第十一讲 简单计数问题及二项式定理
知识点:
◆ 排列组合应用题大致可分为三大类:不带限制条件的排列或组合题,带有约束条件的排列或组合题;排列与组合的综合题.解此类问题常用的方法有:(1)相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,就是将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列,分作两步.(2)元素间隔排列应用题,一般采用“插空法”.
◆ 解决排列、组合综合问题要遵循的原则:(1)按事情发生的过程进行分步;(2)按元素的性质进行分类:①特殊元素优先法.②特殊位置优先法.③先不考虑附加条件,最后,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列或组合数.
例题1:有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行。如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种?
例题2:有五张卡片,它们正、反面上分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起,组成三位数,共可组成多少个不同的三位数? 知识点:
◆ 二项式定理:()n n n r r n r n n n n n n
b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110(*∈N n )
,其通项是=+1r T r
r n r n b a C - (r=0,1,2,……,n )
,知4求1,如:555
156b a C T T n n -+==,特别地:()n
n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101(*∈N n ).
◆ 二项展开式系数的性质:①对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二
项式系数相等,即 ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====,②增减性与最大值:在二
项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n 偶数:()
1
22
max
+==n n
n r
n
T C C ;如果二项式的幂指数是奇数,
中间两项的二项式系数相等并且最大,即()
1
211
212
12
1max
+++-+-====n n n n
n n
r
n
T T C C C ,③所有二
项式系数的和用赋值法可以证明等于n 2即n n
n n n C C C 210=+++ ,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即131202-=++=++n n n n n C C C C .
◆ 二项式定理的应用:近似计算和估计、证不等式,如证明:()N n n n n
∈≥>,322取
()n
n 112+=的展开式中的四项即可.
◆ 特别注意:①二项式的展开式共有n+1项,r r n r n b a C -是第r+1项, ②通项是=+1r T r r n r n b a C -
(r=0,1,2,……,n )中含有r n b a T r ,,,,1+五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素, ③当n 不是很大,|x |比较小时可以用展开式的前几项求n x )1(+的近似值.
例题3:已知8)(x
a
x -展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是?
例题4:n
n n n n n C C C C 13
21393-++++ 等于?
例题5:若n 为奇数,则77771
2211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是?
例题6: 在24
3
)1(x
x +的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有? 例题7: 在65)1()1(x x ---的展开式中,含3x 的项的系数是? 例题8: 35)1()1(x x +?-的展开式中3x 的系数为? 练习题:
1. 有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数 . A.0 B.1 C.2 D.3
2. (8
2展开式中不含..4
x 项的系数的和为 .
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.若S=123100
123100
A A A A +++
+,则S 的个位数字是 . A 0 B 3 C 5 D 8
4.在
100的展开式中,有理项的个数是 . A.15个
B.33个
C.17个
D.16个
5.若x=2
1
,则(3+2x)10的展开式中最大的项为 .
A.第一项
B.第三项
C.第六项
D.第八项 6.二项式43
1(2)3n
x x -的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为 . A .7
B .12
C .14
D .5
7.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为 . A .1440 B .-1440 C .-2880 D .2880
8.在51
(1)x x
+
-的展开式中,常数项为 . (A )51 (B )-51 (C )-11 (D )11
9.若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N ,且:3:1a b =,则n 的值为 .
A.9
B.10 C.11 D.12
10.若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++???+++x a x a x a a ,则=9a .
(A ) 9 (B )10 (C )9- (D )10-
11.若二项式6)sin (
x x
-θ
展开式的常数项为20,则θ值为 . A. )(22Z k k ∈+ππ B. )(2
2z k k ∈-π
π C. 2π D. 2π-
12.5310被8除的余数是 .
A 、1
B 、2
C 、3
D 、7
13.已知i x +=2,设4
44334224141x C x C x C x C M +-+-=,则M 的值为 .
14.已知324735---=x x x A C ,则x = .
