集合概念及其表示经典练习题

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；

2.元素的互异性；

3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a

a?

∈A ，相反，a不属于集合A 记作A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

∈| x-3>2}或{x| x-3>2}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R

4、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合

2．无限集含有无限个元素的集合

X=－5｝

3．空集不含任何元素的集合例：{X|2

二、例题解析

例1、判断下列说法是否正确？说明理由

（1）高一（2）班个子较高的同学组成的集合；

（2）1,3，-1,4这些数组成的集合有4个元素；

（3）由a,b,c组成的集合与由b,c,a组成的集合；

（4）所有与2非常接近的数字；

（5）所有与小明走的很近的朋友

例2、用列举法表示下列集合

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程0)43)(32)(1(22=+++--x x x x x 的所有实数根组成的集合

（3）由小于15的所有质数组成的集合；

例3、用描述法表示下列集合：

（1）坐标平面内抛物线12-=x y 的点的集合；

（2）所有偶数的和；

（3）3和4的所有正的公倍数的集合

例4、试分别用列举法和描述法表示下列集合

（1）七大洲组成的集合；

（2）由大于10小于16的所有整数组成的集合。

例5、已知集合S 是由△ABC 的三边长a 、b 、c 构成的三个元素的一个集合，那么△ABC 一定不是（ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

例6、已知2

x 是由1、0、x 组成的集合中的一个元素，试求实数x 的值。

例7、当,1,1A x A x A x ?+?-∈时，若则称x 为A 的一个“孤立元素”，求由0,1,2,3,5这五个元素构成的集合A 中的“孤立元素”。

例8、已知x 、y 、z 为非零实数，代数式xyz xyz z z y y x x +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）

A. M ?0

B.M ∈2

C.M ?-4

D. M ∈4

例9、

{}的值。数只有一个元素，试求实k x kx x A 01682=+-=

例10、含有三个实数的集合可表示为??????1,,

a b a ，也可表示为{}

0,,2b a a +，求20102009b a +

1．下列各组对象中不能构成集合的是( )

A ．水浒书业的全体员工

B ．《优化方案》的所有书刊

C ．2010年考入清华大学的全体学生

D ．美国NBA 的篮球明星

2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( )

①π∈R ；②3?Q ；③0∈N *；④|－4|?N *.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．无数个

4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．

1．若以正实数x ，y ，z ，w 四个元素构成集合A ，以A 中四个元素为边长构成的四边形

可能是( )

A ．梯形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．矩形

2．设集合A 只含一个元素a ，则下列各式正确的是( )

A ．0∈A

B ．a ?A

C ．a ∈A

D ．a ＝A

3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有( )

①教2011届高一的年轻教师；

②你所在班中身高超过1.70米的同学；

③2010年广州亚运会的比赛项目；

④1,3,5.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

5．下列各组集合，表示相等集合的是( )

①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}；

②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}；

③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}．

A ．①

B ．②

C ．③

D ．以上都不对

6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52

，y ＝3＋2π，则有( )

A ．x ∈M ，y ∈M

B ．x ∈M ，y ?M

C ．x ?M ，y ∈M

D ．x ?M ，y ?M

7．已知①5∈R ；②13

∈Q ；③0＝{0}；④0?N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．

8．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________．

9．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b

的可能取值组成的集合中元素的个数为________．

10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．

11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3

是不是集合A 中的元素？

12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．

.

1．1集合的含义及其表示提升练习题

1错误！未指定书签。．下列说法中能构成集合的是____________(填序号)．

①2010年广州亚运会的所有比赛项目；②2010年江苏高考数学试题中的所有难题； ③所有美丽的花；④与无理数π无限接近的数．

2错误！未指定书签。．集合5(,)21x y x y x y ?+=??????-=??

