已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-√3),x∈[0,π].

已知向量a =（cos x ,sin x ）, , .

（1）若a ∥b ，求x 的值；

（2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的x 的值

本小题主要考查向量共线、数量积的概念及运算， 考查同角三角函数关系、诱导公式、两

角 和(差)的三角函数、三角函数的图像与性质，

考查运算求解能力.学科.网满分14 分. 解：（1）因为

co ()s ,sin x x =a

，(3,=b ，a ∥b ，

所以3sin x x =.

若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.

于是tan x = 又 ，所以5π6x =

.

向量的坐标表示及其运算

资源信息表

（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充

要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向

量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即

北师大版数学高二-2.4 用向量讨论垂直与平行导学案 北师大版选修2-1

【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1 课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行． 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m?___________?__________?______________． (2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?____________?________________________． (3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?____________?______________?________________． 2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?____________?__________?________________________________． (2)线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________?__________?__________________． (3)面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?__________?____________?________________________． 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l与α斜交 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( ) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)

向量的坐标表示及其运算

第八讲向量的坐标表示及其运算 一、知识点 （一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量 （2）位置向量 （3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 4.向量的摸：22y x a += （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ????++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？ （1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ?ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ?重心，求GA 的坐标 例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()3若a BD AC a 求,-=

向量的夹角与长度

4．4 向量的夹角与长度 例1．已知.2,120,4||,2||垂直与使向量值求的夹角为与b a b ka k b a b a +-== 例2．已知ABCD 是平行四边形，求证：|).|||(|2|||2222AD AB BD AC +=+ 例3．已知非零和量.,274;573的值求垂直与垂直与且向量的夹角为与θθb a b a b a b a b a ---+ 例4．已知,1)()(,2||,,=+?-=b a b a a b a 且满足是非零向量 （1）求22)()(++- （2）若.,3θ的夹角与求b a b a -=? 【备用题】 如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补. 【基础训练】 1．已知则的夹角为与?==,3 ,6||,31||π （ ） A ．2 B ．±2 C ．1 D ．±1 2．等式①=? ②00=? ③||||||=? ④22||a a =其中正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下列命题①||||||=? ②22||a a = ③)()(??=?? ④)()()(?=?λλλ其中正确 命题的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．在ΔABC 中，=?===CA BC c b a 则 30,4,3__________________. 5．已知方向上的投影长为在则的夹角为与b a b a a ,60,4|| =________________. 6．已知b a j i j i a y x j i 与则轴上的单位向量且分别是,346,125,,+=-=夹角的余弦值为___________. 【拓展练习】 1．已知=+?-=-=)(),3,2()4,3(b a a b a 则 （ ） A ．－13 B ．7 C ．6 D ．26 2．已知的夹角为则b a b a ,),3,3(),3,1(-== （ ） A ．6π B ．3 π C ．2π D ．π32 3．已知||)sin ,(cos ),sin ,(cos PQ Q P 则ββαα的最大值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．22 4．λ和实数已知向量b a ,，下列等式中错误的是 （ ） A ．a =|| B ．||||||b a b a =? C ．b a b a ?=?λλ)( D ．||||||b a b a ≤? 5．已知与则向量方向的投影为在单位向量向量,3,2||-=的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 6．若等于则||,74,374j i -=+-=_____________. 7．向量)3,3(),1,3(-==的夹角是_____________. 8．已知b a b a 在则),2,0(),3,1(=-=方向上的投影是_____________.

