实变函数论课后答案第四章1

实变函数论课后答案第四章1

第四章第一节习题 1．

证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数

证明：设1

()i

n

i E i f c x χ==∑，1

()i

m

i F i g d x χ==∑，这里{}1n

i i E =互不相交，{}1

m

i i F =互不相交

令ij i j K E F =?，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤

则易知1

1

11

()()()()i

j

i j

n m n m

i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ?====+=+=+∑∑∑∑

先注意：若1

m i i K K == ，i K 互不相交，则1

()()i

m

K K i x x χχ==∑ （m

可为无穷大）

（x K ?∈，i ?使i x K ∈，()1()i

K K x x χχ==，

,()0K x K x χ??=，且i ?，i x K ?则()0i K x χ=）

且1

1

1

1

(())(())()(())m m m m

c

c i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====???=???

1

1

1

()

((

)

)

((

)

)

1

()()()()()m

m

m

i

i c

c

i j i j i j j j j m

E E

F E F E F E F j x x x x x χχ

χ

χχ

===????==+=+∑

同理：1

(

)

1

()()()m

j

i j

c

j i i n

F E F F E i x x x χχχ

=??==+∑

1

1

()()i j n m

i E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑

1

1

(

)(

)1

1

1

1

(()())(()())m

m

i j i j c

c

i j j i j i n

m

m n

i E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχ

χχ

==????=====+++∑∑∑∑

1

1

(

)

(

)

11

1

1

()()()()m

m

i

j

c

c

i j j i j i n m n

m

i j E F i j E F F E i j i j c d x c x d x χχ

χ

==???=====+++∑∑∑∑

这显然还是一个简单函数，因为 若(,)(,)i j k l ≠，则()()i j k l E F E F ???=? 11(())(())m m

c

c i j k j j j E F E F ==???=? ，

（i k ≠） 1

1

(())(())m

m

c

c j i k l i i F E F E ==???=? ，

（j k ≠） 1

1

(())(())m m

c

c i j k i j i E F F E ==???=? ，

（,i k ?） 1

()(())m

c i j i j j E F E F =???=? ，

显然，()()()i

i

i

j

E F E F x x x χχχ?=，

事实上，i j x E F ?∈?，()()1()()i

i

i

i

E F E F x x x x χχχχ+==

若,i j i x E F x E ????或i x F ? 则()()0()i

i

i

j

E F E F x x x χχχ?==

1

1

11

(())(())()()

i j i j n m n m

i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x x χχχχ====?==∑∑∑∑

11

()i j n m

i j E F i j c d x χ?===∑∑

当(,)(,)i j k l ≠时

()()()()i j k l i k j l E F E F E F E F ???=???=?

则f g ?也是简单函数

1a R ?∈，显然1()()i n

i E i af x ac x χ==∑仍为简单函数

2．

证明当()f x 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时，()f x 也是

12E E ?

上的非负可测函数

证明：显然()0f x ≥于1E ，且()0f x ≥于2E 表明()0f x ≥于12E E ? 又1a R ?∈，{}{}{}1212|()|()|()E E x f x a E x f x a E x f x a ?>=>?> 由于f 在1E ，2E 上分别可测，{}1|()E x f x a >和{}2|()E x f x a >均

为

可

测

集

，

从

而

由

P61

推

论

2

，

{}{}12|()|()E x f x a E x f x a >?>={}12|()E E x f x a ?>为可测集，再由

P101Th1知f 在12E E ?上可测或直接用P104Th4的证明方法. 3．

设mE <+∞，()f x 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，证明

对0ε>，都有闭集

F E ?，使(\)m E F ε<，而在F 上()f x 是有界的

证明：令{}0|()0E E x f x ==，{}|()E E x f x E ∞∞==，由条件f 在E 上几乎处处有限，0mE ∞=.由()f x 可测于E 上知，

{}{

}0|()0|()0

E E x f x E x f x =≥?≤是可测集（P103Th2,P64Th4可测集的交仍可测）

令{};0()E E x f x +=<<+∞，1

;()k A E x f x k k

??=≤≤????

，则

{}1;()\;()k A E x f x k E x f x k ??

=≤

k k E A +∞

+== ，且1k k A A +?

由P64Th5 ()lim k k m E mA +→+∞

=，而mE <+∞，则()m E +<+∞ 故0ε?>，0k ?使0

0()2

k m E mA ε+≤-<，而0k A E +?故0

(\)2

k m E A ε

+<

由0E ，0

k A 可测，?闭集0

1k F A ?，0

1(\)8

k m A F ε

<

，?闭集00F E ?使

00(\)8

m E F ε

<

令10F F F =?，则F 为闭集，且在F 上00()f x k ≤≤ 由于E F ∞?=?，00\\(\)E F E E E F E E E F ∞+∞+=??=?? 又000001\\(\)(\)E E F E E F F E F E F +++?=???? 而0

11\(\)(\)k k E F E A A F ++??，故

00(\)(\)m E F mE m E E F F ∞+≤+??0010(\)(\)m E F m E F +≤++ 0

1(\)(\)8

82842

k k m E A m A F εεεεεε

ε+≤++≤++=+< 证毕.

4．

设{}()n f x 是可测集合E 上的非负可测函数序列，证明：如果对

任意0ε>，都有

1[|()]n n mE x f x ε∞

=><+∞∑，则必有lim ()0.n n f x a e E →∞

=于

又问这一命题的逆命题是否成立？

证明：()n f x 非负可测，令{}

0|lim ()0n n E E x f x →∞

==

则由CH1.§1习题8的证明方法：（P11,见前面的习题解答）

{}|()0x f x ≤=0111|()m k n m n

E E x f x k +∞+∞+∞

===?

?=≤????

（一般，{}

111|lim ()()||()()|n m n k n m n

E x f x f x E x f x f x k +∞+∞+∞

→∞

===?

?==-≤???

?

） 在本题的假设下，我们需证0(\)0m E E = 由De Morgan 公式

0111111\|()|()c

m m k n m n k n m n

E E E x f x E E x f x k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞

======???

??

?

=≤

?=>???? ??

???

?? （()m f x 可测，故1|()m E x f x k ??

>???

?

为可测集）

故而0111()|()m k n m n m E E m E x f x k +∞+∞+∞===??

???

?-≤>

?? ? ??

?????

∑ 所以我们只用证11,|()0m n m n k m E x f x k +∞+∞==??

???>=?? ??

???

