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数学建模作业

小组成员：

例题G：

导弹攻击

某军一导弹基地发现正北方向120千米处海上有一艘敌艇以90千米/小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。

问题：

1 试问导弹在何时何地击中敌艇?

2 如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定,问导弹

何时何地击中敌艇?

3敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示?

相关知识点：

1.微分方程的几何应用和简单物理应用

2.高阶可降阶微分方程的解法

3.分离变量法

解题方法：

建立微分方程模型，是一个二阶方程, 通过降阶法化为一阶方程，然后用分离变量法求解。

解题过程：

第一步：

建坐标系，取导弹基地处为原点O (0,0), 轴指向正东方, 轴指向正北方.

设当t = 0时,导弹位于点O ,

敌艇位于(0, A )点,其中H = 120 (km). 导弹在t 时刻的位置为P (x (t ),y (t )).

如图：

o

H=120

Y

第二步：

由题意知

2

2

2

d d ,d d w x y v t t ????+= ? ?????

其中 450 (km/h)；而在时刻,敌艇位置为 ,其中 90(km/h). 由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰,

即直线的方向就是导弹轨迹上点的切线方向，故有

d ().d

e x

H y v t x y

-=-或写为 v w =

M v t H e (,)v e =

d ,d

e y H y

x v t x

-=-(2)

(1)

第三步：

将式(2)两边对 求导得到

t x

v t y y x y H t

y y x e d d )d d (d d )(d d d d 2

2

-=-+-即有 由于 ，式(1)可写为

d .

d v y

t

=e

v y H t

y y x =-)(d d d d 2

2

t

y

y x t x d d d d d d =

第五步：

令 , 记 ,则(5)化为一阶

可分离变量方程

d ,d p y H y

=-即

d()d .

H y p H y

λ--=

-y x p d d =w

e v v =λ第四步：

将式(4)代入(3)就得到一个二阶微分方程:

w e v v y

x y H y

x =+-1)d d ()(d d 2

22(5)

而方程的初始条件

00==y x 0d d 0

==y y

x

,

.

这个方程可以通过降阶法来求解.

积分

解

()(H y C p λ--=+由初始条件得 导出 , 从而

.

H p H y λ

??

+

= ?-??

,00==y p λ

-=H C 第六步：

注意到上式可改写为

(),

H y p H

λ

--

=-于是由上两式得到

1.2H H y p H y H λ

λ

????-??

=-?? ?

?-??

?????

?

这样我们又得到一个可分离变量方程

d 1.d 2x H H y y H y H λλ????-??

=-?? ? ?-????????

第七步： 积分得

1111()().2(1)1H y H H y x C H λλλ

λλλ+-??--=-+??+-??

利用 , 知 , 于

是导弹轨迹方程为

112

1()().2(1)11H y H H y H x H λλλ

λλλλλ

+-??--=-+??+--??(7)

x y ==00211λ

λ-=H

C

第二问：

亲爱的曹老师啊 不懂做啊！太难了！！

第三问：

答案： 其实,逃逸速度在导弹速度方向上分量最大也不

过135km/h ，远小于导弹速度450km/h ，所以，如果无救援的话，敌艇是死路一条。但现代军事技术发达，只要有时间就了生存希望，所以，逃逸还是与导弹速度方向一致最好。

2010-6-27

第八步：

设导弹击中敌艇于 ,以 代入

上式,得 而导弹击中敌艇的时刻

将数据 (km), (km/h), (km/h)

代入(8),(9)式,得

即导弹经过约0.278小时在距基地水平位移为25千米处击中敌艇.

B L H (,)y H =2

22,

1w e w e

Hv v H L v v λλ==--22.

w e w e

Hv L

T v v v ==-H =120v e =90630=w v L ≈0.278(h)

(9)

(8)

L=25(km)