二次函数图像与abc专题
看抛物线图象确定a，b， c的关系式子的基本方法
1.a，b，c符号的确定方法
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y>0,则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
当x=1时，y=0，则a+b+c=0
(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对
应的y值决定。
当x=-1，y>0,则a-b+c>0
当x=-1，y<0,则a-b+c<0
当x=-1，y=0,则a-b+c=0
例1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）
A、a<0,b>0,c>0
B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0
D、a<0,b<0,c<0
练习1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为
（）
A、a>0,b>0,c=0
B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0
D、a>0,b<0,c=0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、△的符号
为（）
A、a>0,b=0,c>0,△>0
B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0
D、a<0,b=0,c<0,△<0
3.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，
判断a 、b 、c 的符号情况：a 0,b 0,c 0， b 2-4ac 0。
4.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点在第三象限，
则a 、b 、c 满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.
5.二次函数y=ax 2+bx+c 中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数
图象的顶点必在第 象限
例2.已知二次函数的图像如图所示，对称轴为x=1，下列结论：
⑴a+b+c<0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶0a
bc ⑷2a+b=0 （5）b 2-4ac>0
(6)4a+2b+c<0 (7)a+b+c 1.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a （5） b 2-4ac<0 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是 （ ） （1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ； （4）a ＜－2 b ． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 二次函数 y =a x 2 +b x +c (a ≠0)知识点及练习 一、y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的性质： 二、解读：①抛物线开口向上时，a ＞0；开口向下时，a ＜0；抛物线与y 轴交点在x 轴上方（即交于y 轴正半轴）时，c ＞0；反之，c ＜0. ②配方法确定顶点坐标：将y=ax 2+bx+c (a ≠0)转化为顶点式，y=ax 2+bx+c =a(x 2 +a b x+a c )=a[x 2 +2·a 2b +(a 2b )2 -(a 2b )2+a c ]=a(x+a 2b )2+a b 4ac 42- ③抛物线顶点横坐标- a b 2，若顶点在y 轴左侧时，-a b 2＜0即a b ＞0，所以a 、b 同号；反之a 、b 异号。 ④抛物线顶点纵坐标a b 4a c 42 -，根据a 的符号，判定其最值； ⑤抛物线与x 轴有两个交点，则b 2-4ac ＞0；一个交点b 2-4ac=0；没有交点b 2-4ac ＜0. 三、牢记： （1）二次函数各项系数与图像的关系 ①a ＞0<=>开口向上；a ＜0<=>开口向下 ②b=o<=>对称轴为y 轴；ab ＞0<=>对称轴在y 轴左侧；ab ＜0<=>对称轴在y 轴右侧 ③c=0<=>经过原点；c ＞0<=>与y 轴正半轴相交；c ＜0<=>与y 轴负半轴相交 （2）常用的二次函数的表达式有以下三种： ①一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0) ②顶点式：()2y a x h k =-+ （a ≠0） ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1与x2为二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像与x 轴交点的横坐标。 练习 一、 填空题： 1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 . 2. 函数2133 y x =---，当x= 时，函数有最 值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 . 4、二次函数y=x 2+2x-5取最小值时，自变量x 的值是 . 5、二次函数y=ax 2+4x+a 的最大值是3，则a= . 二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小． 2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<- a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边； 特别的，b = 0，对称轴为y 轴． 3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0，抛物线过原点． 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ； x= -1时，y=a - b + c ． 当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0． 扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。 一．选择题（共8小题） 1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．b +2a ＞0 2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．ac ＜0 D ．bc ＜0． 3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0； ②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0； ②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0； 二次函数系数a、b、c与图象的关系 知识归纳： 1.a的作用：决定开口方向和开口大小 2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置） 3.c的作用：与y轴交点的位置。 4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。 5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。 针对训练： 1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。 (1)a___0； b___0； c___0；△__0. (2)a___0； b___0； c___0；△__0. (3)a___0； b___0； c___0；△__0. (4)a___0； b___0； c___0；△__0. (5)a___0； b___0； c___0；△__0. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图， 用（＞，＜，=）填空： a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（） A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0 4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-b a）在第 象限． 5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac； (7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b 7.练习：填空 （1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒为负的条件： . （2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0的解得情况为： . 3题图4题图6题图 二次函数图像与系数a，b，c的关系 一．选择题（共35小题） 1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（） A．1个B．2个 C．3个 D．4个 2．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（） A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤ 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大 其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a； 其中正确的结论是（） 二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 一．选择题（共9小题） 1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当 x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正 确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的 图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1 ＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（） A．1B．2C．3D．4 5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．②③④D．