二次函数的系数符号问题

二次函数中的系数符号问题

【学习目标】

1、探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图像之间的关系；

2、由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；

【学习过程】

一、知识回顾：

1、抛物线c bx ax

y ++=2的开口方向与什么有关？ 2、抛物线c bx ax

y ++=2与y 轴的交点是 . 3、抛物线c bx ax

y ++=2的对称轴是 二、共同归纳

1、基本符号的判断

⑴a 的符号由 决定：

①开口向 ? a 0；②开口向 ? a 0.

⑵c 的符号由 决定：

①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0；

②点（0，c ）在原点 ?c 0；

③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0.

⑶b 的符号由 决定：

① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ；

② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ；

③ 是y 轴

?b 0. ⑷ac b 42-的符号由 决定：

①抛物线与x 轴有 交点? ac b 42- 0；

②抛物线与x 轴有 交点?ac b 42- 0；

③抛物线与x 轴有 交点?ac b 42- 0；

2、关注 c bx ax y ++=2上的几个特殊点

探究1：抛物线y=ax2+bx+c ，当x=1

或-1时，试判断y 值的正负.

结论:

（1）a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定

点在x 轴上方? a+b+c 0

点在x 轴下方? a+b+c 0

点在x 轴上? a+b+c 0

（2）a-b+c 的符号：由x= -1时抛物线上的点的位置确定

点在x 轴上方? a-b+c 0

点在x 轴下方? a-b+c 0

点在x 轴上? a-b+c 0

3、判断2a-b,2a+b 的符号

探究2：当对称轴x=

a b 2-=1时，a 和b 的关系是什么？当对称轴x= a b

2-=-1时，a 和b 的关系是什么？

总结规律: 2a ±b 的符号：由对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定 即：当判断2a-b 的符号时，比较a b 2-

与-1的大小关系 当判断2a+b 的符号时，比较a b 2-

与1的大小关系 三、练习

1、抛物线c bx ax y ++=2

如图所示，试确定a 、b 、c 、△的符号：

2、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，

则下列不正确的是（ ）

A 、a<0

B 、b<0

C 、c>0

D 、b2-4ac ＞0

3、已知：二次函数c bx ax

y ++=2的图象如图所示， 则点M （c b

，a ）在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则反比例函数x a

y =与

一次函数c bx y +=在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

5、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如

图所示，下列结论中：①a+b+c>0；

②4a-2b+c>0；③a-b+c>0；④9a+3b+c>0，

其中正确的个数是（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

6、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 下列结论中：①abc ＞0；②b=2a ；③a+b+c ＜0；

④a+b-c ＞0; ⑤a-b+c ＞0正确的个数是（ ）

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，

那么下列判断不正确的是( )

A.abc ＞0

B. ac b 42-＞0

C.2a+b ＞0

D.4a-2b+c ＜0

8、抛物线c bx ax y ++=2如图所示：看图填空：

（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;

（4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +_____0；

（6）b a -2_____0；（7）0a b c ++????；

（8）0a b c -+????；（9）930a b c ++????

（10）420a b c ++????

四、回顾与反思

这节课你有哪些收获？

二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题 一、基本知识： （1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同 （2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的. 抛物线与y 轴相交于正半轴上； 抛物线与y 轴相交于原点； 抛物线与y 轴相交于负半轴上. （3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的. 对称轴在y 轴的左侧； 对称轴在y 轴的右侧； 对称轴就是y 轴. （4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的. 抛物线与x 轴有2个交点； 抛物线与x 轴有1个交点； 抛物线与x 轴有0个交点. （5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y 恒大于0 y 恒小于0 （6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ） 顶点在x 轴上 顶点在y 轴上 二、例题： 例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0， （3） 例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______； （2） 练习： 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ） （1）a_____0，b____0，c_____0； （2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0 c_____0b 21a 41+-1_____0b 2 1a 41--

二次函数中的符号问题

第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质 第2课时：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确 定a,b,c,△等式子的符号。 【学情分析】 学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。 【教学重、难点】 教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。 教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三

【教学过程】 一、知识链接温故而知新 （一）回味知识点： 1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。 3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。（二）归纳知识点： 抛物线y=a x2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定： 开口向上a>0 开口向下a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方c>0 交点在x轴下方c<0 经过坐标原点c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴b=0 简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定:

判定二次函数中的a,b,c的符号

二次函数：图象位置与a, b, c, (1)a决定抛物线的开口方向：?| . (2)C决定抛物线与尸轴交点的位置，心aDq抛物线交尸轴于； =抛物线交轴于；—0Q. (3)ab决定抛物线对称轴的位置， 当儿"同号时Q对称轴在F轴；对称轴为；以片异号匕对称轴在〉轴，简称为? 一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号. y 例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b 2 -4ac的符号 2.看图填空 (1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0 (3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0 二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置：

