高中数学必修1-5知识点总结(学霸笔记)
高中数学（必修）
知识点总结
目录
目录 (1)
第一套
高一数学必修1 (1)
集合 (1)
函数 (2)
函数题型及常用方法与结论 (2)
高中数学必修2 (7)
第一章空间几何体 (7)
第二章直线与平面的位置关系 (7)
第三章直线与方程 (11)
第四章圆与方程 (13)
高中数学必修3 (16)
第一章算法初步 (16)
第二章统计 (22)
第三章概率 (25)
高中数学必修4 (28)
第一章三角函数 (28)
第二章平面向量 (30)
第三章三角恒等变换 (32)
高中数学必修5 (35)
第二套
必修1数学知识点 (39)
第一章、集合与函数概念 (39)
第二章、基本初等函数（Ⅰ） (39)
第三章、函数的应用 (41)
必修2数学知识点 (42)
第一章空间几何体 (42)
第二章：点、直线、平面之间的位置关系 (42)
第三章：直线与方程 (43)
第四章：圆与方程 (44)
必修3数学知识点 (44)
第一章：算法 (44)
第二章：统计 (45)
第三章：概率 (46)
必修4数学知识点 (47)
第一章、三角函数 (47)
第二章、平面向量 (49)
第三章、三角恒等变换 (51)
必修5数学知识点 (52)
第一章：解三角形 (52)
第二章：数列 (53)
第三章：不等式 (53)
高一数学必修1
集合
123412n x A x B A B A B A n A ∈???
?????
∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n
A A A
B
C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ???????????
???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ?????
??
??
????
??????????
????????
???????????????????????
?????????????????????=???????
函数
,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射
传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数{
[][][][][]().,,()()(),,1212()()(),,12f x a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a =≤<≤<>???????????????近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域函数的三要素值域对应法则
解析法函数的表示方法列表法
图象法
单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是 递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间[][][][][]()1()2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x M x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈≤∈==????>
??最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有； （）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如 则在上递减,是的递减区间。 ()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x N x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈≥∈==-=-∈-=∈?????小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有； （）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。
奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()
112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=?=+??
?????
??????
???????????象关于轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；
的最小正值叫做的最小正周期，简称周期
（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()
11,()
11,()
1110111/()
11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=?=-=+=?-==-=?+=><<=?=><
到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y y
x x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =?=+==-??-=-+==-+==-=??=-=====??-=+==-?????原来的倍 （横坐标不变）， 即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：{)11()1x x x y x y f x y y =-=?==???????????????????????????????????????????????????????
????
???
?
?????????????????????????
关于直线对称： 附：
函数题型及常用方法与结论（下页）
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；
2、偶次方根的被开方数大于等于零；
3、对数的真数大于零；
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
5、三角函数正切函数tan y x =中()2
x k k Z π
π≠+
∈；余切
函数cot y x =中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；
2、换元法；
3、待定系数法；
4、函数方程法；
5、参数法；
6、配方法 三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；
2、配方法；
3、判别式法；
4、几何法；
5、不等式法；
6、单调性法；
7、直接法 四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；
2、换元法；
3、不等式法；
4、几何法；
5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：
1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数
2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数
3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则
[()]y f g x =是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
5、若函数
()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为
11
()[()()][()()]22
f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的
和。
,()0()()[,]()()0,()[,](,),()0,()0()0y f x f x x y f x y f x a b f a f b y f x a b c a b f c c f x f x ====?<=∈===零点：对于函数（）我们把使的实数叫做函数的零点。定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有零点与根的关系 那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个也是方 程的根。（反之不成立）关系：方程函数与方程函数的应用()()(1)[,],()()0,(2)(,);(3)()()0,()()0,(,)0()()0,0
y f x y f x x a b f a f b a b c f c f c c f a f c b c x a b f c f b a c x ε?=?=?<=?<=∈?<=?????有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点确定区间验证给定精确度；求区间的中点计算；
二分法求方程的近似解 ①若则就是函数的零点；
②若则令（此时零点）； ③若则令（此时零点(,)(4)-,();24c b a b a b εε∈<~??????????????????????????????????????????
