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初三数学弧长和扇形面积公式整理版

初三数学弧长和扇形面积公式整理版
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初三数学弧长和扇形面积公式(启航文化)

启航教育

1. 圆周长:r 2C π= 圆面积:2r S π=

2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是360R

2π。

n °的圆心角所对的弧长是180R

n π 180R

n π=∴l

*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。

4. 在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=,所以圆心角为n °的扇形面积是: R l R n S 21

3602==π扇形(n 也是1°的倍数,无单位)l 为弧的长

5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算

圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l ,弧长为c ,圆心角为n (如图),则它们之间有如下关系: 180n c l

π=

同时,如果设圆锥底面半径为r ,周长为c ,侧面母线长为l ,那么它的侧面积是: l l r c 21

S π==圆侧面

圆锥的全面积为:2r r π+πl

圆柱侧面积:rh 2π。

弧长的公式、扇形面积公式

【本讲教育信息】 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

【教学设计】《2.7弧长及扇形的面积》(苏科版)

《2.7弧长及扇形的面积》本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书新苏科版九年级上册新课标实验教材《第2章圆》中的“弧长和扇形的面积”,这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式,并运用公式解决一些具体问题,为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。【知识与能力目标】 1.经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程. 2.会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题. 【过程与方法目标】 经历弧长和扇形面积计算公式的探索过程和应用过程,体会“整体与部分”的关系及类比、方程、转化等思想. 【情感态度价值观目标】 在应用中培养学生的分析问题.解决问题的能力. 【教学重点】 弧长与扇形的计算公式的推导与应用. 【教学难点】 弧长与扇形的计算公式的应用. 如图1是操场部分跑道圆弧形状的示意图,其中半径为20米,圆心角为180°. 你能求出这段跑道的长度吗? 【设计意图:从生活实际中引出计算弧长的必要性.】 二、引导探索

探索一:探索弧长公式 1.问题:刚才求的这段跑道的长度是180°的圆心角所对的弧长,若圆心角分别为90°、 45°、60°、1°、n°,如何计算它所对的弧长呢? 2. 归纳:如果圆的半径为R ,圆心角度数为n ,弧长为l ,那么弧长的计算公式为: . 【设计意图: 从由特殊的圆心角计算弧长入手,引导学生理解n°的圆心角所对的弧长实际上是圆周长的360 n ,体会“整体与部分”的关系.】 3. 练习1: (1)已知圆弧的半径为24,所对的圆心角为60°,它的弧长为 . (2) 已知一条弧的半径为9,弧长为3π,那么这条弧所对的圆心角为______. (3)如图2,已知AB 长为12πcm ,∠AOB=160°,则⊙O 的半径 . 【设计意图:引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式,理解l 、n 、R 这3个量之间的 一种相等关系.如果这三个量中,任意知道两个量,就可以根据公式求出第三个量.】 探索二:探索扇形面积公式 1. 扇形定义 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。如上图中,由AB 和半径 OA 、OB 所组成的图形叫做扇形OAB. 2. 辨析 下列各图中,哪些图形是扇形? 3. 尝试探索扇形的面积公式 (1)如上题图(3),圆的半径为R ,圆心角为90°,怎样计算该扇形的面积呢? (2)怎样计算圆心角是n 0的扇形面积?请同学们小组交流. 归纳:如果用字母 S 表示扇形的面积,n 表示圆心角的度数,R 表示圆半径,那么扇形面 积的计算公式为: . 【设计意图:类比弧长的计算公式,从“整体与部分”的关系来引导学生自主探索扇形面积公 式.】 4. 扇形的面积公式与弧长公式有什么区别?有什么联系? 扇形的弧长与扇形面积的关系为: .

