高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第6讲指数与指数函数知能训练轻松闯关理北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用
第6讲指数与指数函数知能训练轻松闯关理北师大版
1．(2016·哈尔滨模拟)函数f(x)＝的图像( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称 解析：选D.f(x)＝＝ex ＋，因为f(－x)＝e －x ＋＝ex ＋＝f(x)，所以f(x)是偶函数，
所以函数f(x)的图像关于y 轴对称．
2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小
关系是( )
A ．a B ．a C ．b D ．b 即a>b ，又0<0.60.6<1，1.50.6>1，所以a 3．化简(a>0，b>0)的结果是( ) A ．a B ．ab C ．a2b D.1a 解析：选 D.原式＝a －13b 12·a－12b 13a 16b 56 ＝a －－－·b＋－＝. 4．(2016·北京××区一模)已知奇函数y ＝如果f(x)＝ax(a>0，且a ≠1)对应的图 像如图所示，那么g(x)＝( ) A. B ．－? ????12x C ．2－x D ．－2x 解析：选D.由题图知f(1)＝，所以a ＝，f(x)＝， 由题意得g(x)＝－f(－x)＝－＝－2x. 5．若函数f(x)＝a|2x －4|(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 解析：选B.由f(1)＝得a2＝， 所以a ＝或a ＝－(舍去)，即f(x)＝. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上 递增，在[2，＋∞)上递减，故选B. 6．(2016·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x －2x<0恒成立，则 实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，1) B ．(－4，3) C ．(－1，2) D ．(－3，4) 解析：选C.原不等式变形为m2－m<， 因为函数y ＝在 (－∞，－1]上是减函数， 所以≥＝2， 当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立， 等价于m2－m<2， 解得－1 7．计算：×＋8×－＝________． 解析：原式＝×1＋2×2－＝2. 答案：2 8．已知正数a 满足a2－2a －3＝0，函数f(x)＝ax ，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)， 则m 、n 的大小关系为________． 解析：因为a2－2a －3＝0， 所以a ＝3或a ＝－1(舍去)． 故函数f(x)＝ax 在R 上递增，由f(m)＞f(n)，得m ＞n. 答案：m ＞n 9．(2016·太原质检)已知函数f(x)＝，g(x)＝－m ，若存在x1∈[1，3]，对任意的 x2∈[－1，1]，都有f(x1)≥g(x2)，则实数m 的取值范围是________． 解析：对于f(x)＝＝－，x∈[1，3]，令＝t ，则t∈.G(t)＝t －t2＝－＋，t∈，故G(t)有最大值，即f(x)max ＝.而g(x)＝－m 在[－1，1]上递减，所以g(x)max ＝g(－ 1)＝2－m.题目中“存在x1∈[1，3]，对于任意的x 2∈[－1，1]都有f(x1)≥g(x2)” 等价于f(x)max≥g(x)max，即≥2－m ，故m≥. 答案：??????74，＋∞ 10．(2016·济宁月考)已知函数f(x)＝(a －2)ax(a>0，且a ≠1)，若对任意x1，x2 ∈R ，>0，则a 的取值范围是________． 解析：当0 答案：(0，1)∪(2，＋∞) 11．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝；(2)y ＝ . 解：(1)显然定义域为R. 因为2x －x2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝为减函数． 所以≥＝. 故函数y ＝的值域为. (2)由32x －1－≥0，得32x －1≥＝3－2， 因为y ＝3x 为增函数，所以2x －1≥－2，即x≥－， 此函数的定义域为， 由上可知32x －1－≥0，所以y≥0. 即函数的值域为[0，＋∞)． 12．已知函数f(x)＝a|x ＋b|(a>0，a ≠1，b ∈R)． (1)若f(x)为偶函数，求b 的值； (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f(x)为偶函数， 所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)， 即a|x ＋b|＝a|－x ＋b|，|x ＋b|＝|－x ＋b|， 解得b ＝0. (2)记h(x)＝|x ＋b|＝? ????x ＋b ，x≥－b ，－x －b ，x<－b. ①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b≤2，b≥－2. ②当0 解析： 由题可知，函数y ＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，由图像可知，m ＝1，当0≤a≤2时，函数的最大值为f(－2)＝f(2)＝4，函数的值域为[1，4]．当a>2时，函数的值域为[1，f(a)]．因为f(a)>f(2)＝4，所以区间[m ，n]的长度的最小值为4－1＝3. 答案：3 3．已知函数f(x)＝. (1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x ＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减， 而y ＝在R 上递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，即函数f(x)的递增区间是 (－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x ＋3，f(x)＝， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有解得a ＝1， 即当f(x)有最大值3时，a 的值为1. 4．设f(x)＝(a>0，b>0)． (1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)设f(x)是奇函数，求a 与b 的值； (3)求(2)中函数f(x)的值域． 解：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f(x)＝， f(1)＝＝－，f(－1)＝＝， 所以f(－1)≠－f(1)，故f(x)不是奇函数． (2)当f(x)是奇函数时，有f(－x)＝－f(x)， 即＝－对任意实数x 成立． 化简整理得(2a －b)·22x＋(2ab －4)·2x＋(2a －b)＝0， 这是关于x 的恒等式， 所以所以(舍去)或?????a ＝1，b ＝2. (3)由(2)得f(x)＝＝－＋. 因为2x>0，所以2x ＋1>1，0<<1， 从而－ 所以函数f(x)的值域为. 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51 ）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 11.