2009级信息专业《高等代数》(二)复习题

2009级信息专业《高等代数》(二)复习题

注意:本复习题与考试无关!

一、已知α1=(1, 1, 0),α2=(1, 0, 1),α3=(0, 1, 1)以及ε1=(1, 0, 0),ε2=(1,

0, 0),ε3=(1, 0, 0)。

1、证明是α1,α2,α3是P 3的一个基。

2、由基ε1,ε2,ε3到基α1, α2, α3的过渡矩阵。

3、求向量β=(2, 2, 2)在基α1, α2, α3下的坐标。 二、求f (x )与g (x )的最大公因式,并求u (x )与v (x )使u (x ) f (x )+ v (x ) g (x )=(f (x ),g (x )).

其中()432

421659f x x x x x =--++

()32

254g x x x x =--+ 三、已知α1=(1,1,1,-1),α2=(1, -1, 1, 0),α3=(1, 2, -1, 0),α4=(2, -1, 4, -2). 1、求L (α1,α2,α3,α4)的维数及此生成空间的一组基. 2、将你所求的基扩充成R 4的一个基。

四、假设线性空间120,,00

x y x

W x y R W x R y

x ????????????

=∈=∈????

? ?-????????????

。 1、分别求出线性空间12,W W 的一个基。

2、问12W W +是否是直和?

3、问12W W +是否与线性空间R 3同构?说明理由。

五、设有P4的两个子空间

()()()11212,,1110,0,1,2,3w L αααα==-=其中,,,

(){}11234124,,,20.w x x x x x x x =+-=

1212. w w w w +?求及的基与维数

六、用非退化线性替换将下面二次型化为标准形,并确定其秩和符号差

f (x 1, x 2, x 3)=x 12+x 32+2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3

七、假设f (x )=x 4-x 3

+5x -5 。

1、证明多项式f (x )在有理数域上是可约的。

2、在有理数域上将f (x )分解成不可约因式的乘积,并证明你的结论。

八、假设f (x )是有理数域上的多项式。

1、证明f (x )的导数()'f x 被x -1除后的余式是()'1f 。

2、若()()()()()6

''',,,,f x f x f x f x 被x -1除后的余式都是0,()

()71f ()()8,1f 的余式分别是1,1。求满足上述条件次数最低的f (x )。

九、设1234,,,εεεε是4维线性空间V 的一组基,已知线性变换σ在这组基下的矩阵为

1021121312552

2

1

2?? ?- ? ? ?--??

1、求σ在基11242ηεεε=-+,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下的

矩阵;

2、求σ的值域与核;

3、在σ的值域中选一组基,把它扩充成V 的一组基,并求V 在这组基下的矩阵。

十、已知σ是线性空间V 上的线性变换,σ关于V 的基的矩阵为

4603

50

36

1A ?? ?=-- ? ?--?

?

, 求一矩阵T 使A 可对角化.

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