高等数学期末复习资料大全
《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知
2030)
(6lim
0)(6sin lim
x x f x x xf x x x +=+>->-，求
解：
2
0303'
)(6cos 6lim
)(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->-
72
)0(''06)0(''32166'
''''36cos 216lim
6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 36
272
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）
3.121)12(lim ->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b 为正常数，x
x x x b a 3
0)2(lim +>-求
解：令]
2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x t b a t
2
/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)
1ln(1
2
)(cos lim x
x x +>-
解：令
)
ln(cos )1ln(1
ln ,)
(cos 2)
1ln(12x x t x t x +=
=+
2
/100
21
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）
6.设
)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求
1
)()(lim
2
2
=?
?
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质）
7.已知??
?=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
解：令
2
/1/)ln(cos lim 20
-==>-x x a x （连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.
3
cos
1
1
lim
-
=
-
-
-
-
>
-x
x
x
e x
x
（洛必达）
2.
)
1
sin
1
(
lim
0x
x
ctgx
x
-
>
-（洛必达或Taylor）
3.
1
1
lim
2
2
=
--
-
>
-
?
x
x t
x e
dt
e
x
（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.
?
?
?
=
+
-
=
=
5
2
arctan
)
(2t
e
ty
y
t
x
x
y
y由
决定，求
dx
dy
2.
x
y
x
y
x
x
y
y sin
)
ln(
)
(3
2+
=
+
=由
决定，求
1
|
=
=x
dx
dy
解：两边微分得x=0时
y
x
y
y=
=cos
'
，将x=0代入等式得y=1
3.
y
x
x
y
y xy+
=
=2
)
(由
决定，则
dx
dy
x
)1
2
(ln
|
-
=
=
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线
)2/
,2/π
θ
ρ
ρπ
θe
e（
）
，
在（=
=
处切线的直角坐标方程。
解：
1
|'
),
,0(
|)
,
(,
sin
cos
2/
2/
2/
-
=
=
??
?
?
?
=
=
=
=π
θ
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
y
e
y
x
e
y
e
x
x
e
y-
=
-2/π
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求
)1('
),1(
)6('
),
6(f
f
f
f或
，等式取x->0的极限有：f(1)=0
)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim
0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题
6.已知x
e x
f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，
)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令
??
?<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。
7.
2
3
)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域
),1()1,(+∞-∞∈ x
：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''3
00'+===?===?=x y x x y x x y
8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：
101'arctan 2/2
2-==?++=+x x e x
x x y x
与驻点π，
2)2(-=-=x y x e y 与渐：π
D.幂级数展开问题
9.?=-x x dt t x dx d 0
2
2sin )sin(
???=???++-+???+-=-?
??++--+???+-=-+---+???+-+--=-???++--+???+---=----+-x n n n n
x
n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02
)
12(2622147302
141
732
)
12(262
2
sin )!
12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!
12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!
12()()1()(!31)()sin(
或：
2
0202sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-?
=-??
10.求
)0(0)1ln()()(2n f n x x x x f 阶导数处的在=+=
解：)(2)1(32()1ln(22
1322
2
---+--+???-+-=+n n n x o n x x x x x x x =)(2)1(321543
n n
n x o n x x x x +--+???-+--
2!
)1()0(1
)
(--=∴-n n f n n
E.不等式的证明
11.
设
)
1,0(∈x ，
21
1)1ln(112ln 1)1(ln )122<
-+<-<++x x x x x ，求证（
证：1）令
0)0(,)1(ln )1()(2
2=-++=g x x x x g
；得证。
单调下降，单调下降
单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)
1()
1ln(2)('''),(''),('2
<<<∈∴==<++-
=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g
2）令
单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1
)1ln(1)(<∈-+=
x h x x x x h
F.中值定理问题
12.设函数
]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，
0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：32)('''!31
)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++
+=
其中
]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有)
('''61
)0(''21)0()1(1)('''61
)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+
=-=
两式相减：
6)(''')('''21=+ηηf f
3
)](''')('''[21
)('''][2121=+=?∈?ηηξηηξf f f ，，
13.2
e b a e <<<，求证：
)(4
ln ln 222a b e a b ->
-
证：
)
(')
()(:
ξf a b a f b f Lagrange =--
令
ξ
ξ
ln 2ln ln ,ln )(222
=
--=a b a b x x f
令
2
2
22ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==
ξξ?ξ???
