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平面图形的几何性质

平面图形的几何性质
平面图形的几何性质

附录A 平面图形的几何性质

§A-1 引言

不同受力形式下杆件的应力和变形,不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸,而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形,以及研究失效问题时,都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等,统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时,完全不考虑研究对象的物理和力学因素,作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系

任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面

积微元dA,该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、

y。定义下列积分:

(A-1)

分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或

静矩,其单位为

如果将dA视为垂直于图形平面的力,则ydA和

zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩;

则分别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力,则形心即为合力的作用点。

为形心坐标,则根据合力之矩定理

(A-2)

(A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。

根据上述定义可以看出:

1.静矩与坐标轴有关,同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正;对另外某些坐标轴为负;对于通过形心的坐标轴,图形对其静矩等于零。

2.如果已经计算出静矩,就可以确定形心的位置;反之,如果已知形心位置,则可计算图形的静矩。

实际计算中,对于简单的、规则的图形,其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形,则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形);然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩,并求其代数和;再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即:

(A-4)

(A-5)

§A-3惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径

图A-1中的任意图形,以及给定的Oxy坐标,定义下列积分:

(A-6)

(A-7)

分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。

定义积分

(A-8)

为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。

定义积分

(A-9)

为图形对于通过点O的一对坐标轴x、y的惯性积。

定义

,

分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。

根据上述定义可知:

1.惯性矩和极惯性矩恒为正;而惯性积则由于坐标轴位置的不同,可能为正,也可能为负。三者

的单位均为或。

2.因为=+,所以由上述定义不难得出

=+ (A-10)

3.根据极惯性矩的定义式(A-8),以及图A-2中所示的微面积取法,不难得到圆截面对其中心的极惯性矩为

(A-11)

(A-12)

式中,d为圆的直径;R为半径。

类似地,还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为

, (A-13)

式中,D为圆环外径;d为内径。

4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7),注意微面积的取法(图A-3所示),不难求得矩形对于平行其边界的轴的惯性矩:

, (A-14)

根据式(A-10)、(A-11),注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩,便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为

(A-15)

对于外径为D、内径为d的圆环截面,

(A-16)

应用上述积分,还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。

必须指出,对于由简单几何图形组合成的图形,为避免复杂数学运算,一般都不采用积分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系,由求和的方法求得。

§A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理

图A-4中所示之任意图形,在坐标系Oxy系中,对于x、y轴的惯性矩和惯性积为

另有一坐标系Ox1y1,其中x1和y1分别平行于x和y

轴,且二者之间的距离为a和b。

所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴的惯性矩、惯性积,求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。

下面推证二者间的关系。

根据平行轴的坐标变换

将其代人下列积分

,

展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义,得

(A-17)

如果x、y轴通过图形形心,则上述各式中的

==0。于是得

(A-18)

此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中,式(A-18)表明:

1.图形对任意轴的惯性矩,等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩,加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。

2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积,等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积,加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。

3.因为面积及a2、b2项恒为正,故自形心轴移至与之平行的任意轴,惯性矩总是增加的。

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标,故二者同号时abA为正,异号时为负。所以,移轴后惯性积有可能增加也可能减少。

§A-5惯性矩与惯性积的转轴定理

所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时,图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性积分别为、和。

现将Oxy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α角,得到一新的坐标系,记为Ox1y1。要考察的

是图形对新坐标系的、、与、、之间的关系。

根据转轴时的坐标变换:

于是有

将积分记号内各项展开,得

(A-19)

改写后,得

(A-20)

上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。

若将上述与相加,不难得到

这表明:图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关,即在轴转动时,其和保持不变。

上述式(A-19)、(A-20),与移轴定理所得到的式(A-18)不同,它不要求x、y通过形心。当然,对于绕形心转动的坐标系也是适用的,而且也是实际应用中最感兴趣的。

§A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩

从式(A-19)的第三式可以看出,对于确定的点(坐标原点),当坐标轴旋转时,随着角度α的改变,惯性积也发生变化,并且根据惯性积可能为正,也可能为负的特点,总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴,图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α0,令式(A-19)中的第三式为零,

由此解得

(A-21)

(A-22)

如果将式(A-20)对α求导数并令其为零,即

同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当α改变时, 、的数值也发生变化,而当α=α0时,二者分别为极大值和极小值。

定义过一点存在这样一对坐标轴,图形对于其惯性积等于零,这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩,简称主惯性矩。显然,主惯性矩具有极大或极小的特征。

根据式(A-20)和(A-21),即可得到主惯性矩的计算式

(A-23)

需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴,而通过形心的主轴称为形心主轴,图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。

当图形有一根对称轴时,对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图A-6所示的具有一根对称轴的图形,位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形

的惯性积,二者数值相等,但反号。所以,整个图形对于x、y轴的惯性积=0,故图A-6对称轴为主轴x、y为主轴。又因为C为形心,故x、y为形心主轴。

§A-7组合图形的形心、形心

主轴

工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性

矩,即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此必

须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。

因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方

形、圆形等)所组成,所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中,均不采用积分,而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行。

·将组合图形分解为若干简单图形,并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。

·以形心为坐标原点,设Ozy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩,利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩

和惯性积,相加(空洞时则减)后便得到整个图形的、和。

·应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置,即形心主轴与x轴的夹角α0。

·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩和。

可以看出,确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2~§A-6全部知识的过程。

§A-8例题

例题A-1截面图形的几何尺寸如图A-7所示。试求图中具有断面线部分的I x、I y。

解: 根据积分定义,具有断面线的图形对于x、y轴的惯性矩,等于高为h、宽为b的矩形对于x、

y轴的惯性矩减去高为的矩形对于相同轴的惯性矩,即

上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的情形,计算比较简捷。

例题A-2 T形截面尺寸如图A-8a所示。试求其形心主惯性矩。

解:1.分解为简单图形的组合。

将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和II。

2.确定形心位置

首先,以矩形I的形心C1为坐标原点建立如图A-8b所示的C1xy坐标系。因为y轴为T字形的对称轴,故图形的形心必位于该轴上。因此,只需要确定形心在y轴上的位置,即确定y c。根据式(A-5)的第二式,形心C的坐标

3.确定形心主轴

因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴,所以以形心C为坐标原点建立如图A-12c 所示的Cx0y0坐标系,其中y0通过原点且与对称轴重合,则x0、y0即为形心主轴。

4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩

根据惯性矩的积分定义,有

例题A-3 图A-9a 所示为一薄壁圆环截面,D 0为其平均直径,δ为厚度,若δ、D 0均为已知,试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。

解:求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法,即

其中, 。

对于 的薄壁圆环截面,为了使公式简化,可采用近似方法计算。

取积分微元dA 如图A-9b 所示。根据惯性矩的定义,得到

第5章 平面图形的几何性质

5.1 静矩和形心

5.1.1 静矩

任意平面图形如图5-l 所示,其面积为A 。y 轴和z 轴为图形所在平面内的任意直角坐标轴。取微面积d A ,d A 的坐标分别为y 和z ,z d A 、y d A 分别称为微面积对y 轴、z 轴的静矩。遍及整个面积A 的积分

???

