方程、不等式复习专题(含答案)
方程、不等式复习专题
一、考法、考点分析
1、考法分析：
方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究，方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。
2、考点课标要求：
（1）根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
（2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
（3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）
（4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。（5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。
(6) 一元一次不等式（组）的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列一元一次不等式（组）解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大重点、难点、疑点
1.方程的概念；方程的解法；列方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验，既要验证根是否是原分式方程的根，又要验是否符合题意；⑦答：写出答案
2．不等式（组）的有关概念;不等式（组）的解法;解(解集)的表示;列不等式(不等式组)解应用题:①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出不等关系；④列：列出不等式（组）；
⑤解：解不等式（组）；⑥答：写出答案
二、知识点归纳
（1）方程：含有未知数的等式叫方程。
（2）一元一次方程:含有一个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫一元一次方程。（3）二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，
理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y
x y x 等，
都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。
（4）二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二
元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，
都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。
（5）二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如：
等都是二元一次方程组。
（6）二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。
（7）会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
检验方法：把一对数值分别代入方程组的○
1、○2两个方程，如果这对未知数既满足方程○
1，又满足方程○2，则它就是此方程组的解。 （8）二元一次方程组的解法：
○
1解题思想:将二元变成一元;○2代入消元法○3加减消元法 2、不等式具体知识点
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子．
（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值．
（3）不等式的解集：一个不等式所有解的集合．
（4）解不等式：求出不等式解集的过程．
（5）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式（其标准形式为ax-b ＞0或ax-b ＜0，（a ≠0）．
（6）一元一次不等式组：两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组． x=a y=b 2x-y=1 x+y=2 3x-y=5
x=2
x+2y=3 3x-y=1 2x+4y=6
（7）不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集．
（8）解不等式组：求出不等式组解集的过程．
(9)不等式组解集的取法:大大取大,小小取小,一大一小取公共部分.
三、典例解析
例1．解方程：
(1) 2x －
32(x+3)=-x+3 （2）21-y +52+y =2 （3）51（x+15）=21-3
1(x-7) 解：（1）2x －32(x+3)= -x+3 去分母，得６x-2(x+3)= -3x+9 --------------等式性质，两边同时乘3
去括号，得 6x-2x-6= -3x +9 -----------去括号法则
移项， 得 6x-2x +3x=9+6 -----------等式性质，两边同时加上6、3x
合并同类项，得7x=15 -----------合并同类项法则
未知数系数化为1，得x= 7
15 -----------两边同时除以7 【点评】解一元一次方程作为基本技能要熟练掌握，同时还要注意对解方程各个步骤地灵活处理。
例2．解方程：
(1)2%x-5+5%x=20%， (2) 3.01-x －5
.02+x ＝２
解：（1）去分母，得2x-500+5x=20
移项并整理，得7x=520，
系数化为1，得x ＝7
520 (2)由分数基本性质，得31010-x －52010+x ＝２，
去分母，得5(10x-10)-3(10x+20)=30,
去括号，得50x-50-30x-60=30，
移项并整理，得20x ＝140，
系数化为1，得x ＝7.
【点评】学生的代数运算能力的形成不是一蹴而就的，需要不断地训练，应充分地利用解方程这一训练和提高学生代数运算能力的极好载体，
例3：判断下列方程是不是二元一次方程
4).1(22=+y x 222).2(x y x x =-+ 6).3(=-y xy
y x =).4( 6).5(2=++z y x 811).6(=+y
x 分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③任何一个二元一次方程都可以化成
，（
为已知数）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式.也
就是说任何一个方程只要能化成
（
）.这个方程就是二元一次方程.
解：(1)不是，∵未知项次数为2；
（2）是，∵经过化简为
，符合一般形式，∴是；
（3）不是，∵xy 的次数是2； （4）是，∵经过化简为x －y ＝0，即符合定义，又能化为一般形式；
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项
次数为2；
（6）不是，∵y
x 1,1不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程； 例4：解方程组??
