函数及其表示(1)
导学目标:通过了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数. 一、知识梳理 1.函数与映射的概念
(1) 函数的定义域、值域
在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域,显然,值域是集合B 的子集. (2) 函数的三要素:定义域、值域和对应关系. 3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法. 4. 函数相等
如果两个函数的定义域和__________完全一致,则这两个函数相等,这是判定两函数相等的依据. 试试:1. (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________.
(1) P =Z ,Q =N *,对应关系f :对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应,y =x ,x ∈P ,y ∈Q ;
(2)P ={-1,1,-2,2},Q ={1,4},对应关系f :x →y =x 2,x ∈P ,y ∈Q ;
(3) P ={三角形},Q ={x|x>0},对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应. 2.设集合M ={x|0≤x ≤2},N ={y|0≤y ≤2},给出下列4个图形,其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个 3.下列表示同一函数的是( )
A .f (x )=x 2-1
x +1与f (x )=x -1 B .f (x )=x 0(x ≠0)与f (x )=1
C .f (x )=3
x 3与f (x )=x 2 D .f (x )=2x +1与f (t )=2t +1 二、课堂探究
探究点一 求函数的定义域
例1 (1)求函数y =x +1+(x -1)
lg(2-x)
的定义域;
(2)已知函数f(2x +1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域.
跟踪训练1 已知函数y =f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)=f(x 2
)
1+lg(x +1)的定义域
是 .
探究点二 求函数的解析式
例2 (1)已知f(2
x
+1)=lgx ,求f(x);
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x +1)-2f(x -1)=2x +17,求f(x); (3)已知f(x)满足2f(x)+f(1
x )=3x ,求f(x).
跟踪训练2 (1)已知f(x +1)=x +2x ,求f(x);
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x +2)-f(x)=4x +2,求f(x);
(3)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f 1
()x ·x -1,求f (x ).
三、课堂小结
1.定义域的求法
2.解析式的求法
四、当堂检测:(每小题5分,共25分) 1.下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) (1)y 1=(x +3)(x -5)
x +3
,y 2=x -5;
(2)y 1=x +1x -1,y 2=(x +1)(x -1); (3)f(x)=x ,g(x)=x 2
;
(4)f(x)=3x 4-x 3,F(x)=x 3
x -1; (5)f 1(x)=(2x -5)2
,f 2(x)=2x -5. A .(1)(2) B .(2)(3) C .(4)
D .(3)(5)
2.函数y =
ln(x +1)
-x 2
-3x +4
的定义域为( ) A .(-4,-1) B .(-4,1) C .(-1,1)
D .(-1,1]
3.设f:x →x 2
是从集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A ∩B 为( ) A .?
B .{1}
C .?或{2}
D .?或{1}
4.下列三个命题:①y =2-x +x -3是函数;②函数是特殊的映射;③与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.其中正确的有________.
5 若函数f(x)=x
ax +b
,f(2)=1,又方程f(x)=x 有唯一解,求f(x)的表达式.