浅析定积分的计算和应用_牛艳秋
微积分的两大部分是微分和积分，两个基本定理和牛顿—莱布尼茨公式说明了微分和积分的联系：
第一基本定理：设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｘ∈［ａ，ｂ］，则变
上限积分覬（ｘ）＝
ｘ
ａ
乙ｆ（ｔ）ｄｔ，对ｘ求导，并且有覬＇（ｘ）＝（ｘａ乙ｆ（ｔ）ｄｔ）＇＝ｆ（ｘ）．
该定理阐明了由变上限积分定义的函数（积分上限函
数）覬（ｘ）＝
ｘ
ａ
乙ｆ（ｔ）ｄｔ，是一个可导函数覬＇（ｘ）＝（ｘａ乙ｆ（ｔ）ｄｔ）＇＝ｆ（ｘ），这个结
果沟通了微分运算和积分运算的互逆关系，即一个连续函数ｆ（ｘ）的积分上限函数覬（ｘ）是它的一个原函数，而这个原函数覬（ｘ）的导数又回到了这个函数ｆ（ｘ）本身．
第二基本定理：设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｘ∈［ａ，ｂ］，则ｘ
ａ
乙ｆ（ｔ）ｄｔ是ｆ（ｘ）的一个原函数．
它告诉我们，一个连续函数ｆ（ｘ）的原函数不止一个，有无穷多，其中任意两个原函数只相差一个常数，因为覬（ｘ）＝ｘ
ａ
乙ｆ（ｔ）ｄｔ是ｆ（ｘ）的一个原函数；所以如果Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的另一个
原函数，那么必有Ｆ（ｘ）＝覬（ｘ）＋Ｃ＝
ｘ
ａ
乙ｆ（ｔ）ｄｔ＋Ｃ在此基础上，推得
了牛顿—莱布尼茨公式
ｂ
ａ
乙ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）ａｂ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．
众所周知，想用定积分定义来求定积分的值是十分困难的，甚至不可能，而应用牛顿—莱布尼茨公式来计算定积分就会非常简便，它把定积分的计算方法转化为求被积函数ｆ（ｘ）的任意一个原函数，或者说求ｆ（ｘ）的不定积分，因为不定积分是ｆ（ｘ）的任意一个原函数的代表，所以不定积分在微积分学中也占有重要地位和作用．
1定积分的计算方法
定积分的计算通常会采用以下三种计算方法来计算：
１．１牛顿—莱布尼茨公式法：
ｂ
ａ
乙ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）ａｂ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）
例题
４
１
乙１
ｘ（１＋ｘ
姨）
ｄｘ
解
４
１
乙１
ｘ（１＋ｘ
姨）
ｄｘ＝
４
１
乙１
ｘ
姨·ｘ
姨（１＋ｘ
姨）
ｄｘ
＝２
４
１
乙１
ｘ
姨（１＋ｘ
姨）
ｄ（ｘ
姨）
＝２
４
１
乙１
ｘ
姨
ｄ（ｘ
姨）－
４
１
乙１
１＋ｘ
姨
ｄ（ｘ
姨）
＝２［ｌｎｘ
姨－ｌｎ（１＋ｘ
姨）］４１＝２ｌｎ４
３
１．２定积分的换元积分法：
ｂ
ａ
乙ｆ（ｘ）ｄｘ＝βα乙ｆ［覬（ｔ）］·覬＇（ｔ）ｄｔ
注意：在换元过程中，必须更换积分上、下限．（换元必换
限）
例题
１
０
乙ｘ３１－ｘ２
姨ｄｘ．
解方法一令ｘ＝ｓｉｎｔ，则ｄｘ＝－ｃｏｓｔｄｔ．当ｘ＝０时，ｔ＝０；当
ｘ＝１时，ｔ＝π
２
．于是
１
０
乙ｘ３１－ｘ２
姨ｄｘ＝
π
２
０
乙ｓｉｎ３ｔ１－ｓｉｎ２ｔ
姨ｃｏｓｔｄｔ
＝
π
２
０
