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数列经典复习

《数列》复习与训练新方案尝试

黄冈中学吴校红

第一部分用类比法归纳《数列》的基础知识、

等差数列与等比数列的有关知识比较一览表

此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系：

数列双基复习训练（A ）

（满分：100分时间：60分种）

一．选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）

1．数列 ,10,6,3,1的一个通项公式是（）

A ．)1(2--n n

B ．12

-n C ．

2)1(+n n D ．2

)

1(-n n 2．已知数列{}n a 满足)2()1(11≥-+=--n a a a n n n n 且11=a ，则

a a = （） A ．２ B ．

14 C ．４ D ．12

3．等差数列{}n a 的首项11=a ，如果521,,a a a 成等比数列，那么公差d 等于（） A ．2 B ．-2 C ．2或0 D ．2±

4．数列的前n 项和2522-+=n n s n ，则此数列一定是（） A ．递增数列 B ．等差数列 C ．等比数列 D ．常数列

5．凸五边形各内角度数成等差数列，则其中必有一个内角等于（） A ．

108 B ．

120 C ．

90 D ．

6．在a 和)(b a b ≠两数之间插入n 个数，使它们与b a 、组成等差数列，则该数列公差为

（）

A ．

n a b - B ．1+-n a b C ．1+-n b a D ．2

+-n a

b 7．设等比数列{}n a 的前n 项和

c s n

n -=3, 则c 等于（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

8．一个等比数列的前n 项和为48，前n 2项和为60，那么前n 3项和为（） A ．84 B ．75 C ．68 D ．63

9．设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5 < S 6, S 6 = S 7 > S 8，则下列结论错误的是（） A ．d <0 B ．a 7=0 C ．S 9>S 5 D ．S 6、S 7均为S n 的最大值 10．{}n a 是一个等差数列且171074=++a a a ，771454=+++a a a ．若13=k a ，则

ｋ等于（）Ａ．16 Ｂ．18 Ｃ．20 Ｄ．22 11．等比数列前n 项和为S n ,有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是（）Ａ．S 1 Ｂ．S 2 Ｃ．S 3 Ｄ．S 4

12．若相异三数a(b-c),b(c-a),c(a-b)组成以q 为公比的等比数列，则q 满足的方程是（） A. q 2-q+1=0 B 、q 4+q 2-1=0 C 、q 2+q+1=0 D 、q 4+q 2+1=0

二．填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

13．在等比数列中，25=a ，则此数列前九项之积为._____ 14．若()()41+=+n f n f ，且()21=f ，则()._____100=f 15．在等比数列{a n }中，a 72a 11=6, a 4+a 14=5, 则

a a =_________. 16．已知等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 9成等比数列，则

429

31a a a a a a ++++=_________.

三．解答题（共两道小题，每小题12分，共24分）

17．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，试求这个数列的公比和项数．

18．已知函数y =n

1log 2

(n ?N *). (1)当n =1,2,3,…时，已知函数的图象和直线y =1的交点的横坐标依次记为a 1,a 2,a 3,…. 求证：a 1+a 2+a 3+…+a n <1.

(2)对每一个n ?N *

,设A n 、B n 为已知函数图象上与x 轴距离为1的两点，求证：n 取任意一个正整数时，以线段A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切，并求这条直线的方程和切点的坐标.

数列双基复习训练（B ）

（满分：100分时间：60分种）

一．选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）

1．命题甲是“a,b,c 成等比数列”，命题乙是“b=±ac ”那么（） A ．甲是乙的充分非必要条件 B ．甲是乙的必要非充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲不是乙的充分条件也不是必要条件

2．已知等差数列｛a n ｝中，,1,16497==+a a a 则12a 的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ． 64 ３．等比数列｛a n ｝中a 2－a 1=9, a 5－a 4=576 , 则

a a 的值等于（） A ．46 B ．64 C ．

461 D ．64

1 ４．在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以

为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形

5．已知-9，a 1, a 2,-1四个实数成等差数列；-9，b 1, b 2, b 3,-1五个实数成等比数列，则b 2（a 2－a 1）等于（） A ．-8 B ．8 C ．-89 D ．8