已知三个实数a,b=a a ,c=a a a ,其中0.9 分 数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ???=为偶数 为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1= - （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数 幂都适用 求值：4332 13 2)81 16(,)41(,100,8- -- ,23)425(-,423 981?,63125.132?? 计算：[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1 -++-+---- - 1.化简：（1）2 93 2 )- （2 （3） 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 -----第2课时指数函数的图像与性质 教材分析： 在学习了函数概念，掌握了函数的一些性质之后，学习的指数函数和对数函数，是两个重要的基本初等函数，通过学习可以加深理解函数概念、进一步探究函数的性质，更重要的是让学生了解系统地研究一类函数的方法。 学情分析： 学生对于函数基本性质知道的比较模糊，有些可以讲出函数的性质，却不会运用。对于与二次函数、方程、不等式等内容结合的综合性题要由易到难，让学生有一个理解的过程。教学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解指数函数的概念。 3.会判断指数函数的单调性以及指数函数图像通过的特殊点。 教学重点： 指数函数的概念和性质。 教学难点：用数形结合的方法从特殊到一般地探索、概括指数函数的性质。 教学过程： 一、知识梳理： (1)指数函数的定义 一般地，函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. (3)指数函数的性质 ①定义域:R. ②值域:(0，+∞). ③过点(0,1),即x=0时，y=1. ④当a>1时，在R 上是增函数；当0 ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0 ！ 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x . （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 2 1- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21 ）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） ) 2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》 咸丰一中数学组：青华 高考要求： （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点： 对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题． 知识梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是， 若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质 ①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=?? 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 课时作业8 指数与指数函数 一、选择题 1．化简4a 23 ·b － 1 3 ÷? ?????－2 3a － 13 b 23 的结果为( C ) A ．－2a 3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab 2．设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0， x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1， 即? ????12a <8，即? ????12a 因为0<1 2<1，所以a >－3， 此时－3－2)与指数函数y ＝? ?? ??12x 的图象的交点个数是( C ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：因为函数y ＝－x 2 －4x ＝－(x ＋2)2 ＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2 －4x ＝4， y ＝? ????12x ＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝? ?? ??12 x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C. 5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝? ?? ??120.3，b ＝log 12 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关 系是( B ) A ．a 1．给出下列结论： ②n a n＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)； ④若2x＝16,3y＝1 27，则x＋y＝7. 其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．②④答案 B 解析 ∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝1 27，∴y＝－3. ∴x＋y＝4＋(－3)＝1，故④错． 2．函数y＝16－4x的值域是() A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 答案 C 3．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是() A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对 答案 C 解析f(x)＝(1 3) x－1， ∵(13)x >0，∴f (x )>－1. 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 答案 D 解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5， ∵y ＝2x 在定义域内为增函数，∴y 1>y 3>y 2. 5．函数f (x )＝a x －b 的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．00，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D ．R 答案 B 8．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112 B ．