c 且上面三式的符号不能同时成立

∴3363)()()(=->-+++++a

c c a c b b c b a a

b

即:3>-++-++-+c

c

b a b b a

c a a c b 3、分析法:

分析法是“执果索因”,即从所求证的结论出发,步步推求使之能成立的充分条件(或充要条件),直至归结到已知条件或已知成立的结论为止。 例:已知a 、b 、c ∈R+,且a+b+c=1 求证:33232323≤+++++c b a 证明:欲证33232323≤+++++c b a 只需证:27)232323(3≤+++++c b a

27232322323223232222333≤+++++++++++++++c b c a b a c b a

即:18232322323223232≤+++++++++c b c a b a ∴433)23()23(2323222++=+++≤++b a b a b a

同理43323232++=++c a b a

43323232++=++c b b a

∴1812)(6232322323223232=+++≤+++++++++c b a c b c a b a ∴33232323≤+++++c b a

例:已知a 、b 、c 、d 都是实数,且a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,求证:|ac+bd|≤1 证明:要征|ac+bd|≤1 只需证:(ac+bd )2≤1

即:a 2+c 2+b 2d 2+2acbd ≤1 ① 由于a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,;因此①式等价于

a 2c 2+ 2acbd+

b 2d 2≤(a 2+b 2)(

c 2+

d 2) ② 将②展开、化简、得

(ad-bc )2≥0 ③ 因为a 、b 、c 、d 都是实数,所以③成立,即①成立,原命题得证。 4、数学归纳法

数学归内法是证明与自然数n 有关的不等式的有效方法。 例:证明不等式

)(11

31

312111N n n n n n ∈>++??++++++ 证明:1)当n=1时

112

13

311211111>=+++++ 2)假设当n=k 时,不等式成立,即

11

31312111>++??++++++k k k k ① 要证:当n=k+1时不等式也成立,即

14

313121>++??++++k k k ② ②式左边=)1312111(

++??++++k k k +)1

1

431331231(

++??++++++k k k k >1+

1)

43)(23)(1(32

>+++k k k

因此②式成立

由1)和2),原不等式对任意自然数n 成立 5、换元法

换元法是根据不等式的结构特征,选取适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证明。

例:设x 、y ∈R ,且x 2+y 2=1,证明|x 2+2xy-y 2|≤2 证明:设x=cos θ y=sin θ 则

|x 2+2xy-y 2|=| cos 2θ+2 sin θcos θ- sin 2θ|=| cos2θ+sin2θ|=2|sin(2θ+4

π)|2≤ 6、放缩法

放缩法又称传递法,它是根据不等式的传递性;将所求证的不等式的一边适当的放大或缩小,使不等关系变得明朗化,从而证得原不等式成立。 放给法的具体做法是要依据原不等式的结构来确定。例如对于和式,采用将某些项代之以较大(或较小)的数来得到一个较大(或较小)的和,或者用舍去一个或几个正项的办法来得到较小的和;又如对于分式,则采用缩小(或放大)分母或者放大(或缩小)分子的办法,来增值(或减值),总之,放缩法使用的是不等量代换;这同换元法使用等量代换有着明显的区别。

例:已知a 、b 是正数,且a≠b ,求证: a 6+b 6>a 4b 2+a 2b 4 证明:∵a 4+b 4>2a 2b 2 ∴a 4>2a 2b 2-b 4 同理:b 2>2a 2b 2-a 4

∴a 6+b 6>a 2(2a 2b 2-b 4)+ b 2 (2a 2b 2-a 4) =2a 4b 2-a 2b 4+2a 2b 4-a 4b 2 =2a 4b 2+ a 2b 4

附:用放缩法证明不等式时,有时用到下面一些式子。 (1))1(111)1(11)1(11112>--=-<<+=+-

n n

n n n n n n n n

(2))1(111

21111>--=-+<<++=-+n n n n n n n n n n

(3))1(2

1

2)1(≥+<+

)(2

11N n n n n n ∈++<+

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

关于用微积分理论证明不等式的方法

关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序

封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期:

毕业论文(设计)使用授权的说明 本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。 即:学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:指导教师签名: 日期:日期: 目录 中文摘要Ⅰ 英文摘要Ⅱ 第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1 第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1 第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2 第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3 第四节用柯西中值定理证明不等式法 4 第五节上述几种方法小结 6 第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7 第一节用导数定义证明不等式法7 第二节用函数的凹凸性证明不等式8 第三节用泰勒公式证明不等式法9 第四节用幂级数展开式证明不等式法10

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

浅谈中学几种常用证明不等式的方法

成绩: 江西科技师范大学 毕业论文 题目:浅谈中学几种常用证明不等式的方法 (外文):On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院(系):数学与计算机科学学院 专业:数学与应用数学 学生姓名:吴丹 学号:20091741 指导教师:樊陈 2013年3月20日

目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2(改变分子分母)放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4.换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元,化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5.综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7.构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8.数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值(或最值) (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语: (22) 参考文献 (22)

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1

推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证:

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

数学分析中不等式证明方法论文

数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题报告 题目:数学分析中不等式证明方法 1 目录 摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致谢

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜:比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧::1;与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立,探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 [知识梳理] 1. 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理:如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰,当且仅当a = b = c 时,等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—,当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时,等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数,则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数,贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时,约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设 a B 为平面上的两个向量,则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ;