乙ｓｉｎ３ｔｃｏｓ２ｔｄｔ＝π２０乙（ｃｏｓ４ｔ－ｃｏｓ２ｔ）ｄｃｏｓｔ
＝１５ｃｏｓ５ｔ－１３ｃｏｓ３
乙乙ｔπ２
０
＝２
１５
．
方法二令１－ｘ２
姨＝ｔ，则－ｘｄｘ＝ｔｄｔ．当ｘ＝０时，ｔ＝１；当
ｘ＝１时，ｔ＝０．
于是
１
０
乙ｘ３１－ｘ２
姨ｄｘ＝－
０
１
乙（１－ｔ２）ｔ２ｄｔ＝１０乙（ｔ２－ｔ４）ｄｔ
＝１
３
－１
５
＝２
１５
．
１．３定积分的分部积分法：
ｂ
ａ
乙ｕｄｖ＝ｕ·ｖｂａ－ｂａ乙ｕｄｖ
例题
ｅ２－１
０
乙ｌｎ（１＋ｘ２）ｄｘ
解
ｅ２－１
０
乙ｌｎ（１＋ｘ２）ｄｘ＝ｘｌｎ（１＋ｘ２）ｅ２－１０－ｅ２－１０乙２ｘ２
１＋ｘ２
ｄｘ
＝２（ｅ２－１）－２
ｅ２－１
０
乙ｘ２＋１－１
１＋ｘ２
ｄｘ
Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．９
Ｓｅｐ．２０１６
赤峰学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
第３２卷第９期（下）
２０１６年９月
浅析定积分的计算和应用
牛艳秋
（吉林建筑大学城建学院，吉林长春130111）
摘要：定积分是高等数学的一个重要的基本概念，本文主要讨论定积分的计算和应用，对一些应用的方法和技巧进行分析和总结，进一步讨论了定积分在几何、物理、经济学等各领域的广泛应用.
关键词：微分；积分；计算；应用
中图分类号：Ｏ２４１．８文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１６）０９－０００３－０２
收稿日期：2016-04-11
３
－－DOI:10.13398/https://www.wendangku.net/doc/db15161784.html,ki.issn1673-260x.2016.18.002
＝２（ｅ２
－１）－２［ｘ－ａｒｃｔａｎｘ］ｅ２
－１
０＝２ａｒｃｔａｎ（ｅ２－１）．
2
定积分的应用
定积分的概念实质上是从实际问题中抽象而来的，因此它在几何、物理、及经济学上有广泛的应用．
定积分的所有应用问题都具有一个固定的模式：求与某个区间［ａ，ｂ］上的变量ｆ（ｘ）有关的总量Ｑ．这个量Ｑ可以是面积，体积，弧长，功等．我们用如下的步骤去确定这个量．
１°分割．用分点
ａ＝ｘ０＜ｘ１＜…＜ｘｎ＝ｂ将［ａ，ｂ］分为ｎ个子区间．
２°近似．找一个连续函数ｆ（ｘ），使得在第ｉ个子区间［ｘｉ－１，ｘｉ］上，Ｑ可以用量ｆ（ξｉ）（ｘｉ－ｘｉ－１），ξｉ∈［ｘｉ－１，ｘｉ］，（ｉ＝１，２，…ｎ）来近似，这一步是问题的核心．
３°求和．将所有这些近似量加起来，得总量Ｑ的近似值
ｎ
ｉ＝０
Σｆ（ξｉ
）△ｘｉ
，
△ｘｉ
＝ｘｉ
－ｘｉ－１
．
４°取极限．当分割无限细密时，得出
Ｑ＝
ｂ
ａ
乙
ｆ（ｘ）ｘ．
对上面的求积过程可作如下的较为简捷的处理．ｆ（ξｉ）用ｆ（ｘ）代替，△ｘｉ用ｄｘ代替，和号Σ用积分号
乙代替，
即用ｂ
ａ
乙ｆ（ｘ）ｄｘ代替ｎ
ｉ＝０
Σｆ（ξｉ
）△ｘｉ
．
我们已经指出，第二步的“近似”是关键．我们在具有代表性的任一小区间［ｘ，ｘ＋ｄｘ］上，以“匀代不匀”找出微分
ｄＱ＝ｆ（ｘ）ｄｘ
然后从ａ到ｂ积分，就可求出量Ｑ．这种在微小的局部上进行数量分析的方法叫做微元法．２．１
定积分在几何上的应用
在此类题中我们采用的就是微元法，前面我们对微元法进行了分析，下面我们以解题的方式，来进一步诠释微元法的妙用：