）；判断是否达到精确度：即若则得到零点的近似值或否则重复。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs
a a a r s Q r r s a
b a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=??????????
????????????????????
为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ?=+=-=>≠>>=>≠??????????
????
?????
???
???
=>≠>????????
为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα???????
?
?
????
?
?
???????????
??
???????
?=??
???
幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2
高中数学必修2
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2
r rl S ππ+=
4 圆台的表面积2
2
R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2
4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底
2锥体的体积 h S V ?=
底31
3台体的体积 h S S S S V ?++=)31
下下上上（
4球体的体积 3
3
4R V π=
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
222r rl S ππ+=
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐
角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2
作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
D C B A α L A
·
α C ·
B
· A · α P · α L
β 共面直线
=>a ∥c 2
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k
)(00x x k y y -=-
2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b
b kx y +=
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121
y y x x ≠≠
),(121211
21
21y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--
2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L 1 ：3x +4y -2=0
L 1：2x +y +2=0
解：解方程组 342
0222
0x y x y +-=??
++=?
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2）
3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式
12PP =
3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，
2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
第四章圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：2
2
2
()()x a y b r -+-=
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆2
2
2
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）22
00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22
00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）22
00()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；
（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
y
2
2122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
高中数学必修3
第一章算法初步
1.1.1算法的概念
1、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2程序框图
1、程序框图基本概念：
（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执 行B 框所指定的操作。 2、条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。
（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。
当型循环结构直到型循环结构
注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。
1.2.1输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
（1）输入语句的一般格式
（2）
输入
语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
2、输出语句
（1）输出语句的一般格式
（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
高中数学全套笔记
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 6 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()() card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的 真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学笔记整理