??==??A z A y A y S A z S d d (5-1)

分别定义为平面图形对y 轴和z 轴的静矩。 由式(5-1)可见,随着坐标轴y 、z 选取的不同,

静矩的数值可能为正,可能为负,也可能为零。静矩的量纲是长度的三次方。

图5-1

5.1.2 形心

设想有一个厚度很小的均质薄板,薄板中间面的形状与图5-1的平面图形相同。显然,在yz 坐标系中,上述均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标y 和z 。由静力学的力矩定理可知,薄板重心的坐标y 和z 分别是

???????

==

??A A z Z A A y y A

A d d (5-2) 式(5-2)就是确定平面图形的形心坐标的公式。

利用式(5-1)可以把式(5-2)改写成

A S y z =,A

Sy

z =

(5-3) 所以,把平面图形对z 轴和y 轴的静矩,除以图形的面积A 就得到图形形心的坐标y 和z 。把式(5-3)改写为

z A S y =,y A S z = (5-4) 这表明,平面图形对y 轴和z 轴的静矩,分别等于图形面积A 乘图形形心坐标z 和y 。

由式(5-3)和式(5-4)看出,若0=z S 和0=y S ,则0=y 和0=z 。可见,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心;反之,若某一轴通过形心,则图形对该轴的静矩等于零。通过形心的轴称为形心轴。

例5-1 图5-2中抛物线的方程为???

?

??-=221b y h z 。计算由抛物线、y 轴和z 轴所围成的平

面图形对y 轴和z 轴的静矩y S 和z S ,并确定图形的形心C 的坐标。

图5-2

解 取平行于z 轴的狭长条作为微面积d A (图5-2a),则有

dy 1dy d 2

2

???

? ?

?-==b y h z A 图形的面积及对z 轴的静矩分别为

32d 1d 022bh y b y h A A b A =????

??-==?? 412022h b dy b y yh ydA S b

A z =???

? ??-==?? 代入式(5-3),得

b A S y z 8

3==

取平行于y 轴的狭长条作为微面积如图5-2b 所示,仿照上述方法,即可求出

1542bh S y =,h z 5

2=

5.1.3 组合图形的静矩和形心

当一个平面图形是由若干个简单图形 (例如矩形、圆形、三角形等) 组成时,由静矩的

定义可知,图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和,等于整个图形对同一轴的静矩,即

∑==n

i i i z y A S 1

,∑==n

i i i y z A S 1

(5-5)

式中,i A 和i y 、i z 分别表示第i 个简单图形的面积及形心坐标;n 为组成该平面图形的简单图形的个数。

若将式(5-5)代入式(5-3),则得组合图形形心坐标的计算公式

∑∑===

n

i i

n

i i

i A y A y 1

1,∑∑===

n

i i

n

i i

i A z A z 1

1 (5-6)

例5-2 试确定图5-3所示平面图形的形心C 的位置。

图 5-3 图 5-4

解 将图形分为Ⅰ、Ⅱ两个矩形,如图取坐标系。两个矩形的形心坐标及面积分别为 矩形Ⅰ

5m m m m 210

1==y

60m m m m 2

1201==z

221m m 1200m m 12010=?=A

矩形Ⅱ

5mm 4mm 270102=??? ?

?

+=y

5m m m m 2

10

2==

z 222700m m m m 7010=?=A

应用式(5-6),得形心C 的坐标()z y 、为

19.7mm mm 700120045

70051200212211=+?+?=++=A A y A y A y

39.7mm mm 700

12005

700601200212211=+?+?=++=

A A z A z A z

形心C ()z y 、的位置,如图5-3所示。

例5-3 某单臂液压机机架的横截面尺寸如图5-4所示,试确定截面形心的位置。 解 截面有一个垂直对称轴,其形心必然在这一对称抽上,因而只需确定形心在对称轴上的位置。把截面图形看成是由矩形ABED 减去矩形abcd ,并以ABED 的面积为1A ,abcd 的面积为2A 。以底边EC 作为参考坐标轴y 。

221m 204.1m 86.04.1=?=A

m 7.0m 2

4

.11==

z ()()222m 105.1m 016.005.04.1016.0286.0=--??-=A

()m 717.0m 05.0016.005.04.1212=??

?

???+--=z

由式(5-6),整个截面图形的形心C 的坐标z 为

m 51.0m 105

.1204.1717

.0105.17.0204.1212211=-?-?=--=

A A z A z A z

5.2 惯性矩 惯性积 惯性半径

5.2.1 惯性矩、惯性半径

任意平面图形如图5-5所示,其面积为A ,y 轴和z 轴为图形所在平面内的一对任意直

角坐标轴。在坐标为(y ,z)处取一微面积d A ,z 2d A 和y 2

d A 分别称为微面积d A 对y 轴和z 轴的惯性矩,而遍及整个平面图形面积A 的积分

??

?

??==??A z A y dA y I dA z I 2

2 (5-7) 分别定义为平面图形对y 轴和z 轴的惯性矩。

图5-5

在式(5-7)中,由于y 2

、z 2

总是正值,所以y I 、z I 也恒为正值。惯性矩的量纲是长度的四次

方。

工程上,为方便起见,经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积,即

2

y

y Ai I = 2z z Ai I =

或改写为

A

I i y y =

,A

I i z

z =

式中,y i ,z i 分别称为图形对y 轴和z 轴的惯性半径,其量纲为长度。

如图5-5所示,微面积d A 到坐标原点的距离为ρ,定义

?=A A I d 2ρρ (5-10)

为平面图形对坐标原点的极惯性矩。其量纲仍为长度的四次方。由图5-5可以看出

()

z y A A A A I I A y A z A z y A I +=+=+=ρ=????ρd d d d 22222 (5-11)

所以,图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩。 5.2.2 惯性积

在图5-5所示的平面图形中,定义yz d A 为微面积d A 对y 轴和z 轴的惯性积。而积分式

?=A yz A y I zd (5-12) 定义为图形对y 、z 轴的惯性积。惯性积的量纲为长度的四次方。

由于坐标乘积职y 、z 可能为正或负,因此,yz I 的数值可能为正,可能为负,也可能等于零。

若坐标轴y 或z 中有一个是图形的对称袖,例如图5-6中的z 轴。这时,如在z 袖两侧的对称位置处,各取一微面积d A ,显然,两者的z 坐标相同,y 坐标则数值相等而符号相反。因而两个微面积的惯性积数值相等,而符号相反,它们在积分中相互抵消,最后导致

0zd ==?A yz A y I 所以,两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴,则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零。

图 5-6

例5-4 试计算矩形对其对称轴y 和z (图5-7)的惯性矩。矩形的高为h ,宽为b 。

图5-7

解 先求对y 轴的惯性矩。取平行于y 铀的狭长条作为微面积d A 。则

z b A d d =

12

d 3

22

22

bh z bz dA z I A h

h y ===??