??可用列举法表示为_______________．

3错误！未指定书签。．下列集合表示正确的是______________(填序号)．①{3，3，2}，②

{正整数}；③方程x 2－2x +1=0的解集为{x 2－2x +1=0}．

4错误！未指定书签。．将集合{2，4，6，8}用描述法表示正确的有_____________(填序号)．①{ x | x 是大于0小于10的偶数}；② {x |2≤x ≤8}；③{x |(x －2)(x －4)(x －6)(x －8)=0}；④ { x | x 是2的倍数 }；⑤ { x | x = 2 n ，1 ≤ n ≤ 4，n ∈N }．

5错误！未指定书签。．用“∈”或“?”填空：

(1)0_____N +，5_____Z ； (2)23_____{x |x <11} ，32_____{x |x >4} ，2+5_____{x |x ≤2+3} ；

(3)3_____{x | x =n 2+1，n ∈N +} ，5_____{x |x =n 2+1，n ∈N +} ；

(4) (－1，1)_____{y | y = x 2 }，(－1，1)_____{(x ，y ) | y = x 2 }．

6错误！未指定书签。．定义集合运算：A ○+B ={z | z = x y ，x ∈A ，y ∈B }，设A ={1，2}、B ={0，

2}，则集合A ⊕B 的所有元素之和为______．

7错误！未指定书签。．下列各组集合中，表示同一集合的有________(填序号)．

①M ={(2，3)}，N ={(3，2)}；②M ={2，3}，N ={3，2}；③M ={y | y = x －2，x ∈R }，N ={y

| y = x －2，x ∈N }；④ 8错误！未指定书签。．对于集合A ={ 2，4，6 }，若a ∈A ，且6－a ∈A ，则a 的值是_______． 9错误！未指定书签。．已知A = { 1，2，3 }，B = { 2，4 }，定义集合A 、B 间的运算A *B ={ x | x ∈A 且x ?B }，则集合A *B =__________．

10错误！未指定书签。．用列举法表示下列集合：

{}2(,)|1,(,)|21.1y M x y N x y y x x -??===-=-??-??

(1)A={ y | y =－x2 + 6，x∈N，y∈N }；(2) A={(x，y)| y =－x2 + 6，x∈N，y∈N }；

，p + q = 5，p∈N，q∈N+}．

(3)C={ x | x = p

q

11错误！未指定书签。．设A表示集合{2，3，a2+2a－3}，B表示集合{ 2，| a+3 | }，若5∈A且5 B，求a的值．

12错误！未指定书签。．集合A={ x | m x2-8 x+16 = 0 }，若集合A中只有一个元素，试求实数m的值，并用列举法表示集合A．

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

集合知识点归纳

集合的基础知识 一、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念 一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性 ①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素； 而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的. ②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}. ③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合. （2）集合的元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. （3）集合的分类：有限集与无限集. （4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法. 列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集. 描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集. 使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的容都要写在大括号；⑥用于描述的语句力求简明、确切. 图示法：画一条封闭的曲线，用它的部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.

集合的概念练习测试题.doc

1 . 1 集 合 的 概 念 〖帮你读书〗 1. 集合的概念：有某些的对象组成的叫做集合，简称；组成集合 的对象叫做这个集合的。 2. 集合的表示：一般采用表示集合， 3. 采用表示集合中的元素。 4. 几个常用数集的表示：自然数集记作；正整数集记作；整数集记作；有理数集记作；实数集记作；空集记作。 5. 集合与元素之间的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a A ， 记作， 6. 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a A ，记作 ， 7. 集合的分类：含有元素的集合，叫做有限集，含有无限多个元素的集合叫做，不含叫空集，记作 :. 〖疑难解惑〗 1. 只含有元素 0 的集合是空集吗？ 〖技能训练〗 1. 用符号 " "或" "填空： （1）3.14R(2) 2 R 1 (3) 2 N(4)-2N (5) 3 Q(6) R 2. 选择题： （1） 下列对象能组成集合的是（）；

A, 大于 5 的自然数 B.一切很大的树 C.班上个子很高的同学 D.班上考试分数很高的同学 （2）下列对象不能组成集合的是（） . A. 不大于 8 的自然数 B. 很接近于 1 的数 C. 班上身高超过 1.8 米的同学 D. 班上数学小测中得分在85 分以上的同学。 3.下列对象能否组成集合？若能组成集合，判断哪些是有限集？哪些是无限极？那些事空集？ （1）. 某班学习成绩好的同学； （2）绝对值不小于 3 的所有整数； 4.判断下列集合是有限集、无限集还是空集： （1）所有大于 3 且小于 4 的实数； （2）方程x25x 6 0的解集 .

