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定积分概念形成的教学设计

中国科教创新导刊I 中国科教创新导刊

2008N O.28

C hi na Ed uca t i o n I nno va t i o n Her a l d 理论前沿数学概念是反映事物本质上数学属性

的思维形式,它是数学的重要组成部分,它

具有极强的基础性。概念教学的效果如何

将直接影响学生对数学知识的理解和掌

握,关系到学生解题能力的培养与提高。

恩格斯曾说过:“在一定意义上,科学的内

容就是概念的体系。”正确理解数学概念

是掌握数学知识,获得数学能力的前提。

从一定意义上来说,数学水平的高低,取决

于对数学概念的掌握。因而,在概念的教

学中精心设计教学,使学生学好、用好,是

非常必要的。

定积分概念是微积分教学中的一个重

点,同时也是一个难点。教者难教,学者难

学,对此概念的意义学生往往不能真正理

解掌握,其主要原因在于,教师未能将隐含

于概念中的数学思想的基本思想和方法,

本人在教学过程中作了如下设计。

1抓好开端,激发学生的学习兴趣

讲课的开始,教师提出问题。

问题一:你知道圆的面积公式是如何得

来的?问题二:你了解刘徽的“割圆术”吗?

接着介绍我国古代杰出的数学家刘徽和

他的“割圆术”。割圆,就是在圆周上截取等

分点,得圆内接正多边形,它的面积小于圆面

积,并依次倍增正多边形边数,从而使其面积

逐步增加,边数越多,其面积就越接近于圆的

面积,只要这种分割无限进行下去,就可求得

圆面积值。这就是刘徽的“割圆术”。

问题三:“割圆术”的思想方法是什么?

学生回答“极限法的思想”,用圆内接

正多边形面积来求圆面积,要完成这种从

多边形到圆的过渡,就要人们在观念上,在

思考方法上要有一个突破。

这里的困难就在于多边形的周界是一

些直线段,而圆的周界是处处弯曲的,即面

临着“曲”与“直”这样一对矛盾。

唯物辩证法认为,在一定条件下,曲与

直的矛盾可相互转化。恩格斯深刻地指

出:“高等数学的主要基础之一是这样一个

矛盾,在一定条件下直线和曲线应当是一

回事。”整个圆周是曲的,每一小段圆弧却

可以近似地看成是直的,即在很小的一段

上可以近似地“以直代曲”。这种局部“以

直代曲”,“以不变代变”的思想是微积分

学的一个基本思想。

2通过引例,启发学生的思维

概念的获得主要有两个途径:形成、

同化。所谓形成就是在大多数条件下,学

生通过大量实例的研究,概括出一类事物

的本质属性,同化就是指学生利用自己原

有认知结构中相关概念去理解,以定义形

式出现的概念。定积分概念的产生起源于求平面图形的面积和一些其它量的求和问题,因此在定积分概念教学过程中,首先以两个引例来启发学生的思维,从中发现数学思想和方法。引例1计算曲边梯形的面积由于有一边是曲的,故面积不能用初等数学来求,在这里我们所面临的是“曲”与“直”的矛盾。要计算该面积,关键是解决好这一对矛盾。教师:如何计算曲边梯形面积?(提示:可先求其近似值)学生回答:用矩形面积或梯形面积。其思想:以直代曲。教师:怎样做可使其精确?(可适当提示分割)学生很容易想到:将大的曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形,而每个小曲边梯形的面积都可用小矩形的面积来代替,再求和。若分割的越细密,其精确程度越高,因此再利用极限的思想无限分割,再求极限。引例2求变速直线运动的路程在这里我们所面临的是速度的变与不变的矛盾,如同曲与直的矛盾双方可以相互转化一样,速度的变与不变这一对矛盾也可以相互转化,在整段时间内,速度是变的,但在很小的一段时间内,素段可以近似地看成不变。换句话,可以近似地“以匀速代变速”。要点为:划分区间,在小区间上以匀速代变速求出距离,再求和,求极限,其思想方法同上,其结果也是一个和式的极限。其思想方法:局部地以匀速代变速,以不变代变。3根据学生的思维特点,积极引导学生进行抽象概括所谓抽象,通常是指从具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性及关系等等的思维活动。数学抽象除具有抽象的一般共性外,又具有自己的特殊性质。其运用包括三个基本步骤:第一步是:面对一个或一类结构内容丰富或较复杂的原型,要通过观察、分析和思考将其中某个或某类特性分离出来。这一步需要辩识特性和分离特性。这里解决两个引例的基本思想和方法就是这类问题原型的特性。因此首先让学生回顾总结上述两个问题的解题思想和方法,归纳出解题步骤。这一点一定要让学生自己去总结归纳,学生也很容易做到。其思想:局部“以不变代变”、“以直代曲”。方法和步骤:分割区间;近似替代:在每个小区间上用小矩形面积近似替代小曲边梯形的面积,以匀速运动的路程近似替代变速直线运动的路程;求和;求极限。第二步是应用数学的形式语言精确地把上述分离出来的关系特性或特征表述出来。

这步的困难在于是否有现成的数学形式语言能足够精确地去表述被分离出来的特性或特征。如果缺乏现成的表述工具,则还需要引入新的术语和符号,把上述过程用数学语言表示出来。这一点只要教师略加提示学生就能完成。第三步是:合理地使用概括原则去把那些被明确表述的特性或特性界定为一个普通范畴,或者将所具备该形式化特性的对象定义成一个系统或族类。概括的思维过程就是通过分析综合把事物的一般的本质的属性联结起来,推广到同一类事物上去的过程。如果对于区间[a ,b]的任意分法及x i 的任意取法,

存在,则此极限值叫做函数f(x)在区间[a ,b]上的定积分。最后给出定义

:4深化概念教学,使学生对概念的认识得到升华给出定义后,教师应进一步指出:积就是积累的意思,普通加法是一种积累,积分也是一种积累,不过这种积累与普通加法不同,它要经过取极限的过程,即定积分是一个和式的极限。同时还应强调这些问题是不能用以前学过的初等数学方法来解决,要使学生明确这一类问题的本质属性所适合的外延。这里的面积、路程等都具有叠加性。促使学生将所学的概念与原认知结构中适当的概念发生联系,进而使学生原有的认知结构发生同化、顺应,扩展原有的认知结构。通过对概念实质的把握,提炼出其蕴含的数学观点和数学思想方法,使学生在理解的层次上达到一个新的高度,在认识上得到升华。这样的教学激发了学生的自我动机,自我实现,鼓励他们能自我评价,进而主动学习。有效地增强了学生学习的积极性、独立性和创造性。所得到的教学效果十分显著,以至在后期的定积分应用中,学生都能正确地将所学的数学思想和方法运用到解决实际问题中去。参考文献[1]侯风波.工科高等数学[M ].辽宁大学出版社,2006.[2]盛祥耀.高等数学[M ].高等教育出版社,2001.定积分概念形成的教学设计

金波

(建东职业技术学院江苏常州

213022)摘要:本文阐述了定积分概念的教学设计这一内容。关键词:定积分概念定积分概念的教学设计

中图分类号:G712文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2008)10(a)-0141-01141Chi na Ed uc at i on n no va t i on H e r a l d :

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