二次函数(面积最值问题)

P67.如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m 、120 m ，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m 、2x m ．

（1）用代数式表示三条通道的总面积S ；当通道总面积为花坛总面积的

时，求横、纵通道的宽分别是多少？

（2）如果花坛绿化造

价为每平方米3元，通

道总造价为3168 x 元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．（以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）

（1）由题意得S= 3x· 200 + 2x· 120×2－2×6x2 =－12x2 + 1080x．

由S =×200×120，得x2－90x + 176 = 0，

解得x = 2 或x = 88．

又x＞0，4x＜200，3x＜120，解得0＜x＜40，

所以x = 2，得横、纵通道的宽分别是6 m、4 m．（2）设花坛总造价为y元．

则y = 3168x +（200×120－S）×3 = 3168x +

（24000 + 12x2－1080x）×3

= 36x2－72x+ 72000 = 36（x－1）2+ 71964，

当x= 1，即纵、横通道的宽分别为3 m、2 m时，花坛总造价量低，最低总造价为71964元．

P69:星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

P73：（2011?江津区）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，

分别以AB、BC、CD、DA边为直

径向外作半圆，若整个广场的周长

为628米，设矩形的边长AB=y米，

BC=x米．（注：取π=3.14）

（1）试用含x的代数式表示y；

（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；

①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；

②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由；

③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积 例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间 练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值； 若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。 当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

二次函数的几何最值问题

二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

22.3.1--利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题

30322(5)b a -=-=? -第1课时 利用二次函数求几何面积的最值问题 1.二次函数的最值 问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以借助函数图象解决这个问题．画出函数h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)的图象(如图)． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线 的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值． 因此，当t ＝ 时， h 有最大值 也就是说，小球运动的时间是3 s 时，小球最高．小球运动中的 最大高度是45 m. 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低(高)点，也就是说，当x ＝a b 2-时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c 有最小(大)值a b ac 442-。 例题： 1．二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的最小值为0，则c 的值为（B ） A.2 B.4 C.-4 D.16 2．已知0≤x≤2 1，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是（B ） A. -6 B.-2.5 C.2 D ．不能确定 3．已知y ＝－x （x ＋3－a ）＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在1≤x≤5时，若y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值情况是（D ） A.a=9 B.a=5 C ．a≤9 D ．a≤5 4．二次函数y ＝2x 2－6x ＋1，当0≤x≤5时，y 的取值范围是-27≤y≤21 . 5．若二次函数y ＝x 2＋ax ＋5的图象关于直线x ＝－2对称，且当m≤x≤0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是－4≤m≤－2 . 2243045.44(5)ac b a --==?-

中考数学复习指导：解二次函数中三角形面积最值问题

解二次函数中三角形面积最值问题 一、灵割巧补，间接转化求最值 这里的割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解，补是指将所求图形填上一部分然后用补后的图形面积减去所补的部分面积.两种做法的实质都是间接的求出所求图形的面积. 例1 在如图所示的直角坐标系中，有抛物线2424455 y x x =-+.连接AC ，问在直线AC 的下方，是否在抛物线上存在一点N ，使NAC V 的面积有最大值?若存在请求出此值;若不存在请说明理由. 解析 设N 点坐标为2424(,4)55 a a a -+，(0,5)a ∈，如图所示过点A 作直线平行于x 轴，过点N 作直线平行于y 轴，与x 轴交于点F ，与AC 相交于点G ，两直线相交于点D .容易求得直线 AC 的方程445y x =- +，得出G 点坐标(4(,4)5a a -+，求出NG 的长为2445 a a -+，111222 ACN ANG CGN S S S NG OF NG CF NG OC =+=?+?=?V V V 2210a a =-+，故当52a =时三角形面积有最大值252，此时N 点的坐标为5(,3)2-. 点拨 本题中将三角形割开求解的方法在应用中是较为常见的，此种方法也可视为是铅垂法，即三角形的面积等于三角形的水平宽与铅垂高的积的一半，本题中就是演示了整个的推理以及求解过程. 二、直线平移，化为切线求最值 切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，即通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时(此时就是相切)存在长度的极值，借此来直接求出点的坐标.此法不用求出面积的解析式就可直接求解，是解题的新思路. 例2 如图所示，在平面直角坐标系中，有一抛物线2142 y x x =+-，在第三象限的抛物线上是否存在一动点M ，使ABM V 面积存在最大值?若存在，求出最值;若不存在，说明理由.

二次函数与三角形周长,面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐

标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值；

练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

利用二次函数求几何图形面积的最值问题

利用二次函数求几何图形面积的最值问题 构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明. 方法： 1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。 2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。 3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当 的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。 例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. 简析 设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ， 则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4）， 易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y . 且有 NP BC CN -＝BF AF （作辅助线构造相似三角形），即34y x --＝12， 所以y ＝－12x +5，S ＝xy ＝－12x 2+5x （2≤x ≤4）， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值 S 最大＝－12×42+5×4＝12. 说明 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.