向量的坐标表示(一)

向量的坐标表示（一） 【学习重点与难点】： 重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点：平面向量基本定理的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、思考和讨论 【问题1】:（教材69P 例1）：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=?→?AB a ,=?→?AD b ,试用向量a ,b 表示?→?MA ,?→?MB ,?→?MC ,?→ ?MD 。 结论：由作图可得a 1λ=1e +2λ2e 【问题2】：对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组？ 二、研探学习 1.共面向量定理 【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量 ?→?OA =1e ?→?OM =1λ1e ?→?OC =a =?→?OM +?→?ON =1λ1e +2λ2e ?→?OB =2e ?→?ON =2λ2e 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 【注意】： 1e 2e a C

向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大

小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在

x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；

向量的坐标表示

§4.1 平面向量（四） ——平面向量的直角坐标及运算 一、复习旧知：（1）坐标系和点的坐标表示； （2）数和向量的意义和表示方法。 导入：哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问 题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示”。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”启发学生思考 二、新授： 1、用坐标表示起点为原点的平面向量： i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则 一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把有序数对（x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y) 我们把( x , y ) 叫做向量的直角坐标，记作) , x (y

其中x 叫做a 在 x 轴上的坐标， y 叫做a 在y 轴上的坐标。 2、运算律： （1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： ),(2121y y x x b a ±±=±→ → （其中),(),,(2211y x b y x a ==→ → ） （2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x AB --=→ -； （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→ ； 例题1： 用:单位向量→ i 、→j 分别表示向量→a 、→b 、→c 、→ d ，并求它们的坐标； 方法一：→ a =→-→-+21AA AA =2→i +3→j ，∴→a =（2，3）同理→ b =（-2，3），→ c =（-2，-3）， → d =（2，-3） 方法二： A （2，2），B （4，5）∴→ a =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）= （2，3） 同理→b =（-2，3），→c =（-2，-3），→ d =（2，-3） 方法三： →-OA =（2，2），→-OB =（4，5）∴→a =→-OB -→ -OA =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3） 同理→b =（-2，3），→c =（-2，-3），→ d =（2，-3）（2，2）=（2，3） 例题2：已知a =（1,2）,b =(-5,3),求a +b ,a -b,3a -2b 分析：用向量的运算律进行计算 :拓展练习： 例题3：已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标； 分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D 点的坐标； 解：设D 点坐标为（x ，y ）→ -AB =（-1，3）-（-2，1）=（1，2） → -DC =（3，4）-（x ，y ）=（3-x ，4-y ）

北师大版高中数学选修(2-1)-2.4《用向量讨论垂直与平行》第二课时参考教案

2.4 用向量讨论垂直与平行 第二课时教案 一、教学目标： 1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理； 3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。 二、教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系； 教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定 2、直线的方向向量与平面的法向量的定义 （二）、探析新课 1、用向量描述空间线面关系 设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论 2、相关说明： 上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。 （三）、知识运用 1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理） 已知：如图,OB 是平面α的斜线，O 为斜足，α⊥AB ，A 为垂足，OA CD CD ⊥?,α

α A B C D O α l m n g 求证：OB CD ⊥ 证明：0=??⊥OA CD OA CD ?⊥αAB 0=??⊥AB CD AB CD AB OA OB += 0)(=?+?=+?=? AB CD ⊥∴ 2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理） 已知：B n m n m =?? ,,αα，n l m l ⊥⊥, 求证：α⊥l 证明：在α内任作一条直线g ，在直线n m g l ,,,上分别取向量,,, n y m x g += 所以n l y m l x n y m x l g l ?+?=+?=?)( 因为⊥⊥, 所以0,0=⊥=?n l m l 可得0=? 即g l ⊥ 3、例3 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。 求证：AM B A ⊥1 证明：如图，建立空间坐标系 )2 6 ,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1M A B A )6,1,3(),2 6 ,0,3(1--=-=A AM 01=?B A AM 总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。

平面向量的坐标表示

第7章 平面向量的坐标表示 1.理解向量的有关概念 （1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别； （2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0r ，注意零向量的方向是任意方向； （3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量, → a 的单位向量是 a a → → ； （4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a → -. 2.向量的表示方法 （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→ c 等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→ j 为基底，则平面内的任一向量→ a 可表示为→ → → +=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→ a 的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3．实数与向量的积： 实数λ与向量→ a 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度和方向规定如下： 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线 ?AB AC u u u r u u u r 、共线；

