中国地质大学长城学院2010-2011学年线性代数a

中国地质大学长城学院2010-2011学年第一学期考试试卷

专业: 理工类 课程: 线性代数 年级: 09

中国地质大学长城学院2010-2011学年线性代数a

一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)在每小题列出的四个备用选项中只有一个符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.

1. 三阶行列式11

1213

21

222331

32

33

(0)a a a a a a a a a a a =≠, 则下列各式成立的是[ ] A. 21

222311

121331

32

33a a a a a a a a a a =; B. 111213

21

222331

3233a a a a a a a a a a =---; C. 11

12

132111

221223133111

3212

3313

a a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+++ D. 212223

11

121331

32

33

a a a a a a a a a a =---- 2. 设矩阵323323,,A B C ???, 则下列各式能运算的是[ ] A.ABC B.ACB C.AC CB + D.CA CB - 3. 设,,A B C 是n 阶方阵, ABC E =, 则必有[ ]

A.CBA E =

B.BCA E =

C.BAC E =

D.ACB E =

4. 向量组12132,39a αα???? ? ?

== ? ? ? ?????

线性相关,则[ ]

A.2a =

B.2a ≠

C.6a =

D.6a ≠

5. 设方阵n A , 非齐次线性方程组Ax b =有唯一解, 可推出[ ]

①()()r A r A

= ②()()r A r A ≠ ③()r A n = ④0A = ⑤0A ≠ A. ②③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①③④

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分.

6. 若1274i 56k 9成偶排列, 则i = ; k = .

7. 矩阵100020003A ?? ?

= ? ???

, 则2A = ; 1A -= .

8. 设A 为5阶方阵, 1A =, 则*A = .

9. 齐次线性方程组134********

6320

x x x x x x x x -++-=??--+=?的解空间的维数是 .

10. 二次型22

12313

1223(,,)26f x x x x x x x x x =-++的矩阵为 .

三、计算题(本大题共6小题,共60分)

1. 解方程2

11

1

23049x x =. (6分)

2. 设矩阵101101020,010301001A B -???? ? ?

== ? ? ? ?????

, 计算:

(1) ()()A B A B +-; (4分) (2) 22A B -; (4分)

(3) 等式()()22A B A B A B +-=-是否成立? (1分)

3. 问矩阵11110

11100110

001A ??

?

?

= ?

?

??

是否可逆? 若A 可逆求出1A -. (10分)

4. 已知向量组123411310214

,,,04051131αααα???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????

(1)求该向量组的秩;(4分)

(2)求一个极大无关组并用它把其余向量线性表示. (6分)

5. 求矩阵001010100A ?? ?

= ? ???

的特征值和特征向量. (13分)

6. 求非齐次线性方程组的通解(用导出组的通解及一个非齐次的特解表示). (12分)

123451234512

34521

2224430

x x x x x x x x x x x x x x x -++-=-??

++-+=??-++-=?

四、证明题(本大题共1小题,共10分)

设有11212312341234, , , βαβααβαααβαααα==+=++=+++. 向量组1234,,,αααα线性无关, 求证1234,,,ββββ线性无关.

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