弧长计算公式及扇形面积计算公式

教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:

《弧长和扇形的面积》说课稿

《弧长和扇形的面积》说课稿 一、说教材分析: (一)、说教材的地位与作用: 本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书,人教版九年级上册第24章《圆》中的“弧长和扇形面积”,从孩提时代的感觉圆形,到小学的认识图形,再到如今的系统学习,学生对圆的认识正在发生着质的变化。这节课是学生在前阶段学习了“圆的认识”“与圆有关的位置、关系”“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸。本课时在中考中占有一定的分值,掌握好这部分内容就是中考制胜的法宝,针对知识的形成过程,本节课创造性的使用教材,本节课的主要内容是在小学阶段学过的圆周长和面积公式的基础上,采用由特殊到一般的方法探索弧长及扇形面积公式,利用小组合作的方式让学生更好的理解弧长和扇形的面积的形成过程,让学生充分体验知识的形成过程,也注重数学方法的渗透。并运用公式解决一些具体问题,为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。对学生以后学习用动态解决数学问题的学习起到了铺垫作用。 (二)说教学目标 1、知识与技能(1)经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程; (2)了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题。 2、过程与方法(1)经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力。(2)了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力。 3、情感态度与价值观(1)经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。(2)通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力。(三)说教学重、难点 重点:弧长公式,扇形面积的推导及公式的应用。 难点:运用弧长和扇形的面积,计算组合图形的面积。 (四)说教法 针对九年级学生年龄特点和心理特点,以及他们现有的知识水平,通过小组合作与交流尝试练习促进共同进步,并用肯定的语言进行鼓励,激励学生。 引导学生积极思维、热情参与、大胆质疑、勇于实践,具体做法如下:(1)提问法----- 启发诱导、逐渐深入(2)讨论法----- 积极参与、求同化异(3)练习法----- 学生实践、巩固提高 二、说学生分析 (一)、说学生状况分析 九年级学生已经具备较强的逻辑思维能力和很好的表达能力。本班的学生学习能力一般,成绩中等较多。但是班级的学习积极较高,团结性较好,合作能力较好。因此学知识时要循序渐进,巩固基础,在逐步拓展提升。 (二)、说学法 通过小组合作共同探究引导学生借助圆的周长公式、面积公式正确理解弧长、扇形面积公式及推导,巩固应用公式计算,求简单组合图形的扇形面积,培养学生的创新能力和概括表达能力。让学生体验“从特殊到一般,再由一般到特殊”的辩证思想。

初三数学弧长和扇形面积公式整理版(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 1. 圆周长:r 2C π= 圆面积:2r S π= 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=,即360°的圆心角所对的弧长,因此, 1°的圆心角所对的弧长就是360R 2π。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n π 180R n π=∴l *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=,所以圆心角为n °的扇形面积是: R l R n S 2 13602==π扇形(n 也是1°的倍数,无单位)l 为弧的长 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶 点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l ,弧长为c ,圆心角为n (如图),则它们之间有如下关系: 180 n c l π= 同时,如果设圆锥底面半径为r ,周长为c ,侧面母线长为l ,那么它的侧面积是: l l r c 2 1S π==圆侧面 圆锥的全面积为:2r r π+πl 圆柱侧面积:rh 2π。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改

弧长公式及扇形面积公式

知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)

分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

弧长计算公式及扇形面积

课题: 课型:新授课 教学目标: 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力; 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题,训练学生的数学应用能力; 3.使学生了解计算公式的同时,体验公式的变式,使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质. 教学重点: 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形的面积计算公式;会利用公式解决问题. 教学难点: 探索弧长及扇形的面积计算公式;用公式解决问题. 教学准备: 多媒体课件、几何画板软件. 教法学法: 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程: 一、创设情境,引入新课. 师:今天大家是怎么来上学的? 生:自行车/电动车/步行/坐十路车. 师:看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的. 生发出会心的笑声. 师:大家看这辆自行车,它的车轮的半径是30cm,车轮转动一周,车子将会前进多少?