【全程复习方略】2014版高考数学 7.8用向量讨论垂直与平行课时提升作业 理 北师大版

【全程复习方略】2014版高考数学 7.8用向量讨论垂直与平行课时提升作业理 北师大版 一、选择题 1.平面α的一个法向量为n=(1,2,0),平面β的一个法向量为m=(2,-1,0),则平面α和平面β的位置关系是( ) (A)平行(B)相交但不垂直 (C)垂直(D)重合 2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( ) (A)2 (B)-4 (C)4 (D)-2 3.若直线l⊥平面α,直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,则下列结论正确的是( ) (A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1) (B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2) (C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2) (D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1) 4.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面π的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为( ) (A)-2 (B)-(C)(D)± 5.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( ) (A)(,,-) (B)(,-,) (C)(-,,) (D)(-,-,-) 6.已知非零向量a,b及平面α,若向量a是平面α的法向量,则a2b=0是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )

(A),-,4 (B),-,4 (C),-2,4 (D)4,,-15 二、填空题 8.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s= . 9.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为. 10.在正方体ABC D-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE与BD的位置关系是. 三、解答题 11.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1. (2)BC1∥平面CA1D. 12.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面BDE. (2)求证:CF⊥平面BDE. 13.(能力挑战题)如图,在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点. (1)若点E是棱CC1的中点,求证:EF∥平面A1BD.

向量坐标表示练习题及标准答案

一、主要知识： 1．基本单位向量 2. 位置向量 ：起点是 的向量叫做位置向量。 已知(),A x y ，则位置向量OA xi y j =+。把有序实数对(),x y 叫做位置向量OA 的坐 标，记作(),OA x y =。 注意：位置向量的坐标就是 。 3.已知任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，则向量PQ = 。 注意：一个向量的坐标就是 。 4.向量的运算的坐标表示形式 设λ是一个实数，()()1122,,,a x y b x y == 则a b += 说明向量相加等于 ； a b -= 说明向量相减等于 ； a λ= 数乘向量等于 ； a = 向量的模等于 ； 1212a b x x y y =?==且 向量相等的充要条件是 。 5.非零向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的充要条件是 。 6.已知P 是直线12P P 上一点，且()1 2,1PP PP R λλλ=∈≠- ()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，则 x = ，y = 这个公式叫做点P 分线段12P P 的定比分点公式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。 特别地，当1λ=时，P 是12P P 的中点， 此时 x = ，y = 叫做中点公式。 二、例题分析： 考点一、向量的坐标表示及其运算

例1、已知平行四边形ABCD 中，()()()2,1,3,2,2,4A B C ---，O 为坐标原点。 （1）写出,OB AC 的坐标；（2）求点D 的坐标。 巩固练习： 已知()()4,1,5,2a b =-=，（1）求23a b +的坐标；（2）求2a b -。 提高练习： 已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求,a b 的坐标。 例2、 已知点()2,3A -，点B 在x 轴上，且5AB =，求AB 的坐标。 巩固练习： （1）已知()2,5AB =，点()3,1B -，则点A 的坐标为 。 （2）已知()()3,2,2,1a b =-=--，则2a b +的坐标为 ， 2a b += 。 （3）2,2AB i j AC i j =-=+，则BC = 考点二、向量平行的判断应用 例3、设()()22,4,8,1a k b k =+=+，已知//a b ，求实数k 的值。 巩固练习： 已知()()4,5,3,6a b ==，求实数k ，使ka b +与3a b -平行。 迁移练习： 已知()()()3,6,5,2,6,A B C y -三点共线，求实数y 的值。 考点三、定比分点公式和中点公式 例4、已知47 PA AB =- ，设BP PA λ=，求λ的值。 巩固练习： 已知()()2,1,8,8A B -，求线段AB 的三等分点,C D 的坐标。 提高练习：

