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零基础线性代数基础班讲义1

Ch1 行列式

1. 二阶行列式

（1）用消元法求解二元一次方程组，从解的形式中引入二阶行列式（2）定义：是一个算式，形式，元素，行，列，主对角线与次（副）对角线，算法口诀。注：可推广到更高阶的行列式。

例1 3516---

（3）用二阶行列式来表示所给二元一次方程组的解，并分析规律。该规律推广便是克莱姆（Cramer ）法则。

例2 解方程组12123521

4729x x x x +=??

+=?

2. 三阶行列式

（1）从三元一次方程组的解的形式中引入三阶行列式

（2）定义：相关概念同二阶行列式，算法遵循对角线法则（记忆方法）。注：特点是来自不同行不同列元素乘积的代数和。

例3 a b

b c a

c a b

（3）寻找项数的奥秘。

?观察每一项行标的变化：1,2,3

?观察每一项的列标变换：1,2,3

2,3,1

3,1,2

3,2,1

1,3,2

2,1,3

发现规律：列标构成了1,2,3的全排列，共3！种，3！正好是三阶行列式展开式的项数。

（4）寻找符号的奥秘。

为什么三阶行列式展开式中有的项是正的，而有的项是负的？这与排列的逆序数有关。

?排列的逆序数

?求出三阶行列式中各项列标的逆序数（奇排列与偶排列）

?揭示各项符号的奥秘

3. n阶行列式

（1）定义：来源于行列式的项数与符号的规律

（2）记忆：n阶行列式等于来自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。特点：每一项行标按自然数的顺序排列，列标的逆序数决定着该项的符号。

（3）结论：

a a a

例41

__.

()

(1)2

121.n n n n

b b b b b b -=

例5

2___.3

*,*n n n a a a a a a a a a =

()

(1)2

12*

1.*

n n n n

b b b b b b b b b -==-

例6 29780003

0111310050

__,

____.0037013700044119315

--==

例7 请写出五阶行列式的展开式中含有411352a a a 且带正号的项。

用定义来计算复杂一点的高阶行列式是无聊且繁琐的，进一步寻找规律是

关键。

4. 余子式与代数余子式

（1）引入：回到三阶行列式的定义式中，按第一行的元素提取公因式，找到规律。此规律可推广到更高阶行列式。（2）余子式

?定义 ?3111112121313D a M a M a M =-+ （3）代数余子式

?定义 ?3111112121313D a A a A a A =++（美感十足），称为三阶行列式按第一行展开。（4）重要结论

?行列式可按任何一行（列）展开。

?元素的代数余子式与该元素的大小无关，只与该元素的位置有关。

例8 按下列要求计算行列式1

00 4.115-

（1）按第一行展开计算（2）按第3列展开计算（3）按第二行展开计算

注：按含零较多的行或者列展开计算更容易。

例9 已知4110221

03021050

D -=

-，用一个四阶行列式表示下列各式之和：（1）1112131423A A A A +++ （2）1323334332M M M M +-+

5．行列式的性质

（1）行列式的转置与原行列式相等。意义：对行成立的性质对列也成立

举例说明

（2）行列式中互换两行（列），行列式要变号。

例10 已知11

2122

23313233a a a D a a a a a a =，31

3233

11121321

a a a D a a a a a a '=，则,D D '有何关系？

推论：行列式中有两行（列）的元素对应相等，则其值为零。（？）（3）行列式中某行（列）的元素与另一行（列）元素对应的代数余子式乘积之和为零。（原因？见例9（1））（4）行列式可按行（列）提取公因式。

举例说明

推论：?行列式中某行或列元素全为零，则其值为零。 ?行列式中有两行或两列对应元素成比例，则其值为零。

（5）行列式中若有一行（列）为两数之和的形式，则可将行列式按下例的方式拆分为两个行列式之和的形式。如

111

121311121311213212

222321222322223313

333132

333

a b a a a a a b a a a b a a a a a b a a a b a a a a a b a a ++=++ （6）将行列式某行（列）的元素分别乘以常数k 加至另一行（列）对应元素上行列式的值不变。（由性质（4）和（5）可以推出（6））

意义：利用该性质可以将行列式某行（列）化出更多的零来，再按照该行（列）展开，达到轻松降阶的目的。

例11 计算111

2211

3.0332D --=

--10-20

注：这就是例9（2）的结果。 6. 克莱姆法则

（1）定义（上面提到的二元一次方程组解的形式的推广）（2）推论（用的较多）

例12 已知方程组123123123

000x x x x x x x x x λλλ++=??