高中数学笔记整理 奋斗也就是我们平常所说的努力。那种不怕苦，不怕累的精神在学习中也是需要的。看到了一道有意思的题，就不惜一切代价攻克它。为了学习，废寝忘食一点也不是难事，只要你做到了有兴趣。下面是小编给大家带来的高三数学知识点总结，欢迎大家阅读! 高中数学笔记整理1 1.对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数; 2.对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数; 3.一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则 y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称; 4.一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。 5.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质; 6.由函数奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 高中数学笔记整理结2 等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。
高中数学知识点笔记(可编辑修改word版)
基本函数 --- 高中数学知识点笔记 1.函数解析式：y = f (kx +b) ?y = f (x) 2.函数的定义域：指 x，图像在 x 轴上的影子 有 3 种情况：分母≠0，平方根内≥0，对数真数>0 解法：先列不等式组，解交集 3.函数的值域：指 y，图像在 y 轴上的影子 解法：利用函数单调性；图像法；均值不等式法 4.函数单调性 单调递增：函数在区间上，图像由左向右上升，x 变大，y 变大;x 变小，y 变小;即同向变化单调递减：函数在区间上，图像由左向右下降，x 变大，y 变小;x 变小，y 变大;即反向变化会由图像求单调区间；单调区间有多个时，用逗号分隔 5.比较大小的方法 利用函数的单调性 6.函数求值；分段函数问题 注意 x 的取值范围；不同题型的解法 7.函数图像：会画图像 利用函数图像，求定义域、值域、单调区间 8.二次函数：y =ax2+bx +c, a ≠ 0 图像：开口方向，对称轴，顶点坐标，韦达定理，单调区间，值域 9.一次函数：y =kx +b 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 k 10.反比例函数: y = x 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 k 11.对勾函数: y =x + , k > 0 x 会画图像，会求单调区间、定义域、值域 12.函数零点 方程y = f (x) = 0 的根；图像与 x 轴的交点；求法：正负值之间必有零点 13.指数 指数与根式的互化，指数为负数时的含义，指数运算公式
14.指数函数 f (x) =a x, a > 0, a ≠ 1, x ∈R, y > 0；当a > 1时，单调递增；当0 0, a ≠ 1, x > 0, y ∈R；当a > 1时，单调递增；当0 第一章集合与函数概念 第一节集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）V enn图: 4、集合的分类： 有限集含有有限个元素的集合 (1)无限集含有无限个元素的集合 (2)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B 或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集， 记作A B(或 B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算 高中数学全系列笔记 1.特色 – 系统、专业、全系列 ?基础知识: 系统化梳理 ?基础应用: 分类归纳求解基本问题的一般方法和技巧 ?综合应用: 抓本质、重思路以及训练思维方法和能力 ?由浅入深、层次分明、配套典例讲解、易学高效 ?适用于预习、复习、补习或教案 2.益处 ?可节省大量的搜集、整理、归纳和书写的时间，因而有更多时间用于思考和做其他重 要事情。 ?突出独特的“基础应用”之核心位置，使基础异常扎实 ?可作为自己编写笔记的参考甚至样板 ?可学习笔记中蕴含的思维方法和模式 3.内容概览（即各册的目录） 目录(必修1，共90页) 一、学案概览............................................. 错误!未定义书签。 二、基础知识篇........................................... 错误!未定义书签。 1.初升高衔接知识（要点复习）.................... 错误!未定义书签。 1)因式分解...................................... 错误!未定义书签。 2)分式.......................................... 错误!未定义书签。 3)根式.......................................... 错误!未定义书签。 4)函数与方程、方程组解法........................ 错误!未定义书签。 5)不等式的解法.................................. 错误!未定义书签。 6)一次函数的图象与性质.......................... 错误!未定义书签。 2.集合.......................................... 错误!未定义书签。 1)含义及表示方方法.............................. 错误!未定义书签。 2)基本关系 - 相等关系、包含关系（包括子集、真子集和空集）. 错误!未 定义书签。 3)基本运算...................................... 错误!未定义书签。 3.函数.......................................... 错误!未定义书签。 1)定义及表示法.................................. 错误!未定义书签。 2)性质.......................................... 错误!未定义书签。 3)图像变换(补充) ................................ 错误!未定义书签。 4)初等函数...................................... 错误!未定义书签。 5)函数的应用 – 函数与方程...................... 错误!未定义书签。 三、基础应用篇........................................... 错误!未定义书签。 1.集合概念...................................... 错误!未定义书签。 2.集合创新...................................... 错误!未定义书签。 3.函数概念...................................... 错误!未定义书签。 4.求函数解析式.................................. 错误!未定义书签。 5.求函数定义域.................................. 错误!未定义书签。 6.求函数值域.................................... 错误!未定义书签。 7.函数单调性.................................... 错误!未定义书签。 8.函数对称性（含奇偶性、周期性）................ 错误!未定义书签。 9.