生:60πcm . 师:这实际上就是利用圆的周长公式计算的,那圆的面积公式是什么?圆的圆心角是多少度? 生:若圆的半径是r ,则面积是2S r π=,圆的圆心角是360°. 师:看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了,我们今天要来把圆剖析一下,来研究一下“弧长及扇形的面积”(板书课题). 设计意图:激发学生的求知欲望,肯定学生的合理答案. 二、师生互动,探究新知 活动1 探索弧长公式 师:我们知道车轮转动一周是360°,那如果车轮转动180°,车子将会前进多少厘米? 生:30πcm .因为车轮转动180°,是转动了半圈,所以车子前进的距离是圆周长的一半. 师:那如果车轮转动了90°,车子将会前进多少厘米? 生:15πcm .因为车轮转动90°,是转动了四分之一圈,所以车子前进的距离是圆周长的一半. 师:那如果车轮转动1°呢?转动n °呢? 小组研讨交流、计算. 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法. 生:因为圆的周长所对的圆心角是360°,所以车轮转动1°,车子将前进圆周长的 1 360 ;车轮转动n °,车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍,也就是圆周长的360n .所以,当车轮转动1°时,车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时,车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师:同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么? 学生思考. 生: 180 n l r π= . 师:是的,这里同学们要特别注意,公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数,所以不写单位;如图所示?AB 的弧长记作: ?180 l n AB r π=.请同学们记住这个公式. 学生识记公式. 设计意图:关于弧长的计算,我从一个生活中的实际问题出发,设计了5个小问题,从具体到抽象,让小组的同学讨论分

弧长和扇形面积—知识讲解

弧长和扇形面积—知识讲解 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并应用这些公式解决问题; 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式: n°的圆心角所对的圆的弧长公式:(弧是圆的一部分) 要点诠释: (1)对于弧长公式,关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即; (2)公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n和180都不带单位,R为弧所在圆的半径; (3)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径,知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式: n°的圆心角所对的扇形面积公式: 要点诠释: (1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的, 即; (2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆; (4)扇形两个面积公式之间的联系:. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1.如图(1),AB切⊙O于点B,OA=AB=3,弦BC∥OA,则劣弧BC的弧长为().

A B C .π D .3 2 π 图(1) 【答案】A. 【解析】连结OB 、OC ,如图(2) 则0OBA ∠?=9, ,0A ∠?=3,0AOB ∠?=6, 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=?=, 所以△OBC 为等边三角形,0BOC ∠?=6. 则劣弧BC 的弧长为 60=1803 π,故选A. 图(2) 【总结升华】主要考查弧长公式:. 举一反三: 【变式】制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,?试计算如图所示的管道的展直长度,即 的长(结果精确到0.1mm) 【答案】R=40mm ,n=110 ∴的长==≈76.8(mm) 因此,管道的展直长度约为76.8mm . 2.如图,⊙O 的半径等于1,弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积(结果保留π)

弧长及扇形的面积

弧长及扇形的面积 教学目标 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程; 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题. 教学重点 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程. 2.了解弧长及扇形面积计算公式.会用公式解决问题. 教学难点 1.探索弧长及扇形面积计算公式. 2.用公式解决实际问题. 教学过程 一.创设问题情境,引入新课 如图是圆弧形状的纸扇示意图,纸扇的半径为10cm,圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗?纸扇面积是多少? 弧是圆周的一部分,扇形是圆的一部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索. 二.活动与探究 探究一、1、已知⊙O半径为R,求n°圆心角所对弧长. (1)圆周长是多少? (2)1°圆心角所对弧长是多少? (3)n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍? (4)n°圆心角所对弧长是多少? 如果设⊙O半径为R,圆心角为n°,所对弧长为l,那么l=? 练习:1、圆弧形状的纸扇,纸扇的半径为10cm,圆心角为120°,求出纸扇边沿的长度吗? 探究二、已知⊙O半径为R,求圆心角n°的扇形的面积? (1)半径为R的圆,面积是多少? (2)圆心角为1°的扇形的面积是多少? (3)圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍? (4)圆心角为n°的扇形的面积是多少? 如果⊙O半径为R,圆心角为n°,扇形面积为S扇形,则S=? 三、知识运用: 制作弯形管道时,需要先按中心线计算"展直长度"再下料,试计算下图中管道的展直长度,

