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3.等比数列

（三）等比数列

一、知识归纳：

1．等比数列的定义用递推公式表示为：

q a a n

n =+1

（ q 为常数，叫这个数列}{n a 的公比） 2．等比数列的通项公式：1

1-=n n q a a ，

3．等比数列的分类：

①当???>>101q a 或???<<<1001q a 时，}{n a 是递增数列； ②当???<<>1001q a 或???><101q a 时，}{n a 是递减数列；

③当1=q 时，}{n a 是常数列； ④当0

4．等比中项：如果在b a ,中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的

等比中项，且ab G =2

或ab G ±=

5．等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =；当1≠q 时，q

q a S n n --=1)

1(1

6．等比数列的主要性质：设}{n a 是等比数列，则有（1）k

n k n q

a a -=

（2）若p n m 2=+（,,m n p N +

∈），则2

p n m a a a =?，（即p a 是m a 与n a 的等比中项）

（3）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?

如： =?=?=?--23121n n n a a a a a a

（4）对于任意正整数n （1>n ）有：112

+-?=n n n a a a

（5）若为}{n a 、}{n b 为等比数列，则数列}{n n b a ?也为等比数列。

二、学习要点：

1．运用方程思想，将等比数列问题化归为基本量的关系来解决。等比数列有五个基本量：

n n S n q a a ,,,,1，只要知道其中的三个，可建立方程组，求出另外的二个。

2．证明一个数列为等比数列的常用方法：

①定义法：证明

q a a n

n =+1

常数； ②等比中项法：证明112

+-?=n n n a a a （1>n ，N n ∈），且0n a ≠

3．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法（称为“错位相减法”），它是数列求和的一种重要方法。运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 是否为1，如不确定要加以讨论。 4．解决等比数列问题与等差数列一样应注意性质的灵活运用。三、例题分析：

例1．已知递增的正项等比数列}{n a 中，5115a a -=，426a a -=

（1）求n a ，n S ；

（2）求证：71472114,,S S S S S --成等比数列；

（3）若数列{}n b 满足2n n b a =，在直角坐标系中作出()n b f n =的图象；（4）若数列{}n c 满足1

n n

c a =，其前n 项和为n T ，试比较n T 与2的大小。

例2．已知数列}{n a 的前n 项和记为n S ，)1(3

n n a S )(+∈N n （1）求21,a a ；（2）求证：数列}{n a 是等比数列。（3）求出n S 关于n 的表达式。

例3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +

∈ ，点(,)n n S ，均在函数

(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

（1）求r 的值；（2）当2b =时，记 1

()4n n

n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T

四、练习题：

1．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项13a = ，前三项和为21，则345a a a ++= A ．33 B ．72 C ． 84 D ．189 2．等比数列}{n a 中，243,952==a a ，则}{n a 的前4项和为 A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．在等比数列}{n a 中，3,1101==a a ，则9832a a a a ?? 的值是 A. 81 B. 27527 C.

3 D. 243

4．数列}{n a 是各项都为正数的等比数列，公比q 满足42

=q ，则

3a a a a ++的值为

A ．

41 B ．2 C ．2

± D ．21 5．在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S ，则公比q 的值为 A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 6．在等比数列}{n a 中，4

,106431=+=+a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为 A ．n

n a -=42

B ．4

-=n n a C ．3

2-=n n a D ．n

n a -=32

7．在等比数列}{n a 中，)0(65≠=+a a a a ，b a a =+1615，则2625a a +的值为

A ．a b

B ．2)(a b

C ．a b 2

D ．2a

8．设4710310

()22222

()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于

A ．2(81)7n -

B ．12(81)7n +-

C ．32(81)7n +-

D ．4

2(81)7

n +-

9．成等差数列的三个正数的和等于15，且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，那么这三个数的积是