函数图像...................................... 错误!未定义书签。 10.指数函数...................................... 错误!未定义书签。 11.对数函数...................................... 错误!未定义书签。 12.幂函数........................................ 错误!未定义书签。 13.抽象函数...................................... 错误!未定义书签。 14.函数零点及其个数.............................. 错误!未定义书签。 15.一元二次方程根的分布.......................... 错误!未定义书签。 16.二分法求方程根的近似值........................ 错误!未定义书签。 17.函数模型实际应用.............................. 错误!未定义书签。 四、综合应用篇........................................... 错误!未定义书签。 1.集合综合题.................................... 错误!未定义书签。 2.函数综合题.................................... 错误!未定义书签。 高中数学学霸笔记图片 【篇一：高中数学学霸笔记图片】 淘宝全球购为您提供最新最全面的包括美国、日本、澳洲等海外学 霸笔记高中全套代购，学霸笔记高中全套洋货直邮，学霸笔记高中 全套海外品牌等全球购商品 【篇二：高中数学学霸笔记图片】 一淘网为您找到高中学霸笔记产品的详细资讯，实时报价，价格行情，高中学霸笔记商品分类,论坛问 答/求购等相关产品信息。 【篇三：高中数学学霸笔记图片】 权利声明： 印刷版次不同，印刷时间和版次以实物为准。 价格说明： 京东价：京东价为商品的销售价，是您最终决定是否购买商品的依据。 划线价：商品展示的划横线价格为参考价，该价格可能是品牌专柜 标价、商品吊牌价或由品牌供应商提供的正品零售价（如厂商指导价、建议零售价等）或该商品在京东平台上曾经展示过的销售价； 由于地区、时间的差异性和市场行情波动，品牌专柜标价、商品吊 牌价等可能会与您购物时展示的不一致，该价格仅供您参考。 折扣：如无特殊说明，折扣指销售商在原价、或划线价（如品牌专 柜标价、商品吊牌价、厂商指导价、厂商建议零售价）等某一价格 基础上计算出的优惠比例或优惠金额；如有疑问，您可在购买前联 系销售商进行咨询。 异常问题：商品促销信息以商品详情页“促销”栏中的信息为准；商品的具体售价以订单结算页价格为准；如您发现活动商品售价或 促销信息有异常，建议购买前先联系销售商咨询。倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临… 第一章 集合与函数概念 一， 集合的含义与表示 1，集合的中元素的三个特性： 确定性：元素的意义必须是明确的； 互异性：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}； 无序性：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合. 2，元素与集合的关系： 属于（∈）、不属于（?）；A={a,b,c},a ∈A ，d ?A 。 3，常用数集的表示： 自然数集：N ，正整数集：N *或N +，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R . 例一， 下列所给的对象能构成集合的是： A ， 所有的正三角形； B ，计较接近1的正整数； B ， C ，1,2,3,2； D ，平面直角坐标系内到原点距离是1的点的集合. 例二， 以下六个关系式：A:{}00∈，B:{}0??，C:Q ?3.0,D:N ∈0, E:{}{},,a b b a ? ，F:{}2|20,x x x Z -=∈ 是空集中，错误的有： 例三， 设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，，则b a -= 例四，下列集合中表示同一集合的是（ ） A.M={(3,2)},N={(2,3)}； B.M={3,2},N={(2,3)} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}； D.M={1,2},N={2,1} 二，集合间的基本关系 2，集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，集合A 的真子集有2n -1个，集合A 的非空真子集有2n -2个. 二， 集合的基本运算 交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B {|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A = （2）A ?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集 A B {|,x x A ∈或}x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 u C A {|,}x x U x A ∈?且 （1）(C u A) (C u B)= C u (A B) （2）(C u A) (C u B)= C u (A B) （3）A (C u A)=U ； （4）A (C u A)= Φ． 例五，已知集合}{{x B x x A =<<-=,21}10< 高中数学（必修） 知识点总结 目录 目录 (1) 第一套 高一数学必修1 (1) 集合 (1) 函数 (2) 函数题型及常用方法与结论 (2) 高中数学必修2 (7) 第一章空间几何体 (7) 第二章直线与平面的位置关系 (7) 第三章直线与方程 (11) 第四章圆与方程 (13) 高中数学必修3 (16) 第一章算法初步 (16) 第二章统计 (22) 第三章概率 (25) 高中数学必修4 (28) 第一章三角函数 (28) 第二章平面向量 (30) 第三章三角恒等变换 (32) 高中数学必修5 (35) 第二套 必修1数学知识点 (39) 第一章、集合与函数概念 (39) 第二章、基本初等函数（Ⅰ） (39) 第三章、函数的应用 (41) 必修2数学知识点 (42) 第一章空间几何体 (42) 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 (42) 第三章：直线与方程 (43) 第四章：圆与方程 (44) 必修3数学知识点 (44) 第一章：算法 (44) 第二章：统计 (45) 第三章：概率 (46) 必修4数学知识点 (47) 第一章、三角函数 (47) 第二章、平面向量 (49) 第三章、三角恒等变换 (51) 必修5数学知识点 (52) 第一章：解三角形 (52) 第二章：数列 (53) 第三章：不等式 (53) 高一数学必修1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????高中数学课堂笔记--必修1
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