9 6．如果数列｛a n ｝的前n 项和S n =

a n －3，那么这个数列的通项公式是（） A ．a n =2（n 2+n+1） B ．a n =3·2n C ．a n =3n+1 D ．a n =2·3n 7．若两个等差数列｛a n ｝．｛

b n ｝前n 项和A n 和B n 满足2741

7++=

n n B A n n （n N ∈*），则11

11b a 的值是

A ．

47 B ．23 C ．34 D ． 71

78 （） 8．已知等差数列前n 项和为S n ,若S 12>0，S 13<0,则此数列中绝对值最小的项是（） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项

9．已知｛a n ｝是等比数列，a 1=2,q=3,又第m 项至第n 项和为720，则m 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．在各项均为正数的等比数列｛a n ｝中若a 4·a 7=9,则log 3a 1+log 3a 2+…＋log 3a 10等于（） A ．8 B ．10 C ．12 D ． 14 11．若关于x 的方程x 2-x +a =0和x 2-x +b =0(a ≠b )的四个根可组成首项为

的等差数列，则a +b 的值是（）

13 D.

31 12．等比数列中，S 10=10，S 10=(1+2)S 5,则S 40等于（） A ．150 B ．-200 C ．150或-200 D ． 400或-50 选择题答题卡(请将以上选择题的答案填入下面的表格中)

二．填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

13．等差数列｛a n ｝中a 3=10, a 3,a 7,a 9成等比数列，则公差d= __________．

14．在

和4之间插入10个数，使它们成等比数列，则插入10个数的积为 _______． 15．集合M=｛m ︱m=7k+3, k ?N *

, 100

①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 这里n 为大于1的整数,S n 为｛a n ｝的前n 项和. 三．解答题（共两道小题，每小题12分，共24分）

17．有4个数，其中第1、第3、第4个数成等差数列，第1、第2、第4个数成等比数列，若首末两个数之和为20，中间两个数之积为80，求这四个数．

18．陈老师购买安居工程集资房一套72m 2,单价为1000元/m 2，国家一次性补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，

签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%（按复利计息），那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元，可参考数据：1.075 9≈

1.921,1.07510

≈2.065,1.07511≈2.221)．

数列双基复习训练（A ）参考答案

二、填空题

13.29(=512) 14.398 15.

23或32 16.1或16

13 三、解答题

17．解: 设该等比数列｛a n ｝的公比为q, 项数为2n,则

)

(1253126421

2531--++++=++++=++++=n n n a a a a q a a a a S a a a a S 偶奇

所以,q=

170

奇

偶S S =2 又 255=+奇偶S S ,所以2551)

1(21=--q

q a n ，又已知11=a

所以，2562

2=n

,所求数列的项数为2n=8

18．解：(1)易知 a n =(

1)n , ∴ a 1+a 2+…+a n =.1)21(12

11)

21(2

11<-=--+n n

(2)令y=±1,求得A n ,B n 两点坐标分别为(n 2

,1)和(2n ,－1)，以A n B n 为直径的圆的C n 的方程为

0)1)(1()2)(2

1(=-++--

y y x x n n 配方得 222)2212()2212(n

n n n y x +=++-

∴所在圆C n 与y 轴相切于原点.

数列双基复习训练（B ）参考答案

二、填空题 13.0或4

14.32 15.2250 16.①④ 三、解答题

17．解: 设这四个数分别为4321,,,a a a a .依题意有:

,2413a a a +=

,4122a a a =

,2041=+a a

.8032=a a

求得16,10,8,44321====a a a a 或4,10,8,164321====a a a a .