高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法 摘要:各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系,因此, 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具,而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明,本文主要介绍不等式证明的几种 方法,运用四种通法,利用导数研究函数的单调性,极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题,培养我们的创新精神, 创新思维,使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词:高等数学;不等式;极值;单调性;积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran(https://www.wendangku.net/doc/d514113531.html, 毕业论文参考网原创论文)ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自:全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/d514113531.html,) 原文地址: https://www.wendangku.net/doc/d514113531.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容,通过解答考研数学中出现的 不等式试题,对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式;中值定理;泰勒公式;辅助函数;柯西 施瓦茨;凹凸性 在高等数学的学习过程当中,一个重点和难点就是不等式的证明,大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手,实际上在许多不等式问题都存在一题多解,针对不等式的证 明,以考研试题为例,总结了几种证明不等式的方法,即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

浅谈不等式的证明

浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目占有一定的比例,命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面,现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力,证明不等式没有固定的程序,一个不等式的证法往往不止一种,证明过程往往是几种方法的综合运用,但无论是哪种方法,都离不开不等式的基本性质,另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式,如果能熟记并能运用的话,在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法,主要有作差比较和作商比较两种形式。 (1)作差比较法的步骤一般为:①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论;在这些步骤中,最难的就是差式变形,常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 (2)作商比较法的步骤为:①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 (3)当不等式两边为多项式、分式或对数形式时,往往选择作差法;当不等式两边为指数时,常采用作商法。下面将列举例子进行

分析,以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<,则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即)(所以得于是有,所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法,把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小,形成新的不等式,而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的,同时,由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外,放缩目标必须明确,从实际出发,从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若,求证:且3,0,,≥++>zx yz xy z y x

数学论文【不等式的证明方法】(汉)

不等式的证明方法 麦盖提县库尔玛乡中学 买合木提·买买提 2012年12月30日

2 不等式的证明方法 不等式的证明方是中学数学的难点和重点,证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形,经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如:比较法,综合法,分析法。其他方法:如反证法,放缩法,数学归纳法,涣元法,构造法和判别式法等。 1.证明不等式的基本方法 1.1比较法 比较法是证明不等式的方法之一,比较法除了比差法之外,还有比商法,它们的解题依据及步具步骤如下: 比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。即 , 0,0,0a b a b a b a b a b a b ->?>- 欲证a b >只需证 1a b > 欲证a b <只需证1a b < 基本解题步骤是:作商——变形——判断。(与1的大小) 例1. 求证: 222(2)5a b a b +≥-- 2 2 2 2 4254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥ 2 2 (44)(21)0a a b b -++++≥

3 2,1a b ==-时等号成立。 所以222(2)5a b a b +≥--成立。 例2. 已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥ 证: ,a b R +∈ 又 ()a b a b b a a b a a b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b -≥?≥ (1)当a b >时, 1a b >,0a b ->所以()1a b a b -> (2)当a b <时01,a a b o b < <-<所以()1a b a b -> (3)当a b =时不等式取等号。 所以(1),(2),(3)知,不等式a b b a a b a b ≥成立。 1.2.综合法 综合法就是从已知式已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推出,欲证的不等式,通过一系列已确定的命题(包含不等式的性质,已掌握的重要不等式)逐步推演,从而得到所要求证的不等式成立,这种方法叫做综合法。 几个重要不等式:2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数) /2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥ >>+≥同号) /3a b c ++≥a b c ==成立) 例3.已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证: 3322 a b a b ab +>+

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

浅谈中学数学不等式的证明方法

本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制

云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明:所呈交的毕业论文(设计),是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外,本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名: 日期:年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定,即:学校有权保留、送交论文的复印件,允许论文被查阅,学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容,可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 (保密论文在解密后应遵守) 指导教师签名:论文(设计)作者签名: 日期:年月日

目录

摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16)

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要掌握性质的内容,还要掌握性质的证明方法,理解掌握性质成立的条件,把握性质之间的关联。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用。 1.不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1:若0< B .a b a 11>- C .||||b a > D .22b a > 解:∵0<->-b a 。 由b a -< -11,b a 11>,∴(A )成立。 由0<< b a ,||||b a >,∴(C )成立。 由0>->-b a ,2 2 )()(b a ->-,2 2b a >,∴(D )成立。 ∵0<->-a b a , )(11b a a --<-,b a a ->11,∴(B )不成立。 故应选B 。 例2:判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若0<c ,在2 2c b c a >两边同乘以2 c ,不等式方向不变。∴b a >。 (3)错误。b a b a 1 1,成立条件是0>ab 。 (4)错误。b a >,bd ac d c >?>,当a ,b ,c ,d 均为正数时成立。 2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3:下列不等式中不等价的是( ) (1)2232 >-+x x 与0432 >-+x x (2)13 8112++ >++ x x x 与82>x (3)35 7354-+>-+x x x 与74>x (4) 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A .(2) B .(3) C .(4) D .(2)(3) 解:(1)0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 (2)482>?>x x ,44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

不等式的证明方法论文

不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样,其证明方法繁多,技巧性强,也没有通法,所以研究范围极广,难度极大.目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法,已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述.论文以现有研究成果为基础,整理和归纳了常用的不等式证明方法,包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法,让每一种方法兼具理论与实践性.旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解,进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三,达到事半功倍的效果,同时为从事教育的工作者提供参考. 关键词:不等式;证明;方法

Methods for Proving Inequality Abstract:The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method

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