- 用完全相同的方法可以求得

12

3

hb I z = 若图形是高为h 宽为b 的平行四边形(图5-8),它对形心轴y 的惯性矩仍然是12

3

bh I y =。

图5-8 图5-9

例5-5 计算圆形对其形心轴的惯性矩。

解 取d A 为图5-9中的阴影部分的面积,则

z z R z y A d 2d 2d 22-==

64

4d 24

42

2

22

D R z z R z dA z I A R

R

y π=π=-==??

-

z 轴和y 轴都与圆的直径重合,由于对称性,必然有

64

4

D I I z y π==

由公式(5-11),显然可以求得

32

4

D I I I z y π=+=ρ

式中ρI 是圆形对圆心的极惯性矩。这里又得出与式(4-14)相同的结论。

对于图5-10所示的环形图形,由公式(4-15)知

图5-10 ()

4432

d D I -π=ρ

又由公式(5-11)并根据图形的对称性

()

4464

21d D I I I z y -π==

=ρ 对于例5-4、5-5的矩形、圆形及环形,y 轴及z 轴均为其对称轴,所以其惯性积yz I 均为零。

5.2.3 组合图形的惯性矩及惯性积

根据定义可知,组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和;组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为

()()()

????

?

????===∑∑∑===n

i i yz yz n i i z z n

i i y

y I I I I I I 111 (5-13)

式中,()i y I 、()i z I 、()i yz I 分别为第i 个简单图形对y 轴和z 轴的惯性矩和惯性积。

例如可以把图5-10所示环形图形,看作是由直径为D 的实心圆减去直径为d 的圆,由

式(5-13),并应用例5-5所得结果即可求得

()

4464

d D I I z y -π

==

例5-6 两圆直径均为d ,而且相切于矩形之内,如图5-11所示。试求阴影部分对y 铀的惯性矩。

图5-11

解 阴影部分对y 轴的惯性矩y I 等于矩形对y 轴的惯性矩()1y I 减去两个圆形对y 轴的

惯性矩()2y I 。

()6

122431d dd I y == ()32

6424

42

d d I y π=π?=

故得

()()()96

31642

1d I I I y y

y π-=

-=

5.3 平行移轴公式

同一平面图形对于平行的两对不同坐标轴的惯性矩或惯性积虽然不同,但当其中一对轴是图形的形心轴时,它们之间却存在着比较简单的关系。下面推导这种关系的表达式。

在图5-12中,设平面图形的面积为A ,图形形心C 在任一坐标系yz 中的坐标为(y ,z ), c y 、c z 轴为图形的形心轴并分别与y 、z 轴平行。取微面积d A ,其在两坐标系中的坐标分别为y 、z 及y c 、z c ,由图5—12可见

图5-12

y y y c +=,z z z c += (a)

平面图形对于形心轴y c 、z c 的惯性矩及惯性积为

???

?

???

===???A c c A c z A c y A z y A y I A z I c c c d I d d z c y 22 (b) 平面图形对于y 、z 轴的惯性矩及惯性积为

()?????++=+==A A c A c A c A y A z A z z A z dA z z A z I d d 2d d 222

2 ()?????++=+==A A c A c A c A z A y A y y A y dA y y A y I d d 2d d 222

2

()()??????+++=++==A A c A c A c c A c c A yz A z y A z y A y z A z y dA z z y y A yz I d d d d d

上三式中的?A c A z d 及?A c A y d 分别为图形对形心轴c y 和c z 的静矩,其值等于零。A A A =?d 。再应用式(b),则上三式简化为

???

?

???

+=+=+=A z y I I A y I I A z I I c c c c z y yz z z y y 22 (5-14) 式(5-14)即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。在使用这一公式时,要注意到y 和z 是

图形的形心在yz 坐标系中的坐标,所以它们是有正负的。利用平行移轴公式可使惯性矩和惯性积的计算得到简化。

例5-7 试计算图5-11所示图形阴影部分对z 轴的惯性矩。

解 阴影部分对z 轴的惯性矩z I 等于矩形对z 轴的惯性矩()1z I 减去两个圆形对z 袖的惯性矩()2z I 。

()()3

2122431

d d d I z ==

由式(5-14)可得两个圆形对z 轴的惯性矩为

()325426424

4242d d d d I z π=???

?????π??? ??+π= 故得阴影部分对z 轴的惯性矩为

()()()96

1564325324

4421d d d I I I z z z π-=π-=-=

例5-8 试计算图5-13所示图形对其形心轴y c 的惯性矩()

c y I 。

图5-13 图5-14

解 把图形看作由两个矩形I 和Ⅱ组成。图形的形心必然在对称轴上。为了确定z

,取

通过矩形Ⅱ的形心且平行于底边的参考轴为y 轴

m

04670m 02

010*******

02010080020140 2

12211..........A A z A z A z =?+???+??=

++=

形心位置确定后,使用平行移轴公式,分别计算出矩形I 和Ⅱ对y c 轴的惯性矩

()()4

64231m 1069.7m 14.002.00467.008.014.002.0121-?=??

???

???-+??=c y I

()4

64232m 1043.4m 02.01.00467.002.01.0121-?=??

???

???+??=c y I

整个图形对c y 轴的惯性矩为

()()46466m 1012.12m 1043.41069.7---?=?+?=C y I

例5-9 计算图5-14所示三角形OBC 对y 、z 轴和形心轴y c 、z c 的惯性积。

解 三角形斜边BC 的方程式为

()h

b z h y -=

取微面积

z y A d d d =

三角形对y 、z 轴的惯性积yz I 为

()24

d 2 d d d 222

22

00h b z z h z h

b y y z z A yz I h y

A h

yz =

-=

==?

???

三角形的形心C 在yz 坐标系中的坐标为??

?

??33h b ,,由式(5-14)得

72

23324 332

22

2h b bh h b h b A

h b I I yz z y C C -=???