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

集合-基础知识点汇总与练习-复习版

集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高一数学集合的概念练习题

集合的概念 课前准备 1、用集合符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 φ 2、用列举法表示{y |y =x 2－1，|x |≤2， x ∈Z}= . {(x ,y )|y =x 2 － 1 ， |x | ≤ 2 ， x ∈Z}= . 3、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是（ ） (A )a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1. 4、已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩ B ={3}，那么p ＋q = . 5、已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 6、已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 . 7、集合元素具有的三大特征是： 、 、 ； 集合的表示方法： 、 、 ； 元素与集合只有两种关系： 、 ； 课后作业 一、选择： 1、方程组???? ?=-=+9 1 2 2y x y x 的解（x,y ）的集合是：

（ ） A ．（5，－4） B ．{5，－4} C ．{（－5，4）} D ．{（5，－4）} 2、若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ?=?，则一定有 （ ） （A ）C A ? （B ）A C ? （C ）C A ≠ （D ） φ=A 3、设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则N M 等于（ ） （A ）{|}x x <-2 （B ）{|}x x -<<21 （C ）{|}x x <1 （D ）{|}x x -≤<21 4、含有三个实数的集合可表示为}1,,{a b a ，也可表示为{a 2,a+b,0}，则 a 2003+ b 2003的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5、设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ?I ，则下列各式中错误．．的是（ ） （A ）（C I A ） B ＝I （B ）（C I A ） （C I B ）＝I （C ）A （C I B ）＝? （D ）（C I A ） （C I B ）＝C I B 6、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2 n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋2 1}，则下列关系正确的是（ ） (A )N ?M (B ) N ?P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P 二、填空：

集合知识点归纳

高中数学第一章-集合 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 集合知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A?； ②空集是任何集合的子集，记为A φ； ? ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B B?，那么A = B. A?，同时A 如果C ? A? ，. ?，那么 A B C B [注]：①Z= {整数}（√）Z ={全体整数} （×） ②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=+ N，则C s A= {0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A=集合B，则C B A=?，C A B =?C S（C A B）=D（注：C A B =?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. 高中数学高考总复习高三数学总复习一—集合— 1 —

高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 2 — [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ?? ?=-=+1 323y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是2 1≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. 【并集】 在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。 基本定义 ： 若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。 形式上：x 是 A ∪B 的元素，当且仅当 x 是 A 的元素，或 x 是 B 的元素。 举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。 更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A ， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。 形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C 。 代数性质： 二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C 。事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。 相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。即 {} ∪A = A ，对任意集合 A 。可以将空集当作零个集合的并集。 结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。 【交集】 数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。形式上： x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A 且 x 属于 B 。 例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11｝的交集。 若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。 更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 A ，B ，C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C ∩D ＝A ∩(B ∩(C ∩D))。交集运算满足结合律，即 A ∩(B ∩C)＝(A ∩B) ∩C 。