,k n N ??∈

1111|()|()|()m m m m n n m n m n m E x f x m E x f x E x f x k k k +∞+∞+∞+∞====??????????

>≤>≤>??????

? ????

???????∑ 由于1

[|()]n n mE x f x ε∞

=><+∞∑，故1lim |()0m

n m n

E x f x k +∞

→+∞

=?

?>=???

?

∑ 111|()lim |()0m m

n m n n m n m E x f x E x f x k k +∞+∞+∞

→+∞===??????

>≤>=???? ??

?????∑ 故0(\)0m E E =得证，即lim ()0.n n f x a e E →∞

=于

逆命题一般不成立{}1|()n n E x f x ε+∞

=><+∞∑的必要条件是

{}lim |()0n n E x f x ε→+∞

>= 当mE =+∞时，()()n f x f x →不能推出()()n f x f x ?于E （[0,]1n χ→于1R ，但[0,]1n χ?不于1R ） 当mE <+∞时，()()

.n f x f x a e E →于，()()n f x f x ?于E

但不能保证{}1

|()n n E x f x ε+∞

=><+∞∑

5． 设mE <+∞，()f x 在E 上非负可测，证明对于任意y ，

{}|()y E E x f x y = 都是可测的，进而证明使0y mE >的y 最多有可数

多个

证明：因为()f x 在E 上可测，P103,Th2{}1,|()y R E x f x y ??∈≥都是可测集，从而

{}{}{}|()|()|()E x f x y E x f x y E x f x y ==≥?≤也是可测集

显然，1

1[|0][|]y y k E x mE E x mE k

+∞

=>=≥

下证：k N ?∈，1[|]y E x mE k

≥要么是空集，要么是有限集 事实上，若0k ?使0

1

[|]y E x mE k ≥为无限集，则由P18,Th1,存在可数集

120

1,,,,[|]n y y y y E x mE k ?≥

由于i j y y ≠时i

j

y y E E ?=?，

1

i y i E E +∞=? ，11

10

1

()i i y y i i i mE m E mE k +∞+∞+∞

===+∞≥≥=≥=+∞∑∑

矛盾 6．

证明：如果()f x 是n R 上的连续函数，则()f x 在n R 任何可测子集

E 上都可测.

证明：1a R ?∈，则从()f x 是n R 上的连续函数，我们易知

[|,()]n a F x x R f x a =∈<是开集.事实上若0a x F ∈，0()f x a <

则从()n f C R ∈，0δ?>使0(,)x B x δ?∈，

00()()(())f x f x a f x a <+-=

则0(,)a B x F δ?，故a F 是开集，从而可测.

而E 可测，故[|()]a E x f x a F E =<=?作为两个可测集的交也可测，这说明()f x 在E 上可测（P103,Th2）. 7．

设()f x 是1R 可测集E 上的单调函数，证明()f x 在E 上可测.

证明：不妨设()f x 在E 上单调不减，即12,x x E ?∈，若12x x <，则

12()()f x f x ≤

1a R ?∈，我们来证明[|()]E x f x a =≤是可测集，这样由本节定理2知()f x 可测于E （P103）.

若1a R ∈使得[|()]a E x f x a ≤=? ，则显然a E 可测

若1a R ∈使得a E ≠?，此时若令0sup a y E =，则要么0y =+∞，要么0y <+∞

（1） 若0y =+∞，则,M a M M y E ??<∈，故,x x E M ?∈?使

x M a y x E >∈，

由()f x 在E 上单调不减，我们有()()x

M f x f y a ≤≤，即a E E E ??，

从而a E E =为可测集

（2） 若0y <+∞，则要么0y E ∈，要么0y E ?

若0y E ∈，则0()f y a ≤，此时0(,)x E y ?∈?-∞，

0,x a x y E x y y ?∈<<，由()f x 单调不减于E 知，()()x f x f y a

≤

< 故0(,)a E y E ?-∞?，而0a y E ∈，从而有

00(,](,]a E y E E y ?-∞???-∞，故0(,]a E E y =?-∞为可测

集.

若0y E ∈，而0()f y a >，0a y E ?，则0(,)x y E ?∈-∞?，

0,x a x y E x y y ?∈<<0x x y y <<，()()x f x f y a ≤<

则00(,)(,)a y E E y E -∞???-∞? 即0(,)a E y E =-∞?为可测集.

若0y E ?，则0a y E ?，同样可证0(,)a E E y E =?-∞?可测.

若()f x 单调不增，则()f x -在E 上单调不减，从而可测，故

(())()f x f x --=在E 上可测.

8．证明n R 中可测子集E 上的函数()f x 可测的充要条件是存在E 上的

一串简单函数()m x ψ使()lim ()m m f x x ψ→+∞

= （x E ∈） 证明：（1）E 上的简单函数是可测的；

设1

()()i

m i E i x c x ?χ==∑为E 上的简单函数，1

,m

i i i E E E == 互不相交，i

E 为E 的可测子集，易知，,()i

E i x χ?是可测的（()

F x χ可测F ?是可测集）

故由P104Th5，()i

i E c x χ可测，1

()i

m

i E i c x χ=∑可测，

由此，若存在E 上的一串简单函数()m x ψ， ()lim

()m m f x x ψ→+∞

= （x E ∈）

则从{}()m x ψ可测，且lim ()m m x ψ→+∞

P107推论2，()f x 在E 上可测 （2）若()f x 可测，则由P107Th7，,f f +-都是非负可测的，故由

定义存在简单函数列()n x ?+，()n x ?-，（12,n = ），()()n x f x

?++

，

()()n x f x ?-- （x E ∈）

显然，()n x ?--也是简单函数，由本节第一题，()()()n n n x x x ψ??+-=-仍为简单函数，且

()()n x f x ψ→ （x E ∈）.证毕.

9．

证明：当1()f x 是1p E R ∈，2()f y 是2q E R ∈中的可测函数，且

12()()f x f y ?在12E E E =?上几乎处处有意义时，12()()f x f y ?是E 上的可

测函数.

证明：（1）若p E R ∈，q F R ∈分别是p R ，q R 中的可测集，则函数

(,)()()E F f x y x y χχ=是p q R R ?上的可测函数，事实上，

1a R ?∈，

若0a <，则{}(,)|(,)p q p q x y R R f x y a R R ∈?>=?是可测集 若1a ≥，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a ∈?>=?是可测集 若01a ≤<，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a E F ∈?>=?是可测集（P72Th1）

(1) 推出(2): 1c R ?∈,p E R ∈可测,q F R ∈可测，则

()()E F c x y χχ在p q R R ?上可测.