①②④ 二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系 归纳： 二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________ （1）a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0. （2）b 的符号由 决定； ①对称轴在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ②对称轴在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③对称轴是y 轴 ?b 0. ④由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号． （3）c 的符号由 决定： ①抛物线与y 轴交于正半轴 ?c 0； ②抛物线与y 轴交于负半轴?c 0； ③抛物线过原点 ?c 0. （4）ac b 42-的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； （5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 【典型例题】 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 知识点8：待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的位置与a，b，c之间的关系，二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数之间的在联系 一、选择题 1.若A（），B（），C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（） A．B． C．D． 2.已知：二次函数的图像为下列图像之一，则的值为( ) A.－1 B． 1 C. －3 D. －4 3.已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 4.已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（） A．若，则B．若，则 C．若，则D．若，则 5.已知二次函数的图象如图所示，令，则 （） A．M>0 B. M<0 C. M=0 D. M的符号不能确定 6．二次函数的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（） A．B． C．D． 7.二次函数的图象与轴有交点，则的取值围是【】 A． B． C． D． 8.已知反比例函数的图象如下右图所示，则二次函数的图象大致为【】 14. （2008）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能 ．．是（） 9下列命题： ①若，则； ②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（）． Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．10．已知二次函数（其中）， 关于这个二次函数的图象有如下说法： ①图象的开口一定向上； ②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧． 以上说确的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 11.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜0 12.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（） A．3 B．2 C．1 D．0 13.已知二次函数的大致图象如图所示，那么函数的图象不经过（） A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限 14.．已知抛物线与轴的一个交点为， 则代数式的值为（） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 15.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0； ③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 二次函数abc组合的符号判断 对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况，分为三个层次，首先根据函数图象确定a，b，c符号以及对称轴信息，其次是找特殊点的函数值，获取等式和不等式，最后在判断残缺型符号时，将等式代入不等式。过程中考查学生读图，数形结合以及逻辑分析能力。 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) ? A. ②③ ? B. ③④ ? C. ②④ ? D. ①④ 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察 得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. a+b=0 ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 A B C D y O x y O x y O x y O x y O x 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系 1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ?? ??? ，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图 象为（ ） 正确的是 3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不（ ） A 、240b ac -> B 、0a > C 、0c > D 、 02b a -< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜0 5、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数x ab y =的图象的两个分支分别在第 象限。 6、已知反比例函数x k y =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( ) 7、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 8、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ） 9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 ＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 10、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ） 11、在同一坐标系中，函数y=ax 2 ＋bx 与y=x b 的图象大致是图中的（ ） 12、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 14、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ?? ??? ，在（ ） 二次函数与a b c的关系 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c； x= -1时，y=a - b + c． 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0． 扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。 反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴?b 2a ; 判别式b 2?4ac ; y =a +b +c……等等）的符 号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论： ①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3 其中正确的有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（ ） A ．有最大值4a B ．有最大值﹣4a C ．有最小值4 a D ．有最小值﹣4 a 1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2 +bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．②③④ 【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系 归纳： 二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为 ______________ （1）a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0. （2）b 的符号由 决定； ①对称轴在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ②对称轴在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③对称轴是y 轴?b 0. ④由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号． （3）c 的符号由 决定： ①抛物线与y 轴交于正半轴 ?c 0； ②抛物线与y 轴交于负半轴?c 0； ③抛物线过原点 ?c 0. （4）ac b 42-的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； （5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 【典型例题】 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b x y O 21 2 1； 1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b A B C D 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系 1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ?? ??? ，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 的大致图象为（ ） 3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、2 40b ac -> B 、0a > C 、0c > D 、02b a - < 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜0 5、 二次函数 c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数x ab y =的图象的两个分支分别在第 象限。 