18．解：设每年应付款x 元.陈老师个人需付款7231000-28800-14400=28800,由分期付

款的知识,可得方程:

x x x +++++=+? 8910%)5.71(%)5.71(%)5.71(28800 即 1

%)5.71(1

%)5.71(%)5.71(288001010

-+-+?

=+?x 所以 4200

%)5.71(%

5.7%)5.71(288001010≈-+?+?=x . 答: 陈老师每年应付4200元.

第三部分用“模式化”方法抓好两个专题的复习无论是从本章的知识结构还是从高考的命题规律来看，数列问题的研究通常离不开对数列的通项公式与前n项和的研究，所以我们把数列通项公式的求法与前n项和的研究列为本章的两个热点专题．教师仍只是起导学的作用，放手让学生自己去查阅资料，整理出求通项公式的方法与求前n项和的方法．

“归纳-猜想-证明”是解决这两类问题的重要方法，除此之外，还要使学生明确针对不同的数列类型,如何选择最快捷的方法来求这个数列的通项或前n项的和？由此要求学生对这两类问题进行专题总结．让学生领会到“模式分析”、“层次解决”是解决数列问题的基本策略．提倡学生将“模型”与“方法”对应起来，以便在高考中能快速而又准确地解决好数列问题．教师筛选出学生中较好的归纳总结：

求数列{a n}通项公式的方法

（满分：100分时间：60分钟）

一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)

1、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（）

A 、a n = 1－(－1)n

B 、a n =1＋(－1)n ＋1

C 、2sin 22πn a n =

D 、a n =(1－cosn π)＋(n －1)(n －2) 2、等差数列{a n }中，d 为公差，前n 项和为s n =-n 2则

（）

A 、a n =2n-1 d=-2

B 、 a n =2n-1 d=2

C 、 a n = -2n+1 d=-2

D 、 a n = -2n+1 d=2

3、若数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，那么这个数列的前3项为（） A 、-1，1，3 B 、2，1，0 C 、2、1、3 D 、2、1、6

4、数列{}n a 中，),1(11100≥+++==-n a a a a a n n ，则当1≥n 时，=n a （）

A 、n 2

B 、)1(2

1+n n C 、12-n D 、12-n

5、数列-1，7，-13，19，…的通项公式（）

A 、2n-1

B 、-6n+5

C 、(-1)n 36n-5

D 、(-1)n

(6n-5) 6、数列{n a }满足1a =1, 2a =

32，且n

n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则n a 等于（）． A 、

12+n B 、(3

2)n -1 C 、(32

)n D 、22+n

7、在等比数列{a n }中．前n 项的和为s n ，且s n =2n -1则a 12+a 22+222+a n 2等于 ( ) A 、 (2n -1)2 B 、

31(2n -1)2 C 、 4n -1 D 、3

(4n -1) 8、已知数列{n a }中，)(2,211*+∈+==N n n a a a n n ，则100a 的值是（） A 、9900 B 、9902 C 、9904 D 、11000 9、已知数列{a n }中，,21,111n

n a a a a +=

=+则这个数列的第n 项n a 为（）

A 、2n-1

B 、2n+1

C 、

121-n D 、1

+n 10、已知数列{a n }中，对任意的*

∈N n 满足42

2++=n n n a a a ,且4,273==a a ，则15a 的

值是（）

A 、8

B 、12

C 、16

D 、32

11、设函数f 定义如下，数列{x n }满足x 0=5,且对任意自然数均有x n+1=f(x n ),则x 2005的值

12、把正整数按下图所示的规律排序:

1→2 5→6 9→10… ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 3 →4 7→8 11…

则从2004到2006的箭头方向依次为( )

↓ ↑ 2005→ →2005 A 、2005→ B 、 →2005 C 、 ↓ D 、 ↓

二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)

13、12,311+=-=-n n a a a ，则=n a ________________.

14、设数列{n a }是首项为1的正数数列，且),3,2,1

(0)1(12

21 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式是_______________.