A ．210

B ．105

C ．70

D ．35 10．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A ．1

22n +- B ．3n C ．2n D ．31n

- 11．两个数的等差中项为15，等比中项为12±，则这两个数为__________. 12．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=______。 13．等比数列{}n a 的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和4S =

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，______，16

T T 成等比数列． 15．已知数列}{n a 满足111,

21n n a a a n +==++

（1）设2n n b a n =++，证明数列{}n b 是等比数列；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求n a 和n S

16．已知数列}{n a 是各项不相等且均为正数的等差数列，421lg ,lg ,lg a a a 也成等差数列，又

a b n 21

),3,2,1( =n （1）证明：}{n b 是等比数列；（2）如果数列}{n b 的前3项的和为24

，求数列}{n a 的首项1a 和公差d

17．已知递增等比数列}{n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项（1）求}{n a 的通项公式n a ；

（2）若12

log n n n b a a =，n n b b b S +++= 21，求302

>?++n n n S 成立的n 的最小值。

18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n

n n a S +=+，*

n ∈N ．

（1）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（2）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

（三）等比数列参考答案

例1．解：（1）设递增的正项等比数列}{n a 的公比为q ，依题设有

4511(1)15a a a q -=-=，2421(1)6a a a q q -=-=

两式相除，得2152q q +=，即22520q q -+=，解得2q =或1

q = 因为}{n a 是递增的正项等比数列，故2q =，代入4

1(1)15a q -=，得11a = 则1

n n n a a q

--==，1(1)

211n n n a q S q

=--，12,21n n n n a S -∴==- （2）证明：由（1）7

721S =-，14

1421S =-，21

2121S =- 则771472(21)S S -=-，147

21142(21)S S -=- 2

14772114()2(21)()S S S S S ∴-=-=?-

∴71472114,,S S S S S --成等比数列

（3）()2n

f n =，则()n b f n =的图象是函数()2x

f x =的图象上的一列孤立的点。

（4）1112n n n c a -==，则12n n T c c c =+++ 211111222n -=++++ 11()2112

- 1

2(1)22

n =-<

例2．解：（1）由)1(31-=n n a S ，得)1(3111-=a a 21

1-=∴a ，

又)1(312212-=+=a a a S 得4

2=a

（2）当2≥n 时，)1(3

)1(3111---=

-=--n n n n n a a S S a ，得211-=-n n a a

故数列}{n a 是首项为21-

，公比为2

-的等比数列。例3．解:因为对任意的n N +

∈,点(,)n n S ，均在函数(0x

y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)

的图像上.所以得n

n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+, 当2n ≥时,1

111()(1)n

n n n n n n n a S S b r b

r b b b b ----=-=+-+=-=-,

又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1

(1)n n a b b -=-

（2）当b=2时，1

1(1)2n n n a b b --=-=, 11

111

4422

n n n n n n n b a -++++=

==? 则2341

2341

2222n n n T ++=

++++ 34512

12341

222222

n n n n n T +++=+++++ 相减,得2345121211111

2222222

n n n n T +++=+++++-

31211(1)112212212

n n n -+?-++--12311422n n n +++=--

所以1131133

22222

n n n n n n T ++++=--=-

练习题：1~10 CBADA ACDBC

解析：

8．数列有4+n 项

10．因数列{}n a 为等比，则1

2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，

则

2212112221

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

11． _24、6___ 12．_5__. 13．

___. 14． 812

48,T T T T 13．解析由216n n n a a a +++=得：11

6-+=+n n n q q q

，即062=-+q q ，0q >，

解得：q ＝2，又2a =1，所以，112a =，2

21(21

44--=S ＝15

2。

15．解：（1）由2n n b a n =++，

则

11(1)22n n n n b a n b a n +++++=++(21)32n n a n n a n ++++=++2(2)

n n a n a n ++==++ 又1134b a =+=，故{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，（2）由（1）得1

142

2n n n b -+=?=，122n n a n +∴=--

故12n n S a a a =+++ 2

(222

)n +=+++ (123)2n n -++++-

22(21)(1)2212

n n n n -+=-

--2(5)