现在来证明本题结论：1()f x 在1E 上可测，故由本节第8题结论，存在1E 上的简单函数列()()

1

()()n n i

m n n i E i x a x ?χ==∑，()11

n

m n i i E E ==∑，

()()n n i j E E ?=?（当i j ≠）

使得1()()n x f x ?→，1x E ?∈

同样，从2f 在2E 上可测知，存在2E 上的简单函数列()n y ψ，使

2()()n y f y ψ→于2E 上.

从上述（1）（2）知，()()n n x y ?ψ在p q R R ?上可测，且 12()()()()n n x y f x f y ?ψ→于12E E ?上 由上P107推论2知12()()f x f y 在p q R R ?上可测. 证法二（更简单）将1()f x ，2()f y 看成(,)x y 的函数

1a R ?∈，{}{}121112(,)|()(,)|()E E x y f x a E x y f x a E ?>=>?

从1()f x 在1E 上可测知，{}11(,)|()E x y f x a >为p R 中的可测集，2E 可测，故

{}112(,)|()E x y f x a E >?为p q R R ?中的可测集，故{}

121(,)|()E E x y f x a ?>

为p q R R ?中的可测集，则1()f x 作为12E E E =?上的函数是可测的

同理，2()f y 在E 上也可测，P104Th5得12()()f x f y ?在E 上也可测. 10． 证明：如果()f x 是定义于n R 上的可测子集E 上的函数，则()

f x 在E 上可测的充要条件是对1R 中Borel 集合B ，1()[|()]f B E x f x B -∈ 都是E 的可测子集，如果()f x 还是连续的，则1()f B -还是Borel 集（提示：用1B 表示1R 中那些使1()f B -是E 上的可测子集的B 所构成的集合族，比较1B 和1R 中的Borel 集合类B ）.

证明：记{}11|()B R f B E -=?是上的可测子集1B ，我们来证明1B 是一个σ-代数

1）?∈1B ：1()f -?=?显然是E 的可测子集 2）若A ∈1B ，1()f A -是E 的可测子集，则

1111111 ()(\)()\()\()c f A f R A f R f A E f A -----===也是E 的可测子集（P61推论1） 则c A ∈1B

3）若i A ∈1B ，（1,2,i =

） 则i ?，1()i f A -是E 的可测子集，

1

1

1

1

()()i i i i f A f A +∞+∞--=== 也是E 的可测子集，故1

i i A +∞

=∈ 1B

故1B 是一个σ-代数

现在，若1:f E R →是一可测函数，则

1(,)[|()][|()][|()]f a b E x a f x b E x f x b E x a f x -=<<=

故1B 包含所有的1R 上的开集（由一维开集的构造），从而包含

所有的Borel 集，这就证明了?Borel 集，1()f B -是E 的可测子集 反过来，若?Borel 集，1()f B -是E 的可测子集，则由于1a R ?∈，

(,)a -∞为开集，故是Borel 集知1(,)[|()]f a E x f x a --∞=<为可测集，故f 是E 上的可测函数.

令{}11|()B R f B Borel -=?为集2B ，则一样：（1）?∈2B ；（2）

,c A A ∈∈22B B ；

（3）121

,,,i i A A A +∞

=∈∈ 22B B ，故2B 也是一个σ-代数

若f 连续，则(,)a b ? （1,a b R ∈?+∞）1(,)f a b -是开集（相对于E ）,从而是Borel 集，故(,)a b ∈2B ，从而2B 包含所有的Borel 集，故?Borel 集B ，1()f B -同样为Borel 集

若:n n f R R →的同胚，则f 将Borel 集映为可测集

11．设()f x 是E 上的可测函数，()g y 是1R 上的连续函数，证明：[()]g f x 是E 上的可测函数（注意：如果()f x 在n R 上连续，()g y 在1R 上可测，

[()]g f x 未必可测，特别是()f x ，()g y 都可测时，[()]g f x 未必可测）

证明：1a R ?∈，从g 连续知，1(,)g a -+∞显然为1R 上的开集，由1R 上的开集的构造定理知（本书上只证了有界开集，事实上，无界开集也有类似的构造），?至多可数个互不相交的开区间n I 使1

1(,)m

n n g a I -=+∞=

（m 有限或+∞）

而1

f -保持集合关系不变，即1

11

1

()()m

m

n n n n f I f I --=== ，而f 可测，

故1

()n f I -可测，故1

1

()m

n n f I -= 可测，从而有

1

1

1

1

11

1

[|(())]()(,)((,))()()m m

n n n n E x g f x a g f a f g a f I f I -----==>=+∞=+∞==

可测，故()g f x 是E 上的可测函数

存在反例：《实分析中的反例》，可测函数f 和连续函数g 构成不可测的复合函数f g

设E 是[0,1]中具有正测度的Cantor 集，令 ([0,]([0,1]\))

()([0,1]\)

m x E x m E ??= （无处稠密完备集

P70,习题1）

则?是由[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射，P54习题3的证明过程中（见周民强书P84），已知，若*m E <+∞，[,]E a b ?，*([0,])m x E ?是[,]a b 上的连续函数

故从[0,1]\[0E ?知，([0,]([0,1]\))

()([0,1]\)

m x E x m E ??=

是连续函数：

[0,1][0,1]

(0)0,(1)1??==且?是严格递增的

因E 是完备集，故E 是自密闭集，[0,1]\E 是相对开集（或c E 是开集），

[0,1]\[0,1]c E E =?，[0,1]c E ?是开集

,[0,1]x y ?∈，y x >

1

()()[([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))]

([0,1]\)

y x m y E m x E m E ??-=?-?

1

[(,]([0,1]\)]([0,1]\)

m x y E m E =

?

1

[(,)((0,1)\)]([0,1]\)

m x y E m E ≥

?

注意：E 是无处稠密集，故(,)z x y ?∈，使z E ?，(0,1)\z E ∈，

(,)((0,1)\)z x y E ∈?

由于(,)((0,1)\)x y E ?为开集，故0δ?>，使(,)(,)([0,1]\)z z x y E δδ-+?? 则[(,)((0,1)\)](,)20m x y E m z z δδδ?≥-+=>

故()()y x ??>，即()y ?严格单调，从而[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射

设(0,1)\E 这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并，

1

(0,1)\(,)k k k E αβ+∞

== ，从而1

([0,1]\)((0,1)\)()k k k m E m E βα∞

===-∑，又因为

([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))

()()([0,1]\)

k k k k m E m E m E βα?β?α?-?-=

[(,]([0,1]\)]

([0,1]\)

k k m E m E αβ?=

[(,)((0,1)\)]()()

([0,1]\)([0,1]\)

k k k k m E m E m E αβ?β?α?-=

=

故以从?是同胚，1

[([0,1]\)][((,))]k k k m E m ??αβ+∞

==

1((),())k k k m ?α?β+∞=??

