3.等比数列

(三)等比数列

一、知识归纳:

1.等比数列的定义用递推公式表示为:

q a a n

n =+1

( q 为常数,叫这个数列}{n a 的公比) 2.等比数列的通项公式:1

1-=n n q a a ,

3.等比数列的分类:

①当???>>101q a 或???<<<1001q a 时,}{n a 是递增数列; ②当???<<>1001q a 或???><101q a 时,}{n a 是递减数列;

③当1=q 时,}{n a 是常数列; ④当0

4.等比中项: 如果在b a ,中间插入一个数G ,使b G a ,,成等比数列,那么G 叫做a 与b 的

等比中项,且ab G =2

或ab G ±=

5.等比数列的前n 项和公式:当1=q 时,1na S n =;当1≠q 时,q

q a S n n --=1)

1(1

6.等比数列的主要性质:设}{n a 是等比数列,则有 (1)k

n k n q

a a -=

(2)若p n m 2=+(,,m n p N +

∈),则2

p n m a a a =?,(即p a 是m a 与n a 的等比中项)

(3)若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=?

如: =?=?=?--23121n n n a a a a a a

(4)对于任意正整数n (1>n )有:112

+-?=n n n a a a

(5)若为}{n a 、}{n b 为等比数列,则数列}{n n b a ?也为等比数列。

二、学习要点:

1.运用方程思想,将等比数列问题化归为基本量的关系来解决。等比数列有五个基本量:

n n S n q a a ,,,,1,只要知道其中的三个,可建立方程组,求出另外的二个。

2.证明一个数列为等比数列的常用方法:

①定义法:证明

q a a n

n =+1

常数; ②等比中项法:证明112

+-?=n n n a a a (1>n ,N n ∈),且0n a ≠

3.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法(称为“错位相减法”),它是数列求和的一种重要方法。运用等比数列前n 项和公式时,要注意公比q 是否为1,如不确定要加以讨论。 4.解决等比数列问题与等差数列一样应注意性质的灵活运用。 三、例题分析:

例1.已知递增的正项等比数列}{n a 中,5115a a -=,426a a -=

(1)求n a ,n S ;

(2)求证:71472114,,S S S S S --成等比数列;

(3)若数列{}n b 满足2n n b a =,在直角坐标系中作出()n b f n =的图象; (4)若数列{}n c 满足1

n n

c a =,其前n 项和为n T ,试比较n T 与2的大小。

例2.已知数列}{n a 的前n 项和记为n S ,)1(3

1

-=

n n a S )(+∈N n (1)求21,a a ;(2)求证:数列}{n a 是等比数列。(3)求出n S 关于n 的表达式。

例3.等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +

∈ ,点(,)n n S ,均在函数

(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

(1)求r 的值; (2)当2b =时,记 1

()4n n

n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T

四、练习题:

1.在各项都为正数的等比数列}{n a 中,首项13a = ,前三项和为21,则345a a a ++= A .33 B .72 C . 84 D .189 2.等比数列}{n a 中,243,952==a a ,则}{n a 的前4项和为 A .81 B .120 C .168 D .192 3.在等比数列}{n a 中,3,1101==a a ,则9832a a a a ?? 的值是 A. 81 B. 27527 C.

3 D. 243

4.数列}{n a 是各项都为正数的等比数列,公比q 满足42

=q ,则

5

44

3a a a a ++的值为

A .

41 B .2 C .2

1

± D .21 5.在等比数列}{n a 中,前n 项和为n S ,若63,763==S S ,则公比q 的值为 A .2 B .2- C .3 D .3- 6.在等比数列}{n a 中,4

5

,106431=+=+a a a a ,则数列}{n a 的通项公式为 A .n

n a -=42

B .4

2

-=n n a C .3

2-=n n a D .n

n a -=32

7.在等比数列}{n a 中,)0(65≠=+a a a a ,b a a =+1615,则2625a a +的值为

A .a b

B .2)(a b

C .a b 2

D .2a

b

8.设4710310

()22222

()n f n n N +=+++++∈ ,则()f n 等于

A .2(81)7n -

B .12(81)7n +-

C .32(81)7n +-

D .4

2(81)7

n +-

9.成等差数列的三个正数的和等于15,且这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列,那么这三个数的积是

A .210

B .105

C .70

D .35 10.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A .1

22n +- B .3n C .2n D .31n

- 11.两个数的等差中项为15,等比中项为12±,则这两个数为__________. 12.在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=______。 13.等比数列{}n a 的公比0q >, 已知2a =1,216n n n a a a +++=,则{}n a 的前4项和4S =

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4S ,84S S -,128S S -,1612S S -成等差数列.类 比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , ,______,16

12

T T 成等比数列. 15.已知数列}{n a 满足111,

21n n a a a n +==++

(1)设2n n b a n =++,证明数列{}n b 是等比数列; (2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,求n a 和n S

16.已知数列}{n a 是各项不相等且均为正数的等差数列,421lg ,lg ,lg a a a 也成等差数列,又

n

a b n 21

=

),3,2,1( =n (1)证明:}{n b 是等比数列; (2)如果数列}{n b 的前3项的和为24

7

,求数列}{n a 的首项1a 和公差d

17.已知递增等比数列}{n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项 (1)求}{n a 的通项公式n a ;

(2)若12

log n n n b a a =,n n b b b S +++= 21,求302

1

>?++n n n S 成立的n 的最小值。

18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n

n n a S +=+,*

n ∈N .

(1)设3n

n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;

(2)若1n n a a +≥,*

n ∈N ,求a 的取值范围.