)(4
ln ln 222a b e a b ->
- （关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.
23
)0('',11ln
)(2
-
=+-=y x x x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+?????==x y t e y t
e x t
t
处切线为在
3.
e x y x x e x y 1)0)(1ln(+
=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x
证：令322
2
)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x x x g x g x g x x x x g -=
---=
02)1(''0)1(')1(>===g g g ，
00'),,1(0
'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴??
?>∞∈<∈?>????>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x
第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.
?
?
+-=--=-C x x dx x x dx 2
2
arcsin
)2(4)
4(2
2.
???
+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e x x x x tan tan 2sec )1(tan 222222
3.设
x x x f )
1ln()(ln +=
，求?dx x f )(
解：
??
+=dx e e dx x f x
x )
1ln()(
?+++-=+-++=--C e e x dx e e e e x
x x
x x
x
)1ln()1()11()1ln(
4.
?
?∞
∞>-∞
+=+-+-=1
121
22ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π
B.积分性质
5.
)(x f 连续，?=1
0)()(dt xt f x ?,且A
x x f x =>-)(lim
，求
)(x ?并讨论)('x ?在0=x 的连续性。
解：x
dy y f x xt y f x
?=
?===0
)()(,0)0()0(??
)0('2/)0('lim 2)0(')()()('02
????==∴=
-=
>-?A A
x
dy
y f x xf x x x
6.??---=-x x x t d t x f dx d dt t x tf dx d 02
222022)()(2)(
)()()(2
02x xf y d y f d x ?==C.积分的应用
又
)(x f 与x=1,y=0所围面积S=2。求)(x f ，且a=?时S 绕x 轴旋转体积最小。
三、补充习题（作业）
1.?+
-
-
-
=C
x
x
x
x
dx
x
x
cot
2
sin
ln
cot
sin
sin
ln
2
2.?
+
-
+
dx
x
x
x
13
6
5
2
3.?dx
x
x arcsin
第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值
4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分
1.
)
(x
f
有二阶连续偏导，
)
sin
(y
e
f
z x
=
满足
z
e
z
z x
yy
xx
2
''
''=
+
，求
)
(x
f
解：
u
u e
c
e
c
u
f
f
f-
+
=
?
=
-
2
1
)
(
''
2.
y
x
z
y
x
y
xy
f
x
z
?
?
?
+
+
=
2
)
(
)
(
1
，求
?
3.
决定
由0
)
,
,
(
),
(
)
(
),
(=
+
=
=
=z
y
x
F
y
x
xf
z
x
z
z
x
y
y
，求
dx
dz/
B.空间几何问题
4.求
a
z
y
x=
+
+
上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：
a
d
a
z
z
y
y
x
x=
?
=
+
+
/
/
/
5.曲面
21
3
22
2
2=
+
+z
y
x
在点
)2,2
,1(-
处的法线方程。
C.极值问题
6.设
),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求
),(y x z z =的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.
y x z
x y g y x xy f z ???+=2),(),(求
2.
x z x y g y x xy f z ??+=求)),(,
(
3.
dz x y
y x u u z 求,arctan
,ln ,22=+==??
第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
??
?????????=D
r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)
(2)(1)(2)
(1),(),(),(θθθθθθ
???
?????????????
?
??=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr
z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθ?θ??θ?θθθθθ??θ?θθθ)(2)(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2)
,(1)(2)(1)
,(2),(1sin ),,(),,(),,(),,(
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
??
++=?=D
y x dxdy
z z A y x f z 22''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
?
?????
???
??+?=+????==+?==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt
y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()
(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
???????????????=???=?++==L
S
S V
Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2),(:
二、题型与解法
A.重积分计算
1.Ω+=???Ω,)(22dV y x I 为平面曲线?
??==022x z y 绕z 轴旋转一周与z=8的围
域。
解：
3
1024)(20
220
8
22
28
22
π
θπ
=
=+=?
?????≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.
??
--+=D D
dxdy y x a y x I ,42
2222为
)
0(22>-+-=a x a a y 与
x y -=围域。
（
)2116(
2
2
-=πa I
3.
??