高中数学知识点精讲精析 用向量讨论垂直与平行

4 用向量讨论垂直与平行 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这 些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使 a ＝λ b . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其 中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥ b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与 a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+ a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下： ∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t = a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =- ， ∴ OP OA t -= a ， OP OA t =+ a ． ① 若在l 上取AB = a ，则有OP OA t AB =+ ．(**) 又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+- (1)t OA tOB =-+ ．② 当12 t =时，1()2OP OA OB =+ ．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式． ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同， 是平面向量相关知识的推广． 4. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123 (,,)b b b ，则

用向量讨论垂直与平行

用向量讨论垂直与平行 【学习目标】 1.理解用向量方法解决立体几何问题的思想； 2.掌握用向量方法解决立体几何的垂直与平行问题. 【学习重点】 用向量方法证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行问题 【学习难点】 几何问题向量化 【课前预习案】 课本助读：认真阅读课本第40~41页的内容，理解用向量方法解决立体几何 问题的思想与方法. 1.设直线1l 的方向向量为1111(,,)s a b c =，直线2l 的方向向量为2222(,,)s a b c =， 则 1l ∥2l ? ? 。 1l ⊥2l ? ? 。 2.设直线l 的方向向量为111(,,)s a b c =，平面π的法向量为222(,,)n a b c = l ∥π? ? ? ； l ⊥π? ? ? 。 3.设平面α的法向量为1111(,,)s a b c =，平面β的法向量为2222(,,)s a b c =， 则 α∥β? ? 。 α⊥β? ? 。 4. 例题1,2,3中的方法与步骤，找出规律. 【课堂探究案】 探究一：用向量法证明空间中的平行和垂直关系 1.已知两条不同直线12,l l 的方向向量分别为12,s s ，证明两直线是是垂直关系： （1）12(1,1,1),(1,2,3)s s =-=-；（2）()()121,2,0,1,2,0s s =-=-.

2.已知两个不同平面12,ππ的法向量分别为12,n n ，判断两平面是平行还是垂直： （1）12(1,2,3),(1,2,3)n n ==---; (2) 12(2,2,3),(1,2,2)n n =-=---。 3.已知直线l 的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，且l ?π，判断直线与平 面是平行还是垂直：（1）(1,1,1),(1,4,3)s n =-=-； （2）(1,3,2),(2,6,4)s n =-=--。 【课后检测案】 1.如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A 'B 'C 'D '，E ，F 分别是棱BC ，BB '的中点，试在直线AA '上找到一个点G ，使得EF//DG 。 2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCD-A 'B 'C 'D '，∠ABC=90°，∠BAC '=30°，BC=1，AA '=6， M 是CC '的中点，证明：AB '⊥A 'M 选做题 3.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分 别是BB 1、DC 的中点。 证明AE ⊥平面A 1D 1F .。 【训练小结】你学到了什么？归纳用向量解决空间几何问题方法与步骤。

向量坐标表示练习题及答案

一、主要知识： 1．基本单位向量 2. 位置向量 ：起点是 的向量叫做位置向量。 已知(),A x y ，则位置向量OA xi y j =+。把有序实数对(),x y 叫做位置向量OA 的坐标，记作(),OA x y =。 注意：位置向量的坐标就是 。 3.已知任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，则向量PQ = 。 注意：一个向量的坐标就是 。 4.向量的运算的坐标表示形式 设λ是一个实数，()()1122,,,a x y b x y == 则a b += 说明向量相加等于 ； a b -= 说明向量相减等于 ； a λ= 数乘向量等于 ； a = 向量的模等于 ； 1212a b x x y y =?==且 向量相等的充要条件是 。 5.非零向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的充要条件是 。 6.已知P 是直线12P P 上一点，且()1 2,1PP PP R λλλ=∈≠- ()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，则 x = ，y = 这个公式叫做点P 分线段12P P 的定比分点公式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。 特别地，当1λ=时，P 是12P P 的中点，此时 x = ，y = 叫做中点公式。