= ???

1

(()())k k k ?β?α∞

==-∑1

()

1([0,1]\)

k

k k m E β

α∞

=-=

=∑

注意：()([0,1]\)[0,1][0,1]E E ????==，且()([0,1]\)E E ???=? 就得()[0,1](([0,1]\))1(([0,1]\))110m E m m E m E ???=-=-=-=

（()E ?也是完备疏集，则同胚不能保证测度的等号！）

又0mE >，故由P66第二题的解答最后知，设A 是E 的一个不可测子集（A 总是存在的！）

由于()()A E ???，()0m E ?= 则()0m A ?=，

()A ?可测，而1()A A ??-=不可测.令()B A ?=，并在[0,1]上如下定义函数

1:(){

0[0,1]\x B

f f x x B

∈=∈ 则f 是[0,1]上的可测函数，又g ?=是[0,1]到[0,1]上的连续函数，然而复合函数

1[()][()]{

0[0,1]\x A

f g x f x x A

?∈==∈是不可测集A 的特征函数 所以，它是一个不可测的函数.

12.证明：若12()(,,,)n f x f x x x = 是n R 上的可微函数；则 12(,,,),1,2,,n i

f x x x i n x ?

=? 都是n R 上的可测函数.

证明：只证1i =的情形，其它一样证 ()f x 在n R 上可微，故0n x R ?∈，

0000

12001

(,,,)()lim ()|n y x h f x h x x f x f y h x =→+-?

=? 故从0

l i m ()()0,

()()n n n a

h g x g x a g x g x →=??→→这一原则知，

n x R ?∈

000

12001

1(,,,)()()lim

lim [()()]1

n m m m f x x x f x m f x m g x f x x m

→+∞→+∞+

-?

==-? 这里

121()(,,,)m n g x f x x x m

=+ ，由于f 可微，f 连续，故()m g x 是连续的，从而可测，又f 连续，故[()()]m m g x f x -可测，故其逐点收敛的极限1

()f x x ?

?也是可测的.

第四章 练习题及参考答案

第四章 静态场的解 练习题 1、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 （3） 解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点),,(z y x 处的电位为 ??? ? ??-+-= 4321011114r r r r q πεφ 其中， ()()()()()()()()2 22422 232 2222 22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++= ++++=+++-=+-+-= 2、 两个点电荷Q +和Q -位于半径为a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为 d 。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232d Q a 。 证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q 和－Q 的镜像电荷Q Q ''',分别位于球内＋Q 和－ Q 连线上大小分别为Q D a μ，且分别距球心为D a 2（分别位于球心两侧）。可见Q Q ''',构 成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为： 图1 图2 q - q +q -

2 322D Q a D a Q D a ql p =?==。结论得证。 3、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心O 为d 处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷q '必定位于球内，且在q 与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件(?球）=0可取球面上两个特殊点B A ,讨论。B A ,是q 与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得： 0)(4)(4)(00=+' ++= f a q a d q A πεπε?， 0) (4)(4)(00=-' +-= f a q a d q B πεπε?。 解此方程组得：d a f q d a q 2 ,=-='。 所以任意场点),(y x P 处的电位为： r q r q ' '+ = 0044πεπε?。 其中r r ',分别是点电荷q 和q ' 到场点P 的距离。 值分别为21 2221 22])[(,])[(y f x r y d x r +-='+-=。 4、半径为a 的不接地导体球附近距球心O 为d （?d a ）处有一点电荷q ，用镜像法计算 球外任一点的电位。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷除了有q '（即导体球接地时对应的结果， q d a q -='，其位置为d a f 2=），还在球心处有另外一个镜像电荷q ''，以保证导体球面电 势不为零的边界条件成立，且可知q q '-=''。 所以任意场点P 处的电位为： r q r q r q ' '''+ ' '+ = 000444πεπεπε?

第四章课后习题与答案

第四章课后习题与答案 1．媒体包含媒质和媒介两个方面的含义。媒质是指存储信息的实体；媒介是指表示和传递信息的载体，即信息的表现形式。 媒体可分为五种类型：感觉媒体、表示媒体、显示媒体、存储媒体、传输媒体。 2．多媒体是上述各种感觉媒体的综合体，即将多媒体定义为文字、图象、声音等多种不同形式的信息表达方式。 主要特征是：多样性、集成性和交互性。多样性是相对于传统计算机而言的，指信息载体的多样化，即计算机中信息表达方式的多样化，这一特征使计算机能处理的信息空间范围更加广阔，使人机交互界面更加人性化。集成性包括媒体信息的集成和处理媒体信息的设备或工具的集成，它是多媒体信息和多媒体设备的高速统一，是一次系统级的飞跃。交互性是多媒体技术的关键特征，这一特性将更加有效地为用户提供控制和使用信息的手段，没有交互性的多媒体作品是没有生命力的，有了交互性，使用者才能有效地获取信息。 3．音、视频信号往往都是模拟信号，必须将其进行数字化处理转换成数字视频信号。数字音频是对模拟声音信号每秒上千次的采样，然后把每个样值按一定的比特数量化，最后得到标准的数字音频的码流。对CD音质的信号来讲，每秒要44100次的采样，每个样值是16比特的量化，而立体声CD 音质信号，它每秒的码流是44.1K×16×2≈ 1.4Mbit/S。这样高的码流和容量，对于数字音频的存储、处理和传输提出了很高的要求。视频图像经过变换成为数字图像后产生了一系列问题。数字化后的视频信号的数据量十分巨大，需要大量的磁盘空间。对于PAL制电视来说，我国PAL/D.K制电视的视频带宽fc=6.0MHz，根据奈奎斯特定理，取样频率fs≥2fc。CCIR601建议书规定：亮度信号的取样频率为13.5MHz，色度信号的取样频率为6.75MHz，每个取样8bit，每有效行的取样数，亮度信号为720个，每个色差信号为360个。亮度信号和每个色差信号都采用线性PCM，那么传输PAL制彩色电视所需要的传输速率为：13.5×8+2×6.75×8=216Mb/s，要以25帧/秒的速率来播放数字视频信号，数据传输速率要达到216Mbit/s，即216Mbps左右，而现在各种传输技术的速度都远远达不到这个水平。现在最快的传输介质光纤，也只有100Mbps。以正常的速度传输、播放不压缩的数字视频信号是不可能的。 4．媒体素材包括文本、声音、图形、图象、视频和动画。 特点：（1）文本指各种字体、尺寸、格式及色彩的文本。文本数据可以使用文本编辑软件制作，应用于多媒体系统中可以使显示的信息更易于理解，是多媒体应用系统的基础。常见的文件格式有：TXT，DOC，WRI等。 （2）图形和图象 图形是指从点、线、面到三维空间的黑白或彩色几何图形，也称为矢量图。图形文件只记录生成图形的算法和图形上的某些特征点（如几何图形的大小、形状及其位置、颜色等），因此，图形文件的格式就是一组描述点、线、面等几何元素特征的指令集合，绘图程序通过读取这些指令，将其转换为屏幕上可显示的形状和颜色，从而生成图形。图形常用在网络和工程计算中。图象是由称为像素的点构成的矩阵，也称为位图。图象可以用图象处理软件制作，也可以通过扫描仪、数码相机等输入设备获得。常见的文件格式有：BMP，JPG、PCX等。（3）视频是指一组静态图象的连续播放，这里的连续既指时间上的连续，也指图象内容上的连续。计算机视频是数字化的，通常来自于录象带、摄象机等模拟视频信号源，经过数字化处理后成为数字视频文件。常见的文件格式有：A VI、MOV，MPG等。 （4）动画是活动的画面，是借助计算机生成的一系列连续运动的画面。用计算机实现的动