15.已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n x
x 2)1
2(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
16. (12分)在二项式n 1
的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列
(1)求展开式的常数项; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中各项的系数和。 17.已知n x
x )21(4?+
的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.
(1)求展开式中所有的x 的有理项; (2)求展开式中系数最大的项.
18. (12分)已知n m ,是正整数,n m x x x f )1()1()(+++=的展开式中x 的系数为7, (1) 试求)(x f 中的2x 的系数的最小值;
(2) 对于使)(x f 的2x 的系数为最小的n m ,,求出此时3x 的系数; 19.已知(x 3+
2
1x )n
展开式中有第六项的二项式系数最大,求:(1)展开式中不含x 项;(2)C 0n -21C 1n +41C 2n -81C 3n +…+(-1)n ·n 2
1
C n n 的值.
专项-二项式定理 知识点 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的次数和等 于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与 b 的系数(包括二项式系数) 。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
二项式定理 性质:说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节,分四个课时.这里讲的是第一课时,重点是公式的推导,其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用,至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式,这一小节与不少内容都有着密切联系,特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于: (1)由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系,本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. (2)由于二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数以及计数原理的认识. (3)基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. (4)二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下: 重点:二项定理的推导及运用 难点:二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理,培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现,探索新知的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过数学的对称美,培养学生的审美意识.
三、教法分析: 新的数学课程标准提出:掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果. 四、教学过程: (一)创设情境,激发兴趣 提出问题:“今天是星期六,我能很快知道再过810天的那一天是星期几,你能想出来吗?” 设计意图:根据教学内容特点和学生的认识规律,给学生提出一些能引起思考和争论性的题目,即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境,利用问题设下认知障碍,激发学生的求知欲望. (二)问题初探 (1)、从具体问题入手,启发学生将这个问题转化成一个数学问题:“求810被7除的余数是多少?”因为8=7+1,82=(7+1)2=72+2﹡ 7+1,83=(7+1)3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=(7+1)10又如何展开呢?更一般的(a+b)10、(a+b)n 如何展开?从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出(a+b) 2、(a+b) 3、(a+b)4的展开式,然后提出用这种方法写出(a+b)10的展开式容易吗?(a+b)100、(a+b)n呢?对于这个问题,我们如何解决?
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点:1.整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2.运算性质: ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ,),()(Z n m a a mn n m ∈=,)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3.注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a >0,m ,n ∈N *,且n >1) 例题: 例1求值:43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式: 1) a a a a a a ,,32 32?? (式中a >0) 2)43a a ? 3)a a a 例3计算下列各式(式中字母都是正数));3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式: );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简:)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值:.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ,1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理知识点及11种答题技巧 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
小题精练:计数原理与二项式定理(限时:50分钟) 1.甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的选 法共有( ) A .3种 B .6种 C .9种 D .12种 2.(2013·高考四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a , b ,共可得到lg a -lg b 的不同值的个数是( ) A .9 B .10 C .18 D .20 3.(2013·高考全国卷)(x +2)8 的展开式中x 6 的系数是( ) A .28 B .56 C .112 D .224 4.将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习,若每班至少安排1名教师,则不同的分 配方案种数为( ) A .12 B .36 C .72 D .108 5.(2014·济南市模拟)二项式? ?????x 2-13x 8 的展开式中常数项是( ) A .28 B .-7 C .7 D .-28 6.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中,不许有空盒且任意一 个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,则不同的放法有( ) A .36种 B .45种 C .54种 D .84种 7.一个盒子里有3个分别标有号码1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放 回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A .12种 B .15种 C .17种 D .19种 8.(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x +2+m)9 =a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2 +…+a 9(x + 1)9 ,且(a 0+a 2+…+a 8)2 -(a 1+a 3+…+a 9)2 =39 ,则实数m 的值为( ) A .1或-3 B .-1或3 C .1 D .-3 9.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合 数”中首位为2的“六合数”共有( ) A .18个 B .15个 C .12个 D .9个 10.设复数x =2i 1-i (i 是虚数单位),则C 12 013x +C 22 013x 2+C 32 013x 3+…+C 2 0132 013x 2 013 =( ) A .i B .-I C .-1+i D .1+i 11.(2014·郑州市质检)在二项式? ?? ???x +1 2·4x n 的展开式中,前三项的系数成等差数列, 把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( )