二、例题分析： 考点一、向量的坐标表示及其运算 例1、已知平行四边形ABCD 中，()()()2,1,3,2,2,4A B C ---，O 为坐标原点。 （1）写出,OB AC 的坐标；（2）求点D 的坐标。 巩固练习： 已知()()4,1,5,2a b =-=，（1）求23a b +的坐标；（2）求2a b -。 提高练习： 已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求,a b 的坐标。

平面向量的坐标表示及其运算讲义

学科教师辅导讲义

例 6. 已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB =150°,∠BOC =90°,设OA =a , OB =b ,OC =c ,且|a |=2,|b |=1,|c |=3,试用a 和b 表示c . 分析 本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基本定理有c =λ1a +λ2b ,当a 、b 、c 的坐标已知时，该式实际上是一个关于λ1、λ2的二元一次方程组，由此可确定λ1、λ2，这也是解决本题的一个重要思路. 解：如图1所示，以点O 为原点，OA 为x 轴的非负半轴， 建立平面直角坐标系.由三角函数的定义，得B (cos150°,sin150°), C (3cos 240°,3sin 240°),即B (-23 ,21),C(-2 3 ,-). ∴a =(2,0),b =(-2 3 ,21),c =(-2 3,-2 33 ).设c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R )， 则得(-2 3,-2 33 )=λ1(2,0)+λ2(- 23，21)=(2λ1-2 3 λ2,2 1λ2). ∴?? ?????-=λ-=λ-λ.2332 1,23 232221解得λ1=-3,λ2=-33.∴c =-3a -33b . 例7. ［例4］向量b ＝(－3，1)，c ＝(2，1)，若向量a 与c 共线，求｜b ＋a ｜的最小值. 解：设a ＝λc ＝(2λ，λ)， 则b ＋a ＝(－3＋2λ，1＋λ)， ∴｜b ＋a ｜＝22)1()32(++-λλ＝101052+-λλ ＝5)1(52+-λ≥ 5 ∴｜b ＋a ｜的最小值为5，此时 a ＝c . 例8. ［例3］在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，设点M 分AB →所成的比为2∶1，点N 分OA →所成的比为3∶1，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP . 解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23 AB → ＝OA →＋23 (OB →－OA →)＝13 OA →＋23 OB → ＝13 a ＋23 b ∵OP →与OM →共线，设OP →＝t 3 a ＋2t 3 b ① 又∵NP →与NB →共线，设NP →＝sNB →， 图1

向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头 来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由 A 到 B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB （或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）. 注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别 ③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误．． 的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.一条线段 B .一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆 2）向量坐标的有关概念 ① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位 向量叫做基本单位，记为i 和j . ② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a = ，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐 标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+

③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这 种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得 122121()()PP x x i y y j =-+- ，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y == ，R λ∈ 则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--= . 4） 向量的模：设(,)a x y = ，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 22a x y =+ . 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数. 例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP == ，求点P 的 坐标. 解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612 (,)55 --. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--= ，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈ ，化简： （1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+-- ； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++ . 解：都为0 .

平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示

第7章 平面向量的坐标表示 1.理解向量的有关概念 （1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别； （2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0r ，注意零向量的方向是任意方向； （3）单位向量：给定一个非零向量→ a ，与→ a 同向且长度 为1的向量叫→ a 的单位向量, → a 的单位向量是a a → → ； （4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行； 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量， → a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a → -. 2.向量的表示方法 （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→ a ，→ b ，→ c 等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→ j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→ a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→ a 的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3．实数与向量的积： 实数λ与向量→ a 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度和方向规定如下： （1）a a λλ=r r ； （2）当0λ>时，a λr 的方向与→ a 的方向相同；当0λ<时，a λr 的 方向与→ a 的方向相反；当0λ=时，零向量，注意：0a λ≠r . 4．平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：已知两个非零向量a r 和b r ，过O