第四章课后习题答案

4-8 一个半径为r ＝1m ，转速为1500r/min 的飞轮，受到制动，均匀减速，经时间t ＝50s 后静止，求：（1）飞轮的角加速度和飞轮的角速度随时间的关系；（2）飞轮到静止这段时间内转过的转数；（3）t ＝25s 时飞轮边缘上一点的线速率和加速度的大小。 解 （1）由于均匀减速，所以角加速度不变为 2015000.5/6050r r s s s β-= =-? 由角速度和角加速度的关系得 25/0 t r s d dt ω ωβ=? ? 得 250.5(/)t r s ω=- （2） d d d d dt dt d d ωωθωω βθθ = == 25/r s d d θβθωω=? ? 解得 625r θ= 所以转数为625 （3）由于250.5(/)t r s ω=- 所以t=25s 时 12.5/25(/)r s rad s ωπ== 所以线速率为 25(/)v r m s ωπ== 角加速度大小不变 4-9 某电机的转速随时间的关系为ω＝ω0（1－e -t/τ ），式中，ω0＝s ，τ＝，求：（1） t ＝时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动6s 后转过的圈数。 解 （1）t=60s 代入得 39(1)(/)8.6/e rad s rad s ω-=-= （2）由d dt ω β= 得 2 4.5t e β- = （3）由6 d dt θθω=?? 33618e θ-=+ [/2][5.87]5n θπ===

4-10 一个圆盘绕穿过质心的轴转动，其角坐标随时间的关系为θ（t ）＝γt+βt 3 ，其初始转速为零，求其转速随时间变化的规律。 解 由d dt θ ω= 得 23t ωγβ=+ 由于初始时刻转速为零，γ=0 23t ωβ= 4-11 求半径为R ，高为h ，质量为m 的圆柱体绕其对称轴转动时的转动惯量。 解 建立柱坐标，取圆柱体上的一个体元，其对转轴的转动惯量为 2 222 m m dJ dV d d dz R h R h ρρρρθππ== 积分求得 23220001 2 R h m J d d dz mR R h πρρθπ= =??? 4-12一个半径为R ，密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为R/2的圆孔，圆孔与盘边缘相切。求该圆盘对通过圆盘中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。 解：把圆孔补上，取圆盘上一面元dS ，到转轴的距离为r ，则其转动惯量为 22dJ r dS r rdrd ρρθ== 积分得绕轴转动惯量为 23410 1 2 R J r drd R π ρθπρ==? ? 圆孔部分的绕轴转动惯量可由平行轴定理得 4 422213()()()222232 R R R R J πρπρρπ=+= 总的转动惯量为 4 121332 R J J J πρ=-= 4-13电风扇在开启电源后，经过t 1时间达到额定转速ω，当关闭电源后，经过t 2时间后停止转动，已知风扇转子的转动惯量为J ，并假定摩擦力矩和电动机的电磁力矩均为常量，求电动机的电磁力矩。 解：由转动定理得

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

数据库应用基础第4章习题参考答案

习题 1．选择题 （1）设A、B两个数据表的记录数分别为3和4，对两个表执行交叉联接查询，查询结果中最多可获得（C ）条记录。 A．3 B. 4 C. 12 D. 81 （2）如果查询的SELECT子句为SELECT A, B, C * D，则不能使用的GROUP B子句是（ A ）。 A．GROUP BY A B．GROUP BY A,B C．GROUP BY A,B,C*D D．GROUP BY A,B,C,D （3）关于查询语句中ORDER BY子句使用正确的是（ C ）。 A．如果未指定排序字段，则默认按递增排序 B．数据表的字段都可用于排序 C．如果在SELECT子句中使用了DISTINCT关键字，则排序字段必须出现在查询结果中 D．联合查询不允许使用ORDER BY子句 （4）在查询设计器中，不能与其他窗格保持同步的是（D ）。 A．关系图窗格 B. 网格窗格 C．SQL窗格 D. 结果窗格 （5）下列函数中，返回值数据类型为int的是（B）。 A．LEFT B. LEN C．LTRIM D. SUNSTRING 2．填空题 (1) 在启动查询分析器时，在登录对话框中可使用（Local）作为本地服务器名称。 (2) 查询分析器窗口主要由对象浏览器和（查询）窗口组成。 (3) 从Windows“开始”菜单启动查询分析器后，默认数据库为（master）。 (4) 以表格方式显示的查询结果保存为（导出）文件，其文件扩展名为（csv）；以文本方式显示的查询结果保存为（报表）文件，其文件扩展名为（rpt）。 (5) 可使用（PRINT）或（SELECT）语句来显示函数结果。 (6) 在查询语句中，应在（SELECT）子句中指定输出字段。 (7) 如果要使用SELECT语句返回指定条数的记录，则应使用（TOP）关键字来限定输出字段。 (8) 联合查询指使用（UNION）运算将多个（查询结果）合并到一起。 (9) 当一个子SELECT的结果作为查询的条件，即在一个SELECT语句的WHERE子句中出现另一个SELECT语句，这种查询称为（嵌套）查询。 (10) 连接查询可分为3种类型：（内连接）、（外连接）和交叉连接。 3．问答题 (1) 在SELECT语句中，根据列的数据对查询结果进行排序的子句是什么？能消除重复行的关键字是什么? (2) 写出与表达式“仓库号NOT IN('wh1','wh2')”功能相同的表达式。用BETWEEN、AND形式改写条件子句WHERE mark> 550 AND mark<650。 (3) 在一个包含集合函数的SELECT语句中，GROUP BY子句有哪些用途?