15、设数列{n a }满足)3)((3

,313421121≥-=-==

---n a a a a a a n n n n ，，则数列{n a }的通项公式为n a ＝_________________.

16、n n n a a a 23,111+==+，则=n a _________________. 三、解答题(共24分)

17、(12分)写出下列数列的一个通项公式

（1）32-，83，154-，24

5，356-，… （2），

，，，1716

1095421 （3）7，77，777，7777，… （4）23，45，169，256

,…

18、(12分)已知数列{}n a 中，3

1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a .

数列的通项公式的求法训练题参考答案

13、12--n

14、n 1 15、2)3

1(2161-?+-=n n a 16、n n 23- 三、解答题

17、（1）1

)1(1

)1(2-++?-=n n a n

n （2）122+n n

（3）)110(97-?=n

n a （4）1

12-+=n n n a

18、解：首先由n n a n n S )12(-=易求递推公式： 1

2,)32()12(11+-=

∴

-=+--n n a a a n a n n n n n 5

12521221=--=∴

--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：

)

12(12(1

)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=

∴-+=

?--+?---=n n a n n n n n n n n a a n n

求数列{a n }的前n 项和的方法

数列的求和训练题

（满分：100分时间：90分钟）

一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)

1、数列{a n }的通项公式是a n = 1

1++n n (n ?N*),若前n 项的和为10,则项数为

（）

A ．11

B ．99

C ．120

D ．121

2、数列{a n }中,a 1= －60,且a n+1 =a n + 3,则这个数列的前30项的绝对值之和为（） A ．495 B ．765

C ．3105

D ．120 3、化简S n = n+(n －1)32+(n －2)32 2+……+232 n －

2+2 n －1

的结果是

（）

A ．2 n+1+2－n －2

B ．2 n+1－n+2

C ．2 n －n －2

D ．2 n+1－n －2

4、若数列{a n }是公差为2

的等差数列,它的前100项和为145, 则a 1 +a 3+a 5+… +a 99 的值是

（）

A ．60

B ．72.5

C ．85

D ．120

5、数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n －

1),……前n 项的和是（）

A ．2 n

B ．2 n －2

C ．2 n+1－n －2

D ．n2n

6、设数列{x n }满足log a x n+1 =1+ log a x n ,且x 1+x 2 +…… +x 100 =100,则x 101+x 102 +……+x 200的值为

（）

A ．100a

B ．101a 2

C ．101a 100

D ．100a 100

7、已知数列{a n }的前n 项的和S n = n 2－4n+1,则|a 1|+|a 2|+……+|a 10|的值是（） A ．56 B ．61

C ．65

D ．67

8、已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1) =2,则f(1)+f(2)+……+f(n)不能是（）

A ．f(1)+2f(1)+…+nf(1)

B ．f[

)

1(+n n ] C ．n(n+1) D ．n(n+1)3f(1)

9、将一条宽为5cm 的长纸条绕在一个直径为2cm 的厚纸筒上,共绕了600圈,成为一个直径为10cm 的圆筒,这条纸条的长度是（）

A. 36m π

B. 45m π

C. 60m π

D. 72m π

10、一小球从100m 的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来高度的一半,当它第10次落地时,小球共经过的路程是（）

A. 19299

64 B. 2529964 C. 3929964 D. 4529964

11、若等差数列{}n a 中,

24121n n a n a n -=

-,则 2n n

S = （） A.4n B.4 C.2n D.2 12、已知数列{}n a 的前n 项和n S =

N n a n ∈-,13

，那么 ++++n a a a 242的值是（）

（A ）—3 （B ）—1 （C ）3 （D ）1

二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分) 13、{a n }是等差数列，且a n ≠0,则

211a a + 3

a a +……+ 11+n n a a = _________.

14、数列{a n }的通项公式为a n = ???