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-,1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=, 即二项式系数和等于2n ; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n m n n C C -=. (2)二项式系数k n C 增减性与最大值: 当12n k +< 时,二项式系数是递增的;当1 2 n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n n C -和12n n C +相等,且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质:f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 1.(2010·湖北高考文科·T6)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( ) (A)65(B)56(C)565432 2 ????? (D)6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查考生的逻辑推理能力. 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座,故6名同学的安排可分6步进行,每步均有5种选择,由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座,故6名同学的安排可分6步进行,每步均有5种选择,因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座,故每位同学的选择都有5种,共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”,它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆,再分配”的思想将6名同学分为5堆,再分给5个不同的讲座, 有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.(2010·湖北高考理科·T8)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是() (A)152 (B)126 (C)90 (D)54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理,考查排列、组合知识的应用,考查考生的运算求解能力.【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作知,司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类:①司机只安排1人;②司机安排2人,然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时,有 123 343 C C A =108(种);当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类 计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种). 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加,因此属于不同元素的分组问题,解题时往往采用“先分堆,再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制,则甲、乙二人各有3种选择,丙、丁、 戊各有4种选择,因此共有33444576 ????=(种)安排方案. 3.(2010·全国高考卷Ⅱ理科·T6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( ) (A)12种(B)18种(C)36种(D)54种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决,先从3个信封中选取一个放入标号为1,2的2张卡片,然后剩 余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1,2的卡片放法有A 1 3种,其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种,所以共有A132 2 2 4 C C=18 (种). 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.
二项式定理第一课时教学设计 广西北海市第五中学蒙旭芬 一、教材分析: 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高,结合新课标的理念,制订如下的教学目标和教学重,难点)。 教学目标: 1、知识目标:通过对二项式定理的学习,使学生理解二项式定理,会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律,利用它能对二项式展开,进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册(下A)》的第十章第四节,它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块,也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系,利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此,二项式定理起着承上启下的作用,是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时,本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力,学生思维也较活跃,但创新思维能力较弱。在学习过程中,大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程,因而对定理、公式不能做到灵活运用,更做不到牢牢记住。(根据以上分析 2、能力目标:在学 3、情感目标:通过“二项式定理”的学习,培养学生解决数学问题的兴趣和信心,让学生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用的简洁美,进一步结合“杨辉三角”,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。 一、教学重点,难点,关键: 重点: (1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程,理解和掌握二项展开式的规律。 (2)利用二项展开式的规律对二项式展开,进行相应的计算。 (3)区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。 难点:
二项式定理 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和: ⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数1 2n n C -,12n n C +同时
二项式定理 【2011?新课标全国理,8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( ). A .-40 B .-20 C .20 D .40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理. (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数;展开式共有n +1项. 注意:(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1 时,系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中,第r+1项的二项式系数为r n C ,第
3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等( m n m n n C C- = ). 【方法技巧提炼】
(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小,可考虑把它展开得到多个;②观察()()a b c d ++是否可以合并;③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式,综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为( ) A .1 B .46 C .4245 D .4246
答案: D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .
答案: 632 例5 若对于任意实数x,有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ,则2 a的值为()
二项式定理公开课教案 1、重点:二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点:二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1:若今天是星期一,再过30天后是星期几?怎么算? 预期回答:星期三,将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2:若今天是星期一,再过)(8*∈N n n 天后是星期几?怎么算? 预期回答:将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少,也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么?这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了。 2、新授 第一步:让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+; 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+; 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1:请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答:下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2:以5 )(b a +的展开式为例,说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。 预期回答:①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列,且两个字母的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1项;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
20.1.1 排列的概念 【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义;掌握排列数公式及推导方法; 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列,并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展,总结数学规律,培养学习兴趣。 【教学重难点】 教学重点:排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点:排列数公式的推导 【教学课时】 二课时 【教学过程】 合作探究一:排列的定义 我们看下面的问题 (1)从红球、黄球、白球三个小球中任取两个,分别放入甲、乙盒子里 (2)从10名学生中选2名学生做正副班长; (3)从10名学生中选2名学生干部; 上述问题中哪个是排列问题?为什么? 概念形成 1、元素:我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列:从n个不同元素中,任取m(m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序 .....排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ....。 说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列(与位置有关)(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数:从n个不同元素中,任取m(m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数,用符号m n A表示 议一议:“排列”和“排列数”有什么区别和联系? 4、排列数公式推导
探究:从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少?3n A 呢?m A n 呢? )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n (,,m n N m n *∈≤) 说明:公式特征:(1)第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个 因数是1n m -+,共有m 个因数; (2),,m n N m n * ∈≤ 即学即练: 1.计算 (1)4 10A ;(2)25A ;(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???L ,那么m = 3.,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( ) A .5079k k A --B .2979k A -C .3079k A -D .3050k A - 答案:1、5040、20、20;2、6;3、C 典型例题 例1. 计算从c b a ,,这三个元素中,取出3个元素的排列数,并写出所有的排列。 解析:(1)利用好树状图,确保不重不漏;(2)注意最后列举。 解:略 点评:在写出所要求的排列时,可采用树状图或框图一一列出,一定保证不重不漏。 变式训练:由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?并写出所有的 排列。 5 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中,m =n 全排列数:(1)(2)21!n n A n n n n =--?=L (叫做n 的阶乘). 即学即练:口答(用阶乘表示):(1)334A (2)4 4A (3))!1(-?n n 想一想:由前面联系中( 2 ) ( 3 )的结果我们看到,25A 和3 355A A ÷有怎样的关系? 那么,这个结果有没有一般性呢? 排列数公式的另一种形式:
2019高考数学最新分类解析专题10计数原理 和二项式定理(理) 一.基础题 1.【2013年山东省日照市高三模拟考试】设 321x x ??+ ??? 旳展开式中旳常数项为 a ,则直线 y ax =与曲线2y x =围成图形旳面积为 A.272 B.9 C.92 D.274 【答案】C 【解析】.∵x x 23 1 ( ) 旳展开式中旳常数项为 23C ,即3a =. 2.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若 3 1() 2n x x - 旳展开式中第四 项为常数项,则n =( ) A .4 B .5 C .6 D .7 3.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生,4位女生中选派4位代 表参 加一项活动,其中至少有两位男生,且至少有1位女生旳选法共有 ( ) A .80种 B .100种 C .120种 D .240种 【答案】B 【解析】 2231 5454100C C C C +=. 4.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字旳三位数,其中偶数旳个数为 A.36 B.30 C.24 D.12 【答案】C 【解析】若选1,则有 21232212C C A =种·若选0,则有232 332()12C A A -=种,所以共有 121224+=,选C.