++=??++=?有非零解，则λ应该满足什么条件？

注：由上面行列式计算过程看，行列式的计算需掌握一定的技巧。

7. 行列式的计算

线性代数B复习资料

一一、选择题 1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【】 101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--???????? ???????????????? ???????????????? （A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）；（C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ?矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【】（1）若有唯一解，则仅有零解。（2）若有非零解，则有无穷多解。（3）若无解，则仅有零解。（4）若有无穷多解，则有非零解；（A ）（1）、（3）；（B ）（1）、（4）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）. 3.设1212101 0,,,24000021B C P A ?? ?? ?? ?? ===???????? -???????? =，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ??????+-+-???????????? 可用矩阵乘法表示为【】（A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==. 4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【】 111(1)()(); (2)()(3)()T T T AB C A BC AB A B AB B A ---=== (4)(5)(6)(2)2T A A AB A B A A =-=?-=- （A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）. 5.设[]1,0,2T ξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【】 [] 011102201(1) 2,1,1;(2) ;(3); (4)422.011010011?? --???? ??---?????? -???? ???? （A ）（1）、（2）；（B ）（1）、（3）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）.

线性代数基础和常考知识点

线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解， 0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

√ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作：() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换

厦大企管完整攻略

二战厦大企管，完整复习攻略我在厦大考研论坛里发的《二战厦大企管，终于如愿以偿，心得分享》的文章，得到了很多学弟妹的关注，可能在具体情况的介绍上比较简略，大家也问了很多问题，回答来回答去，发现问题的内容大体一致，遂决定重新写一篇详细的复习攻略供大家参考。此文仅是本人的复习情况的完整介绍，其中的复习书目个人认为还是比较适合大多数人采用，我均为每本复习书目配有图片，方便大家查询，书目图片来源当当网，我购买的时间均为17年6月至18年12月期间，若有版本调整，还请以最新版本为准；复习方法和复习计划只是提供给大家一个参考和选择，因人而异，请大家慎重采用。本文仍然按照各个科目的体系来介绍，相关的复习时间的安排是比较灵活的，不必过于较真。第一篇：数学三一、复习用书 1.数学教材：（1）高等数学同济第六版（上册）高等数学同济第六版（下册）高等数学习题全解指南同济第6版（上册）高等数学习题全解指南同济第6版（下册）

（2）线性代数(第二版) 居余马清华大学出版社（3）概率论与数理统计浙大第四版（新版）概率论与数理统计习题全解指南浙大第四版

2.辅导材料（1）北大燕园—2014年李正元﹒李永乐考研数学(3)数学复习全书(数学三)（2）金榜图书·2014李永乐·王式安考研数学系列：线性代数辅导讲义（3）金榜图书2014曹显兵考研数学系列：概率论与数理统计辅导讲义（4）金榜图书：2014李永乐、王式安考研数学系列：数学公式的奥秘更多免费资料关注新浪微博@501考研人

3.真题材料（1）北大燕园—2014年李正元﹒李永乐考研数学数学历年试题解析(数学三) （2）金榜图书·2014李永乐·王式安考研数学系列：数学历年真题权威解析（试卷版）（数三） 4.模拟题（1）金榜图书·2014李永乐·王式安考研数学系列:李永乐数学决胜冲刺6+2 更多免费资料关注新浪微博@501考研人

经济数学基础线性代数讲义

经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生 1, 矩阵: A =?? ?? ? ?????-012411210, 称为矩阵。认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列, 第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2 这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵 ?? ?? ? ?????-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。 ? ???? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211, 这个矩阵记作n m A ?, 表明这个矩阵有m 行, n 列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如: ???? ??????-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43?矩阵, 注意行3在

前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。例如: ??????????--011101010 +??????????-012411210=?????? ? ???-021512220 减法是对应位置的数相减。, 3, 矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应 ???? ? ?????3332 31 232221131211 a a a a a a a a a ????? ? ?????3332 312322211312 11b b b b b b b b b ???? ? ??????+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+?=33332332133132 332232123131 332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131 1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明: ???? ? ?????3332 31 232221131211a a a a a a a a a ???????????3332 312322211312 11b b b b b b b b b =?? ? ?????3332 31 232221 1211 c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

大一线性代数的知识点

2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则 (1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则 (1)2 2(1) n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则 4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积 (1) 2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法；