二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计解读

[教学设计 ] 二次数学的实际运用 ——图形面积的最值问题 【知识与技能】 :通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养其整体性思想。 【过程与方法】 :能通过设置的三个问题, 概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。 【情感态度与价值观】 :体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察, 不断反思,主动纠错的能力和乐于思考,认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。 【重点】 :如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】 :如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动 1】 :导入引言: 二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类 (1利润最大问题; (2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。 【活动 2】 :师生互动,合作学习 我们来看一道简单的例题

例 1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为 24米,则矩形的长宽分别为多少时,围成的矩形面积最大? 师(让学生思考 :题目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化 师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗? 学生解决:若设矩形一边长为 X ,当 X 在变长时,另一边变短,当 X 变短时,另一边变长,则面积 S 也随之发生了变化;设宽 AB 为 X 米,则长为 24-2X (m 所以面积 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么? (板书 : 第一步,正确理解题意 , 分析问题中的常量和重量; 第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系; 第三步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。 师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题 小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。 活动 3:变式训练,巩固应用。

如何求解二次函数中的面积最值问题

如何求解二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 题目（重庆市江津区） 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3， 0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

解答 (1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3

二次函数线段、周长、面积最值问题

1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于 点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛 物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．

4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数应用(面积最值)

二次函数应用（面积最值） 1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2． (1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)画出这个函数的大致图象(其中0≤x≤10)； (3)根据图象观察当边长x为何值时，广告牌面积S最大？ 2、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面 用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养 鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 3如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？

(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 4、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB 上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y． (1)用含y的代数式表示AE； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值

5、 如图所示，在生产中，为了节约原材料，加工零件时常用一些边角余料，△ABC为锐角三角形废料．其中BC＝12 cm，BC边上高AD＝8 cm，在△ABC上截取矩形PQMN，与BC边重合，画出草图说明P，N两点落在什么位置上，才能使它的面积最大？最大面积是多少？并求出这时矩形的长和宽． 6、 如图所示，E，F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC，CD上的点，CE＝1，CF＝ ，直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M，N．设HM＝x，矩形AMHN的面积为y． (1)求y与x之间的函数关系； (2)当x为何值时，矩形AMHN的面积最大？最大面积是多少？

二次函数中的面积最值问题最佳处理方法

因材教育二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3

二次函数中面积最值问题

课题：二次函数中面积最值问题（复习课） 教学目标：利用二次函数的最值求面积最值问题 教学重点：利用二次函数的顶点公式或者配方法求解面积的最值 教学难点：利用二次函数的性质和自变量取值范围求面积的最值 教学过程：复习巩固：小题热身:1.二次函数 142--=x x y 的顶点是_________ 2.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最___值为________ . 3.当x= 时,y=-2x2+8x-7有最___值为_______ . 引入： 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 变一变 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,（墙长10米）另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 巩固：（2016?绍兴） 课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 1.这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m2． 2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题： （1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？ 请通过计算说明． 归纳总结：运用二次函数求几何图形面积最值一般步骤 1.审题 2.引入自变量 3.用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量 4.根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，并求得自变量的取值范围. 5.根据函数关系式，求出最值及取得最值时自变量的值. 6.检验结果的合理性

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习（含答案） 一、选择题 1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是( ) A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 2．如图K－6－1，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) 图K－6－1 A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 3．如图K－6－2所示，C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) 图K－6－2 A．当C是AB的中点时，S最小

B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大 4．如图K－6－3，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连结QD.设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( ) 图K－6－3 图K－6－4 二、填空题 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示，当－5≤x≤0时，函数y的最大值是________，最小值是________． 图K－6－5

6．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30，则这个直角三角形的面积最大为________． 7．如图K－6－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s 的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小.链接学习手册例2归纳总结 图K－6－6 8．如图K－6－7①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________． 图K－6－7 三、解答题 9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)． (1)如图K－6－8①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.

中考二次函数面积最值问题(含答案)

二次函数最值问题 例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这 条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?21世纪教育网 解：（1）x 02x 21 2+-=S （2）∵a=21 -<0 ∴S 有最大值 ∴022120 2a 2b x =-?-=-=） （ ∴ S 的最大值为2002002202 1 2=?+?-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。 2.如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =2 1 PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ， ∴y=2 1 （18－2x ）x ，即y=－x 2+9x （0

中考二次函数面积最值问题含答案

题型二：面积最值问题 例1、（2012·哈尔滨）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单 位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位： cm)的变化而变化． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大最大面积是多少世纪教育网 解：（1）x 02x 212S （2）∵a=21- <0 ∴S 有最大值∴022 1202a 2b x ）（∴ S 的最大值为200 20022021 2S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2 。练习： 1．(2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为 x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2 ）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ， ∴y=（18－2x ）x ， 即y=－x 2+9x （0