(完整版)集合的概念及表示练习题及答案

新课标 集合的含义及其表示 姓名：_________ 一、选择题： 1.下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）若a N -?，则a N ∈ （3）244x x +=的解集为{2，2}；（4）0.7Q ∈，其中不正确命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A.(){}(){}3,2,2,3M N = B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N == 3.下列方程的实数解的集合为12,23?? -???? 的个数为 （ ） （1）224941250x y x y +-++=;(2)2620x x +-=; (3) ()()2 21320x x -+=;(4) 2 620x x --= A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合{} (){} 2 2 10,6100 A x x x B x N x x x =++==∈++=，{}450 C x Q x =∈+<， {}2D x x =为小于的质数 ，其中时空集的有 （ ） A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 5. 下列关系中表述正确的是 （ ） A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是（ ） A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）方程()()()3 1250x x x -+-=的 解集含有3个元素；（3）0∈?（4）满足1x x +>的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二．填空题： 8.用列举法表示不等式组240121x x x +>??+≥-?的整数解集合为 9.已知集合12,6A x x N N x ?? =∈∈??-?? 用列举法表示集合A 为 10.已知集合241x A a x a ??-?? ==??+???? 有惟一解，又列举法表示集合A 为 三、解答题： 11．已知{}{}2A=1,a,b ,,,B a a ab =，且A=B ，求实数a,b ; 12. 已知集合{} 2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数 （1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值 （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围 13. 设集合{} 22,M a a x y a Z ==-∈ （1）请推断任意奇数与集合M 的关系 （2）关于集合M ，你还可以得到一些什么样的结论

(完整版)集合知识点点总结

集合概念 一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有 A?（或B?Ａ） 包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

1.1 集合的概念练习题

1.1 集合的概念练习题 一、选择题 1.下列表示正确的是（ ） A. φ=﹛0﹜ B. 0∈φ C. ﹛b,a ﹜=﹛a,b ﹜ D. ﹛(1,2)﹜=﹛1,2﹜ 2.由|-2|，2 2，1,2构成的集合中元素有（ ） A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3.下列关系正确的是 ( ) A.-5∈N B.5∈R C. 51∈Z D.2 5∈ Q 4.由小于9的正奇数构成的集合中，元素的个数是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.集合M={（x,y ）︳xy ≤0,x ∈R,y ∈R}的意义是（ ） A.第二、四象限内的点 B. 第二象限内的点 C. 第四象限内的点 D. 不在第一、三象限内的点 6.下列表示同一集合的是（ ） A. M={(2,1),(3,2)}, N={(1,2),(2,3)} B. M={2，1}, N={1,2} C. M={y ︳y= x 2 +1,x ∈R}, N={y ︳y= x 2 +1,x ∈N} D. M={(x,y)︳y= x 2 -1,x ∈R}, N={y ︳y= x 2 -1,x ∈R} 7. 用性质描述法表示直角坐标平面内第二象限内的点的全体构成的集合，正确的是（ ）. A. {(x,y)︳x>0,且y>0} B. {(x,y)︳x>0,且y<0}

C. {(x,y)︳x<0,且y>0} D. {(x,y)︳x<0,且y<0} 8.集合A={a,b,c}的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D.5 9.下列关系正确的是（ ） A. {5}∈R B. {5}{1,5} C. 5{1,5} D.{5} R 10.五个关系式：①{a,b}?{a,b}; ②{a,b}={b,a} ; ③0∈{0}; ④ ⑤, 其中正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 11.符合 {a,b} ? A {a,b,c,d} 的集合的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题 1.集合A= 用描述法可表示为_______ 2.已知集合M={x 2-x<0}中元素的个数为______ 3.已知集合M={(x,y)︳x+y=1,x ∈N,y ∈N},用列举法表示集合M=_______. 4.集合A={x ︳x=4k+1,k ∈Z},则 -1___A, -7____A 5.已知集合A={-2,3},集合B={x ︳x 2-ax+b=0},且A=B,则a=_____,b=______ 6.数集{a,a 2 -a}中实数 a 所满足的条件为_______ 7.已知集合A={a ∈Z ︳N a ∈-56},则A 中元素的个数是_______ 8.已知集合P={x ∈N ︳x ≤10}，由其中所有质数构成的集合为_______ 三、用适当的符号（∈，?，=， ?≠ ， ?≠ ）填空： （7分） （1）a { a ，b ，c }； 1234,,,2345?????? {0}=φ{0} ∈φ

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

集合章节知识点

集合 一、基本知识点 1、集合的概念 集合 元素及表示 元素与集合的关系——从属关系(∈与?必有其一) 集合的分类——按元素个数多少分：有限集、无限集、空集； 按元素本质特点分：数集、点集、形集、物集等 常用数集符号——N 、N ﹡或N +、Z 、Q 、R 集合的表示——字母表示法、花括号法（列举法、描述法）、图示法 特殊集合——空集=φ={ }=x {︳}01<