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

第四章课后思考题及参考答案

第四章课后思考题及参考答案 1、为什么说资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西？ [答案要点]资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西。资本主义的发展史，就是资本剥削劳动、列强掠夺弱国的历史，这种剥夺的历史是用血和火的文字载入人类编年史的。在自由竞争时代，西方列强用坚船利炮在世界范围开辟殖民地，贩卖奴隶，贩卖鸦片，依靠殖民战争和殖民地贸易进行资本积累和扩张。发展到垄断阶段后，统一的、无所不包的世界市场和世界资本主义经济体系逐步形成，资本家垄断同盟为瓜分世界而引发了两次世界大战，给人类带来巨大浩劫。二战后，由于社会主义的胜利和民族解放运动的兴起，西方列强被迫放弃了旧的殖民主义政策，转而利用赢得独立和解放的广大发展中国家大规模工业化的机会，扩大资本的世界市场，深化资本的国际大循环，通过不平等交换、资本输出、技术垄断以及债务盘剥等，更加巧妙地剥削和掠夺发展中国家的资源和财富。在当今经济全球化进程中，西方发达国家通过它们控制的国际经济、金融等组织，通过它们制定的国际“游戏规则”，推行以所谓新自由主义为旗号的经济全球化战略，继续主导国际经济秩序，保持和发展它们在经济结构和贸易、科技、金融等领域的全球优势地位，攫取着经济全球化的最大好处。资本惟利是图的本性、资本主义生产无限扩大的趋势和整个社会生产的无政府状态，还造成日益严重的资源、环境问题，威胁着人类的可持续发展和生存。我们今天看到的西方发达资本主义国家的繁荣稳定，是依靠不平等、不合理的国际分工和交换体系，依靠发展中国家提供的广大市场、廉价资源和廉价劳动力，通过向发展中国家转嫁经济社会危机和难题、转移高耗能高污染产业等方式实现的。资本主义没有也不可能给世界带来普遍繁荣和共同富裕。 2、如何理解商品二因素的矛盾来自劳动二重性的矛盾，归根结底来源于私人劳动和社会劳的矛盾？[答案要点]商品是用来交换的劳动产品，具有使用价值和价值两个因素或两种属性。在私有制条件下，商品所包含使用价值和价值的矛盾是由私有制为基础的商品生产的基本矛盾即私人劳动和社会劳动的矛盾所决定的。以私有制为基础的商品经济是以生产资料的私有制和社会分工为存在条件的。一方面，在私有制条件下，生产资料和劳动力都属于私人所有，他们生产的产品的数量以及品种等，完全由自己决定，劳动产品也归生产者自己占有和支配，或者说，商品生产者都是独立的生产者，他们要生产什么，怎样进行生产，生产多少，完全是他们个人的私事。因此，生产商品的劳动具有私人性质，是私人劳动。另一方面，由于社会分工，商品生产者之间又互相联系、互相依存，各个商品生产者客观上都要为满足他人和社会的需要而进行生产。因此，他们的劳动又都是社会劳动的组成部分。这样，生产商品的劳动具有社会的性质，是社会劳动。对此，马克思指出，当劳动产品转化为商品后，“从那时起，生产者的私人劳动真正取得了二重的社会性质。一方面，生产者的私人劳动必须作为一定的有用劳动来满足一定的社会需要，从而证明它们是总劳动的一部分，是自然形成的社会分工体系的一部分。另一方面，只有在每一种特殊的有用的私人劳动可以同任何另一种有用的私人劳动相交换从而相等时，生产者的私人劳动才能满足生产者本人的多种需要。完全不同的劳动所以能够相等，只是因为它们的实际差别已被抽去，它们已被化成它们作为人类劳动力的耗费、作为抽象的人类劳动所具有的共同性质。”私有制条件下，商品生产者私人劳动所具有的这二重性质，表现为生产商品的劳动具有私人劳动和社会劳动的二重性。 生产商品的私人劳动和社会劳动是统一的，同时也是对立的。其矛盾性表现在：作为私人劳动，一切生产活动都属于生产者个人的私事，但作为社会劳动，他的产品必须能够满足一定的社会需要，他的私人劳动才能转化为社会劳动。而商品生产者的劳动直接表现出来的是它的私人性，并不是它的社会性，他的私人劳动能否为社会所承认，即能否转化为社会劳动，他自己并不能决定，于是就形成了私人劳动和社会劳动的矛盾。这一矛盾的解决，只有通过商品的交换才能实现。当他的产品在市场上顺利地实现了交换之后，他的私人劳动也就成了社会劳动的一部分，他的具体劳动所创造的使用价值才是社会需要的，他的抽象劳动所形成的价值才能实现。如果他的劳动产品在市场上没有卖出去，那就表明，尽管他是为社会生产的，但事实上，社会并不需要他的产品，那么他的产品

公司金融 李心愉 第四章课后习题答案

第四章作业 1、下列说法是否正确 （1）同等风险的所有股票的定价对应着同样的期望收益率。 A 股标准差=%， B 股标准差=% E （R A ）=20%，E （R B ）=30% （2）股票的价值等于该股票未来红利的现值。 错，股票的价值还需考虑留存收益的影响。 2、假如有两家银行向你提供贷款。一家银行的利率为12%，按月计息；另一家银行的利率为12%，按半年计息。请问哪家银行的利率条件更有吸引力 第一家实际利率=%68.121)12 %121(12=-+ 第二家实际利率=%57.121)2%2.121(2=-+ 选择第二家 3、王先生打算将手头闲置的10万元投资出去，而他有两个投资机会可以选择；（1）购买零票面利率债券，这种债券目前的售价为420元，7年后到期时可以得到1000元，（2）用1000元的价格购买每年付息100元的7年期债券，到期同样可以得到1000元的本金。市场平均利率是10%，如何选择 （1） 6.1221412385132.0100042010000010007%,10=??=?? ?????PVIF （2） 1000045132.01000001008684.41001000001000 1000001007%,107%,10=?+??=+?PVIF PVIFA 选第一个投资 4、 12岁开始存钱到17岁上大学一共是5年，每年年初存入A 元（先付年金，增长年金） ①四年学费在17岁时的价值=()??? ???????? ??++-?-+?4%101%611%6%10%10110000 ②12岁开始每年年初存入A 元，17岁时的价值=）（%1015%,10+? ?FVIFA A 由①=②，得出A=