242

n n n ++=--

16．解：（1）设}{n a 公差为d )0(≠d ，由421lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，得412lg lg lg 2a a a +=

即412

2a a a =，)3()(112

1d a a d a +=+∴，化简得d a d 12

=，故1a d =

于是nd a n =，则d a b n n n 2112==，∴ 212211==++d d b b n n n n ，又11

02b d

=≠

故}{n b 是以

d 21为首项，公比为2

的等比数列。（2）由（1）等比数列的前n 项和])21(1[12

11)

)21(1(21n n n d d S -=--=，又2473=

S 24

87=

∴d ，解得3=d ，故数列}{n a 的首项为31=a ，公差为3=d 17．解：（1）设等比数列的公比为q ，则???+=+=++4232222)2(228a a a q a q a a ，即?????=+-=++4)12(28

)1(2

2q q a q q a 得02522

=+-q q ，故2

q （舍去）或2=q ，这时42=a ，则n n n q

a a 22

2==- （2）n

n n n n n n a a b 22log 2log 2

121?-===，∴22)1(1-?--=-n n n S

若302

>?++n n n S ，即3221>+n ，4>n ，则n 的最小值为5。

18解：（Ⅰ）依题意，113n

n n n n S S a S ++-==+，即123n

n n S S +=+，

由此得1

2(3)n n n n S S ++-=- 则13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．①

（Ⅱ）由①知1

3(3)2

n n n S a -=+-，*

n ∈N ，于是，当2n ≥时，

1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?1223(3)2n n a --=?+-， 1

143

(3)2

n n n n a a a --+-=?+-22

1232n n a --??

??=+-?? ?

??????

，当2n ≥时，2

1312302n n n a a a -+???+- ?

≥≥

9a ?-≥．

又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，

．

例3．设}{n a 是等比数列，n n n a a a n na T +++-+=-1212)1( ，已知4,121==T T （1）求}{n a 的首项与公比；（2）求数列}{n T 的通项公式。

例3．解：（1）设｛a n ｝的公比为q ，则11a T =，)2(21212q a a a T +=+=

因为11=T ，42=T ，则11=a ，2=q （2）由（1）可知1

-=n n a ，

则12

212

22)1(1--?+?++?-+?=n n n n n T ……①

n n n n n T 21222)1(2212?+?++?-+?=- ……②

②-①得n

n n n T 22221

+++++-=- 2

21(2--+-=n n 12)2(+++-=n n

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差和积差商系数指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和：前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等比数列求和教案

课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析 ●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标

●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。五、教学过程

第5章第3节等比数列及其前n项和

2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第3节等比数列及其前n 项和 1. （ 2013广东，5分）设数列｛a n ｝是首项为1,公比为—2的等比数列，贝U a i + &]+ a 3 + |a 4| = _______ . 解析：本题主要考查等比数列通项等知识，意在考查考生的运算求解能力.依题意得a 1 =1， a 2=— 2， a 3= 4， a 4=— 8，所以 a 1+ 念|+a 3+ 旧4|= 15. 答案：15 2. （2013北京，5分）若等比数列｛a n ｝满足a 2+ a 4= 20, 83+ 85= 40,则公比q = 前n 项和S n = 解析：本题主要考查等比数列的基础知识，意在考查考生的计算能力. 由题知 P 1q + a 1q 3 ；20 ，解得 f q = 2 ， a 1q + ag = 40, |a 1= 2, 故 S=罟=2n +1-2 . 答案：2 2n +1 — 2 3. （ 2011辽宁，5分）若等比数列｛a n ｝满足a n a n +1= 16n ，则公比为（） D. 16 解析：由 a n a n + 1= 16n ，得 a n + 1 a n + 2= 16n + 1 , ” n + 1 a n + 1 a n + 2 16 — 2 >,0 荷=16,.?.q 2= 16, 两式相除得, a n a n + 1 ?/ a n a n +1= 16n ，可知公比为正数，??? q= 4. 答案：B 4. （ 2010辽宁，5分）设S n 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，已知3S 3= a 4 — 2,3S 2= a 3— 2, 则公比q=（）解析: p S 3= a 4— 2 3S 2= a 3— 2 ① 他 ② ，①-②得：3a 3= a 4-a 3,4a 3= a 4, q = a 3= 4. 答案: 5. （ 2012新课标全国，5分）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3+ 3S 2= 0,则公比q