例1 .若，则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为（） 例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限. 例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0 例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（） B D C A 1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线尸血山经过象限. y 2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是（ A、甬* “ > 山匕v 0 B、tr - 4ac< 0 C、山十&十° D、 y （b ac 3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图，则点心〃丿在.（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y 4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是（

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有

二次函数中的系数符号问题(专题 )

专题2：二次函数中的系数符号问题 (一)a 、b 、c 、△=ac b 42-的符号与谁有关： 1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向由决定， 当开口向上时，则; 当开口向下时，则 ； 若交点在y 轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是（），若交点在y 轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y 轴左侧，则a 、b 符号 3、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 ， 若对称轴在y 轴右侧，则a 、b 符号 若对称轴是y 轴，则 与x 轴有两个交点，则 4、抛物线与x 轴的交点个数由 决定， 与x 轴有一个交点，则 与x 轴无交点，则 （二）抛物线y=ax 2+bx+c 的其他符号问题： 点在x 轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定 点在x 轴下方，则a+b+c 。 点在x 轴上，则a+b+c 。 点在x 轴上方，则a －b+c 。 2.a-b+c 的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定 点在x 轴下方，则a －b+c 。 点在x 轴上，则a －b+c 。 3.2a ±b 的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c bx ax y ++=2，若 x=m 时，y<0，当x=n 时，y>0,则，则 c bx ax y ++=2和x 轴必有交点 （四）你还可以补充：

练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac - 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )

二次函数图像与系数关系含答案

二次函数图像与系数关系 一．选择题（共9小题） 1．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（） A．①②B．③④C．①④D．①③ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题；压轴题． 分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入 （3a+b），并判定其符号； ③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值 范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确；

④根据题意知，a=﹣，﹣=1， ∴b=﹣2a=， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴≤c≤4，即≤n≤4． 故④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 故选D． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断 ③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的 增大而增大即可判断④． 解答：解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a＞0，

初中数学有关二次函数的符号判断

有关二次函数的符号判断 前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质： 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ， =k ．其图象与函数2ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物 线的位置与?,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说： （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置： 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0-ac b 时，抛物线与x 轴 交点； 当042=-ac b 时，抛物线与x 轴 交点； 当042<-ac b 时，抛物线与x 轴 交点． 【经典例题】 一．通过抛物线的位置判断?,,,c b a 的符号． 例1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象，如图所示， 则a 0，b 0，c 0．（填“>”或“<”） 例2． 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是 （1）a 0，b 0，c 0（填“>”或“<”） （2）点（bc ac ,）在直角坐标系中的第 象限． （3）二次函数，满足ac b 42 - 0． （4）一次函数c ax y +=的图象不经过第 象限． 例3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如右上图所示，则点?? ? ??c b c a ,在直角坐 标系中的（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例4．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则ac 0． A 、> B 、< C 、= D 、无法确定 例5.二次函数c bx ax y ++=2 的图象,如图（1）所示，则系数b ax y +=的图象只可能是图（ ） x

二次函数中的符号问题

课题：二次函数中的符号问题 【教学目标】 1.复习巩固二次函数的图象及其性质。 2.由a,b,c,?的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,?等式子的符号。 【教学重点】数形结合思想的熟练运用 【教学方法】启发引导、观察、探索 【学法引导】化归迁移举一反三 【教学过程】 一、知识链接温故而知新 自学：抛物线y=a x 2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 a>0；开口向下 a<0 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 ；交点在x轴下方 c<0 经过坐标原点 c=0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定：简记为：左同右异 对称轴在y轴左侧 a、b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y轴b=0 （4）b 2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点b 2-4ac>0；与x轴有一个交点 b 2-4ac=0 ；与x轴无交点 b 2-4ac<0； （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定,利用以上知识主要解决以下几方面问 题： （1）由a,b,c,?的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,?等符号及有关a,b,c的代数式的符号； 二、（探究活动）典例学习温故而知新 【活动一】若二次函数c bx ax y+ + =2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴 的正半轴; 则点 ? ? ? ? ? b c a P,在（） .