第四章课后习题参考答案

1 数据链路（即逻辑链路）与链路（即物理链路）有何区别？“电路接通了”与“数据 链路接通了”的区别何在？ 答：（1）数据链路与链路的区别在于数据链路除链路外，还必须有一些必要的通信协议来控制数据的传输。因此，数据链路比链路多了实现通信协议所需要的硬件和软件。 （2）“电路接通了”表示链路两端的结点交换机已经开机，物理连接已经能够传送比特流了。但是，数据传输并不可靠。在物理连接基础上，再建立数据链路连接，才是“数据链路接通了”。此后，由于数据链路连接具有检测、确认和重传等功能，才使不太可靠的物理链路变成可靠的数据链路，进行可靠的数据传输。当数据链路断开连接时，物理电路连接不一定跟着断开连接。 2 数据链路层中的链路控制包括哪些功能？ 答：数据链路层中的链路控制包括链路管理；帧同步；流量控制；差错控制；将数据和控制信息分开；透明传输；寻址等功能。 数据链路层做成可靠的链路层的优点和缺点取决于所应用的环境：对于干扰严重的信道，可靠的链路层可以将重传范围约束在局部链路，防止全网络的传输效率受损；对于优质信道，采用可靠的链路层会增大资源开销，影响传输效率。 3数据链路层的三个基本问题(帧定界，透明传输和差错检测)为什么都必须加以解决? 答：帧定界是分组交换的必然要求；透明传输是避免二进制比特流中出现与帧定界符号相同的模式，使节点错误识别帧；差错检测是为了避免接收到错误信息和防止信道中出现的无效数据帧浪费后续路由上的传输和处理资源。 4 如果在数据链路层不进行帧定界，会发生什么问题? 答：在数据传输过程中的传输网中的结点及接收方将无法区分分组（帧），也将不能确定分组的控制域和数据域，也不能实现差错控制。 5 PPP协议的主要特点是什么?为什么PPP不使用帧的编号?PPP适用于什么情况?为什么PPP协议不能使数据链路层实现可靠传输? 答：1，PPP是面向字节的点对点通信协议，适用于线路质量不太差的情况，其主要特点：(1)协议简单，不使用序号和确认机制，也不需要流量控制；具有检错能力，但无纠错功能；只支持点到点的链路通信和和全双工链路(2)PPP规定特殊的字符为帧界定符，且在同步传输链路时，采用比特填充法，当用在异步传输时，使用字符填充法来保证数据传输的透明性； (3)PPP可同时支持链路所连接的LAN或ROUTER上运行的多种网络层协议；(4)可在多种点到点的链路上运行(串行，并行，高速，低速，电的，光的，交换的或非交换的)，并可自动检测链路的工作状态，同时对不同的链路设置最大传输单元MTU(帧的有效载荷)的标准默认值；(5)提供了网络地址协议和数据压缩功能. 2，在TCP/IP协议簇中，可靠的传输由TCP协议负责，而PPP只进行检错，它是一个不可靠的传输协议，因此不需要帧的编号。 3，PPP适用于质量不太差的点对点全双工通信链路，且上层协议要保证数据传输的可靠性，如用户通过ISP连接Internet. 4，(1)PPP只提供了检错功能，当发现帧出现错误时，只是将其丢弃；(2)PPP帧没有使用序号，接收端不能通过序号确认帧的顺序和是否完全到达。 6 要发送的数据为1101011011。采用CRC的生成多项式是P(x)=x4+x+1 。试求应添加在数 据后面的余数。 数据在传输过程中最后一个1变成了0，问接收端能否发现？ 若数据在传输过程中最后两个1都变成了0，问接收端能否发现？ 答：添加的检验序列（冗余码）为1110 （11010110110000除以数P=10011）

实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章

。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

通信原理第4章课后习题答案

第四章 模拟调制 学习指导 4.1.1 要点 模拟调制的要点主要包括幅度调制、频率调制和相位调制的工作原理。 1. 幅度调制 幅度调制是用调制信号去控制载波信号的幅度，使之随调制信号作线性变化的过程。在时域上，已调信号的振幅随基带信号的规律成正比变化；在频谱结构上，它的频谱是基带信号频谱在频域内的简单平移。由于这种平移是线性的，因此，振幅调制通常又被称为线性调制。但是，这里的“线性”并不是已调信号与调制信号之间符合线性变换关系。事实上，任何调制过程都是一种非线性的变换过程。 幅度调制包括标准调幅（简称调幅）、双边带调幅、单边带调幅和残留边带调幅。 如果调制信号m (t )的直流分量为0，则将其与一个直流量A 0相叠加后，再与载波信号相乘，就得到了调幅信号，其时域表达式为 []()()()AM 0c 0c c ()()cos cos ()cos (4 - 1)s t A m t t A t m t t ωωω=+=+ 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，则调幅信号的频谱为 [][]AM 0c c c c 1 ()π()()()() (4 - 2)2 S A M M ωδωωδωωωωωω=++-+ ++- 调幅信号的频谱包括载波份量和上下两个边带。上边带的频谱结构与原调制信号的频谱结构相同，下边带是上边带的镜像。由波形可以看出，当满足条件 |m (t )| A 0 (4-3) 时，其包络与调制信号波形相同，因此可以用包络检波法很容易恢复出原始调制信号。否则，出现“过调幅”现象。这时用包络检波将发生失真，可以采用其他的解调方法，如同步检波。 调幅信号的一个重要参数是调幅度m ，其定义为 [][][][]00max min 00max min ()() (4 - 4)()()A m t A m t m A m t A m t +-+=+++ AM 信号带宽B AM 是基带信号最高频率分量f H 的两倍。 AM 信号可以采用相干解调方法实现解调。当调幅度不大于1时，也可以采用非相干解调方法，即包络检波，实现解调。 双边带信号的时域表达式为 ()DSB c ()()cos (4 - 5)s t m t t ω= 其中，调制信号m (t )中没有直流分量。 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，双边带信号的频谱为 []DSB c c 1 ()()() (4 - 6)2 S M M ωωωωω= ++-