?≤≤≤≤=其他,00,21,),(2x
y x y x y x f ，
求
??≥+D
x
y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)
B.曲线、曲面积分
4.
?-++-=L
x x dy
ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (
)0,0(2)0,2(2O x ax y a A L 至沿从-=
解：令
A y O L 至沿从01=
3
220
1
1
2
)22
(
)()(a b a dx bx dxdy a b I a
D
L L L π
π
-
+=---=-=
?????+
5.
?
+-=L y x ydx xdy I 224,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向
??
?==θθ
sin cos 2:1r y r x L ， π
==∴=-=?
?
?
??-1
1
1
0L L
L L
L L
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
0)()(2=--??
S
x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ，且
)(x f 在
x>0有连续一阶
导数，1
)(lim 0=+
>-x f x ,求
)(x f 。
解：
????????Ω
Ω
--+=??=?=s
x dV
e x x
f x xf x f dV F S d F ))()(')((02
)
1(1)11('2-=?=-+x
x x e x e y e x y x y
第六讲 常微分方程 一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
2.高阶方程 会求
))(')(',('')),(')(',(''),()(y p y y y f y x p y y x f y x f y n ===== 3.二阶线性常系数
???
??+=→±=+=→=+=→≠?=++?=++)sin cos ()(0
0'''2112112121121221x c x c e y i e x c c y e c e c y q p q py y x x
x x βββαλλλλλλλαλλλ(齐次)
??
?
??=→==→==→≠?=x n x
n x
n x
n e x x Q y and xe x Q y or e x Q y e x P x f ααααλλαλλαλα22212212)()()()()((非齐次)
?????=+=→=±+=→≠±?+=),max((sin )(cos )((sin )(cos )(()
sin )(cos )(()(22j i n x x r x x q xe y i x x r x x q e y i x x p x x p e x f n n x
n n x
j i x ββλβαββλβαββααα(非齐
次)
二、题型与解法 A.微分方程求解
1.求0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 通解。（
)3
22c x y x xy =-- 2.利用代换
x
u
y cos =
化简
x e x y x y x y =+-cos 3sin '2cos ''并求通解。
（
x e x c x x c y e u u x
x
cos 5sin 2cos 2cos ,4''21+
+==+） 3.设)(x y y =是上凸连续曲线，),(y x 处曲率为
2
'11
y +，且过
)1,0(处切线方
程为y=x+1，求
)(x y y =及其极值。
解：
2ln 21
1,2ln 211|)4
cos(
|ln 01'''max 2+=+
+-=?=++y x y y y π
三、补充习题（作业）
1.已知函数
)(x y y =在任意点处的增量
)1(,)0(),(12y y x o x x y y 求π=?++?=
?。(4
π
πe ）
2.求
x
e
y y 24''=-的通解。（
x
x x xe e c e c y 2222141+
+=-）
3.求
)1(
),0
(0
)
(2
2=
>
=
-
+
+y
x
xdy
dx
y
x
y
的通解。（
)1
(
2
1
2-
=x
y
）
4.求
1
)0('
)0(
,0
'
2
''2=
=
=
-
-y
y
e
y
y x
的特解。（
x
e
x
y2
)
2
3(
4
1
4
1
+
+
=
第七讲无穷级数
一、理论要求
1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p级数敛散条件
正项级数的比较、比值、根式判别法
交错级数判别法
2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）
Taylor与Maclaulin展开
3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理
会求
],
[l l-
的Fourier级数与
],0[l
正余弦级数
第八讲线性代数
一、理论要求
1.行列式会用按行（列）展开计算行列式
2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）
矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式
矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆
矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价
用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法
掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示
掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩
了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法
了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件
理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换
二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法
了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲概率统计初步
一、理论要求
1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算
会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式
2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念
理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度
掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度
会求两个随机变量简单函数的分布
4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念
掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理
了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理
6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩
了解
2
χ
分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念
了解正态分布的常用抽样分布
7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性
会求单个正态总体的均值和方差的置信区间
8.假设检验掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
第十讲总结
1.极限求解
变量替换（
∞
1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，
等价小量替换）
1.
2
)
)1
(
(
...
)
2
(
)
[(
1
lim
a
x
n
a
n
x
n
a
x
n
a
x
n
n
+
=
-
+
+
+
+
+
+
∞
>
-(几何级数)
2.