19清华五道口Z同学经验分享——备战6个月成功上岸

标题：考研人的故事|一战六个月考取清华金融专硕，时间规划与备考经验分享作者：凯程集训营Z同学个人信息：本科财经大学金融学专业，一战考取清华金融专硕，备考时报名凯程半年特录班（包含从暑期到复试全程线下教学和网课回看）。报考原因：首先，自己非常喜欢清华大学，而考研到清华大学是相对高考来说稍微简单的选择。其次，清华大学无论数学三还是金融学综合，都以计算为主，需要背诵的内容较少，我认为较为适合我。最后，自己本科学习金融学专业，对金融学并不反感，并且清华专业课在本科期间全部学过，因此选择了考研金融专硕。初试准备：我从寒假决定考研，上半年主要工作为进行考研择校，考研资料收集，考研时间规划等等，真正学习的内容很少。七月到凯程考研正式开始准备，相对很多人来说备考时间较短。每天早上七点前起床，中午午休一个小时，晚上十二点睡觉，到考前一直坚持下来，比较规律。暑假集训期间每周休息半天，用来睡觉、逛街、看电影等等。暑期集训结束之后在学校休息了四五天，几乎是完全放松的状态。百日集训期间每两周休息一天或半天，基本上是一直高度集中精力学习的。下面我将具体讲一下我的考研科目备考方法。政治：推荐资料：凯程考研政治讲义《肖秀荣精讲精练》《肖秀荣1000题》《肖秀荣知识点提要》《肖秀荣四套卷》《肖秀荣八套卷》《肖秀荣形势与政策热点》《高教社大纲解析》备考过程：我是理科生八月开始学习政治，个人感觉八月开始是比较合理的，太早复习政治记不下来，太晚复习后期会很慌。每天学习两个小时左右，一般安排在早上，晚上睡前会顺便看一些知识点。课程只听了凯程考研的张鑫老师和卢营老师的暑期课，打下了不错的基础。因为马原很难理解，张鑫老师讲的很专业，

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

[线性代数电子讲义] [1] 行列式的定义

[线性代数]第一章行列式 1 二阶与三阶行列式的引入 2n阶行列式的定义 3行列式的性质 4余子式与代数余子式 5行列式的展开定理 6线性方程组的Gramer 法则 7典型例题回顾

用消元法解二元线性方程组: ?? ?=+=+, ,22221211212111b x a x a b x a x a :2x 消去◇二阶行列式 2 122211211b b a a a a ,)(212221*********b a a b x a a a a -=-:1x 消去, )(211211*********a b b a x a a a a -=-时，当021122211≠-a a a a ，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=1.二阶与三阶行列式的引入

22 211211a a a a [定义1]22 2112 11a a a a 21 122211a a a a -=: 记号主对角线副对角线 [二阶行列式计算:对角线法则] 2211a a =21 12a a -22 2112 11a a a a : 224列的数表行个数排成设有，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=21122211a a a a -代数式称为该数表所确定的二阶行列式.

,22 21 12 11a a a a D = ?? ?=+=+. ,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组: [系数行列式] [二元方程组的Gramer 法则] ?? ?=+=+. , 22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =,222 12 1 1a b a b D = ?211222112 122211a a a a b a a b x --=D D x 1 1=

非常适合通信学院学生的考研经验谈

“四力一心”磨利剑作者：吴晖。原通信工程学院040821班学习委员，学工助理。考研报考上海大学信息安全专业，考研总分379分。如果把研究生考试比作是在战场上挥剑拼杀、过关斩将，那么考研复习无疑就是打铁磨剑、积草囤粮。在战场上能否所向披靡，克敌制胜，取决于众多因素，带有很大的偶然性，但是以勤为锺、以韧为火、以心为料，日日挥锺打铁、夜夜挑灯磨剑，铸出一把好剑是首要条件。本人结合自己的考研经历以及周围同学考研的成败得失，谈几点想法，希望能够帮助投身于考研的学弟学妹们磨出一把利剑。我的考研180天 07年7月1日，我的大学最后一门考试结束，第二天我走进学校图书馆，开始了我的考研生涯。从这一天开始到08年1月19日考研那天为止，满打满算总共201天，如果除去中间回家休息、短学期上课、考试报名、参加活动等，总的复习时间不超过180天。这180天，说长也长，说短也短，说它长吧，毕竟有180天，整整半年，说它短吧，无非也就是每天在固定地点固定时间做固定的事，如此循环180次，很简单，也很快就过去。固定地点即考研教室。（建议学弟学妹暑假期间可以在学校图书馆复习。9月初，教学楼一开放就赶紧找一个好教室。第六教学楼五楼靠南面的小教室是理想的考研复习教室，有阳光，比较温暖；不排课，不考试，不会被骚扰；人少，比较清静，但因

