概率1.3答案
习题１．３答案
1.若A ，B 为任意两个事件，试论述P(AB) 解：Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）≤Ｐ（Ａ） Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ） 而 ０≤Ｐ（ＡＢ）≤Ｐ（Ｂ） ∴ｐ（Ａ）≤Ｐ（Ａ∪Ｂ）≤Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ） ∴Ｐ（ＡＢ）≤ｐ（Ａ）≤Ｐ（Ａ∪Ｂ）≤Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ） 2.当P(B|A) 证明：若Ａ不利于Ｂ，即Ｐ（Ｂ／Ａ）＜Ｐ（Ｂ） 而Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ） 所以 Ｐ（Ａ／Ｂ）＞Ｐ（Ａ） 即Ｂ不利于Ａ 3.设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，试求它能够活25岁以上的概率。 解：Ａ＝｛活２０岁以上｝ Ｂ＝｛活２５岁以上｝ 已知Ｐ（Ａ）＝０．８ Ｐ（Ｂ）＝０．４ 所以Ｐ（Ｂ／Ａ）＝)()(A P AB P ＝8.04.0＝2 1 ［因为ＡＢ＝Ｂ （Ｂ?Ａ）］ 4.袋中装有4个红球3个白球，用取后放回的方法，每次任取一球，共取3次，若A={三次都取出红球}，B={前两次都取出红球}，C={前两次都取出红球第三次取出白球}，试用概率的乘法公式计算这三个事件的概率。 ．解：（取后放回） Ａi 表示第ｉ次取红球 则Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ1Ａ2Ａ3）＝ Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ａ2│Ａ1）Ｐ（Ａ3│Ａ1Ａ2） ＝1714C C ?1714C C ?17 1 4C C ＝（４／７）3 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ1Ａ2）＝ Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ａ2│Ａ1） ＝1714C C ?17 14C C ＝（４／７）2 Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ1Ａ2?A 3）＝ Ｐ（Ａ1）Ｐ（12A A ）Ｐ（?A 3│Ａ1Ａ2） ＝1714C C ?1714C C ?1713C C ＝73×（7 4）2 5.一个不称职的秘书，随手将3封不同的信放进了3个写有不同地址的信封，试计算至少有一封信放对了信封的概率 ．解：Ａi 表示第ｉ封信放对了信箱，则 Ｐ（Ａ1∪Ａ2∪Ａ3）＝Ｐ（Ａ1）＋Ｐ（Ａ2）＋Ｐ（Ａ3）－Ｐ（Ａ1Ａ2）－Ｐ（Ａ1Ａ3）－Ｐ（Ａ2Ａ3）＋Ｐ（Ａ1Ａ2Ａ3） ＝31＋31＋31－31×21－31×21－31×21＋31×21×11＝3 2 或Ｐ（Ａ1∪Ａ2∪Ａ3）＝１－Ｐ（?A 1? A 2?A 3）＝１－332P ＝１－62＝3 2 或Ｐ（Ａ1∪Ａ2∪Ａ3）＝331311P C ×+＝3 2 6.一批零件中有90个正品10个次品，若每次从中任取一个零件，取出的零件不在放回去。试计算①第二次才取出正品的概率；②第三次才取出正品的概率。 ．解：Ａi 表示第ｉ次取出正品则 ① Ｐ（?A 1Ａ2）＝ Ｐ（?A 1）Ｐ（Ａ2／? A 1）＝1100110C C ×199190C C ＝111 ② Ｐ（?A 12? A Ａ3）＝198199110019019110C C C C C C ×××× 7.某光学仪器厂制造的透镜，在第一次落下时打破的概率为0.5，若第一次未打破，第二次落下时打破的概率为0.3，若前两次未打破，第三次落下时打破的概率为0.9，试求透镜三次落下而未打破的概率。 ．解：Ａi 表示第ｉ次落下打破 已知Ｐ（Ａ1）＝０．５ ， Ｐ（ Ａ2│?A 1）＝０．３ ， Ｐ（Ａ3│?A 12? A ）＝０．９ 所以 Ｐ（?A 1? A 2?A 3）＝ Ｐ（?A 1）Ｐ（ ?A 2│?A 1）Ｐ（?A 3│? A 12?A ） ＝０．５×（１－０．３）×（１－０．９）＝０．５×０．７×０．１ ＝０．０３５ 8.一道考题同时列出4个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来。假设他知道正确答案的概率为0.5，而乱猜的概率也是0.5，如果他乱猜答案猜对的概率为0.25，并且已知他答对了，试求他确实知道正确答案的概率。 