例题
求ｙ＝ｓｉｎｘ；
ｙ＝ｃｏｓｘ；ｘ＝０以及ｘ＝２π所围平面图形的面积（见图）．
解
设所求面积为Ｓ，于是Ｓ＝
２π
０
乙｜ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ｜ｄｘ
根据三角函数的性质，有：当０≤ｘ≤π４或者５π４
≤ｘ≤２π时，
ｓｉｎｘ≤ｃｏｓｘ，
当π４≤ｘ≤５π４
时，ｃｏｓｘ≤ｓｉｎｘ，所以，
Ｓ＝２π
０乙｜ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ｜ｄｘ
＝
π４０
乙
（ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）ｄｘ＋
５π４
π４
乙
（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＋
２π
５π４乙（ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）ｄｘ
＝［ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ］π
４
０＋［－ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ］５π４π４
＋［ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ］２π５π４
．＝（２姨－１）＋２２姨＋（１＋２姨）＝４２姨２．２定积分在物理学中的应用
例题
把一个带电荷量＋ｑ的点电荷放在ｒ轴上坐标
原点Ｏ处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点Ｏ为ｒ的地方，那么电场对它的作用力的大小为Ｆ＝ｋｑ
ｒ２（ｋ为常数）见图，当这个单位正电荷在电场中从ｒ＝－ａ处沿ｒ轴移动到ｒ＝ｂ（ａ＜ｂ）处时，计算电场力Ｆ对它所作的功．
解
在上述移动过程中，电场对这单位正电荷的作用
力是变的，取ｒ为积分变量，它的变化区间为［ａ，ｂ］，设［ｒ，ｒ＋ｄｒ］为［ａ，ｂ］上的任一小区间，当单位正电荷从ｒ移动到ｒ＋ｄｒ时，电场力对它所作的功近似于ｋｑｒ２
ｄｒ，即功元素为ｄＷ＝ｋｑｒ２ｄｒ于是所求的功为Ｗ＝ｂ
ａ
乙
ｋｑｒ２ｄｒ＝－１
ｒ姨姨ｂ
ａ
＝ｋｑ１ａ－１
ｂ
姨姨２．３
定积分在经济学中的应用
例题
已知生产某产品ｘ单位时的边际收入为Ｒ＇（ｘ）
＝１００－２ｘ（元／单位），求生产４０单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产１０个单位时所增加的总收入．
解
由变上限定积分公式Ｒ（ｘ）＝
ｘ０
乙Ｒ＇（ｔ）ｄｔ
直接求出Ｒ（４０）＝４０
０
乙（１００－２ｘ）ｄｘ＝（１００ｘ－ｘ２
）
４００
＝２４００（元）
平均收入Ｒ（４０）４０＝２４００４０
＝６０（元）
在生产４０单位后再生产１０单位所增加的总收入可由增量公式求得
△Ｒ＝Ｒ（５０）－Ｒ（４０）＝５０
４０
乙
Ｒ＇（ｘ）ｄｘ＝
５０
４０
乙（１００－２ｘ）ｄｘ
＝（１００ｘ－ｘ２）
５０４０
＝１００（元）．
——
—————————————————参考文献：
〔1〕陈文灯.高等数学辅导[M].北京：北京理工大学出版社，
2011.5.