????? ????? ??-=

???

????? ??-=

5.4 转轴公式

当坐标轴绕原点旋转时,平面图形对于具有不同转角的各坐标抽的惯性矩或惯性积之间

存在着确定的关系。下面推导这种关系。

图5-15

设在图5-15中,平面图形对于y 、z 轴的惯性矩y I 、z I 及惯性积yz I 均为已知,y 、z 轴绕坐标原点O 转动α角(逆时针转向为正角)后得新的坐标轴αy 、αz 。现在讨论平面图形对 αy 、αz 轴的惯性矩αy I 、αz I 及惯性积ααz y I 与已知y I 、z I 及yz I 的之间的关系。

在图5-15所示的平面图形中任取微面积d A ,由几何关系可得

?

??

α-α=α+α=ααsin cos cos sin y z z y z y (a)

据定义,平面图形对αy 轴的惯性矩为

()()?????αα-α+α=α-α==ααA A A A A y A

yz A y A z A

y z A z I d cos sin 2d sin d cos d sin cos d 2

2

2

2

22 (b)

注意等号右侧三项中的积分分别为

y A I A z =?d 2、z A I A y =?d 2

、yz A I A yz =?d

将以上三式代入式(b)并考虑到三角函数关系

()α+=α2cos 121cos 2,()α-=α2cos 121

sin 2

α=αα2sin cos sin 2

可以得到

()α-α-++=α2sin 2cos 22yz z y z y y I I

I I I I (5-15)

同理,将(a)代入()αz I ,ααz y I 表达式可得

()α+α--

+=

α2sin 2cos 2

2yz z

y z y z I I I I I I (5-16)

α+α-=

αα2cos 2sin 2

yz z

y z y I I I I (5-17) 式(5-15)、式(5-16)及式(5-17)即为惯性矩及惯性积的转轴公式。

式(5-15)、式(5-16)相加得

()

αy I +()αz I =z y I I + (5-18)

式(5-18)表明,当α角改变时,平面图形对互相垂直的一对坐标轴的惯性矩之和始终为一常量。由式(5-11)可见,这一常量就是平面图形对于坐标原点的极惯性矩ρI 。

例5-10 求矩形对轴0αy 0αz 的惯性矩和惯性积,形心在原点O(图5-16)。

图5-16

解 矩形对y 、z 轴的惯性矩和惯性积分别为

123ab I y =,12

3

ba I z =,0=yz I 由转轴公式得

()()()

2

222002cos 24

24 2sin 2cos 2

20

αααα

a

b ab b a ab I I I I I I yz z

y z y y -++=--+

+=

材料力学习题册答案-附录+平面图形几何性质

附录 截面图形的几何性质 一、是非判断题 ⒈ 图形对某一轴的静矩为零,则该轴必定通过图形的形心。( √ ) ⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。( × ) ⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。( √ ) ⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。( √ ) 二、填空题 ⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。 ⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和,恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。 ⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴,则这一对轴为图形 主惯性轴 。 ⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴。 三、选择题 ⒈ 图形对于其对称轴的( A ) A 静矩为零,惯性矩不为零; B 静矩和惯性矩均为零 C 静矩不为零,惯性矩为零; D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径i =( C )。 A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z 的惯性矩Z I =( C )。 A 123234dD D -π B 6323 4dD D -π C 126434dD D -π D 6643 4dD D -π z

四、计算题 1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩。 232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+??= () 8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=??+??? ??-+?-?= 2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩。 4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ?=??+?+??+?=+= 由于图形对称,4 51023.2mm I I Z Y ?=== 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置,并求形心主惯性矩。 mm y C 7.56100 20201401010020902010=?+???+??= 4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020m m I I I II I Z ?=??+?+??+?=+=46331076.112 100201220140mm I Y ?=?+?= z z z

【初一上册数学《几何图形初步》知识点总结】 七年级数学几何图形初步知识点

【初一上册数学《几何图形初步》知识点总结】七年级数学几何图形初步知识点 一、目标与要求 1.能从现实物体中抽象得出几何图形,正确区分立体图形与平面图形;能把一些立体图形的问题,转化为平面图形进行研究和处理,探索平面图形与立体图形之间的关系。 2.经历探索平面图形与立体图形之间的关系,发展空间观念,培养提高观察、分析、抽象、概括的能力,培养动手操作能力,经历问题解决的过程,提高解决问题的能力。 3.积极参与教学活动过程,形成自觉、认真的学习态度,培养敢于面对学习困难的精神,感受几何图形的美感;倡导自主学习和小组合作精神,在独立思考的基础上,能从小组交流中获益,并对学习过程进行正确评价,体会合作学习的重要性。 二、知识框架 三、重点 从现实物体中抽象出几何图形,把立体图形转化为平面图形是重点; 正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面,探索点、线、面、体之间的关系是重点; 画一条线段等于已知线段,比较两条线段的长短是一个重点,在现实情境中,了解线段的性质两点之间,线段最短是另一个重点。 四、难点 立体图形与平面图形之间的转化是难点; 探索点、线、面、体运动变化后形成的图形是难点; 画一条线段等于已知线段的尺规作图方法,正确比较两条线段长短是难点 五、知识点、概念总结 1.几何图形:点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界,它们都称为几何图形。从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。有些几何图形的各部分不在同一平面内,叫做立体图形。有些几何图形的各部分都在同一平面内,叫做平面图形。虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的。 2.几何图形的分类:几何图形一般分为立体图形和平面图形。 3.直线:几何学基本概念,是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,二直线平行;有无穷多解时,二直线重合;只有一解时,二直线相交于一点。常用直线与X轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。 4.射线:在欧几里德几何学中,直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。 5.线段:指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线,如实线的线段或由长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔组成的双点长划线的线段。 线段有如下性质:两点之间线段最短。 6. 两点间的距离:连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。 7. 端点:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。 线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示,有时这些字母也表示线段长度,记作线段AB或线段BA,线段a。其中AB表示直线上的任意两点。

小学奥数:几何图形大全汇编

学习-----好资料 几何图形综合 1.如图,四边形ABCD 是直角梯形.其中AD=12(厘米),AB=8(厘米),BC=15(厘米),且△ADE ,四边形DEBF ,△CDF 的面积相等. 阴影△DEF 的面积是多少平方厘米? 2.如图,长方形ABCD 的面积是96 平方厘米,E 是AD 边上靠近 D 点的三等分点,F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米? 3.如图,把一个正方形的两边分别增加3和5厘米,米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米? 4.如图,把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和446平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米? 5.如图,在△ABC 中,AD 的长度是AB 的四分之三,AE 的长度是 AC 的三分之二.请问:△ADE 的面积是△ABC 面积的几分之几? 6.如图,在△ABC 中,BC=3CD ,AC=3AE ,那么△ABC 的面积 是△CDE 的多少倍? 7.如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的面积是3平方千米,△BOC 的面积是2平方千米,△COD 的面积是1平方千米,如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成,那么人工 湖的面积是多少平方千米? E D F B C A D E A B C E A D