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 【变式训练1】 如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【变式训练2】 二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。 （小组交流自学成果并展示） 【活动二】 已知：二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0； ②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c) 2＜b 2，其中正确的个数是 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 三 、 教学互动 效果检测 1.（2008甘肃兰州）已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 O

二次函数常见关系式符号的判定

二次函数常见关系式符号的判定 湖北省黄石市下陆中学陈勇 二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下： （1）抛物线开口向上； 抛物线开口向下． （2）抛物线开口大小，越大开口越小 （3）、同号对称轴在轴左侧； 、异号对称轴在轴右侧； =0对称轴为轴． （4）抛物线与轴的交点在轴上方； 抛物线与轴的交点在轴下方； 抛物线必过原点． （5）抛物线与轴有两个交点； 抛物线与轴有唯一交点； 抛物线与轴没有交点． （6）的符号由点( 1，)的位置来确定； 的符号由点( -1，)的位置来确定； 的符号由点(2，)的位置来确定。

例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0；④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。 解析：由图知：抛物线开口向下，；对称轴在轴左侧，、同号，故；抛物线与轴的交点在轴上方，；点( 1，)、点( -1，)分别在 第四象限和第二象限，得<0, >0；抛物线与轴有两个交点，得 ；由对称轴得=0． 例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于(，0 )，(， 0) 两点，且，与轴相交于(O，-2)，下列结论：①；② ；③；④；⑤。．其中正确结论的个数为( ) A．1个 B.2个 C.3个 D．4个 解析：由图知：.当时，，所以，故③错误；因为 抛物线与轴有两个交点，所以即，所以④正确；当时， 由图像得，即，所以，故①错误；因为

，又，所以，故②错；当时，，即，所以故⑤错误． 所以答案选 A． 研究中考命题动向，加强二次函数教学 江苏省东台市实验中学周礼寅 摘要：本文通过对近两年课改实验区中考试题的分析，探讨了二次函数这一部分内容在中考命题中呈现出的三个方面的新动向。 关键词：二次函数、变换、数学模型 新课标对于函数内容的教学主要关注：将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；及早渗透函数的思想；借助多种现实背景理解函数；通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；关注函数与相关知识的联系；推迟函数的形式化表达方式等。这些新变化在近几年课改实验区的中考试题得到了充分的体现。通过分析2005、2006年课改实验区的中考试题，发现对二次函数知识的考查呈现出如下几方面的新动向： 一、将二次函数与几何变换相结合。 例一、（浙江湖州2006年中考题）已知二次函数y=x2－bx+1（－1≤b≤1），当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A、先往左上方移动，再往左下方移动； B、先往左下方移动，再往左上方移动； C、先往右上方移动，再往右下方移动； D、先往右下方移动，再往右上方移动。

二次函数中的符号问题专题复习

二次函数中的符号问题专题复习

挑战中考中考链接： 1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M （，a）在（ D ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 第3题第4题 2、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一 坐标系中的大致图象是图中的（C） (A) (B) (C) (D) 3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0， 正确的个数是（C） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论 中： ①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2， 其中正确的个数是（B）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 突破中考： 1．(2012年)如图1，在平面直角坐标系中，有两条位置确 定的抛物线，它们的对称轴相同， 则下列关系不正确的是（ A ） A．k=n B．h=m C．k ＜n D．h＜0，k＜0 2．(2013年)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 4所示，下列说法错误 ．．的是( D ) （A）图象关于直线x=1对称 （B）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4 （C）-1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 （D）当x<1时，y随x的增大而增大 3. (2014年)如图3，已知二次函数y =x x2 2+ -，当1 - 1（B）1 -0 （D）1 -

中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)

二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增 大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O

二次函数中的系数符号问题

二次函数中的系数符号问题 一．学习目标： （1）探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图像之间的关系； （2）由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号； 二．知识回顾： (一)探索新知：a 、b 、c 、△=ac b 42-的符号与谁有关。 1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向由 决定， 当开口向上时，则 ; 当开口向下时，则 ； 若交点在y 轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 与y 轴的交点坐标是（ ），若交点在y 轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y 轴左侧，则a 、b 符号 3、抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴是直线 ， 若对称轴在y 轴右侧，则a 、b 符号 若对称轴是y 轴，则 与x 轴有两个交点，则 4、抛物线与x 轴的交点个数由 决定， 与x 轴有一个交点，则 与x 轴无交点，则 有效训练1：根据图像判断二次函数系数a,b,c,及ac b 42- 2. 已知： 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点 M （c,a ）在（ A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3. 已知：二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图， 则点 M （ac ，bc ）在（A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 4.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则函数的解析式为b 2-4ac>0 a>0,b<0,c>0,b 2-4ac>0. ⑴ （3）

3 2.32.32.32.2222---=+--=--=++-=x x y D x x y C x x y B x x y A 5.如下图，满足b ﹤0,c ﹤0的y=ax 2+bx+c(a ≠0) 大致图象是（ 6.已知：a>b>c,那么二次函数y=ax 2 +bx+c 的大致图象是 ( ) 总结归纳 （二）抛物线y=ax 2+bx+c 的符号问题：