〔2〕孙淑珍.高等数学解题与分析[M].北京：清华大学出版
社；北京交通大学出版社，2010.9.
〔3〕徐兵.微积分（经管类）[M].北京：高教出版社，2010.8.〔4〕张明智.高等数学[M].北京：中国电力出版社，2007.〔5〕见涛.定积分的计算与应用[J].新课程学习，2013（8）：54-
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〔6〕同济大学数学系.高等数学上册[M].北京：高教出版社，
2007.4.
〔7〕王丹.高等数学习题课教程[M].长春：吉林大学出版社，
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５π
４
π
４ｙ＝ｓｉｎｘｙ＝ｃｏｓｘ
４－－
定积分的应用
定积分的应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)
留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R
证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??， 由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑．
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
定积分的方法总结
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+不定积分计算的各种方法论文.doc
不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为
?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.
最新定积分及应用61887
定积分及应用61887
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 第六章 定积分及其应用 习题6-1 1、利用定积分的定义计算下列定积分： (1) ?-2 1 xdx ； 解：①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f , ②取?为]2,1[-的n 等分,此时有 ]31,)1(31[],[1n i n i x x i i i +--+-==?-,n x i 3=?=?,.,,2,1n i = ③取i i i n i x ?∈+-==31ξ,于是 )3(33)31()(],[11 1∑∑∑===+-=+-=?=?n i n i n i i i i n n n n n i x f S ξξ 2 )1(932++-=n n n , ④2 3293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=?=∞→→?-?n n n S xdx n ξ. (2) ?1 0 dx e x . 解：①令]1,0[)(C e x f x ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈, ②取?为]1,0[的n 等分,此时有 ],1[],[1n i n i x x i i i -==?-, n x i 1=?=?,.,,2,1n i =
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 ③取i i i n i x ?∈==ξ,于是 ∑∑∑ =====?=?n i n i n i n i n i i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ, ④n n n n i n i n x e e e n e n S dx e 11 10||||1 0 1 11lim )1(lim ],[lim --==?=∞→=∞→→?∑?ξ 11lim )1(1 1 lim )1(01-=--=--=→∞→e e t e e n e t t n n . 2、利用定积分的几何意义,说明下列等式： (1)121 0 =?xdx ； 解：因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1, 因此由定积分的几何意义知121 0 =?xdx . (2)411 0 2π=-?dx x ； 解：因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围 成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4 π,因此由定积分的几何意义知 4 11 0 2π=-?dx x . (3)0sin =?-π πxdx ；
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??
定积分方法和应用
例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，
例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积
= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。
解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为
= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。
解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
专升本高等数学 第五章定积分及其应用
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2, ,i n =），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
高数 定积分的应用
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以
[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.
数学分析(2)：定积分计算与应用
数学分析（2）：定积分计算与应用 1、4 01cos 2x dx x π +? 2 、 ln 0? 3 、 (211x dx -+? 4 、1? 5、32122dx x x -? 6、21(1)dx x x +∞+? 7、 21arctan x dx x +∞? 8 、10? 9、120ln(1)1x I dx x +=+? 10 、设1 20()3()f x x f x dx =，求()f x . 11、设21,0(),0x x x f x e x -?+<=?≥? ，求30(2)f x dx -? 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积. 13 、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小. 14 、求函数2 y = 1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积 16、求摆线1cos sin x t y t t =-?? =-?一拱()02t π≤≤的弧长.
17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求 0()(0)x S t dt x ≥?. 19、设()0sin x t f x dt t π=-?，计算()0f x dx π?. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2 a Ma f x dx ≤?，其中{}'max ()a x b M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明： 1 10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--??