6、已知反比例函数 k y = 的图象如图所示，则二次函数2 22k x kx y +-=的图象大致为( ) 7、二次函数y=ax 2 与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 8、函数y=ax 2 ＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ） 9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 ＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 10、二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ） 【基本内容】 二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________ 1、a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0. 2、b 的符号由 决定； ①对称轴在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ②对称轴在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③对称轴是y 轴 ?b 0. 3、c 的符号由 决定： ①抛物线与y 轴交于正半轴 ?c 0； ②抛物线与y 轴交于负半轴?c 0； ③抛物线过原点 ?c 0. 4、ac b 42-的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ④特别的，当x =1时，y = ； 当x =-1时，y = . 二次函数的图象与性质具体如下图所示： 巩固练习： 1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列4个结论中：①abc>0；②b （1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b 2-4ac 0 （3）c b a ++ 0；c b a +- 0； （4）当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0>y 时，x 的取值范围是 . 3.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）. A.a ﹥0,bc ﹥0; B.a ﹤0,bc ﹤0; C. a ﹤0, bc ﹥0; D.a ﹥0, bc ﹤0 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0 C 、b=-4a D 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=5 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0 ③8a+c ＞0； ④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6．已知反比例函数x k y =的图象在二、四象限，则二次函数 222k x kx y +-=的图象大致为（ ） 7．（2014?威海）已知二次函数y= ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图， 则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1； ③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c； x= -1时，y=a - b + c． 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0． 扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。 反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的 一些关系结构（例如对称轴?b 2a ; 判别式b 2?4ac ; y =a +b +c……等等）的符号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论： ①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3 其中正确的有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（ ） A ．有最大值4a B ．有最大值﹣4a C ．有最小值4a D ．有最小值﹣4a 1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴 l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．②③④ 9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2 y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ） _次函数y = ax2? bx c图象的位置与abc的 关系 归纳： 二次函数y =ax2+bx +c的对称轴为________ 顶点坐标为 _______________________________________ (1)a的符号由 _______________________ 决定: ①______________ 开口方向向_____________________ = a ______________ 0；②开口方向向________________ = a ______________ 0. (2)b的符号由 __________________________________ ①对称轴在y轴的左侧a、b __________ ； ②对称轴在y轴的右侧二a、b ________ ； ③对称轴是y轴二b ______ 0. ④由对称轴公式x=:..：，可确定2a+b的符号? (3)c的符号由_____________________________ 决定： ①抛物线与y轴交于正半轴 =c ________ 0; ②抛物线与y轴交于负半轴c _________ 0; ③抛物线过原点 c _________ 0. (4) b2-4ac的符号由 __________________________________________________ 决定: ①抛物线与x轴有交点= b2-4ac0 ； ②抛物线与x轴有交点- b2-4ac0 ； ③抛物线与x轴有交点二b2-4ac0 ； (5)当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号 典型例题】 已知二次函数y=ax2+bx+c (a^0)的图象如图所示,则下列 4 个结论中：① abc>0 :② b 二次函数2 =++图象的位置与abc的关系 y ax bx c 【自主探索】 复习：二次函数2 =++的对称轴为________,顶点坐标为______________ y ax bx c 1.观察c + =2的图象，你能得到关于c y+ ax bx 、的哪些信息？ b a、 2.归纳： （1）a的符号由决定： ①开口方向向?a0；②开口方向向?a0. （2）b的符号由决定； ①对称轴在y轴的左侧?b a、； ②对称轴在y轴的右侧?b a、； ③对称轴是y轴?b0. （3）c的符号由决定： ①抛物线与y轴交于正半轴?c0； ②抛物线与y轴交于负半轴?c0； ③抛物线过原点?c0. 2-的符号由决定： （4）ac b4 ①抛物线与x轴有交点?b2-4ac 0； ②抛物线与x轴有交点?b2-4ac 0； ③抛物线与x轴有交点?b2-4ac 0； ④特别的，当x=1时，y=； 当x=-1时，y= . 考点难点，名师支招： 1.若同时出现啊a，b，c则用特殊点法。 解释： 2.若只出现a，b则用对称轴。 解释： 3.若只出现a，c或者b，c则用特殊点加对称轴。 解释 【课堂练习】 【典型例题】 已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b 二次函数系数a、b、c与图像的关系1 1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（） A A 3.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图1所示，则下列结 中，正确的是（） A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0 图1 图2 图3 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图2，关于该二次函数，下列说法错误的是 （） x= ＜ 5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论： ①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（） A 、1 B、2 C、3 D、4 6．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2 +k （a ＞0），其图象过点A （0，2），B （8，3），则h 的值可以是（ ） 7．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2－2(b －2)x ＋b 2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥54 B ．b ≥1或b ≤－1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤2 8．下列图中阴影部分的面积相等的是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 9．如图4是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0） 下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y ＞y ．其中说法正确的是（ ） 图4 图5 图6 10．如图5，二次函数y=x 2+（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右 侧，则m 的取值范围是（ ） 11．如图6是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴x=﹣1． 给出四个结论：①b 2 ＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）二次函数和abc的关系
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