二次函数中的系数符号问题(专题2)[1]

专题2：二次函数中的系数符号问题 2-的符号与谁有关： (一) a、b、c、△=ac b4 1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定，当开口向上时，则 ; 当开口向下时，则； 若交点在y轴的正半轴上则 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（），若交点在y轴的负半轴上则 若交点经过坐标原点则 若对称轴在y轴左侧，则a、b符号 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，若对称轴在y轴右侧，则a、b符号 若对称轴是y轴，则 与x轴有两个交点，则 4、抛物线与x轴的交点个数由决定，与x轴有一个交点，则 与x轴无交点，则 （二）抛物线y=ax2+bx+c的其他符号问题： 点在x轴上方，则a+b+c 。 1.a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a+b+c 。 点在x轴上，则a+b+c 。 点在x轴上方，则a－b+c 。 2.a-b+c的符号：由x= －1时抛物线上的点的位置确定点在x轴下方，则a－b+c 。 点在x轴上，则a－b+c 。 3.2a±b的符号：由对称轴与x=1或x=-1的位置相比较的情况决定 （三）常用方法 1、图象上的其他点的纵坐标与顶点纵坐标比较 2、作差法比较 3、数形结合方法：二次函数c + =2，若 x=m时，y<0，当x=n时，y>0,则，则 y+ ax bx + =2和x轴必有交点 y+ ax bx c （四）你还可以补充：

练习Ⅰ 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )

二次函数图像特征与abc△符号的关系

图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，240b ac -> y x

7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 8、已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 9、二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ） A ．2 40b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a - < 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是 （ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b ． A ．1 B 2 C .3 D. 4 11、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ，（ 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ②④ B ①④ C ②③ D ①③

二次函数abc组合的符号判断解析

二次函数abc组合的符号判断 对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况，分为三个层次，首先根据函数图象确定a，b，c符号以及对称轴信息，其次是找特殊点的函数值，获取等式和不等式，最后在判断残缺型符号时，将等式代入不等式。过程中考查学生读图，数形结合以及逻辑分析能力。 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②；

③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) ? A. ②③ ? B. ③④ ? C. ②④ ? D. ①④ 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断

4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察 得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. a+b=0 ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断

二次函数abc组合的符号判断

二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版） 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个

D. 4个 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) A. 1个 B. 2个

D. 4个 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ，则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D. 6.(本小题16分)如图，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个

D. 2个 7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( ) A. ②③⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二次函数abc组合的符号判断（二）（通用版） 单选题(本大题共6小题，共100分) 1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线x=-1，且过点 （-3，0）．下列说法：①；②2a-b=0；③；④若， 是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )

专题训练 二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题

专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系： 一、选择题 1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 2．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( ) 图2－ZT －1 A ．a ＜0 B ．b ＞0 C ．b 2 －4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜0 3．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2 －2(b －2)x ＋b 2 －1的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( ) A ．b ≥5 4 B ．b ≥1或b ≤－1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤2 4．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝ a － b －c x 在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －3 5．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( ) 图2－ZT －4 6．2017·烟台二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2 ＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( ) 图2－ZT －5 A ．①④ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④ 7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和

二次函数图象特征与系数关系专题

二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)系数符号的确定 3、C 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴的丿正半轴， 则 d 负半轴， 则"O 4、 b2-4ac 的符号由抛物线与 X 轴(或坐标轴)的交点个数确定： 。个交点，b 2-4ac?O ; y = O 时，方程有两个不相等 实数根 ① 与X 轴的交点个数1个交点，b 2-4ac=O ; y =O 时，方程有两个相等实 数根 没有交点，b 2-4ac O; y =O 时，方程无实数根 3个交点，b 2 - 4ac a O ； ② 与坐标轴交点个数 2个交点，b 2 - 4ac = O ; 1 个交点，b 2-4ac O; 5、 根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ C 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④ x=-2 时，4a-2b+c 的符号； ......... . K 6、 由对称轴公式X=- 一，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符 2a 号；如：X=- =-时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确 2a 3 定运算后代数式的符号。 二、专题练习 ①b 2-4ac >O :② abc >O :③ 8a+c >O ;④ 9a+3b+c V O 2 3、 如图3,二次函数y=ax +bx+c 的图象中，根据图中信息，下列结论正确是( ) 1、a 由抛物线开口方向确定 开口向上=a a O 开口向下=a γ O K 2、b 由对称轴X=-和a 的符号确定 2a So, IaY 0, b 2a Y O 」 a ■ 0, a 0, 2 1.如图1 ,是二次函数y=ax +bx+c ( a ≠0的图象，根据图中信息，下列结论正确是( ) ① a b C >O ; ② b< a+ c ;③2a+b=O :④a +b