???+为偶数）（为奇数n n n n

22)

(15 则数列的前2m 项的和S 2m = __________.

15、求和：)12)(1(532321++++??+??=n n n S n =_________________. 16、设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：

n n n n C a C a C a S +++=+ 11001=______________________. 三、解答题(共24分)

17、（12分）已知等比数列前ｎ项的和为2,其后2n 项的和为12,求再后面3n 项的和.

18、（12分）)4(2

≥n n 正数排成n 行n 列

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,321333323122322211131211 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知

,81,1434224===a a a ,求nn a a a a ++++ 332211的值．

数列的求和训练题参考答案

二、填空题 13、

1+n a a n 14、22

2-+++m m m 15、)2()1(212++n n n 16、d n n 1

2)2(-+

三、解答题

17、解：∵ 数列{a n }为等比数列，∴S n ，S 2n －S n ,S 3n －S 2n ，…，也成等比数列，公比为q n ，于是，问题转化为已知A 1=2, A 1q n +A 1q 2n =12, 要求A 1q 3n +A 1q 4n +A 1q 5n 的值．

由前面两式相加，解得：q 2n +q n +1=7 ∴ q n =2或q n =-3

∴ A 1q 3n +A 1q 4n +A 1q 5n =A 1q 3n (1+ q n + q 2n )=2 q 3n (1+7)=14（q n ）3=?????-=-=)

3(378)

2(112n

q q 18、略解：依题意，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，设这个公比为q ，又设第一行组成的等差数列的公差为d ，可得方程组：

数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)

数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且23 1n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n a a += -，* N n ∈.

求证：11n a ?? ??-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.

2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2)8 n n a S +=则，数列n a 3 4）1a +求数列a （三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a

（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 1a = （4 （四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a

2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a （1 （2 （六）求周期 16 （1） 121,41n n n a a a a ++==-，求数列2004a

2021年河北省高考数学总复习：数列

第 1 页共 28 页 2021年河北省高考数学二轮解答题专项复习：数列 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，S 7＝14，数列{b n }满足b 1?b 2?b 3?b n = 2n 2+n 2．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若数列{c n }满足c n ＝b n cos （a n π），求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差设为d ，由a 2＝1，S 7＝14，可得a 1+d ＝1，7a 1+21d ＝14，解得a 1＝d =12，则a n = 12+12（n ﹣1）=12n ；由b 1?b 2?b 3?b n =2n 2+n 2，可得b 1?b 2?b 3…b n ﹣1＝2n(n?1)2（n ≥2），两式相除可得b n ＝2n （n ≥2），对n ＝1也成立，故b n ＝2n （n ∈N *）；（2）c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （12n π），则T 2n ＝2cos π2 +22cos π+23cos 3π2+24cos （2π）+…+22n ﹣1cos （12（2n ﹣1）π）+22n cos （n π）＝22cos π+24cos （2π）+…+22n cos （n π）＝﹣22+24﹣26 +…+（﹣1）n ?22n =?4(1?(?4)n )1+4=?4+(?4)n+15． 2．已知数列{a n }，满足a 3＝4，a n +1＝2a n +（﹣1）n +1a n +（﹣1）n n ，n ∈N *．（Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求证：数列{a 2n ﹣1+12}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）当n ＝2时，a 3＝2a 2﹣a 2+2，解得a 2＝2．当n ＝1时，a 2＝2a 1+a 1﹣1，解得a 1＝1．证明：（Ⅱ）由于a n +1＝2a n +（﹣1）n +1a n +（﹣1）n n ，当n ＝2k 时，a 2k +1＝a 2k +2k ①，当n ＝2k ﹣1时，a 2k ＝3a 2k ﹣1﹣（2k ﹣1）②，把②代入①得到a 2k +1＝3a 2k ﹣1+1，所以a 2n+1+12a 2n?1+12=3a 2n?1+1+12a 2n?1+ 12=3(a 2n?1+12)a 2n?1+12=3（常数）．所以数列{a 2n ﹣1+12}是以32为首项，3为公比的等比数列；

高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

高一数学数列知识总结知识网络

二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值

的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：

数列常见题型总结经典(超级经典)

数列常见题型总结经典(超级经典) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）???-=-11n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=，求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.