(三)等比数列参考答案

例1.解:(1)设递增的正项等比数列}{n a 的公比为q ,依题设有

4511(1)15a a a q -=-=,2421(1)6a a a q q -=-=

两式相除,得2152q q +=,即22520q q -+=,解得2q =或1

2

q = 因为}{n a 是递增的正项等比数列,故2q =,代入4

1(1)15a q -=,得11a = 则1

1

12

n n n a a q

--==,1(1)

211n n n a q S q

-=

=--,12,21n n n n a S -∴==- (2)证明:由(1)7

721S =-,14

1421S =-,21

2121S =- 则771472(21)S S -=-,147

21142(21)S S -=- 2

14

7

2

14772114()2(21)()S S S S S ∴-=-=?-

∴71472114,,S S S S S --成等比数列

(3)()2n

f n =,则()n b f n =的图象是函数()2x

f x =的图象上的一列孤立的点。

(4)1112n n n c a -==,则12n n T c c c =+++ 211111222n -=++++ 11()2112

n

-=

- 1

2(1)22

n =-<

例2.解:(1)由)1(31-=n n a S ,得)1(3111-=a a 21

1-=∴a ,

又)1(312212-=+=a a a S 得4

1

2=a

(2)当2≥n 时,)1(3

1

)1(3111---=

-=--n n n n n a a S S a ,得211-=-n n a a

故数列}{n a 是首项为21-

,公比为2

1

-的等比数列。 例3.解:因为对任意的n N +

∈,点(,)n n S ,均在函数(0x

y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)

的图像上.所以得n

n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+, 当2n ≥时,1

111()(1)n

n n n n n n n a S S b r b

r b b b b ----=-=+-+=-=-,

又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1

(1)n n a b b -=-

(2)当b=2时,1

1(1)2n n n a b b --=-=, 11

111

4422

n n n n n n n b a -++++=

==? 则2341

2341

2222n n n T ++=

++++ 34512

12341

222222

n n n n n T +++=+++++ 相减,得2345121211111

2222222

n n n n T +++=+++++-

31211(1)112212212

n n n -+?-++--12311422n n n +++=--

所以1131133

22222

n n n n n n T ++++=--=-

练习题:1~10 CBADA ACDBC

解析:

8.数列有4+n 项

10.因数列{}n a 为等比,则1

2n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列,

2212112221

2

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =,所以2n S n =,故选择答案C 。

11. _24、6___ 12._5__. 13.

15

2

___. 14. 812

48,T T T T 13.解析 由216n n n a a a +++=得:11

6-+=+n n n q q q

,即062=-+q q ,0q >,

解得:q =2,又2a =1,所以,112a =,2

1)

21(21

44--=S =15

2。

15.解:(1)由2n n b a n =++,

11(1)22n n n n b a n b a n +++++=++(21)32n n a n n a n ++++=++2(2)

22

n n a n a n ++==++ 又1134b a =+=,故{}n b 是首项为4,公比为2的等比数列, (2)由(1)得1

142

2n n n b -+=?=,122n n a n +∴=--

故12n n S a a a =+++ 2

3

1

(222

)n +=+++ (123)2n n -++++-

22(21)(1)2212

n n n n -+=-

--2(5)

242

n n n ++=--

16.解:(1)设}{n a 公差为d )0(≠d ,由421lg ,lg ,lg a a a 成等差数列,得412lg lg lg 2a a a +=

即412

2a a a =,)3()(112

1d a a d a +=+∴,化简得d a d 12

=,故1a d =

于是nd a n =,则d a b n n n 2112==,∴ 212211==++d d b b n n n n ,又11

02b d

=≠

故}{n b 是以

d 21为首项,公比为2

1

的等比数列。 (2)由(1)等比数列的前n 项和])21(1[12

11)

)21(1(21n n n d d S -=--=,又2473=

S 24

7

87=

∴d ,解得3=d ,故数列}{n a 的首项为31=a ,公差为3=d 17.解:(1)设等比数列的公比为q ,则???+=+=++4232222)2(228a a a q a q a a ,即?????=+-=++4)12(28

)1(2

2

2

2q q a q q a 得02522

=+-q q ,故2

1=

q (舍去)或2=q ,这时42=a ,则n n n q

a a 22

2==- (2)n

n n n n n n a a b 22log 2log 2

121?-===,∴22)1(1-?--=-n n n S

若302

1

>?++n n n S ,即3221>+n ,4>n ,则n 的最小值为5。

18解:(Ⅰ)依题意,113n

n n n n S S a S ++-==+,即123n

n n S S +=+,

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=- 则13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .①

(Ⅱ)由①知1

3(3)2

n n n S a -=+-,*

n ∈N , 于是,当2n ≥时,

1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?1223(3)2n n a --=?+-, 1

2

143

(3)2

n n n n a a a --+-=?+-22

32

1232n n a --??

??=+-?? ?

??????

, 当2n ≥时,2

1312302n n n a a a -+???+- ?

??

≥≥

9a ?-≥.

又2113a a a =+>. 综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,

例3.设}{n a 是等比数列,n n n a a a n na T +++-+=-1212)1( ,已知4,121==T T (1)求}{n a 的首项与公比;(2)求数列}{n T 的通项公式。

例3.解:(1)设{a n }的公比为q ,则11a T =,)2(21212q a a a T +=+=

因为11=T ,42=T ,则11=a ,2=q (2)由(1)可知1

2

-=n n a ,

则12

212

22)1(1--?+?++?-+?=n n n n n T ……①

n n n n n T 21222)1(2212?+?++?-+?=- ……②

②-①得n

n n n T 22221

2

+++++-=- 2

1)

21(2--+-=n n 12)2(+++-=n n

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