0 技能训练（十） 指数与指数函数 序号：NO.10 日期：2019.12.19 【考纲传真】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象 通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13 的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型． 【知识通关】 1．根式 n 次方 根 概 念 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的__________，其中n ＞1，n ∈N * 表 示 当n 是_______时，a 的n 次方根x ＝n a 当n 是_______时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根 0的任何次方根都是__，记作n 0＝0 根式 概念 式子n a 叫做______，其中n 叫做________，a 叫做_________ 性质 (n a )n ＝__ 当n 为奇数时，n a n ＝__ 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝___________ 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n ＝_____ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a -m n ＝_______＝_______ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝_______ (a＞0，r，s∈Q)； ②(a r)s＝_____ (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝______ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞10＜a＜1图象 定义域R 值域_________ 性质 过定点______ 当x＞0 时， ______；x ＜0时， ________ 当x＞0时，________；x＜0时，_______ 在R上是 _______ 在R上是_______ 【题型全通】 [题型一]指数幂的化简求值 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 高考数学指数与指数函数 指数与指数函数 一、填空题 1. 已知f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________． 2. (－1.8)0 ＋(1.5)－ 2 × 23 338?? ??? －(0.01) － 0.5 ＋32 9＝ ________. 3. 指数函数y ＝? ?? ???b a x 的图象如图所 示，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的顶点横坐标的取值范围是________． 4. 已知0≤x ≤2，则y ＝12 4325x x --?+的最大值为________． 5. 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则g (x )＝a x ＋b 的图象是________． 6. (2011·新沂一中模拟)已知f (x )＝ ()11,02,0x a x a x a x ? -++?? ，则f (2 010)＝ ________. 二、解答题 10. 计算： ÷ 3 a －7 3 a 13； (2) 23 338- ??- ??? ＋12 0.002- －10(5－2)－1＋ 第5讲指数与指数函数 [考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底 数为2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知识梳理1．根式 (1)根式的概念 ①n a n＝ ?? ? ??a，n为奇数， |a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a＜0， n为偶数． ②(n a)n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝1 a p(a≠0，p∈N *)； ③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ④负分数指数幂：a n m -＝ a n m 1 ＝ 1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 (1)(4 －2)4＝－2.( ) (2)(教材探究改编)(n a n )＝a .( ) 2．对指数函数的理解 (3)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (4)y ＝? ?? ?? 1a x 是R 上的减函数．( ) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， §2.5 指数与指数函数 最新考纲 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n a ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m n a －＝ 1m n a (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正 分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋ s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质 概念方法微思考 1.如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的 大小关系为 ． 提示 c >d >1>a >b >0 2．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当01的解集为{x |x <0}． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N *)．( × ) (2)分数指数幂m n a 可以理解为m n 个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若a m 0，且a ≠1)，则m 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
高三数学复习教案：指数与指数函数教案
4.2 指数和指数函数练习题及答案
高三指数函数与对数函数第一轮复习
高考数学指数指数函数
高考数学-指数与指数函数讲义.doc
高三第一轮复习：指数函数的图像与性质
高考数学指数指数函数
艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数
指数与指数函数练习题及答案
2018年指数与指数函数高三第一轮复习讲义
2015高考数学二轮复习热点题型专题九 指数函数
高考理科数学一轮复习指数与指数函数专题复习题
指数函数练习题(包含详细答案)
10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案
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(完整版)指数和指数函数练习题及答案
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