例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

数列复习知识点总结

数列一、知识梳理 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列 {}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②?? ?≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使 +∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得 M a n >. 等差数列 1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1 （+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列 {}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1 , +==-奇偶奇偶；

数列全章知识点总结

数列知识点题型方法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）；（2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

高二数学数列复习小结

课题:数列复习小结(一) 教学目得: 1.系统掌握数列得有关概念与公式 2.了解数列得通项公式n a 与前n 项与公式n S 得关系. 3.能通过前n 项与公式n S 求出数列得通项公式n a . 授课类型:复习课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程: 一、等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构二、知识纲要 (1)数列得概念,通项公式,数列得分类,从函数得观点瞧数列. (2)等差、等比数列得定义. (3)等差、等比数列得通项公式. (4)等差中项、等比中项. (5)等差、等比数列得前n 项与公式及其推导方法. 三、方法总结 1.数列就是特殊得函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合得思想. 2.等差、等比数列中,a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”,体现了方程(组)得思想、整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列得前n 项与时要考虑公比就是否等于1,公比就是字母时要进行讨论,体现了分类讨论得思想. 4.数列求与得基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等. 四、等差数列 1相关公式: （1）定义:),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+ (2)通项公式:d n a a n )1(1-+=(3)前n 项与公式:d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+=

(4)通项公式推广:d m n a a m n )(-+= 2、等差数列}{n a 得一些性质 (1)对于任意正整数n,都有21a a a a n n -=-+ (2)}{n a 得通项公式2()(2112a a n a a a n -+-= (3)对于任意得整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+,那么r q p a a a a +=+ (4)对于任意得正整数r q p ,,,如果q r p 2=+,则q r p a a a 2=+ (5)对于任意得正整数n>1,有12-++=n n n a a a (6)对于任意得非零实数b,数列}{n ba 就是等差数列,则}{n a 就是等差数列 (7)已知}{n b 就是等差数列,则}{n n b a ±也就是等差数列 (8)}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都就是等差数列 (9)n S 就是等差数列{}n a 得前n 项与,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列,即(323m m m S S S -=(10)若)(n m S S n m ≠=,则=+n n S (11)若p S q S q p ==,,则(q p S q p +-=+ (12)bn an S n +=2,反之也成立五、等比数列 1相关公式: (1)定义:)0,1(1≠≥=+q n q a a n n (2)通项公式:1-=n n q a a (3)前n 项与公式:?? ???≠--==q 1)1(1q 11q q a na S n n (4)通项公式推广:n m n q a a -=2、等比数列}{n a 得一些性质 (1)对于任意得正整数n,均有1 21a a a n n =+ (2)对于任意得正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+,则r q p a a a a =(3)对于任意得正整数r q p ,,,如果r p q +=2,则2 q r p a a a =(4)对于任意得正整数n>1,有12 +-=n n n a a a (5)对于任意得非零实数b,}{n ba 也就是等比数列 (6)已知}{n b 就是等比数列,则}{n n b a 也就是等比数列

数列全部题型归纳(非常全面-经典!)讲解学习

数列全部题型归纳(非常全面-经典!)

数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n a a +=-，*N n ∈.

求证：11n a ????-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.