不定积分的计算
不 定义：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f （x ），即对任一x ∈I ，都有 ()()dF(x)=f(x)dx F x f x '=或 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数F （x ），使对任一x I ∈都有 ()()F x f x '= 简单地说：连续函数一定有原函数。 一、换元积分法 1、第一类换元法 定理：设f （u ）具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式：()[()]()[()]u x f x x dx f u ???='=?， 设要求()g x dx ?，如果函数g （x ）可以化为g x [()]()x x ??'?（）=的形式，那么 ()()[()]()[()]u x g x dx f x x dx f u du ???='==?? . 这样，函数g （x ）的积分即化为函数f （u ）的积分，如果能求得f （u ）的原函数，那么也 就求出了g(x)的原函数。 例，求 ? 解：被积函数中，cos2x 是一个复合函数：cos2x=cosu ，u=2x ，常数因子恰好是中间变量u 的导数，因此，作变换u2x ，便有： 2cos 2cos 22cos 22()cos sin 22cos 2sin 2xdx x dx x x dx udu u c u x xdx x c =?=?= =+==+?????即 将代入得 2、第二类换元法 定理：设()x t ?=是单调的可导的函数，并且()0t ?'≠，又设[()]()f t t ??'具有原函数，则有换元公式：1 x ()[[()]()]t f x dx f t t dt ???-='=??（） （2） 其中1 x ?-（）是()x t ?=的反函数。 证明：设[()]()f t t ??'的原函数为()t Φ，记1 [()](x F x ?-Φ=），利用复合函数及反函数的 求导法则。得到：1 F ()[()]()[()]()() d dt x f t t f t f x dt dx t ????Φ''= ? =? ==' 即F(x)是f （x ）的原函数，所以有：1 ()()[()]f x dx F x c x c ?-=+=Φ+? =1 () [[()]()]t x f t t dt ? ??-='?
定积分计算公式和性质
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
浅谈复积分的计算方法
山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 浅谈复积分的计算方法
摘要 复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来. 本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨. 关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 Discussion on the computational methods of complex integration
最新定积分的计算与应用 (1)
定积分的计算与应用 (1)
哈尔滨师范大学 学年论文 题目定积分的计算与应用 学生刘影 指导教师皮晓明 年级 2010级6班 专业数学与应用数学 系别数学系 学院数学科学学院 哈尔滨师范大学 2012年12月 电话：180045056
定积分的计算与应用 刘影 摘 要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公 式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。 关键词：牛顿莱布尼兹公式 积分 定积分 恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。 一、定积分的计算方法 1、按照定义计算定积分 定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限： ∑?=→?=n k k k T l b a x f dx x f 1 0)()()(lim ξ 例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。 解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分?1 02dx x .显然，这个定积 分是存在的。 取分割T 为n 等份，并取k ξn k 1 -= ，n k ,,2,1 =，则所求面积为： 1 2 20 11 lim ( )n n k S x dx S n n →∞ -==?∑?
231 1lim (1)n n k k n →∞==-∑ 3(1)(21)1 lim 63 n n n n n →∞--== 2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，即)()(x f x F ='，x ∈[a,b],则)(x f 在],[b a 上可积，且 ?-=b a a F b F dx x f )()()( ， 这称为牛顿—莱 布尼兹公式，它也常写成 ? =b a b a x F dx x f )()( 有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数 )(x F 。这就转化为不定积分的问题了。 例2 求? +1 02 1x dx 解 已知C x x dx +=+?arctan 12 ∴40arctan 1arctan arctan 110102π=-==+?x x dx 3、利用分部积分法计算定积分 设函数)(x u 、()v x 在区间[a ，b ]上连续可微，则有定积分分部积分公式： ()()()() ()()()() ()()()()b a b a b b a a b b a a u x v x dx u x dv x u x v x v x du x u x v x u x v x dx '==-'=-? ??? 例3 求?2 1 arcsin xdx 解
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx