2018届高三数学(理)高考总复习：板块命题点专练(七) Word版含解析

板块命题点专练（七）

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( )

A ．(－7，－4)

B ．(7,4)

C ．(－1,4)

D ．(1,4)

解析：选A 法一：设C (x ，y )， 则AC ―→

＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以???

x ＝－4，y ＝－2，

从而BC ―→

＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB ―→

＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，

BC ―→＝AC ―→－AB ―→

＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A ．

2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→

＝( )

A ．AD ―→

B ．12AD ―→

C ．BC ―→

D ．12

BC ―→

解析：选A EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→

)＝

12

(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→

，故选A ． 3．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→

，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→

B ．AD ―→＝13AB ―→－43A

C ―→

C ．A

D ―→＝43AB ―→＋13AC ―→

D ．AD ―→＝43AB ―→－13

AC ―→

解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－

1

3AB ―→＝－13AB ―→＋43

AC ―→

，故选A ．

4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．

解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴??

?

λ＝t ，1＝2t ，解得?????

λ＝12，t ＝1

2.

答案：1

2

A ．－8

B ．－6

C ．6

D ．8

解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8． 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8．

2．(2016·全国丙卷)已知向量BA ―→＝? ????12，32，BC ―→＝? ????

32，12，则∠ABC ＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

解析：选A 因为BA ―→＝? ????12，32，BC ―→＝? ????

32，12，

所以BA ―→·BC ―→

＝34＋34＝32

．

又因为BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→

|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，

所以cos ∠ABC ＝

32

．

又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°．

3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

解析：选C 法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴a 2＝2，a ·b ＝－3，

从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1． 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C ．

4．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．5

解析：选A 因为|a ＋b |＝10， 所以|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10． ①

又因为|a －b |＝6，所以|a －b |2＝6， 所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6． ② 由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1．

5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→ ·BC ―→的值为( )

A ．－5

8

B ．1

8

C ．14

D ．118

解析：选B 如图，由条件可知

BC ―→ ＝AC ―→－AB ―→， AF ―→＝AD ―→＋ DF ―→

＝12AB ―→＋32DE ―→＝12AB ―→＋34AC ―→ ，所以BC ―→·AF ―→=(AC ―→－AB ―→)·(12AB ―→＋34AC ―→ )＝34AC ―→2－14AB ―→·AC ―→－12

AB ―→2.

因为△ABC 是边长为1的等边三角形，

所以|AC ―→ |＝|AB ―→

|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC ―→·AF ―→＝34－18－12＝18

．

6．(2016·全国乙卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．

解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0．

又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2． 答案：－2

7．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________．

解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，

那么AE ―→·BD ―→＝? ????AD ―→＋12 AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝22－12

×22＝2． 答案：2

8．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________．

解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·ta ＋(1－t )b ]＝0，即ta·b ＋(1－t )b 2＝0，所以1

2t ＋(1－t )＝0，

所以t ＝2．

答案：2

9．(2014·湖北高考)若向量OA ―→＝(1，－3)，|OA ―→| ＝|OB ―→|，OA ―→ ·OB ―→＝0，则 |AB ―→| ＝________．

解析：法一：设OB ―→＝(x ，y )，由|OA ―→|＝|OB ―→|知，x 2＋y 2＝10，又OA ―→ ·OB ―→＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1．当x ＝3，y ＝1时，|AB ―→

| ＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB ―→| ＝25．则|AB ―→

| ＝25．

法二：由几何意义知，|AB ―→|就是以OA ―→，OB ―→

为邻边的正方形的对角线长，所以|AB ―→

|＝25．

答案：2 5

10．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝? ????

22，－22，n

＝(sin x ，cos x )，x ∈? ??

??

0，π2．

(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π

3，求x 的值．

解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0． 由向量数量积的坐标公式得22sin x －2

2

cos x ＝0， ∴tan x ＝1．

(2)∵m 与n 的夹角为π3，

∴m ·n ＝|m |·|n |cos π

3，

即

22sin x －22cos x ＝12

， ∴sin ? ????x －π4＝1

2

．

又∵x ∈? ????

0，π2，∴x －π4∈? ????－π4，π4，

∴x －π4＝π6，即x ＝5π

12

．

1A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ．

∴???

4a ＝0，a 2－4＝－4.

解得a ＝0．故选B ． 2．(2016·全国甲卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－3,1)

B ．(－1,3)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，－3)

解析：选A 由题意知???

m ＋3>0，

m －1<0，即－3

3．(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3

D ．2

解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ． 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1． ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B ．

4．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )

A ．－4

B ．－3

C ．3

D ．4

解析：选D ∵

2＋a i

1＋i

＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4，故选D ． 5．(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4i

z z －1

＝( )

A ．1

B ．－1

C ．i

D ．－i

解析：选C 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)·(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i

4

＝i ．故选C ．

6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z

1－z ＝i ，则|z |＝( )

A ．1

B ． 2

C ． 3

D ．2

解析：选A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )2＝2i

2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，

故选A ．