2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2) 8n n a S +=则，数列n a 3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111 ,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列 n a 4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a （三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a

（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式. （4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2 n n S n a a ==则，数列n a （四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12 n n a a a -== +(2)n ≥，数列n a

高三数学总复习数列专题复习

高三数学总复习数列专题复习第一课时 1、设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且23S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列的通项公式． 2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．（1）写出数列 {}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求证数列?? ? ? ??-+n n a )1(32为等比数列，并求出{}n a 的通项公式． 3、已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=?a a a a （Ⅰ）求通项 n a ；（Ⅱ）若数列 }{n b 是等差数列，且 c n S b n n += ，求非零常数c ； 4、数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n +1=n n 2 +S n (n =1,2,3，…)．证明：(i)数列{n S n }是等比数列；(ii)S n +1=4a n . 答案： 1、设数列 {}n a 的公差为d 由题意得：???+=++=+)2(464)2(9)33(11121d a d a d a d a ?? ?==00 1d a 或 ??? ????==98941d a 因为0≠d 所以 98,941== d a 94 98-=n a n

2、（1）在 1,)1(2≥-+=n a S n n n 中分别令3,2,1=n 得： ??? ??-=+++=+-=1 2121 23321 22111a a a a a a a a a 解得： ??? ??===201 3 21a a a （2）由1,)1(2≥-+=n a S n n n 得： 2,)1(21 11≥-+=---n a S n n n 两式相减得： 2,)1(2)1(21 1≥----+=--n a a a n n n n n 即： 2,)1(221≥--=-n a a n n n n n n n n n n a a a )1(32 )1(342)1(32)1(342111---+=----=--- ) 2)()1(32 (2)1(3211≥-+=-+--n a a n n n n 故数列?? ?? ??-+n n a )1(32是以31321=-a 为首项，公比为2的等比数列．所以 1231)1(32-?=-+n n n a n n n a )1(32 2311-?-?=- 3、（1）设数列 {}n a 的公差为d 由题意得：?? ?=+=++22 52117 )3)(2(111d a d a d a ???==411d a 或 ???-==421 1d a （舍去）所以： 3 4-=n a n （2） n n n n S n -=-+= 222) 341( 由于 c n S n + 是一等差数列故b an c n S n +=+对一切自然数n 都成立即： bc n b ac an b an c n n n +++=++=-)())((222 ?????=-=+=012bc b ac a ??????? -===2102c b a 或 ?????=-==0 12c b a （舍去）

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ，解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

数列常见题型总结经典

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法１．前ｎ项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11 n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和2 12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122 -=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T 练习：１、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。答案：???=-12 2n n a )2() 1(≥=n n 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n n a 32?= 3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2 2n S T n n -=，求数列}{n a 的通项公式. 4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +）５、设数列{}n a 满足2 *12333()3 n n a a a a n N +++= ∈n-1 …+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。形如)(1n f a a n n =-+型（累加法) （１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。（２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n ，证明2 1 3-=n n a 例2．已知数列{}n a 的首项为1，且* 12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。 3。形如 )(1 n f a a n n =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =1 1-?n q a 。 (2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法．例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n 练习： 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2 +=n n a n ２、求数列)2(1 232,111 ≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4。形如s ra pa a n n n += --11 型（取倒数法) 例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1 211 ≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a

2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-3 数列的综合应用

专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC → ，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016 D.2 013 解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1，故S 2 015＝a 3＋a 2 0132·2 015＝ 2 015 2.故选A. 答案：A 2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6 D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤b 4＋b 6，由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C 3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1 ，S 2a 2 ，…，S 9 a 9 中最大的是( ) A.S 1a 1 B.S 8a 8 C.S 5a 5 D.S 9a 9 解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ， S 9＞0，S 10＜0，所以????? 9a 5＞0， a 5＋a 6＜0，

高一单招数学数列全章知识点(完整版)

数列知识梳理一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题： (1)当1a >0,d<0时，满足?? ?≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：