解：设Ａ＝｛知道正确答案｝ Ｂ＝｛乱猜｝ Ｃ＝｛答对｝ 已知Ｐ（Ａ）＝０．５ Ｐ（Ｂ）＝０．５ Ｐ（Ｃ│Ｂ）＝０．２５ 因为Ｃ?Ａ＋Ｂ 且Ａ，Ｂ互不相容 所以Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｃ│Ａ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ│Ｂ） （全概率公式） ＝０．５×０．１＋０．５×０．２５ ＝０．６２５ 所以Ｐ（Ａ／Ｃ）＝)()(C P AC P ＝)()()(C P A C P A P ＝625 .015.0×＝０．８ 9.如果甲口袋中有3个红球一个白球，乙口袋中有4个红球2个白球，从甲口袋中任取一球，不看颜色放入乙口袋中，再从乙口袋中任取一球，试求取出红球的概率。 解：设Ａ＝｛从甲口袋取出一红球｝， ? A ＝｛从甲口袋取出一白球｝ ， Ｂ＝｛从乙口袋取出一红球｝ 因为Ｂ?Ａ＋?A ，而Ａ与?A 互不相容，所以由全概率公式 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ│Ａ）＋Ｐ（?A ）Ｐ（Ｂ│?A ） ＝1413C C ×1715C C ＋1411C C ×1714C C ＝2819 １０． 用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料知道，肝癌患者用此法检验得出阳性结果的概率为0.95，非肝癌患者用此法检验得出阴性结果的概率为0.90。如果某地居民中肝癌的发病率为0.0004，某人用此法检验得出了阳性结果，试计算他是肝癌患者的概率。 解：设Ａ＝｛肝癌患者｝，Ｂ＝｛阳性结果｝，已知Ｐ（Ｂ／Ａ）＝０．９５， Ｐ（?B │?A ）＝０．９０，Ｐ（Ａ）＝０．０００４， 因为Ｂ?Ａ＋?A ，Ａ与?A 互不相容，所以由全概率公式， Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ│Ａ）＋Ｐ（?A ）Ｐ（Ｂ│?A ）＝０．０００４×０．９５＋（１－０．０００４）×（１－０．９０） 所以Ｐ（Ａ／Ｂ）＝ )()/()(B P A B P A P ＝1 .00096.095.00004.095.00004.0×+××＝０．００３８ １１． 某校男.女比例为3：1，男生中身高1.70米以上的占60%，女生中身高1.70米以上的仅占10%，在校内随机的采访一位学生，①若这位学生的身高在1.70米以上，求这位学生是女生的概率；②若这位学生的身高不超过1.70米，求这位学生是男生的概率。 解：设Ａ＝｛男生｝，?A ＝｛女生｝， Ｂ＝｛身高１．７０米以上｝， 已知Ｐ（Ａ）＝３／４，Ｐ（?A ）＝１／４， Ｐ（Ｂ│Ａ）＝６０％＝０．６，Ｐ（Ｂ│?A ）＝０．１，而Ｂ?Ａ＋?A ，且Ａ与?A 互不相容，所以由全概率公式 Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）＋Ｐ（?A ）Ｐ（Ｂ／?A ） ＝ 43×０．６＋41×０．１＝4019 所以Ｐ（?A ／Ｂ）＝ )()/()(B P A B P A P ??? ＝40 191.041×＝19 1 Ｐ（Ａ∣?B ）＝)()()(?? ?B P A B P A P ＝40 191)6.01(43??×＝2112 １２． 将储户按收入多少分为高，中，低三类，通过调查得知，这三类储户分别占总户数的 10%，60%，30%，而银行存款在20万元以上的储户在各类中所占的比例分别为100%，60%，5%，试计算①存款在20万元以上的储户在全体储户中所占的比例；②一个存款在20万元以上的储户属于高收入的概率。 解：设Ａ＝｛高收入｝， Ｂ＝｛中收入｝， Ｃ＝｛低收入｝， Ｄ＝｛存款２０万元以上｝ 已知 Ｐ（Ａ）＝０．１，Ｐ（Ｂ）＝０．６，Ｐ（Ｃ）＝０．３，Ｐ（Ｄ∣Ａ）＝１，Ｐ（Ｄ∣Ｂ）＝０．６，Ｐ（Ｄ∣Ｃ）＝０．０５ 因为Ｄ?Ａ＋Ｂ＋Ｃ ， 且Ａ，Ｂ，Ｃ互不相容 所 以：Ｐ（Ｄ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｄ｜Ａ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｄ｜Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ｜Ｃ）＝０．１×１＋０．６×０．６＋０．３×０．０５＝０．４７５ 所以：Ｐ（Ａ｜Ｄ）＝ )()/()(D P A D P A P ＝475.011.0×＝０．２１１