10、) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) (C A B A C B A C A B A C B A? ? ? = ? ? ? ? ? = ? ? C U = ?) (B A C U ? A C U B，C U ) (B A?=C U ? A C U B 11、B A B A B A B B A B A A B A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , 12、B B A B A A B A= ? ? ? ? = ? 13、一元方程（组）、一元不等式（组）的解集是数集； 二元方程（组）、二元不等式（组）的解集是点集。 三、题型与方法 1、题型 考查集合概念 考查集合运算 以集合为载体考查其它数学知识，如不等式、方程等。 2、方法 分析、化简集合是处理集合问题的不变法则； 定义结合数形结合、等价转化、分类讨论是处理集合问题的常用方法。 3、举例 用元素三性解题：先用确定性、无序性列解方程，再用互异性检验。 条件A?B与有限集结合命题：依定义找列子集，分类讨论、等价转化 解答。 条件A?B与无限集结合命题：依定义画图分析，分类讨论、等价转化 解答。

1.1集合的概念基础练习题

1.1集合的概念基础练习题 一、单选题 1．已知集合{}2,2A =-，{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈，则集合B 等于（ ） A ．{}4,4- B ．{}4,0,4- C ．{}4,0- D ．{}0 2．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A ．所有的正方形 B ．方程210x -=的整数解 C ．我国较长的河流 D ．出席十九届四中全会的全体中央委员 3．下列关系中，正确的个数为（ ） R ；②13 Q ∈；③0{0}=；④0N ?；⑤Q π∈；⑥3Z -∈. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 4．下列各组对象中：①高一个子高的学生；②《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 5．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{|}A a b a P b Q =+∈∈，，若{}025P =， ，，{}126Q =，，，则A 中元素的个数是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 6．方程2x x =-的所有实数根组成的集合为（ ） A ．()0,1- B ．{}0,1- C ．{}0,1 D ．{2x x =-} 7．下列式子表示正确的有（ ） Q ；②N Z =；③Q R ?；④Q π? A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8．集合{} 21,A x x x Z =-<<∈中的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设集合222,3,3,7A a a a a ??=-+ +???? ，{}|2|,0B a =-，已知4A ∈且4B ?,则实数a 的取值集合为（ ）

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

高三数学高考《集合的概念》知识点整合全国通用

集合的概念 一、教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法． 二、教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 三、教学过程： （一）主要知识： 1．集合 ①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示 列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}. 如：}1),({},1{},1{-=-=-= x y y x x y y x y x 图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。 ④性质 确定性：A a A a ?∈或必居其一， 互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1} 2．常用数集 复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集* N （或N +） 有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈? 或 4．集合与集合的关系： ①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ?都有A x ?] 则A 是B 的子集。 记作：A B B A ??或 C A C B B A ????, ②真子集：若B A ?，且存在A x B x ?∈00,但，则A 是B 的真子集。 记作：A B[或“B A B A ≠?且”] A B ，B C A C ③B A A B B A =???且 ④空集：不含任何元素的集合，用φ表示 对任何集合A 有A ?φ，若φ≠A 则φ A 注：}{}0{} {φφφ≠≠≠a a 5．子集的个数 若},,{21n a a a A =，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，

高一集合知识点总结

高一集合知识点总结 高一集合知识点总结【1】 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：集合中的任意两个元素都是不同的 (3) 元素的无序性: 集合中的元素之间是没有顺序的。如：{a,b,c} 和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集) 记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-32} ,{x| x-32} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系 属于：;包含于：; 属于与包含于的区别： 属于是元素与集合之间的关系，例如：元素a属于集合A{a，b｝ 包含于是集合与集合之间的关系。例如：集合A{a}包含于集合B {a，c｝ 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果AB, BC ,那么AC ④如果AB 同时BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真