?=++=)2(62)1(2y x x y 分析：方程①可以把y 看作2+x ，则方程②中的y 就可以和2+x 来代替，这样方程②就可以转化为一元一次方程．
解：把①代入②得 2x +2+x =6 3x =4 ∴ 34=
x 把34=x 代入①得342+=y ，∴310=y 。∴??
???==31034y x 例5：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。
分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。
解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒y米，根据题意，得
经检验，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为25米/秒，15米/秒。
例6：张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。
分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。
解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。
解方程组，x=2.25，y=0.99，
答：两种储蓄的年利润分别为2.25%和0.99%。
例7、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）。
分析：解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组）求解。
解：设用x立方米的木材做桌面，y立方米的木材做桌腿，根据题意，
经检验符合题意，
此时，可做方桌为50×6=300（张）。
例8 在CBA 篮球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，八一篮球队参加了12场比赛，共得22分，已知八一篮球队只输了2场，那么此队胜几场?平几场? 分析：找出以下等量关系：
这支球队胜的场数+这支球队平的场数+这支球队负的场数＝12，
这支球队得3分的总数+这支球队得1分的总数+这支球队得0分的总数＝22．
解：设八一篮球队胜x 场，平y 场，依题意，得
???=+=++22
3122y x y x 解这个方程组，得???==46y x 答：八一篮球队胜了6场，平了4场.
【点评】这是用二元一次方程组模型解数学应用题的一个例子，可见要让学生充分体验，积累丰富的数学活动经验，不断提高“建模”的能力。
例9．（2006年芜湖市）已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A 、ab>b 2
B 、a+c>b+c
C 、 1a < 1b
D 、ac>bc 析解：本题主要考查不等式的基本性质，由已知易得B
例10．（2006年日照市）已知方程组2,231y x m y x m -=??
+=+?的解x 、y 满足2x+y ≥0，则m 的取值范围是（ ）
（A ）m ≥-43（B ）m ≥43（C ）m ≥1（D ）-43
≤m ≤1 析解：本题先通过解方程组，解出x ，y 的值，再代入不等式2x+y ≥0中，从而求出m 的取值范围，应选A
例11．（2006年东营市）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：
≥ ??
???-<--+-.8)1(31,323x x x x
析解：本题主要考查解不等式组以及解集如何在数轴上表示的问题 解不等式32
3+-x ≥x ，得x ≤3，解不等式x x -<--8)1(31，得x ＞－2．
在数轴上表示为
四、练习训练
1.已知关于x 的方程
12
-=-+x a x 的根大于0，则a 的取值范围是 . 2.把右图折叠成正方体，如果相对面的值相等，则一组y x ,的值 是 .
3.下列判断正确的是（ ）
A.方程0)1)(3(=+-y x 的解是???-==1
3y x
B.方程842=-y x 的解必是方程组?
??=+=-753842y x y x 的解 C.t 可以取任意数，???+=+=2
345t y t x 都是方程253=-y x 的解
D.二元一次方程组一定只有一组解
4.是否存在这样的整数a ，使方程组??
?=+=+5
3443y x a y x 的解是一对非负数？若存在，求出它的解；若不存在，请说明理由. 5.（2006年北京市）解分式方程：
21
211=++-x x x 6．（2006年日照市）已知，关于x 的方程22112()1x x x x +++=，那么11x x ++的值为 ．
7．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？
8．（2006年长沙市）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
(第12题图)
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
9．（2006年长春市）不等式组?????-+≥-1
2312152＞x ，x x 的解集是_____________________。 10．（2006年湖州市）不等式1030x x ->??
