2010年四川高考理科数学压轴题背景探源及解题思路赏析(李昌勇)

2010年四川高考理科数学压轴题背景探源及解题思路赏析1

李昌勇 宁 锐

（四川师范大学数学与软件科学学院 610068）

2010年是四川省第五次自主命制高考试题，压轴题在选拔优秀人才中起着举足轻重的作用．对于压轴题的深入研究，是把握压轴题的命题方向，寻找解题思路的有效途径．本文主要研究2010年四川高考理科数学压轴题的命题背景及其解题思路．

1 试题展现 设0(11)(>-+=a a a x f x x

且)1≠a ，)(x g 是)(x f 的反函数．

（I ）设关于x 的方程)()7)(1(log 2x g x x t a

=--在]6,2[上有实数解，求t 的取值范围． （II ）当e a =（e 为自然对数的底数）时，证明：)1(22)(22+-->

∑=n n n n k g n k ；

（III ）当210≤

|)(|与4的大小，并说明理由． 该试题以学生熟悉的函数入手，主要考查函数、反函数、方程、不等式、导数等基础知识，化归思想、分类整合思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．

2 背景分析 求函数0(11)(>-+=a a a x f x x

且)1≠a 的反函数是高一数学教学中常见问题，基本上每个学生都解决过，这使每个学生对此问题倍感亲切．在此基础上，通过设计三个独立的问题来全面考查学生方程、不等式、导数等方面的数学素养．第（I ）问比较常规，是学生常练的题型，中等偏上学生在时间允许前提下都能正确解决．第（II ）、（III ）问，题设的表现形式是不等式问题，对问题的解决需要较高的转换、构造等解题技巧以及恰当的数学策略，因此对于很多学生都是一个难点．如果我们从本问题的背景进行分析，我们可能会更加深入理解产生这些难点的原因．

第（II ）问是应用高等数学中的结论“若0>x ，则x x

x +≤+1)1ln(”来反向构造命制的，在本题中12

)1(-+=n n x ． 第（III ）问是研究∑=n

k k f 1)(在α变动条件下的多项式控制问题，这是数值计算分析中常研究讨论的问

题．

1 四川省哲学社会学“十一五”规划课题（SC09Z019）子课题（09JK09）

这就是作者对本题高等数学背景的理解，以供大家参考的．下面就本题解题思路及其解题策略作进一步分析．

3 解题思路赏析

下面探讨第（II ）、（III ）问的解法．

第（II ）问，当e a =时， 11ln 53ln 42ln 31ln )(2+-++++=∑=n n k g n

k )11534231ln(+????=n 2)

1(ln +-=n n ，问题首先转化等价证明：

)

1(222)1(ln 2+-+<+n n n n n n )2(≥n ． 思路1：注意到2)

1(2)

1(21

)1(22

++-=+-+n n n n n n n n ，想到构造函数x x x x F +-+=1)1ln()(，其中

212)1(≥-+=n n x ．由于01)1(2)11()(2<++-+-='x

x x x F ，从而)(x F 在),2[+∞上单调递减，于是32

3ln )2()(-=≤F x F ，直接证明32

3ln <，是有一定难度的！其处理方法之一再构造辅助函数．如

果认真观察)(x F '的结果，便可将辅助函数)(x F 的讨论区间定为),0(+∞，从而可得0)0()(=

思路2：注意到2)

1(12)1()1(22

2+-+=+-+n n n n n n n n ，想到构造函数x x x x H 1ln )(+-=，其中

3≥x ．由思路1类似处理，可将)(x G 讨论区间定为),1(+∞．

思路3：直接构造函数)

1(222)1(ln )(2+-+-+=x x x x x x x G ，将讨论区间限定为),1(+∞．通过01)1(2]

)1()[12(1)1(2]

2)1(22)[12()(22<++--+<++---++='x x x x x x x x x x x x G ，得)(x G 在),1(+∞单减，故

0)1()(=

评注：第（II ）问的证明，主要通过构造适当的辅助函数来证明．若想用数学归纳法证明，有两个难点．第一是当2=n 时，证明32

3ln <；第二是从假设k n =结论成立过渡到证明1+=k n 时结论也成

立．或许学生有构造辅助函数来证明问题的意识，但是由于整体思想以及恒等变形能力比较薄弱，使得不知道怎样构造辅助函数．

第（III ）问，根据问题所蕴涵的特征，首先化简|]1)([||)(|11-=-∑∑==n

k n k k f n k f

∑=-=n

k k k a a 112，将问题转化为比较∑=-n k k k a a 112与4的大小，通过特殊值2,1=n 试探，可以探讨出当210≤<α时4121<-∑=n

k k k

a a ．从而得出4|)(|1<-∑=n k f n k 的结论． 下面探讨证明当210≤<α时4121<-∑=n k k k a a 的解题思路．这类问题属于C k F n k ≤∑=1

)(型问题，解决这类问题的常见策略是：将)(k F 转化为无穷递缩等比数列、将)(k F 裂成两相邻两项的差，或者加强命题用数学归纳法证明．

思路1：因为210≤

<α，则21211)21(11=-≥-≥-k k a ，故211<-k a ． 于是4)211(4)2

1(4412111<-=≤<-∑∑∑===n n k k n k k n k k k a a a ． 思路2：因为210≤<α，则21212212211212--=≤-≤-=-k k k k k k a

a a ， 于是42

11)211(22112121<--=≤-∑∑=-=n n k k n k k k a a ． 思路3：令k k k a a b -=12，则a a a a b b k k k k <--=++111)1(，即k k k b ab b 2

11≤<+， 故21112212

112)21()21()21(21-----≤-=<<<<

k k n k k k a a b b b b ， 于是4211)211(22112121<--=≤-∑∑=-=n n k k n k k k a a ． 思路4：因为210≤<α，则)121121(21212211212111----=-≤-=-+-+k k k k k k k k a

a a )121121(41---<+k k ，于是4)1211(4)121121(41211

11<--=---<-+=+=∑∑n n k k k n k k k a a ．

思路5：设2≥k ，令p

a +=11，则1≥p ．从而有1)1(212-+=-k k k p a a 1

44)1(42221221+-=+=+≤+++=k k k k C C p C p C p C k k k k k k k ．于是当1=n 时， 4212<≤-a a ，结论成立；当2≥n ，)144(12122

1+-+-≤-∑∑==k k a a a a n k n k k k 41

4242<+-+≤n ． 思路6：注意到当210≤<α时，∑∑==-≤-n k k n k k k a a 111

2212，下面用数学归纳法容易证明其加强命题21214122-=-≤-∑n n

k k ，从而得4121<-∑=n k k k a a ． 评注：第(III)问的本质是证明21211<-∑=n

k k 成立．思路5是命题者所提供解法的大致思路． 通过研究，可以发现第（III ）问不等式相对比较粗糙，还可以借助其他手段或高等数学工具将它们进一步加细．