2/
/1
)
arccos
2
(
limπ
π
-
>
-
=e
x x
x(对数替换)
3.
2
tan
1
)
2(
lim
x x
x
π
-
>
-
4.
2
1
)
6
3
(
lim
-∞
>
-+
+x x x
x
5.
2
1
)
(
)
(
)
(
lim
a
x
a
x
na
a
x n
n
n
a
x-
-
-
--
>
-
6.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
>
=
<
-
=
?
)0
(
cos
,4
,
2
cos
1
)
(
2
x
x
tdt
x
x
x
x
x
f
x
，求
)
(
lim
x
f
x>
-
2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导
1.
]'
)
(
)
(
)
[(b
a
x
a
x
x
b
b
a
2.
)
sin(
arctan=
-
-
+y
x
x
x
y
，求dy/dx
3.??
?
?
?
=
=
t
e
y
t
e
x
t
t
sin
cos
决定函数
)
(x
y
y=
，求dy
4.已知
1
ln
22=
-y
y
x
，验证
'
)1
2(
42
2=
-
+y
y
x
xy
5.
bx
x
v
v
u
e
y u sin
,
ln
3
1
,3
2=
=
=
,求x
y'
3.一元函数积分
1.求函数
?
+
-
+
=x dt
t
t
t
x
I
021
1
3
)
(
在区间
]1,0[
上的最小值。（0）
2.?-
-
-
2
2
2
|1
|
1
dx
x
x
3.?-
1
2/3
2)
1dx
x
（
4.?
+
dx
x
x)
1(
1
5.?
-1
2
t
t
dt
6.?
-
+
dx
x
x
2
4
1
4
1
4.多元函数微分
1.
)
,
(
2
xy
e
y
x
f
z=
，求y
x
z
z','
2.
)
,
(y
x
z
z=
由
)
,
(=
+
+
x
z
y
y
z
x
F
给出，求证：
xy
z
yz
xz
y
x
-
=
+'
'
3.求
xy
y
x
y
x
u2
)
,
(2
2+
-
=
在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。
4.
)
ln(
sin y
x
x
u+
=
，求
y
x
u
?
?
?2
6.证明
)
(
2
x
y
f
x
z n
=
满足
nz
yz
xz
y
x
=
+'
2
'
7.求
18
:
4
4
)
,
(2
2
2
2≤
+
-
-
-
=y
x
D
y
x
y
x
y
x
f在
内的最值。
5.多元函数积分
1.求证：
b
rot
a
a
rot
b
b
a
div
-
=
?)
(
2.
??≤
+
-
-
=
D
y
y
x
D
dxdy
y
x
I2
:
,
)
4(2
2
3.
??≤
+
+
=
D
y
y
x
D
dxdy
y
x
I2
:
,
)
(2
2
4.改变积分次序
?
?+
-
2
2
1
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx
5.
??=
=
=
=
D
xy
x
y
x
D
dxdy
y
x
I1
,
2
,2
:
,
)
(2
围域。
6.常微分方程
1.求
1
ln
12
2=
+
+
+
+dx
y
dy
xdx
y
通解。
2.求
x
e
y
y
y3
2
5
'
2
''=
+
+
通解。
3.求
x
e
y
y
y2
6
5
'
2
''=
-
-
通解。
4.求
)
(
)
(2
2=
+
+
-dy
x
xy
dx
y
y
x
通解。
5.求
)0(
)0('
),
2
cos
(
2
1
4
''=
=
-
=
+y
y
x
x
y
y
特解。
6.求
1
)0('
,,0
)0(
,
4
''=
=
=
-y
y
xe
y
y x
特解。
《高等数学考研题型分析》
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
高等数学教材(较完整)
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：
高等数学(一)》复习资料-姜作廉
一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断） （一）、单项选择部分 1．函数x x x f )321 ()321 ()(-++=为（）。 （A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数 ★考核知识点:函数的性质，参见P4-7 附1.1.1（考核知识点解释及答案）： 函数的基本特性： 有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈?，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。 如果对D x ∈?，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。 单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈?21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤ ，就称上在D x f )(为单调递增函数。同理， 可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。 奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对 D x ∈? ，如果 (i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数； (ii)) ()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数． 周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈?，总有 则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期 计算过程如下：----(-)===f(x)x x x x x x f x =+++ 答案：（D ）偶函数。 2．函数()ln(1sin ) (0)f x x x =+→为（）。
（A ）无穷小量；（B ）无穷大量；（C ）零函数；（D ）常数函数 ★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27 附1.1.2（考核知识点解释及答案）： 当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0 x f x x 。 若0)(lim 0 =→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（A ）无穷小量。 3．函数sin 0x y x x ==在点处（）。 （A ）可导；（B ）间断；（C ）可微；（D ）连续 ★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46 附1.1.3（考核知识点解释及答案】）： 函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案：（B ）间断。 4．若()ln(2sin ),(0)f x x f '=+=则（）。 （A ）-1；（B ）0；（C ） 12 ；（D ）1 ★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63 附1.1.4（考核知识点解释及答案）： 下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3．设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5．曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 )1(22 +e 8．若3)(0-='x f ,则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛,则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12 +=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 (一）类间断 点。 １6.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
高等数学复习资料
全国教师教育网络联盟专科起点升本科 高等数学复习资料 目录 第一章函数 (1) 一、内容提要 (1) 二、典型例题 (2) 第二章极限与连续 (5) 一、内容提要 (5) 二、典型例题 (7) 第三章导数与微分 (12) 一、内容提要 (12) 二、典型例题 (14) 第四章导数的应用 (18) 一、内容提要 (18) 二、典型例题 (20) 第五章不定积分 (25) 一、内容提要 (25) 二、典型例题 (26) 第六章定积分及其应用 (30) 一、内容提要 (30) 二、典型例题 (31) 第七章多元函数微积分 (34) 一、内容提要 (34) 二、典型例题 (37)