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

第四章课后习题参考答案

第4章网络基础知识与Internet应用一、单项选择题 二、填空题 1．局域网、城域网、广域网或LAN、MAN、WAN 2. C、A、C 3. 127.0.0.1（本机）、255.255.255.255（限制广播）、0.0.0.0（广播） 4. Electronic Commerce, EC 5.B2B、B2C 6. Instrumented：物联化 Interconnected：互联化 Intelligent：智能化 7.感知层、网络层、应用层 8.接入（网络层）、应用（业务层） 9.硬件系统、软件系统 10.不可否任性

三、简答题 1. 计算机网络发展包括四个阶段：第一，面向终端的计算机网络；第二，计算机-计算机网络；第三，开放标准网络阶段；第四，因特网与高速计算机网络阶段。各阶段的特点：第一，面向终端的计算机网络：以单个计算机为中心的远程联机系统，构成面向终端的计算机网络。第二，计算机-计算机网络：由若干个计算机互联的系统，组成了“计算机-计算机”的通信时代，呈现出多处理中心的特点。第三，开放标准网络阶段：由于第二阶段出现的计算机网络都各自独立，不相互兼容。为了使不同体系结构的计算机网络都能互联，国际标准化组织ISO提出了一个能使各种计算机在世界范围内互联成网的标准框架―开放系统互连基本参考模型OSI。第四，因特网与高速计算机网络阶段：采用高速网络技术，综合业务数字网的实现，多媒体和智能型网络的兴起。 2.TCP/IP网络使用32位长度的地址以标识一台计算机和同它相连的网络，它的格式为：IP 地址=网络地址+ 主机地址。标准IP地址是通过它的格式分类的，它有四种格式：A类、B类、C类、D类。 3. 电子商务所涵盖的业务范围包括：信息传递与交流；售前及售后服务；网上交易；网上支付或电子支付；运输；组建虚拟企业。 4. 包括banner(网幅广告)、button广告、文字链接广告、弹出式广告(pop up window)及其它形式(如移动logo、网上分类广告等)。其中banner广告是主流形式，也被认为是最有效的。 5. 国际电信联盟( ITU)对物联网做了如下定义：通过二维码识读设备、射频识别(RFID) 装置、红外感应器、全球定位系统和激光扫描器等信息传感设备，按约定的协议，把任何物品与互联网相连接，进行信息交换和通信，以实现智能化识别、定位、跟踪、监控和管理的一种网络。

通信原理(陈启兴版)第4章课后习题答案

第四章 模拟调制 4.1 学习指导 4.1.1 要点 模拟调制的要点主要包括幅度调制、频率调制和相位调制的工作原理。 1. 幅度调制 幅度调制是用调制信号去控制载波信号的幅度，使之随调制信号作线性变化的过程。在时域上，已调信号的振幅随基带信号的规律成正比变化；在频谱结构上，它的频谱是基带信号频谱在频域内的简单平移。由于这种平移是线性的，因此，振幅调制通常又被称为线性调制。但是，这里的“线性”并不是已调信号与调制信号之间符合线性变换关系。事实上，任何调制过程都是一种非线性的变换过程。 幅度调制包括标准调幅（简称调幅）、双边带调幅、单边带调幅和残留边带调幅。 如果调制信号m (t )的直流分量为0，则将其与一个直流量A 0相叠加后，再与载波信号相乘，就得到了调幅信号，其时域表达式为 []()()()AM 0c 0c c ()()cos cos ()cos (4 - 1)s t A m t t A t m t t ωωω=+=+ 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，则调幅信号的频谱为 [][]AM 0c c c c 1 ()π()()()() (4 - 2)2 S A M M ωδωωδωωωωωω=++-+ ++- 调幅信号的频谱包括载波份量和上下两个边带。上边带的频谱结构与原调制信号的频谱结构相同，下边带是上边带的镜像。由波形可以看出，当满足条件 |m (t )| ≤ A 0 (4-3) 时，其包络与调制信号波形相同，因此可以用包络检波法很容易恢复出原始调制信号。否则，出现“过调幅”现象。这时用包络检波将发生失真，可以采用其他的解调方法，如同步检波。 调幅信号的一个重要参数是调幅度m ，其定义为 [][][][]00max min 00max min ()() (4 - 4)()()A m t A m t m A m t A m t +-+=+++ AM 信号带宽B AM 是基带信号最高频率分量f H 的两倍。 AM 信号可以采用相干解调方法实现解调。当调幅度不大于1时，也可以采用非相干解调方法，即包络检波，实现解调。 双边带信号的时域表达式为 ()DSB c ()()cos (4 - 5)s t m t t ω= 其中，调制信号m (t )中没有直流分量。 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，双边带信号的频谱为 []DSB c c 1 ()()() (4 - 6)2 S M M ωωωωω= ++-

第四章习题答案

教材习题答案 分析图电路的逻辑功能 解：（1）推导输出表达式 Y2=X2；Y1=X 1X2；Y0=(MY1+X 1M)X0 X2X1X0Y2Y1Y0 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111000 001 011 010 110 111 101 100 000 001 011 010 111 110 100 101 （3）逻辑功能：当M=0时，实现3位自然二进制码转换成3位循环码。 当M=1时，实现3位循环码转换成3位自然二进制码。分析图电路的逻辑功能。 图 解：(1)从输入端开始，逐级推导出函数表达式。 F1 = A⊕B⊕C

F2 = A(B⊕C) + BC= A BC + AB C +ABC + ABC (2)列真值表 表4.3.2 A B C F1F2 000 001 010 011 100 101 110 11100 11 11 01 10 00 00 11 (3)确定逻辑功能。由真值表可知，该电路实现了一位全减器的功能。 A、B、C、F1、F2分别表示被减数、减数、来自低位的借位、本位差、本位向高位的借位。分析图电路的逻辑功能 解：（1）F1=A B C；F2=(A B)C+AB (2)真值表： A B C F2F1 000 001 010 011 100 101 110 11100 01 01 10 01 10 10 11

(3)逻辑功能：实现1位全加器。 设ABCD是一个8421BCD码，试用最少与非门设计一个能判断该8421BCD码是否大于等于5的电路，该数大于等于5，F= 1；否则为0。 解：(1)列真值表 表4.3.4 (2)写最简表达式

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。