5.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在高三(1)班进行旳演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序旳排法种数为 A. 24 B. 36 C. 48 D.60 6.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参 加社会公益活动,若选出旳4人中既有男生又有女生,则不同旳选法共有 A . 140种 B . 120种 C . 35种 D . 34种 7.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】 51(2) 2x -旳展开式中2x 旳系数是( ) A .5 B .10 C .-15 D .-5 【答案】D 【解析】由二项式旳通项公式得2x 旳系数为 22 3 5 12()5 2 C -=- 8.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】从装有2个红球和2个黑球旳口袋内任取2个球,则恰有一个红球旳概率是 (A) 13 (B) 12 (C) 23 (D) 56 【答案】C 【解析】P = 1122 24 C C C =2 3 故选C ·
排列组合及二项式定理概念及公式总结 1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理, 如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. (1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 (2)排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定 0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 (1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用m n C 表示 (2)组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或 )! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且
1.3.1二项式定理说课稿 执教人:罗杰 一、 说教材 二项式定理一节,分三个课时.这里讲的是第一课时,重点是公式的推导,其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用,至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式,这一小节与不少内容都有着密切联系,特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于: (1) 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系,本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. (2) 由于二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数的认识. (3) 基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. (4) 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 因此,结合重点中学学生的实际情况,确定本节课的教学目标如下: 1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 2、通过探索二项式定理,培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现,探索新知的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过数学的对称美,培养学生的审美意识. 重点:二项定理的推导及运用 难点:二项式定理及通项公式的运用 二 、说教法、学法: 新的数学课程标准提出:掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.没有途径,学生无法达到目的,因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则,既要重视学生的参与过程,又要重视知识的重现过程.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果. 三、 教学过程: (一)、复习引入: ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++; ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式,
高中数学19种答题方法及6种解题思想一.十九种数学解题方法 1.函数 函数题目,先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域,其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式,优先选择数形结合的思想方法; 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说,在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点,二次函数的对称轴或是……; 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目,优选特殊值法; 5.参数的取值范围 求参数的取值范围,应该建立关于参数的等式或是不等式,用函数的定义域或是值域或是解不等式完成,在对式子变形的过程中,优先选择分离参数的方法; 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面,可以转化为最值问题,注意二次函数的应用,灵活使用闭区间上的最值,分类讨论的思想,分类讨论应该不重复不遗漏; 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成,直线与圆锥曲线相交问题,若与弦的中点有关,选择设而不求点差法,与弦的中点无关,选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式; 8.曲线方程 求曲线方程的题目,如果知道曲线的形状,则可选择待定系数法,如果不知道曲线的形状,则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点); 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率,建立关于a、b、c之间的关系等式即可; 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值,优先考虑化为一次同角弦函数,然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目,重视内角和定理的使用;与向量联系的题目,注意向量角的范围; 11.数列问题 数列的题目与和有关,优选和通公式,优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式,体会方程的思想; 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的,一定用传统做法完成,如果不是,可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同,熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3,而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防,注意连接“心心距”创造直角三角形解题; 13.导数 导数的题目常规的一般不难,但要注意解题的层次与步骤,如果要用构造函数证明不等式,可从已知或是前问中找到突破口,必要时应该放弃;重视几何意义的应用,注意点是否在曲线上;
第3讲二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式,复习时要熟练掌握这个公式,注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用. 基础梳理 1.二项式定理 (a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式. 其中的系数C r n(r=0,1,…,n)叫二项式系数. 式中的C r n a n-r b r叫二项展开式的通项,用T r+1表示,即通项T r+1=C r n a n-r b r. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n,C1n,一直到C n-1 n ,C n n. 3.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即C r n=C n-r n . (2)增减性与最大值: 二项式系数C k n,当k<n+1 2时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分 是逐渐减小的; 当n是偶数时,中间一项C n 2n取得最大值; 当n是奇数时,中间两项C n-1 2n,C n+1 2n取得最大值. (3)各二项式系数和:C0n+C1n+C2n+…+C r n+…+C n n=2n;
C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1. 一个防范 =C r n a n-r b r,注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同,运用二项式定理一定要牢记通项T r +1 但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指C r n,而后者是字母外的部分.前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负.一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明,也可根据次数,项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续. 两种应用 (1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等. (2)展开式的应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式;②可证明不等式;③可证明整除问题;④可做近似计算等. 三条性质 (1)对称性; (2)增减性; (3)各项二项式系数的和; 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结. 双基自测 1.(2011·福建)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(). A.80 B.40 C.20 D.10 =C r5(2x)r=2r C r5x r, 解析T r +1 当r=2时,T3=40x2. 答案 B 2.若(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),则a+b=(). A.45 B.55 C.70 D.80 解析(1+2)5=1+52+10(2)2+10(2)3+5(2)4+(2)5=41+29 2 由已知条件a=41,b=29,则a+b=70.