第一章函数 一、内容提要 1、函数 （1）定义：设有两个变量x与y。当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。 （2）定义中两要素：定义域与对应法则。 定义域：自变量x的取值范围。 对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。 （3）注意两点： ①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。 ②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。 2、反函数 （1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=?(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=?(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。 （2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。 3隐函数 定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。 4、函数的简单性质 有界性，奇偶性，单调性与周期性。 5、复合函数 （1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=?(x)，而且当x在某一区间I 取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[?(x)]。 （2）几个注意的问题： ①复合函数可以简单地理解为函数的函数。有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。 ②要使复合函数y=f[?(x)]有意义，必须满足函数u=?(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。 6、基本初等函数与初等函数 （1）基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 （2）初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
关于高等数学复习资料归纳大全
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《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303')(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 36272 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2 /300)()ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,)(cos 2 )1ln(1 2 x x t x t x += =+ 2/1002 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 20 -==>-x x a x （连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim -=---->-x x x e x x （洛必达） 2.)1 sin 1( lim 0 x x ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 2 2 =--->-?x x t x e dt e x （洛必达与微积分性质） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
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一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学基础期末复习资料全
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).
6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.
13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降
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《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
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一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
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高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未指定书签。 1、集合的概念····································································错误!未指定书签。 2、常量与变量····································································错误!未指定书签。 2、函数·············································································错误!未指定书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未指定书签。 4、反函数··········································································错误!未指定书签。 5、复合函数·······································································错误!未指定书签。 6、初等函数·······································································错误!未指定书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未指定书签。 8、数列的极限····································································错误!未指定书签。 9、函数的极限····································································错误!未指定书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未指定书签。
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高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
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高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 (4) 1、集合的概念 (4) 2、常量与变量 (5) 2、函数 (6) 3、函数的简单性态 (6) 4、反函数 (7) 5、复合函数 (8) 6、初等函数 (8) 7、双曲函数及反双曲函数 (9) 8、数列的极限 (11) 9、函数的极限 (12) 10、函数极限的运算规则 (14) 3
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 4
高等数学B(上)复习资料
华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导 一、 求函数值 例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： 0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时, ~ln(1)~x x x e +-1 211cos ~,2x x -1 1~2 x -
无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用 相应的等价无穷小替换 例题： 1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3 200(3)lim lim 270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？ 解：原式=03lim 3x x x →= 3、201-cos lim x x x →=？ 解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2x x x →=
4、0ln(13) lim x x x →+=？ 解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？ 解：当201~2x x e x →-， 原式=.02lim 2x x x →=. 三、 多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率 曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 000()()()y f x f x x x '-=- 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：