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

第5章第3节等比数列

第三节等比数列 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝??? na 1(q ＝1 )， a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ； (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，?????? 1a n ，{a 2n }， {a n ·b n }，???? ?? a n b n (λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋ k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为 q k .

等比数列求和公式

等比数列求和公式万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义

第三节等比数列及其前n项和

1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3 13 2 310 l og l og l og a a a +++ ＝ ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 2.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为…………………………………（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为……………………………（） A.1 B.1或－1 C. 2 1或2 1- D.2或－2 4.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为…………………( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 5.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ． 6.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 = +2 2 1b a a __ ____． 7.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+?a a n ，则n a =_____ __. 8.设二次方程2 110()n n a x a x n N * +-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．（1）试用n a 表示1n a +；（2）求证：2 {}3n a -是等比数列；（3）当176 a =时，求数列{}n a 的通项公式． 9.已知数列{}n a 满足：111 ,1,2 2,n n n a n n a a a n n +?+?==??-?为奇数为偶数，且* 22,n n b a n N =-∈ （1）求234,,a a a ；（2）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式；（3）求和2462n n T a a a a =+++ 10.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列. （1）求{}n a 的公比q ；（2）若331=-a a ，求n S .

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式一、基本概念和公式等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1）即如果q 是否等于1不确定则需要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。二、例题精选：例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ；（2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。

例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。

等比数列的概念(教案)

等比数列的概念亳州三中范图江一、教学目标 1、体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。二、教学重点、难点重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。三、教学过程 1、导入复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、探究发现，建构概念问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、运用概念例1 判断下列数列是否为等比数列：（1）1、1、1、1、1；（2）0、1、2、4、8；（3）1、11 1124816 -、、-、.

分析（1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列；（2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列；（3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列：（1）1、2、1、2、1；（2）-2、-2、-2、-2；（3）11111392781--、、、、；（4）2、1、12、14、0. 分析（1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列；（2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列；（3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列；（4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项：（1）2，a ，8；（2）- 4，b ，c ，12 . 分析在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。（1）8442a a a ==-，解得或；（2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。随堂练习 P23练习题。思考由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗

等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等比数列概念优秀教案

等比数列的概念教案教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．教学重点和难点重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．难点：对要领的深刻理解．教学过程设计 (一)引入新课师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

等比数列和等差数列公式

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。公比公式根据等比数列的定义可得：通项公式我们可以任意定义一个等比数列这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3，，以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1，求和公式对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。于是把称为等比数列的和。记为：如果该等比数列的公比为q，则有：（利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论当时，

而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时（更正：分母为1-q）当时, 等比数列无限项之和由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则证明： ∵ ∴

?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。等差数列等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。通项公式如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系：等差中项给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例：证明：设，则 ∵(矛盾) ∴ 证毕

第三章第三节等比数列及其性质

第三章第三节等比数列及其性质 1.各项都是正数的等比数列{}an 中，a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则344 5 a a +的值为 ( ) A. 5－12 B.5＋1 2 C.1－52 D.5＋12或5－12 解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0， ∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52 ， 3445a a a a ++＝1q ＝5－12. 答案：A 2.(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝1 2，前n 项和为S n ，则44 S a ＝ . 解析：a 4＝a 1(12)3＝1 8 a 1，S 4＝ 14 1 (1)21 12 a - -＝158a 1， ∴ 4 4 S a ＝15. 答案：15 3.(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ . 解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0， ∴q ＝－3或q ＝2. ∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝1 2 ，a 3＝2，a 4＝4，

∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152 4.(2009·n 39521，则 a 1＝ ( ) A.12 B.22 C. 2 D.2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴ 6 5 a a ＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22 . 答案：B 5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，又∵S 6∶S 3＝1∶2， ∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C 6.(2010·长沙模拟)在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则 a 99＋a 100＝ . 解析：设公比为q ，则 1920910 a a a a ++＝q 10＝b a ， 99100910 a a a a ++＝q 90＝(q 10)9＝(b a )9，故a 99＋a 100＝(b a )9(a 9＋a 10)＝9 8b a .

2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第三节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n 项和授课提示：对应学生用书第96页 [基础梳理] 1．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1 a n ＝q (n ∈N ＋，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab (a 、G 、b 不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1． (2)前n 项和公式： S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N ＋)． (2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ． (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N ＋，公比q ≠－1)． (4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ． 1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n ＝A －A ·q n . 2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q . [四基自测] 1．(基础点：等比中项)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案：C 2．(基础点：等比数列的前n 项和)设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 答案：C

等比数列的概念及基本运算

第37讲等比数列的概念及基本运算 1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2，所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21· a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A. 2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1 C.12 D.18 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1 ＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12 . 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q ，所以A ＝－B ，因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件． 4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则 a 11＋a 2011a 17＋a 2017 ＝(D) A.29 B.49 C.23 D.89 依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332 ，故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89 . 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝－1 . 因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.

[2020理数]第六章第三节等比数列及其前n项和

[基本知识] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1.

(2)前n 项和公式：S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2＝ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n ＝a 2n －1＋a 2n ,则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ,则其前n 项和为S n ＝a (1－a n ) 1－a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、填空题 1．已知递增的等比数列{a n }中,a 2＋a 8＝3,a 3·a 7＝2,则a 13 a 10 ＝________. 答案： 2 2．各项都为正数的等比数列{a n }中,a 1＝2,a 6＝a 1a 2a 3,则公比q 的值为________．答案：2 3．在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2＝1,a 8＝a 6＋2a 4,则a 6的值是________．答案：4 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＝2a n ＋1,则S n 等于________．答案：????32n －1 [典例感悟] 1．(2019·山东测试)已知正项数列{a n }为等比数列,且5a 2是a 4与3a 3的等差中项,若a 2＝

第三章第三节等比数列

同步检测训练一、选择题 1．(2008·全国Ⅰ)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案：A 解析：∵{a n }是等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2 ＝q ＝63＝2，又∵a 1＋a 1q ＝3，∴a 1＝1，∴a 7＝a 1q 6＝26＝64.故选A. 2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 答案：B 解析：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，则(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )， ∴(S 2n －2)2＝2×(14－S 2n )．又S 2n >0得S 2n ＝6，又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n －S n )(S 4n －S 3n )， ∴(14－6)2＝(6－2)·(S 4n －14)．解得S 4n ＝30，故选B. 3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B 解析：∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1· a 2k ， ∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4，故选B. 4．(2009·北京宣武4月)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14 ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是( ) A ．[12,16] B ．[8，323 ] C ．[8，323) D ．[163，323 ] 答案：C 解析：{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则q 3＝a 5a 2＝18，q ＝12 ，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－q 2n )∈[8，323)，故选C. 5．(2009·北京西城4月)若数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则数列{log 2a n }是 ( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为lg2的等差数列 C ．公比为2的等比数列 D ．公比为lg2的等比数列答案：A 解析：数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝2，数列{log 2a n }是以1为首项，公差为2的等差数列，故选A. 6．(2009·河南实验中学3月)设各项都为正数的等比数列{a n }中，若第五项与第六项的积为81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值是( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 答案：C 解析：由题意得a 5a 6＝81，再根据等比数列的性质，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