学习-----好资料 8.如图,在梯形ABCD 中,AD 长9厘米,BC 长15厘米, BD 长12厘米,那么OD 长多少厘米? 9.如图,有8个半径为1厘米的小圆,用它们圆周的一部分 连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 π取3.14,那么花瓣图形的周长和面积分别是多少? 10.图中甲区域比乙区域的面积大57 其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少?(π取3.14) 11.如图,在3×3的方格表中,分别以A 、E 为圆心,3、2为半径,画出圆心角都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取 3.14) .(π取 13.下图是一个直角边长为3厘米、4 厘米的直角三角形.将该三角形一任意一条边所在直线为轴进行旋转,求所得立体图形的表面积和体积. 14.如图,已知正方形ABCD 的边长为4厘米,求阴影部分的面积. A D O B C ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

专题平面几何之圆的性质问题

备考2020中考数学高频考点剖析 平面几何之圆的性质问题 (1)垂径典例相关问题; (2)圆心角相关问题; (3)圆周角相关问题. 考点剖析 例1(2018·湖北荆州·3分)如图,平面直角坐标系中,⊙P经过三点A(8,0),O(0,0),B (0,6),点D是⊙P上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 【解答】解:连接AB,过点P作PE⊥BO,并延长EP交⊙P于点D,此时点D到弦OB的距离最大,∵A(8,0),B(0,6), ∴AO=8,BO=6, ∵∠BOA=90°, ∴AB==10,则⊙P的半径为5, ∵PE⊥BO, ∴BE=EO=3, ∴PE==4, ∴ED=9, ∴tan∠BOD==3. 故选:B. 例2(2018?乐山?3分)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最

高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)”,问这块圆形木材的直径是多少?” 如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是() A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸 解:设⊙O的半径为r. 在Rt△ADO中,AD=5,OD=r﹣1,OA=r,则有r2=52+(r﹣1)2,解得r=13,∴⊙O的直径为26寸.故选C. 例3(2018·四川自贡·4分)如图,若△ABC内接于半径为R的⊙O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC的长为() A. B. C. D. 【分析】延长BO交圆于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°;又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=R. 【解答】解:延长BO交⊙O于D,连接CD, 则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°, ∴∠CBD=30°, ∵BD=2R, ∴DC=R, ∴BC=R, 故选:D.

初中几何图形的定义性质判定

初中几何图形的定义性 质判定 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

等腰三角形定义 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形,相等的两个边称为这个三角形的腰 性质 2 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”) 3 等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简称“三线合一”) 4 等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴 判定 5 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”) 等边三角形 定义 1 三边都相等的三角形是等边三角形。 性质 2 等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性质 3 等边三角形的每个内角都等于60o 4 等边三角形是锐角三角形 5 等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴 判定

6 有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形 7 有两个角是60o的三角形是等边三角形 直角三角形 定义 1 有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形(Rt三角形)。 性质 2 在直角三角形中,两个锐角互余。 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(勾股定理) 5 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 6 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 判定 7 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为“HL”) 平行四边形 定义 1 在同一平面内,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 2 平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心 3 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分 判定 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

平面几何图形的基本概念

小学六年级数学总复习(九) 班级______ 姓名_______ 得分__________ 复习内容: ① 线和角的基本概念 ② 平面几何图形的基本概念 一、填空 1. 2. 从一点引出( ),就组成一个角,这个点叫做角的( ),这( ) 叫做角的边。 3. 两条直线相交,有一个角是直角,这两条直线叫做( ),其中一条直线叫做另一条 直线的( ),这两条直线的交点叫做( )。 4. 一个三角形有两条边相等,这个三角形叫做( )。如果这个三角形的顶角是70°, 其余两个底角各是( )度。 5. 直角度数的 31 ,等于平角度数的()(),等于周角度数的()() 。 6. 在直角三角形中,如果一个锐角的度数是另一个锐角度数的一半,那么这两个锐角的度数 分别是( )度和( )度。 7. 一个三角形的每个角都是60°,如果按角分,这个三角形是( )三角形;如果按边分, 这个三角形是( )三角形。 8. 平行四边形的两组对边( ),两组对角( )。 9. 在梯形里,互相平行的一组对边分别叫梯形的( )和( ),不平形的一组对边叫 梯形的( )。 10. 等腰三角形有( )条对称轴,等边三角形有( )条对称轴,长方形有( )条对 称轴,正方形有( )条对称轴,等腰梯形有( )条对称轴,圆有( )条对称轴。 二、判断(对的请在括号内打“√”,错的打“×”。) 1. 一条直线长10厘米。……………………………………………………( ) 2. 角的两条边越长,角就越大。………………………………………… ( ) 3. 通过圆心的线段叫做圆的直径。……………………………………… ( ) 4. 比90°大的角叫做钝角。……………………………………………… ( ) 5. 两个正方形一定可以拼成一个长方形。……………………………… ( ) 6. 四条边相等的四边形不一定是正方形。……………………………… ( ) 7. 经过两点可以作无数条直线。………………………………………… ( ) 8. 两条不平行的直线一定相交。………………………………………… ( ) 9. 平角是一条直线。……………………………………………………… ( ) 10.平行四边形没有对称轴。……………………………………………… ( )

初一数学几何图形初步认识——角的概念及计算(学案)

角的概念及计算 【知识导图】 角 钟面角 角的概念及计算 方向角 角的计算 余角和补角 知识讲解 知识点一角 (1)角的定义:有公共端点是两条射线组成的图形叫做角,其中这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边. (2)角的表示方法:角可以用一个大写字母表示,也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间,唯有在顶点处只有一个角的情况,才可用顶点处的一个字母来记这个角,否则分不清这个字母究竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字母(如∠α,∠β,∠γ、…)表示,或用阿拉伯数字(∠1,∠2…)表示. (3)平角、周角:角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形,当始边与终边成一条直线时形成平角,当始边与终边旋转重合时,形成周角. (4)角的度量:度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分,即1°=60′,1分=60秒,即1′=60″. 知识点二钟面角 (1)钟面一周平均分60格,相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟,时针1分钟走 112格,分针1分钟走1格.钟面上每一格的度数为360°÷12=30°. (2)计算钟面上时针与分针所成角的度数,一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所 处的位置,确定其夹角,再根据表面上每一格30°的规律,计算出分针与时针的夹角的度

