闵行区2018届高三二模数学试卷及答案,闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷及答案

闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．

2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．双曲线

22

2

19

x y

a

-

=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = ．

2．若二元一次方程组的增广矩阵是12123

4

c c ??

???，其解为100x y =??=?，

，

则12c c += . 3．设m ∈R ，若复数(1i )(1i )m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ．

4．定义在R 上的函数()21x

f x =-的反函数为1

()y f

x -=，则1

(3)f

-= .

5．直线l 的参数方程为112x t y t =+??=-+?

，

（t 为参数），则l 的一个法向量为 .

6．已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*

n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则

lim

n n n

S n a →∞

=? .

7．已知向量

a 、

b 的夹角为60，1a

=，2b

=，若(2)()a b x a b

+⊥-，则实数x 的值为 .

8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 ．

9．若平面区域的点(,)x y 满足不等式14

x y k

+

≤(0)k >，且z x y =+的最小值为5-，

则常数k = .

10．若函数2

()l o g (1)a

f x x a x =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是 .

11．设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123424x x x x ≤+++≤的所有有序数组

1234(,,,)x x x x 的组数为 .

12．设*

n ∈N ，n a 为(4)(1)n n

x x +-+的展开式的各项系数之和，324

c t =

-，t ∈R ，

1222555n n n n a a a b ??

????

=

+++

??????????

??

(

[]x 表示不超过实数

x

的最大整数).则

2

2

()()n n t b c -++的最小值为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．“0x y =”是“0

x y ==且”成立的 ( )．

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件

14．如图，点A B C 、、分别

在空间直角坐标系O x y z -的

三条坐标轴上，

(0,0,2)O C =，平面A B C 的法向量为(2,1,2)n =，设二

面角C A B O --的大小为θ，则co

s θ= ( )．

（A ）

43

（B ）

3

（C ）

23

（D ）23

-

15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是 ( )．

（A ）若30S >，则20180a > （B ）若30S <，则20180a <

（C ）若21a a >，则20192018a a > （D ）若21

1

1

a a >，则20192018a a < 16．给出下列三个命题:

命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数g ()x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x

1

2()x D D ∈是偶函数；

命题2：存在函数()f x 、g ()x 及区间D ，使得()f x 、g ()x 在D 上均是增函数, 但

()()f x g x 在D 上是减函数；

命题3：存在函数()f x 、g ()x （定义域均为D ），使得()f x 、g ()x 在0x x =

0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值.

那么真命题的个数是 ( )．

（A ）0 （B ）1 （C ）2

（D ）3

A

A 1 D C B

D 1

C 1

B 1

F

?

? E

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写

出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图所示，在棱长为2的正方体

中，分别是的中点.

（1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小.

18.

（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数()in c o s f x x x ωω=

+，

（1）当03f π??

-

= ??

?

，且1ω<时，求ω的值； （2）在A B C △

中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，a =3b c +=，

当2ω=，()1f A =时，求b c 的值.

19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

某公司利用A P P 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t *

()t ∈N 天

的关系满足：10,

110()=10200,1020t t f t t t ≤≤??

-+<≤?，

，

2

()20g t t t =-+(120)t ≤≤，产品A 每

件的销售利润为40,115()20,1520

t h t t ≤≤?=?<≤?，

(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下

日销售量）.

（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？

20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

已知椭圆Γ：

222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，

O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、

两点，1s in 3

B F O ∠=

.

（1）若直线l 垂直于x 轴，求12

P F P F 的值；

（2

）若b =l 的斜率为

12

，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关

于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）设直线1l

:y =

上总存在点M 满足2O P O Q O M +

=，当b 的取值最小

时，求直线l 的倾斜角α.

21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

无穷数列{}n a *

()n ∈N ，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有

性质T .集合{}*

,n P p

p a n =

=∈N

.

（1）若(1)n n a =-，*

n ∈N ，判断数列{}n a 是否具有性质T ；

（2）数列{}n a 具有性质T ，且1481,3,2,{1,2,3}a a a P ====，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k

i a 为第k 个满足k

i i

a p =的项，记1k k k

b i i +=-*

()k ∈N ，证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.

闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案与评分标准

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)

1．2； 2．40； 3．1-；

4．2； 5．(2,1)-不唯一； 6．

12；

7．3； 8．16π； 9．5； 10．[)(0,1)

2,+∞ 11．45； 12．

425

．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13．B ； 14．C ； 15．D ； 16．D ． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） [解]（1）因为1111D C B A ABCD

—为正方体，所以F C ⊥平面D E C ，且1F C =，又

D E C △的底2D C =，高为E 到D C 的距离等于2，所以12222

D E C S =

??=△，2分

所以112=

213

3

3

E D

F C F D E C D E C V V S F C --=??=

??=

△ ………………7分

（2）取1B B 中点G ，连接1A G ，E G .由于11//A G D F ，

所以1G A E ∠为异面直线1A E 与1D F 所成的角. ………………………9分

在1A G E △中，1A G ，1=A E G E =

由余弦定理，得 14c o s 5

G A E ∠=

=

， ………………12分

即14a rc c o s 5

G A E ∠=,所以异面直线1A E 与1D F 所成的角为4a rc c o s

5

. …14分

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） [解]（1

）()in c o s =2s in 6f x x x x ωωωπ?

?=

++ ???

由已知，得2s in 03

6ωπ

π??

-+

= ??

?

， ………………2分 所以3

6

k ωπ

π-

=π-()k ∈Z ， ………………4分

即132

k ω=-+，又1ω<，所以12

ω=

. ………………6分

（2）因为2ω=，所以()2s in 26f x x π??=+

??

?

， 又因为()1f A =，所以1

s in 262

A π?

?+

= ??

? ………………8分 而

226

6

6A πππ<+

<π+

，故26

6

A π5π+

=

，所以3

A π=

………………10分

由余弦定理得2

2

2

1c o s 2

2b c a

A b c

+-=

=

，即22

3b c b c +-=，…………12分

又3b c +=，解得2b c =. ………………14分

19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

[解]（1）2

2

2

40(30)110()40(10+200)101520(10+200)520t t t F t t t t t t t ??-+≤≤?=?-+<≤???-+<≤?

，，，，，1 ………………8分

（2）○1当110t ≤≤时，由2

40(30)5000t t -+≥解得510t ≤≤；…………10分

○

2当1015t <≤时，由2

40(10200)5000t t -++≥解得1015t <≤； ……12分 ○

3当1520t <≤时，由2

20(10200)5000t t -++≥，无解.

故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元. …………14分 （或：注意到()F t 在[]1,10单调递增，()F t 在(]10,20单调递减且(5)(15)F F = 5000=（12分）故第5天至第15天该公司日销售利润不低于5000元.（14分））