二次函数的最值问题

典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验 周前猛 一、选择题 1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( ) A. ab D 不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74 B C 、2或 D 2或或-74 答案：C ∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=-74 ，2 765y x 416??=-++ ?? ?此时 ，它在－2≤x≤l 的最大值是 65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1 解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符. 当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得 m=当m=.它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m 的值为2或 . 故选C ． 3． 已知0≤x≤ 1 2 ，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A C . D. -6 答案：C 解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x ＜2上y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤ 12，∴当x=12时，y 取最大值，y 最大=-2（1 2 -2）2+2=．故选：C ．

二次函数与面积最值问题

二次函数与面积最值问题 三维目标： 1、知识与技能： 通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。 2、过程与方法 进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。 3、情感态度价值观 （1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。 （2）渗透转化及分类的数学思想方法。教学重点 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法 教学难点 如何将实际问题转化为二次函数的问题 教学过程： 一：复习引入 最值求法： 1.利用配方法变成顶点式，求得顶点坐标（h,k）,当x=h时函数有最 大值（或最小值）y=k 2. 利用顶点公式(－b 2a， 4ac－b2 4a)]

当x=－b 2a 时，二次函数有最大值（或最小值）y=4ac －b 24a 练习： y=-2x^2+4x-1求出其最大值（或最小值） 分析：目的让学生熟悉求最大值和最小值的方法 （由学生板书，教师纠正） 提示：法1：可用配方法 法2：可用公式代入求之 今天我们一起来讨论利用二次函数讨论关于面积的最值问题，大家一起来看问题1： 问题1：直角三角形两直角边的和为10，该直角三角形的最大面积为多少： 分析：通过三角形面积的探究，激发学生的学习兴趣。 解：设直角三角形的面积为S ，其中一条直角边的长为X ，则另一条直角边的长为（10-X ） 依题意： S=)10(2 1 X X - =X X 5212+=5.12)5(2 12+--X 因为a=021<- 所以当三角形边长都为5时有最大的面积为12..5 （可由学生思考后板书，教师指导） 此题可适当变式： 如：1。已知菱形的对角线之和为10 ，求菱形的最大面积 2.四边形的两条对角线AC 和BD 互相垂直，且AC+BD=10，

二次函数的实际应用(面积最值问题)

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动． （1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案： 63 363 3360726612626262 1 )1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米 则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -=

初中数学压轴题二次函数面积最值问题的4种解法

初中数学压轴题二次函数面积最值问题的4种解法！ 二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 而求三角形面积的最值问题，更是常见。今天，方老师介绍二次函数考试题型种，面积最值问题的4种常用解法。 同学们，只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。

原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△P B C的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PB C的面积最大值，若没有，请说明理由。 考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。

解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。

解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。 铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。

解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。 设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然 后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。

解法三：切线法。这其实属于高中内容。但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。

中考数学二次函数与面积最值

二次函数与面积最值 一、知识要点 二次函数中图形面积最大值求法 法1：割补法 1．三角形面积最值：作出铅垂高，找出水平宽，利用面积公式（S=1 2 ×铅垂高×水平 宽）表示面积.（如图1） 2．四边形面积最值：连四边形对角线，将四边形面积最值转化为三角形面积最值.（如图1） 方法：设出动点坐标，利用面积公式表示出面积，将面积最值转化为二次函数最值. PE为铅垂高OB为水平宽 法2：面积相等—双轨平行线 1．根据顶点找出公共边，作为底（如图）； 2．根据“双轨平行线”作公共边的平行线（过顶点作公共底的平行线，再向顶点的另一侧作等距的平行线），求出平行线的解析式；若为倍数关系向两侧做等倍数距离的平行线即可； 3．平行线与抛物线的交点即为动点坐标，即一次函数与二次函数联立解方程.

二、经典例题与解析 如图，抛物线213222 y x x =??与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称． （1）求点A 、B 、C 的坐标． （2）在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别令y =0，x =0，求函数与x 轴、y 轴的交点； （2）求直线解析式，因为P 点不定，所以先设P 点坐标（设横求纵），然后利用面积公式（ S =12×铅垂高×水平宽）表示面积，再通过配方求最值。 【解答】 （1）解方程2132022 x x ??=,得x 1=-1，x 2=4， ∴A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（4，0）． 当x =0时，y =-2，

∴C 点坐标为（0，-2）． （2）∵C 点坐标为（0，-2）． 点D 与点C 关于x 轴对称．∴D 点坐标为（0，2） 设直线BD 的解析式为y =kx +b ，则 0420k b k b =+??=+? 解得 122 k b ?=????=? ∴直线BD 的解析式为y ＝? 122x + 如图： 作PE ∥y 轴交BD 于E ，设P （m ， 2132)22m m ??，则E （m ，122m ?+） ∴PE =211322222m m m ?+???=-2142 m m ++ ∴S △PBD = 12?PE ?（x B -x D ）=1(2?-2142m m ++)?4=228m m ?++=()219m ??+ ∵-1＜0， ∴m =1时，△PBD 的面积最大，面积的最大值为9． ∴P （1，-3）