为是稀缺资源，极为紧俏。）固定时间即每天的每一个复习时间段（建议学弟学妹能够结合自身学习习惯、学科基础、最终研究生考试的各科考试时间等，科学合理地设计一份日复习时间表。计划制定好后，关键的事就是执行，在每天固定的时间段复习固定的科目，做固定的事，有助于知识的巩固，有利于形成复习的系统性。）固定的事，简单地说就是复习，具体来说，我是这样做的。第一阶段（7月初—8月底）夯实基础阶段数学：系统复习大学教科书，熟悉课本内容。英语：强记新东方高频词汇，打好词汇基础。政治：参加政治强化班学习，整理课堂笔记。第二阶段（9月初—10月底）强化巩固阶段数学：以文登数学为纲，复习高数和概率论，以线性代数辅导讲义为纲，复习线性代数。英语：强记新东方高频词汇，同时专项练习完型填空、阅读理解。政治：以领航强化班资料和任之一为纲，系统学习政治理论。专业课：10月份开始复习，一个月内把指定专业书看完，对各章节内容大致有个了解。第三阶段（11月初—1月13日）总结提升阶段数学：11月初至12月初，真题演练（李永乐的真题解析）。12月初至12月底，做模拟卷（李永乐的400题）。12月20日至

线性代数讲义

线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数英文讲义

Chapter 4 Linear Transformations In this chapter, we introduce the general concept of linear transformation from a vector space into a vector space. But, we mainly focus on linear transformations from n R to m R. §1 Definition and Examples New words and phrases Mapping 映射 Linear transformation 线性变换 Linear operator 线性算子 Dilation 扩张 Contraction 收缩 Projection 投影 Reflection 反射 Counterclockwise direction 反时针方向 Clockwise direction 顺时针方向 Image 像 Kernel 核 1.1 Definition ★Definition A mapping(映射) L: V W is a rule that produces a correspondence between two sets of elements such that to each element in the first set there corresponds one and only one element in the second set. ★Definition A mapping L from a vector space V into a vector space W is said to be a linear transformation（线性变换）if

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式

普通高等教育电子信息工程专业教学大纲合集 0500804线性代数

《线性代数》教学大纲课程编码：0500804 课程性质：专业基础课学分：3学分学时：54学时适用专业：电子信息工程开设学期：第2学期一、教学目的通过对本门课程的学习，使学生获得有关行列式、向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量及二次型的有关知识，掌握该课程的基本概念、定理及计算，提高分析问题及解决问题的能力，为学习后继相关的专业课打下基础。二、重点难点 1．重点：行列式、矩阵及其运算、线性方程组、向量组及其线性相关性、相似矩阵及其二次型。 2．难点：行列式的展开、求解逆矩阵，通过初等变换解线性方程组，找出向量组的最大无关组，将对称矩阵对角化。三、教学方法讲授法：教师讲授线性代数的基本概念和定理。讨论法：师生共同讨论线性方程组解的情况。探究法：师生共同探究线性代数的一些应用问题。四、教学内容第一章行列式（12学时）教学要求：理解二、三阶行列式的定义，理解全排列及其逆序数的概念，理解n阶行列式的定义，了解对换的概念及其相关的结论，掌握行列式的性质，并学会运用行列式的性质计算行列式，掌握行列式的按行按列展开法则，并学会利用展开法则计算行列式，理解克拉默法则的条件、结论，掌握如何运用克拉默法则求解线性方程组。 1.二阶与三阶行列式

2.全排列及其逆序数 3.ｎ阶行列式的定义 4.对换 5.行列式的性质 6.行列式按行（列）展开 7.Cramer法则第二章矩阵及其运算（8学时）教学要求：理解矩阵的有关概念，了解线性变换与矩阵间的关系，掌握矩阵的加法运算、数乘矩阵运算、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置、方阵的行列式，掌握逆矩阵的概念及方阵可逆的判别条件，学会利用伴随矩阵求逆矩阵，了解矩阵分块法。 1.矩阵 2.矩阵的运算 3.逆矩阵 4.矩阵分块法第三章矩阵的初等变换与线性方程组（10学时）教学要求：理解二、三阶行列式的定义，理解全排列及其逆序数的概念，理解n阶行列式的定义，了解对换的概念及其相关的结论，掌握行列式的性质，并学会运用行列式的性质计算行列式，掌握行列式的按行按列展开法则，并学会利用展开法则计算行列式，理解克拉默法则的条件、结论，掌握如何运用克拉默法则求解线性方程组。 1.矩阵的初等变换 2.初等矩阵 2.矩阵的秩 4.线性方程组的解第四章向量组的线性相关性（10学时）教学要求：理解n维向量的概念，掌握线性组合、向量组的等价、线性相关的概念以及向量组线性相关的判别条件，理解向量组的秩的概念，掌握矩阵的秩

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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