（1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：① ? ? ? ≥ - = = - )2 ( )1 1 1 n S S n S a n n n （；②{} n a等差、等比数列{}n a公式. 1、已知{a n}满足a n+1=a n+2，而且a1=1。求a n。例1已知 n S为数列{}n a的前n项和，求下列数列{}n a的通项公式： ⑴1 3 22- + =n n S n ；⑵1 2+ =n n S. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①) ( 1 n f a a n n + = + ；②). ( 1 n f a a n n = + 数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n2 )1 ( 2 ) ( 1 1 - + = + = 2、等比数列求和公式： ?? ? ? ? ≠ - - = - - = = )1 ( 1 1 ) 1( )1 ( 1 1 1 q q q a a q q a q na S n n n 二.裂项相消法:适用于 ? ? ? ? ? ? +1 n n a a c 其中{ n a}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例2 求数列 )1 (n 1 + n 的前n项和 ***这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） 1 1 1 )1 ( 1 + - = + = n n n n a n

高考数列专题总结(全是精华)

数列专题复习（0929）一、证明等差等比数列 1．等差数列的证明方法：（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法：（1）定义法： 1 n n a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥ 例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75， T n 为数列｛n S n ｝的前n 项和，求T n ．解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋21 n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,57,1311d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21 （n －1）． ∵ 2111=-++n S n S n n ，∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为2 1 ， ∴T n ＝ 41n 2－4 9n ．例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…）求证：数列{a n }是等比数列；解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=t t a a t t 323,32312+= + 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴t t a a n n 33 21+= -，（n =2，3，…）所以{a n }是一个首项为1，公比为 t t 33 2+的等比数列. 练习：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；答案 .(2) 21 3 n n T -=,21 3 1n n a -=-; 二．通项的求法（1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。解：由条件知：1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ （3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例4．已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈

高三复习数列知识点总结

数列专题解析方法一、数列通项公式的求解类型一：观察法例 1: 写出下列数列的一个通项公式（1）3,5,9,17,33 ，；（2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2)

例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式类型四：累加法形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1

数列全章知识点总结

数列知识点题型法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知* 2 () 156 n n a n N n =∈ + ，则在数列{}n a的最大项为__（ 1 25 ）；（2）数列} { n a的通项为 1 + = bn an a n ，其中b a,均为正数，则 n a与 1+ n a的大小关系为___（ n a< 1+ n a）；（3）已知数列{} n a中，2 n a n n λ =+，且{} n a是递增数列，数λ的取值围（3 λ>-）；（4）一给定函数) (x f y=的图象在下列图中，并且对任意)1,0( 1 ∈ a，由关系式) ( 1n n a f a= + 得到的数列} { n a满足) (* 1 N n a a n n ∈ > + ，则该函数的图象是（A） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断法：定义法 1 ( n n a a d d + -=为常数）或 11 (2) n n n n a a a a n +- -=-≥。如设{} n a是等差数列，求证：以b n= n a a a n + + +Λ 2 1* n N ∈为通项公式的数列{} n b为等差数列。 2．等差数列的通项： 1 (1) n a a n d =+-或() n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{} n a中， 10 30 a=， 20 50 a=，则通项 n a=210 n+；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值围是______ 8 3 3 d <≤ 3．等差数列的前n和：1 () 2 n n n a a S + =， 1 (1) 2 n n n S na d - =+。如（1）数列{} n a中， * 1 1 (2,) 2 n n a a n n N - =+≥∈， 3 2 n a=，前n项和 15 2 n S=-，则 1 3 a=-，10 n=；（2）已知数列{} n a的前n项和2 12 n S n n =-，求数列{||} n a的前n项和 n T （答： 2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈ ? =? -+>∈ ?? ）. 4．等差中项：若,, a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 2 a b A + =。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、n a及n S，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2 a d a d a a d a d --++…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3 a d a d a d a d --++,…（公差为2d）三．等差数列的性质： 1．当公差0 d≠时，等差数列的通项公式 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和2 11 (1) () 222 n n n d d S na d n a n - =+=+-是关于n的二次函数且常数项为0. 2．若公差0 d>，则为递增等差数列，若公差0 d<，则为递减等差数列，若公差0 d=，则为常数