2018年北师版数学必修1 第3章 §4 4.1 第1课时 对数

§4 对数 4．1 对数及其运算 第1课时 对数

1. 理解对数的概念．(重点)

2. 掌握指数式与对数式的互化．(重点)

3. 理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)

[基础·初探]

教材整理 1 对数的定义

阅读教材P 78～P 79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题． 1. 对数的有关概念

2. 对数的底数a 的取值范围是a >0，且a ≠1.

下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．22＝4与log 24＝2 B ．

2

1

4

＝12与log 412＝－12

C ．(－2)3＝－8与log (－2)(－8)＝3

D ．3－2＝19与log 31

9＝－2

【答案】 C

教材整理 2 对数的基本性质与对数恒等式

阅读教材P79“思考交流”的内容，完成下列问题.

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)零和负数没有对数．()

(2)1的对数是1.()

(3)2log22－1＝－1.()

【答案】(1)√(2)×(3)×

2. 计算：log2

2

2＝________，2log23＋log43＝________.

【解析】log2

2

2＝log22－log22＝

1

2－1＝－

1

2；2log23＋log43＝2log23·2log43

＝3×2log43＝3×2log23＝3 3.

【答案】－1

23 3

教材整理 3 两种常见对数

阅读教材P79“思考交流”下方与“例1”上方之间的内容，完成下列问题.

若ln(lg x)＝0，则x＝________.

【解析】∵ln(lg x)＝0，∴lg x＝1，∴x＝10.

【答案】10

[小组合作型]

(1)2－7＝1

128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；

(4)

＝－5；(5)lg 0.001＝－3.

【精彩点拨】 利用对数与指数间的互化关系：log a N ＝b ?a b ＝N . 【尝试解答】 (1)log 21

128＝－7；(2)log 327＝3； (3)lg 0.1＝－1；(4)? ??

??

12－5＝32；(5)10－3＝0.001.

利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.

[再练一题]

1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①35

＝243；②? ??

??13m

＝5.73；③

＝－4；

④ln 10＝2.303.

【解】 ①log 3243＝5；②

5.73＝m ；③? ????

12－4＝16；④e 2.303＝10.

(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1；

(3)log(2－1)

1

2＋1

＝x.

【精彩点拨】本题可以利用对数的基本性质或指数式与对数式的互化求值．

【尝试解答】(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，

∴x＝41＝4.

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.

(3)∵log(2－1)

1

2＋1

＝x，

∴(2－1)x＝

1

2＋1

＝2－1，∴x＝1.

1. 对数运算时的常用性质：log a a＝1，log a1＝0.

2. 使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

[再练一题]

2. 求下列各式中的x值：

(1)log2[ln(lg x)]＝0；(2)log x25＝2；

(3)log5x2＝2.

【解】(1)∵log2[ln(lg x)]＝0，∴ln(lg x)＝1，

∴lg x＝e，∴x＝10e.

(2)由log x25＝2，得x2＝25.

∵x>0，且x≠1，∴x＝5.

(3)由log5x2＝2，得x2＝52，

∴x＝±5.

∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，

∴x＝5或x＝－5.

[探究共研型]

探究 1 计算：31＋log3 2.

【提示】31＋log32＝3·3log32＝3 2.

探究 2 计算：91

2log34.

【提示】91

2log34＝??

?

?

?

?

(32)

1

2log34＝3log34＝4.

计算：.

【导学号：04100051】【精彩点拨】先利用指数幂的运算性质变形后，再利用对数恒等式求值．

对数恒等式在求值中的应用技巧：

[再练一题]

3. 计算：.

1. 有下列说法：

①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．

其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．故选C.

【答案】 C

2. 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2

D ．2

【解析】

∵???

b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，

∴2

【答案】 D

3. 若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝________.

【导学号：04100052】

【解析】 由log π[log 3(ln x )]＝0，得log 3(ln x )＝1， 则ln x ＝3，故x ＝e 3. 【答案】 e 3

4. 计算下列各式的值．

(1)81－log85；(2)22＋log25＋log a1.

【解】(1)81－log85＝8·8－log85＝

8

8log85＝

8

5.

(2)原式＝22·2log25＋0＝4×5＝20.