-1 B 、x<3 C 、1 D 、无解 11．（2006年泸州市）如果分式 12-x 与33+x 的值相等，则x 的值是（ ） (A)9 (B)7 (C)5 (D)3 12．（2006年汉川市）如图，数轴上所表示的不等式组的解集是（ A 、x ≤2 B 、－1≤x ≤2 C 、－1＜x ≤2 D 、x ＞－1 13．（2006年武汉市）不等式组? ??-≥-111x x ＜的解集在数轴上表示正确的是 14.（2006年维坊市）不等式组2425x a x b +>??- 的解是02x <<，那么a b +的值等于 ． 15.有一只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7min 到达学校. （1）此时，若绕道而行，要15min 到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学 校，还是选择通过拥挤的道口去学校？ （2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维护秩序期间，每分钟仍有 3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6min 通过道口，问维护秩序的时间是多少？ 16.两辆汽车从同一地点出发，沿同一方向匀速直线行驶，每车最多只能携带24桶燃油，途中不能加油；每桶油可以使一辆汽车前进60km ，两车都必须返回出发点，但可以先后返回，且两车可以相互赠用双方的燃油. 为了使其中一辆汽车尽可能的远离出发点，问另一A B C D 第13题图 辆汽车应在离出发点多远处就返回？远行的那辆汽车往返全程最多能行驶多少千米？ 17.某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书用100元,按该书定价2.8元出售,并很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本批发价已比第一次高0.5元,用去了150元,所购书数量比第一次多10本.当这批书售出5 4时出现滞销,便以定价的5折售完剩下的图书.试问该老板第二次售书赔钱了,还是赚钱了?若赔线,赔多少?若赚钱,赚多少? 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 2014年中考数学总复习专题测试试卷（方程与不等式） 一、选择题 1．点 A(m 4，1 2m) 在第三象限，那么 m 值是（ ）。 1 Ｂ． m 4 1 m 4 Ｄ． m 4 Ａ． m Ｃ． 2 2 2．不等式组 x 3 ）。 x 的解集是 x> a ，则 a 的取值范围是（ a Ａ． a ≥3 B ． a =3 Ｃ． a >3 Ｄ． a <3 2x 1 3．方程 x 2－4 －1＝ x ＋ 2 的解是（ ）。 Ａ．－ 1 B ． 2 或－ 1 Ｃ．－ 2 或 3 Ｄ． 3 2-x x-1 4．方程 3 - 4 = 5 的解是（ ）。 Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ． - 7 5．一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的两个根分别为（ ）。 A ．x 1=1，x 2 =-3 B ．x 1=1，x 2 =3 C ．x 1=-1 ， x 2=3 D ．x 1=-1 ，x 2=-3 a 2b ， 3 m 则 a b 的值为（ 6．已知 a ， b 满足方程组 ）。 2a b m ， 4 Ａ． 1 Ｂ． m 1 Ｃ． 0 Ｄ． 1 7． 若方程组 3x 5y m 2 2x 3 y m 的解 x 与 y 的和为 0，则 m 的值为（ ）。 Ａ．－ 2 B ．0 Ｃ． 2 Ｄ． 4 8．在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的 面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 xcm ， 那么 x 满足的方程是（ ）。 A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2 +65x-350=0 C ．x 2-130x-1400=0 D ． x 2 -65x-350=0 2x m ＋1 x ＋1 9．若解分式方程 x －1 －x 2＋ x ＝ x 产生增根，则 m 的值是（ ）。 Ａ．－ 1 或－ 2 B ．－ 1 或 2 Ｃ． 1 或 2 Ｄ． 1 或－ 2 二、填空题 10．不等式 (m-2)x>2-m 的解集为 x<-1 ，则 m 的取值范围是 __________________。 11．已知关于 x 的方程 10x 2－(m+3)x+m － 7=0，若有一个根为 0，则 m=_________，这时方程的另一个根是 _________。 12．不等式组 x 2m 1 x m 的解集是 x ＜ m －2，则 m 的取值应为 _________。 2 三解答题 13．解方程： (1) (2x – 3) 2 = (3x – 2) 2 初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练 一、选择题 1．如果关于x 的不等式组232x a x a >+?? <-?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．a≥2 D ．a≤2 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可． 【详解】 ∵不等式组232x a x a +?? -?＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2． 故选D ． 【点睛】 本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键． 2．若a b <，则下列变形错误的是（ ） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴1122 a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误， 故选：D. 【点睛】 此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8 不等式与不等式组专题复习 (一)不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2.常见不等式的基本语言有： ①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x≥0； ④x 是非正数，则x≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。 例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5 x+3>6 4x-2y ≤0 a-2b a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 知识点： 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 例1.判断下列数中哪些是不等式 的解: 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 —————————————————————————————————— 变式练习： 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ） A.x ≤ 4 B.x ≥ -5 C.x ≤ -6 D.x ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法 知识点： 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆. 