数. (3)钟面上的路程问题 分针:60分钟转一圈,每分钟转动的角度为:360°÷60=6° 时针:12小时转一圈,每分钟转动的角度为:360°÷12÷60=0.5°. 知识点三方向角 (1)方位角是表示方向的角;以正北,正南方向为基准,来描述物体所处的方向.(2)用方位角描述方向时,通常以正北或正南方向为角的始边,以对象所处的射线为终边,故描述方位角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.(注意几个方向的角平分线按日常习惯,即东北,东南,西北,西南.) (3)画方位角:以正南或正北方向作方位角的始边,另一边则表示对象所处的方向的射线.知识点四角的计算 (1)角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和,记作:∠AOB=∠AOC+∠BOC.∠AOC是∠AOB和∠BOC的差,记作:∠AOC=∠AOB-∠BOC.②若射线OC是∠AOB的三等分线,则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB. (2)度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时,要将度与度,分与分,秒与秒相加减,分秒相加,逢60要进位,相减时,要借1化60. (3)度、分、秒的乘除运算.①乘法:度、分、秒分别相乘,结果逢60要进位.②除法:度、分、秒分别去除,把每一次的余数化作下一级单位进一步去除. 知识点五余角和补角 (1)余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角. (2)补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角. (3)性质:等角的补角相等.等角的余角相等. (4)余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联. 例题解析 类型一钟面角 【例题1】上午9时30分,时钟的时针和分针所成的角为( ) A.90° B.100° C.105° D.120°

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质,能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系;能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论,能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义,有两种方式: 错误!未找到引用源。在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心,以O 为圆心的圆记作O ,线段OA 叫做半径; 错误!未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念: 错误!未找到引用源。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图1所示 线段AB ,BC ,AC 都是弦; 错误!未找到引用源。直径:经过圆心的弦叫做直径;如AC 是O 的直径,直径是圆中最长的弦; 错误!未找到引用源。弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简 称弧,如曲线BC,BAC 都是O 中的弧,分别记作BC 和BAC ; 错误!未找到引用源。半圆:圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧,每条弧都叫做半圆,如AC 是半圆; 错误!未找到引用源。劣弧和优弧:像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧; 错误!未找到引用源。同心圆:圆心相同,半径不等的圆叫做同心圆; 错误!未找到引用源。弓形:由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形; 错误!未找到引用源。等圆和等弧:能够重合的两个圆叫做等圆,在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧; 错误!未找到引用源。圆心角:定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角,圆心角的度数:圆心角的读书等于它所对弧的度数;∠ 错误!未找到引用源。 圆周角:定点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角;如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的直线都是它的对称轴,有无数条。圆是中心对称图形,圆心是对称中心,优势旋转对称图形,即旋转任意角度和自身重合。 错误!未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦,且评分弦所对的两条弧; B. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ,(2)CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立,则另外3个业成立。因此,垂径定理也称五二三定理,即推二知三。(以(1),(3)作条件时,应限制AB 不能为直径)。 错误!未找到引用源。弧,弦,圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; B. 同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,他们所对应的其余各组量也相等; 错误!未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半; B.圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示,C 是⊙O 上一点,O 是圆心,若80AOB =∠,求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

任务七平面图形的几何性质

任务七 平面图形的几何性质 一、填空题 1. 图示B H ?的矩形中挖掉一个b h ?的矩形,则此平面图形的 z W =( 23 66z BH bh W H = - )。 2. 对图示矩形,若已知x I 、y I 、b 、h ,则 11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。 3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴,等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。 4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形,则该图形对y 轴的惯性矩为( 45 4 a )。 5.图形对所有平行轴的惯性矩中,图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。 6.对直径为d 的圆形截面,它的惯性半径为( i=d/4 )。 二、选择题 1.在下列关于平面图形的结论中,( D )是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心; B.图形两个对称轴的交点必为形心; C.图形对对称轴的静矩为零; D.使静矩为零的轴为对称轴。 2.在平面图形的几何性质中,( D )的值可正、可负、也可为零。 A.静矩和惯性矩 B.极惯性矩和惯性矩 C.惯性矩和惯性积 D.静矩和惯性积。 3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ,则当其长宽比保持不变。而面积增加1倍时,该矩形对z 的惯性矩将变为( D )。 A. 2I B. 4I C. 8I D. 16I 4.若截面图形有对称轴,则该图形对其对称轴的( A )。 A.静矩为零,惯性矩不为零 B.静矩不为零,惯性矩为零 C.静矩和惯性矩均为零 D.静矩和惯性矩均不为零 5.若截面有一个对称轴,则下列说法中( D )是错误的。 A. 截面对对称轴的静矩为零; B. 对称轴两侧的两部分截面,对对称轴的惯性矩相等; C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零; D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。 6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。 B b h H C z a 2 a y z

平面几何基础知识教程(圆)解剖

平面几何基础知识教程(圆) 一、几个重要定义 外心:三角形三边中垂线恰好交于一点,此点称为外心 内心:三角形三内角平分线恰好交于一点,此点称为内心 垂心:三角形三边上的高所在直线恰好交于一点,此点称为垂心 凸四边形:四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形:有一双对边相交的四边形叫做折四边形(如下图) (折四边形) 二、圆内重要定理: 1.四点共圆 定义:若四边形ABCD的四点同时共于一圆上,则称A,B,C,D四点共圆基本性质:若凸四边形ABCD是圆内接四边形,则其对角互补 证明:略 判定方法: 1.定义法:若存在一点O使OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆2.定理1:若凸四边形ABCD的对角互补,则此凸四边形ABCD有一外接圆证明:略 特别地,当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时,此四边形有一外接圆3.视角定理:若折四边形ABCD中,∠=∠ ADB ACB,则A,B,C,D四点共圆

证明:如上图,连CD,AB,设AC与BD交于点P 因为∠=∠ ADB ACB,所以 180 = ∠=∠ ∠=∠ ∠+∠=∠+∠+∠= ∠+∠+∠= ΔCPB∽ΔDPA 所以有 再注意到 因此Δ∽Δ 因此 由此 (ΔABD的内角和) 因此A,B,C,D四点共圆 PC PB PD PA CPD BPA CPD BPA PCD PBA BCD BAD BCA PCD BAD BDA PBA BAD 特别地,当∠=∠ ADB ACB=90时,四边形ABCD有一外接圆 2.圆幂定理: 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理:P是圆内任一点,过P作圆的两弦AB,CD,则PA PB PC PD ?=? 证明:

小学几何图形基本概念及计算公式

小学几何图形基本概念及计算公式 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,直线左右的两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.长方形(2条对称轴),正方形(4条对称轴),等腰三角形(1条),等边三角形(3条),等腰直角三角形(1条),等腰梯形(1条),圆(无数条). 点:线和线相交于点. 直线:某点在空间中或平面上沿着一定方向和相反方向运动,所画成的图形,叫做直线.直线是向相反方向无限延伸的,所以它没有端点,不可以度量. (可以用表示直线上任意两点的大写字母来记:直线AB,也可以用一个小写字母来表示:直线a) 射线:由一个定点出发,向沿着一定的方向运动的点的轨迹,叫做射线.这个定点叫做射线的端点,这个端点也叫原点.射线只有一个端点,可以向一端无限延长,不可以度量.(射线可以用表示他端点,和射线上任意一点的两个大写字母表示:射线OA)

线段:直线上任意两点间的部分,叫做线段.这两点叫做线段的端点,线段有长度,可以度量.(线段可以用两个端点的大写字母表示:线段AB,也可以用一个小写字母表示;线段a)线段的性质:在连接两点的所有线中,线段最短. 角:从一点引出两条射线所组成的图形,叫做角.这两条射线的公共端点,叫做角的顶点.组成角的两条射线,叫做角的边. 角的大小与夹角两边的长短无关. 角的分类: 直角:90度的角叫做直角 平角:一条射线由原来的位置,绕它的端点按逆时针方向旋转,到所成的角的终边和始边成一直为止,这时所成的角叫做平角.或者角的两边的方向相反,且同在一条直线上时的角叫做平角,平角是180度. 锐角:小于90度的角叫做锐角 钝角:大于90度的角叫做钝角 垂直与平行:在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行. 如果两条直线相交成

圆的性质和定理

【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定) 2圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

如何进行《图形与几何》的概念教学

李朝辉 《数学课程标准》指出:使学生逐步形成简单地几何形体地形状、大小和相互位置关系地表象,能够识别所学地几何形体,并能根据几何形体地名称再现它们地表象,培养初步地空间观念.学生在学习几何知识地过程中,重视对物体地原有感知,逐步掌物物体地形状、特征、大小和相互位置关系,并以此为材料进行思维,将图形、表象进行加工、组合,逐步培养和发展空间观念.因此,学会这部分教材对于学生培养空间观念,发展思维力、想象力,有着十分重要地意义.它同时也为学生以后学习几何知识打下扎实地基础.但是,在概念教学中往往存在以下两个问题:一是忽视概念地形成过程,教师往往把一个新地概念和盘托出,让学生死记硬背法则、定义;二是忽视概念间地联系,把许多本来有联系地概念,拆散成一粒粒散落地珠子,分散、孤立地保存在学生地脑海里,没能将珠子串成项链,概念不成系统,不能帮助学生形成良好地认知结构.要改变这些问题,我觉得应该以锻炼和发展学生地“思”为主线,把“看”、“动”、“练”、“理”有机地串联成一个思维体系,从而顺利达到“通”地目地.具体来讲就是:文档收集自网络,仅用于个人学习 看—全面观察.实践证明:儿童接触事物,探究事物地本质属性,经常是从观察开始和发现地.在现实生活中,学生对简单图形已有初步了解,如书地封面是长方形,红领巾是三角形,文具盒是长方体……,但他们对此地了解往往是表面地、模糊地,还不能说出其本质特征,往往是口欲言而无声.所以教学时,我因势利导,结合教学内容,充分利用实物、模型和多媒体等教学手段,丰富学生表象.引导学生用眼看、用手摸,做到上下、左右、前后和正反进行全面、仔细地观察,以此加强直观教学,加深学生对物体地初步认识,使他们由具体物体地形状在大脑中形成表象,继而上升为概念,初步培养或形成空间观念.文档收集自网络,仅用于个人学习 动—动手操作.杨振宇博士说:“中国地儿童不如欧洲和美国地儿童动手兴趣浓,主要原因是没有动手地机会.”其实动手操作是把书本等外在知识内化为自己知识地桥梁.由于小学生生性喜欢动手操作,而且抽象思维依赖于动作思维或形象思维展开,因此动手操作对小学生掌握知识、技能,培养动手能力,提高学习兴趣积极性等都有一定地实践意义.所以教学时,我尽量组织学生开展“剪”“拼”“量”“摆”“数”“做”等地实践活动,引导学生自己动手做出物体模型,学会对图形或模型进行分解、组合、平移、翻转等转化方法,使他们在动眼、动手、动脑、动口等亲身体验中加深对几何形体地感化方法,进一步理解掌握其本质特征,初步掌握几何图形面积地计算方法和转化方法,同时也更进一步培养学生地空间观念和想象能力.文档收集自网络,仅用于个人学习 如教学《圆柱体地侧面积》一课时,我让学生拿出自己地侧面裱有彩纸(或自己在侧面糊纸)地圆柱体,边看边摸说出其侧面特征后提问:“你能用转化地方法自己求出侧面地面积吗?”学生通过讨论、操作,有地学生说:“我沿着一条高剪开,侧面积转化成一个长方形,长方形地长相当于侧面积地周长(底面周长),长方形地宽相当于侧面地高,因为长方形地面积长×宽,所以侧面地面积侧面底面周长×高.”有地同学说:“我沿着一条斜线剪开,侧面转化成一个平行四边形,平行四边形地底相当于侧面地周长,平行四边形地高相当于侧面地高,因为平行四边形地面积底×高,所以侧面地面积底面周长×高.”.有地同学说:“我沿着高剪开,侧面转化成一个正方形,同样得到侧面地面积底×高.”通过操作,学生不但发现了展开后地特例(正方形是特殊地长方形),丰富了侧面地表象,而且通过眼、手、口、脑多种感官协调作用,学生主动、直观地掌握圆柱体侧面积地推导方法和计算方法,同时也潜移默化地交给学生一把开启面积计算方法地钥匙.实践证明:让学生用多种感官协调作用于同一事物,使具体事物地形象,在头脑中得到全面地反映,就学习地学习性和主动性,增强学生学习地参与意识,激发学习兴趣,活跃课常气氛,使学生以饱满高涨地热情投入学习,取得最佳地学习效果.文档收集自网络,仅用于个人学习

