定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用
梁桂萍
（广州华夏职业学院，广东广州５１０９３５）
摘要：定积分是微积分中重要内容．它是解决许多实际问题的重要工具，是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学、化学、经济学等各个领域。本文通过具体事例来研究定积分在经济学中的应用，例如求总量生产函数、投资决策、最大值与最小值，消费者剩余与生产者剩余。
关键词：定积分，边际函数，最大值最小值；消费者剩余；生产者剩余
微积分是微分学和积分学的总称，它的创立被誉为“人类精神的最高胜利”。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学、化学、经济学等各个领域。尤其定积分，是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用。
一．由边际函数求原函数问题
由边际函数求原函数，既可以用不定积分来做，又可以用变上限积分来求，例如利用需求函数、边际成本、边际收益、边际利润求总需求函数、总成本函数、总收入函数以及总利润函数。
设函数材（功的边际函数为“７仅），则有
“（习＝“（ｏ）＋Ｌ“’（ｊｆ）出
例１：已知某产品的边际成本函数为ｃ，（ｘ）＝２算＋３６，固定成本ｃ（０）＿５００元，求总成本函数。
解：总成本函数为
时）＝ｃ（ｏ）＋ｐ（枇
＝５∞＋Ｉ：：＝ｃ２ｘ＋３６）‘＆＝５∞＋０２十３６∞Ｉ：＝５∞＋工２＋３６王
二．由变化率求总量问题
若已知边际成本为ｃ’（曲，则在产量ｘ＝‰的基础上，再多生产缸个单位的产品所需增加的成本为△ｃ２Ｊ＝一（曲出。
例２：已知某种产品每天生产ｘ单位时的固定成本为ｃ（０）＝８０元，边际成本ｃ，（ｘ）＝Ｏ．６ｚ＋２０（单位：元），求：产量由１０个单位增加到２０个单位时的总成本的变化量。
解：所求的总成本的变化量为△ｃ＝Ｉ：ｃ，（功出
＝Ｉ：．（ｏ．缸＋２０皿：（ｏ３，＋２０ｚＩ嚣：２∞元。
三、求函数的最大值和最小值
例３：设生产ｘ个产品的边际成本以ｘ）＝１∞＋２ｊｒ，其固定成本为ｃ（Ｏ）＝１０００元，产品单价为５００元。假设生产出的产品能完全销售，问生产多少产品利润最大？并求最大利润。
解：总成本函数为“ｘ）＝Ｃｏ∞＋２ｆ坤＋ｃ（０）＝ｌ∞ｘ＋ｘ２＋ｌｏｏｏ
总收益函数为ＲＯ）＝５００ｘ
总利润函数为工（曲＝ＲＯ）一ｃ∽＝枷ｚ—ｚ２一ｌ咖
工７（曲＝４００—２ｘ
令工’（曲＝ｏ，ｘ：２００
因为工他∞）＜ｏ
所以生产量为２００单位时，利润最大。最大利润为Ｌ（２００）＝４００×２００一２０∥一１０００＝３９０００元。
例４：已知某产品的边际成本为ｃ’国）＝４碍一３（万元／百台），ｑ为产量（百台），固定成本为１８（万元），求最低平均成本。
解：因为总成本函数为ｃ（ｑ）＝ｌ（４窖一３）ｄ窖＝２鼋２—３鼋＋ｆ．１４２．Ｉ肇蚴ｍ∞ｓ印出协
当ｑ＝０时，Ｃ（ｑ）＿１８，得ｃ＝１８，即ｃ国）＝２９２—３９＋１８
又平均成本函数为彳Ｑ）＝半＝幻一３＋竽
一’（ｇ）２２一乒２０，解得ｑ＝３（百台）
因为∥（３）＞０
存在使平均成本最低的产量，所以当ｑ＝３时，平均成本最低，最低平均成本为＿（３）＝２ｘ３—３＋寻２９（万元／百台）
四、求消费者剩余与生产者剩余
如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格（如均衡价
格）购得某种商品时，由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余；如果生产者以比预期高的价格出售某种商品，由此所获得的额外收入，称它为生产者剩余。
例５：设某产品的需求函数是Ｐ＝３０—ｏ．２√蚕，如果价格固定在每件ｌＯ元，试计算消费者剩余。
解：已知需求函数ｐ＝３０—ｏ．２√Ｑ，
首先将ｐ．＝ｌｏ代入需求函数，即：３０—ｏ．２√Ｑ＝１０，得矿＝ｌｏｏ∞。
于是消费者剩余为：ｆ，４∽拉一Ｐ’Ｑ’＝Ｉ：誓印－０２压愆圳×ｌ舢
＝（３０Ｑ一丧Ｑ３）ｌ≯”～１００咖＝６６６６７元。
五．计算资本现值和投资
若有一笔收益流的收入率为ｆ（ｔ），假设连续收益流以连续复利率计算利息，从而总现值ｙ＝Ｃ，（ｆｋ…出。
例６：一对夫妇准备为孩子存款积攒学费，目前银行的存款的年利率为５％。以连续复利计算，若他们打算１０年后攒够５万元，计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱？
解：设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入Ａ元（即存款
流为ｆ（ｔ）＝Ａ），使得１０年后存款总额的将来值达到５万元，由
公式得Ｃ。詹４唧”协＝５∞∞
又弘嗍“协＝等
得彳：等＊４５１７（元）。
即这对夫妇每年应等额地存入４５１７元，１０年后才能为孩子攒够５万元的学费。
定积分在高等数学微积分理论中占主导地位，又和经济学
有紧密联系，本文只是定积分在经济学中应用的一部分。
参考文献：
【１】华东师范大学数学系，《：数学分析》，高等教育出版社，
１９９０．
【２】顾晓夏等：《经济数学》，北京理工大学出版衽，２００９．【３】通识教育规划教材编写组，《高等数学》，人民邮电出版社，２们０．
万方数据
定积分在经济学中的应用
作者：梁桂萍
作者单位：广州华夏职业学院,广东,广州,510935
刊名：
中国经贸
英文刊名：CHINA BUSINESS MONTHLY
年，卷(期)：2011(12)
参考文献(3条)
1.华东师范大学数学系数学分析 1990
2.顾晓夏经济数学 2009
3.通识教育规划教材编写组高等数学 2010
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