例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 变式练习： 1.不等式2≤x 在数轴上表示正确的是（ ） 5032 >x 0-1-2 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 《方程与不等式》教学与复习指导意见一、2017年《方程与不等式》考纲的要求 二、《方程与不等式》在2015、2016年各地市中考卷所占的分值 三、2015、2016年各地市呈现的类型 (一) 解方程 1、解分式方程： （2） 2 32+=x x 2、解一元二次方程： 3、解方程组： （二）解不等式或不等式组 1、解不等式： （1）2x +1＞3 （2）2x ＜4 2、解不等式组： （4） （6）并把解集在数轴上表示出来 212 x =（）220x x +=（）2250 x x +-=（4）220 x x -=（3）4 121 x y x y -=?? +=-?（）1248x y x y +=?? +=-?（）7(3)123 x x --≤解不等式： ，并把解集表示在数轴上 2 6(4)30 3 x x x x --+=+3411x x = +（）32321 x x = +（）13 (5) 122 x x x -=---210223 x x x ，（）ì+>??í?<+??260 310. x x --??（5）10 12 x x ->??≤? （） （7）求不等式组210 25 x x x +>?? >-?的正整数解. （三）一元二次方程根的判别式 .1、一元二次方程2x 2 +3x+1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ． 无法确定 2、命题“关于x 的一元二次方程x 2 +bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ） 3、若 关于x 的一元二次方程2 310ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 。 4、下列一元二次方程中，没有．．实数根的是 A ．0322 =--x x B ．012 =+-x x C ．0122 =++x x D ．12 =x 5、关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax －1＝0的根的情况是 A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 （四）方程（组）与不等式（组）的应用 1、方程的应用 闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷．为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%．设把x 公顷旱地改造为林地，则可列方程为 A ．)120%(2060x x +=- B ．120%2060?=+x C ．)60%(20180x x +=- D ．120%2060?=-x 2、2、方程组的应用 （1）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去 不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C． 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 方程与不等式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知关于的方程的解满足方程，则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2．已知两数之和是10，比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3．下列关于的方程中，有实数根的是( ) A． B． C． D． 4.分式方程的解为( ) A． B． C． D． 5.关于的不等式的解集如图，那么的值是（） A．－4 B．－2 C．0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 7. 在＝－4，－1，0，3中,满足不等式组的值是（） A．－4和0 B．－4和－1 C．0和3 D．－1和0 8. ，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知关于的一元一次方程的解是＝2，则的值为． 10．小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元，已知篮球按标价打八折，那么篮球的标价是元． 11. 已知是二元一次方程组的解，则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是，则的值为 . 13．若，是方程的两实数根，那么的值为 . 14．若关于的分式方程有增根，则的值是 . 15．已知直线经过点（1，﹣1），那么关于的不等式的解集是 . 16．小红在解方程组的过程中，错把看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分，需要有必要的推理与解题过程）. 17．（本题4分）解方程 18.（本题4分）解方程组： 19．（本题6分，每小题3分）解方程： ⑴. ⑵. 20．（本题6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来. 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为． 14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道． 三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组： （1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3） （4）． 四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案． 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 《方程与不等式》专题 第二讲：不等式（组）及应用 北京四中 梁威 知识回顾 ? 一元一次不等式 ，一元一次不等式的解法 ? 一元一次不等式组及其解集 类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组 成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的______， 叫做这个不等式组的解集． ? 解一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用_______确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． ? 一元一次不等式(组)的应用 ? 一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程； 当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为_____________，利用函数 图象可以确定x 的取值范围. 