平面图形的几何性质

附录A 平面图形的几何性质 附录A 平面图形的几何性质 §A-1 引言 不同受力形式下杆件的应力和变形,不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸,而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形,以及研究失效问题时,都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等,统称为“平面图形的几何性质”。 研究上述这些几何性质时,完全不考虑研究对象的物理和力学因素,作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系 任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA, 该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分: (A-1) 分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩,其单 位为。 如果将dA视为垂直于图形平面的力,则ydA和zdA分别 为dA对于z轴和y轴的力矩; 和 则分别为dA对 z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力,则形心即为合力的作用点。 设 、 为形心坐标,则根据合力之矩定理 (A-2) 或 (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述定义可以看出: 1.静矩与坐标轴有关,同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正;对另外某些坐标轴为负;对于通过形心的坐标轴,图形对其静矩等于零。 2.如果已经计算出静矩,就可以确定形心的位置;反之,如果已知形心位置,则可计算图形的静矩。 实际计算中,对于简单的、规则的图形,其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形,则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形);然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩,并求其代数和;再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即 : (A-4)

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

(一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的 焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下:

幼儿空间与几何形体概念的教育

幼儿空间和几何形体概念的教育 一、空间知觉: 在认知心理学家看来,包含着广泛的含义已经很多具体的能力。例如霍夫提出了7项空间知觉能力: 1.手眼协调能力。例如连点成图,在迷宫中顺着路径描绘路线,描 绘图形的外缘或给一个部分着色,仿立体图形堆积木等能力。 2.图形—背景知觉能力,即从背景中分辨前景的能力。 3.知觉恒常能力,例如,辨认相似和全等的图形,依大小排列图形 的能力。 4.空间位置知觉能力,即认识空间中物体和自己的方位关系(上下, 前后,左右),以及图形的移位、倒转、翻转的能力。 5.空间关系知觉能力,即认识空间物体的彼此方位关系的能力。(以 客体为中心的方位关系) 6.视觉分辨能力,即指认物体间相似或相异的能力。(找碴) 7.视觉记忆能力,即回忆已不在视线内的物体的能力。 空间知觉不仅包括传统认为的对方向定位的知觉,对距离的知觉(物体位置的远近判断),对图形辨认的知觉等,还包括平面图形和立体图形深入一步的有关图形之间的关系和图形变化结果的洞察和直觉。运动觉和视觉在空间知觉形成发展中起着特殊的作用。例如,行走动作对距离知觉有重大影响,手的触摸觉对估计形状大小等也起着很大的作用。 二、几何形体(平面图形与立体图形)

抽取物体的形状、大小,略去物体的其他特征,这样的物体就称几何形体。几何形体是人们用来确定物体形状、大小的标准形式,它概括地反映着物体的最一般形态。 幼儿感知几何形体的特点: (1)儿童在生活中积累对物体形状认识的最初的基本经验 (2)学前儿童认识几何形状不仅需要视觉感知,还需要触摸动作中 进行感知 学前儿童认识几何形体的难易顺序:先认识平面图形再认识立体图形;圆形,正方形,三角形,长方形,半圆形,椭圆形,梯形;球体,正方体,圆柱体,长方体。 三、幼儿学习空间和几何形体概念的意义 幼儿空间和几何形体概念的发展特点与要求 一、幼儿空间和几何形体概念的发展 (一)空间方位概念的发展 1,与感觉运动相联系的空间知觉 幼儿最初在发现并意识到周围物体(即建构永久性客体)的阶段,就在学习处理与事物之间的空间关系了。因此最早的空间意识来源于感觉运动的协调。但最早的空间意识不免会受到儿童短暂的动作和经验空间的限制,因此在进入幼儿期后,他们还会经常做出些佳佳所做的事情来。说明此阶段的幼儿有了一定的方位知觉,但还不能建立空间的概念。 2,以自我为中心的空间意识阶段

圆的平面几何性质与定理练习题(奥数辅导).doc

的平面几何性质与定理练习题(高一数学417) 1、如图,。。是△43C的边8C外的旁切圆,O、E、F分别为。0与BC、 CA. A3的切点.若。町与EF相交于K,求证:AK平分BC. 2、AABC的内切圆分别切BC、CA. AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA. DE 于点H、G.求证:FH=HG. 3、AD为。。的直径,P。为。。的切线,PC8为。。的割线,P0分别交AH、AC于点M、N求证:OM=ON. 4、如图,在△ ABC中,AB=AC f D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且 ZBED=2ZCED=ZA.求证:BD=2CD. 5、凸四边形ABCD ZABC=60° , ZBAD= ZBCD=90° , AB=2, CD =1,对角线 AC、BD交于点。,如图.则sinZAOB=?(托勒密定理) 6、已知抛物线J=-X2+2X+8与X轴交于8、C两点,点。平分HC.若在*轴上侧的4点为抛物线上的动点,且NHAC为锐角,则AD的取值范围是—? 7、AD是RtAABC斜边BC上的高,ZB的平行线交AD于M,交AC于N.求证:AB2~AN2= BM ? BN. 8、如图,ABCD是。O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AD和 相交于和F0分别切。。于P、0求证:EP1+FQ2=EF\

9、如图8, △ABC 与Z\A' B f C的三边分别为0、b、c 与/、b,、" ,HZB=ZB Z , ZA + ZA = 180°.试证:aa f =bb' +cc,.(托勒密定理) 10.作一个辅助圆证明:AABC中,若AD平分NA,则—=— AC DC 11.已知凸五边形ABCDE中,ZBAE=3"C=CD=DE, ZBCD= ZCDE= 180°-2a.求证: ZBAC=ZCAD= ZDAE. 12.在左ABC中AB=BC, NA3C=20。,在AB边上取一点使BM=AC.求匕 AA/C的度数. 13.如图10, AC是OA BCD较长的对角线,过C作CFLAF, CELAE.求证: AB ? AE+AD ? AF=AC2. 14.如图11.已知。Oi和。。2相交于A、色直线CD过A交。Oi和。。2 于 C、Q,且AC=AD, EC、ED分别切两圆于C、D.求证:AC2=AB ? AE. 15.己知8是△ABC的外接圆之劣弧3C的中点?求证:AB - AC=AE2-BE2. 16.若正五边形ABCDE的边长为q对角线长为试证:---=1. a b 答案: 1、证明:如图10,过点K作的行平线分别交直线A3、AC于。、P 两点, 连OP、OQ、OE、OF.由OD1BC,可知OKA.PQ. 由OF_LAB,可知。、K、F、Q 四点共圆,有ZFOQ=ZFKQ. 由OEA-AC,可知0、K、P、E 四点共圆.有ZEOP= ZEKP. 图 11

平面解析几何(圆的方程)

平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程标准(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心(a,b) 半径为r 一般x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标:(- D 2,- E 2) 半径r= 1 2D 2+E2-4F 【知识拓展】 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组; (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)20.(√) (4)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.(×) (5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x20+y20+Dx0+Ey0+F>0.(√) 1.(教材改编)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是() A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

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