自主学习 1. 解不等式2 1687x x x +≤+- ，并在数轴上表示它的解集． 2. 解不等式组?? ???>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解． 3. 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于 3 )43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x 的不等式组??? ??<++>+0,1234a x x x 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 5. 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供 调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超 载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提 下，至少还需调用B 型车多少辆? 6. 某工厂用如图(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图(b)所示的竖式 与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (a) (b) (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共 100个，设做竖式纸盒x 个． 竖式纸盒(个) 横式纸盒(个) x 所用正方形纸 板张数(张) 2(100－x ) 所用长方形纸 板张数(张) 4x ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案? 方程与不等式综合检测题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1.已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足021=-x ，则m 的值为（ ） A)21= m B)2 3=m C)2=m D)3=m 2.已知两数y x ,之和为10，且x 比y 的3倍大2，则下面所列出的方程组正确的为（ ） A)???+==+2310x y y x B)???-==+2310x y y x C)???+==+2 310y x y x D)???-==+2310y x y x 3.下列方程中，有实数根的为（ ） A)012=+-x x B)012=++x x C)0)2)(1(=+-x x D)01)1(2 =+-x 4.分式方程1 123-=x x 的解为（ ） 5.A)1=x B)2=x C)3=x D)4=x 6.若关于x 的不等式22≤+-a x 的解集如图示，则a 的值为（ ） A)4- B)2- C)0 D)2 6.甲乙丙三家超市为促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%；则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ） A)甲 B)乙 C)丙 D)一样 7.在3,0,1,4--=x 中，满足不等式组? ??->+≤2)1(22x x 的x 的值为（ ） A)4-和0 B)4-和1- C)0和3 D)1-和0 8.已知21,x x 是关于x 的一元二次方程022 =-+-m mx x 的两个实数根，是否存在实数m 使得0112 1=+x x 成立？则正确的结论为（ ） A)0=m 时成立 B)2=m 时成立 C)0=m 或2时成立 D)不存在 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9.已知关于x 的方程052=-+a x 的解为2=x ，则a 的值为_________。 10.小明周日到体育用品商店购买一个篮球花费120元，已知篮球按照标价打八折，则篮球的标价为___________元。 不等式与不等式组专项练习（能力提高） 1.已知方程组3133x y k x y +=+?? +=?的解x 、y,且2 不等式与不等式组专题 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( D )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人 分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( B )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤ 第1课时 方程（组）与不等式（组）问题 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组）的 试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 类型之一 根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于得到数量之间的关系。 1.（2008?河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g． 2.（2008年?济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.（2008?济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元； 中考数学《方程与不等式》专项练习题（含答案） 一、单选题 1．设，且当时，；当时，，则k 、b 的值依次为（ ） A ．3，－2 B ．－3，4 C ．6，－5 D ．－5，6 2．一元二次方程()213 1x x -=-+的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一根为1- 3．下列方程是二元一次方程的是（ ） A ．50xy += B ．2230x x -= C ．210y x -+= D ．()31x y x y -=++ 4．下列说法不正确的是 ( ) A ．－x ＜2的解集是x ＞－2 B ．x ＜－2的整数解有无数个 C ．－15 是－8x ＜1的一个解 D ．x ＜5的正整数解为x ＝4,3,2,1 5．解方程2438x x -=+移项后正确的是( ) A ．2384x x +=+ B ．2384x x -=-+ C ．2384x x -=+ D ．2384x x -=- 6．不等式4(x ﹣2)＞2(3x +5)的非负整数解的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7．若数a 使关于x 的分式方程 的解为正数，且使关于y 的不等式组的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．下列各式中，是方程的是（ ） A ．23x y - B ．14﹣5=9 C ．a ＞3b D ．x=1 9．若x +2021>y +2021， 则( ) A ．x+2 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32 不等式经典题型专题练习(含答案)-
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