即的长(结果精确到0.1mm). 分析:要求管道的展直长度,即求的长,根根弧长公式l=可求得的长,其中n为圆心角,R为半径. 解:R=40mm,n=110. ∴的长=πR=×40π≈76.8mm.因此,管道的展直长度约为76.8mm. 四、思考: 弧长与扇形面积有什么关系?我们探讨了弧长和扇形面积的公式,在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l=πR,n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形=πR2,在这两个公式中,弧长和扇形面积都和圆心角n.半径R有关系,因此l和S之间也有一定的关系,你能猜得出吗?请大家互相交流. 五、随堂练习 1、如图是圆弧形状的纸扇示意图,纸扇的半径为10cm,圆心角为120°, 纸扇面积是多少? 2、一个扇形的圆心角为90o,半径为2,cm 则弧长= ,扇形面积= . 3、已知扇形的圆心角为120o,半径为6,则扇形的弧长是() A. 3π B.4π C.5π D.6π 六、课时小结 学了本节课你有哪些收获? 1.探索弧长的计算公式l=πR,并运用公式进行计算; 2.探索扇形的面积公式S=πR2,并运用公式进行计算; 3.探索弧长l及扇形的面积S之间的关系,并能已知一方求另一方. 七、当堂检测 (1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( ) (2)已知圆的半径为9cm ,60°圆心角所对的弧长为( ) (3)已知半径为3,则弧长为π的弧所对的圆心角为_______ (4)已知圆心角为150°,所对的弧长为20π,则圆的半径为_______。 八、课后作业 习题24.4 第4、5题

(完整版)弧长与扇形面积精彩试题及问题详解

弧长与扇形面积 一、选择题 1.(2016·湖北十堰)如图,从一张腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为() A.10cm B.15cm C.10cm D.20cm 【考点】圆锥的计算. 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长,再利用弧长公式计算出弧CD的长,设圆锥的底面圆的半径为r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r,然后利用勾股定理计算出圆锥的高. 【解答】解:过O作OE⊥AB于E,∵OA=OD=60cm,∠AOB=120°, ∴∠A=∠B=30°, ∴OE=OA=30cm, ∴弧CD的长==20π, 设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=20π,解得r=10, ∴圆锥的高==20. 故选D. 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 2. (2016兰州,12,4分)如图,用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了 108o,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了() (A)πcm (B) 2πcm (C) 3πcm (D) 5πcm

【答案】:C 【解析】:利用弧长公式即可求解 【考点】:有关圆的计算 3.(2016福州,16,4分)如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r 上,下方的弧半径为r 下,则r 上 = r 下.(填“<”“=”“<”) 【考点】弧长的计算. 【分析】利用垂径定理,分别作出两段弧所在圆的圆心,然后比较两个圆的半径即可. 【解答】解:如图,r 上=r 下. 故答案为=. 【点评】本题考查了弧长公式:圆周长公式:C=2πR (2)弧长公式:l= (弧长为 l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R );正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧不一定是等弧,只有在同圆或等圆中,才有等弧的概念,才是三者的统一. 4. (2016·四川资阳)在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,以点B 为圆心,BC 的长为半径作弧,交AB 于点D ,若点D 为AB 的中点,则阴影部分的面积是( )

弧长公式、扇形面积公式

弧长与扇形面积、圆锥侧面积 【知识详解】 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:, 说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错 写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆 面积,所以圆心角为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积 ,圆锥的全面积 说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点4、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h ,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积 名称圆锥圆柱 图形 图形的形成过程由一个直角三角形旋转得 到的,如Rt△SOA绕直线 SO旋转一周。 由一个矩形旋转得到的,如矩形 ABCD绕直线AB旋转一周。 图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面 侧面展开图的特 征 扇形矩形

弧长与扇形面积练习题与答案

| 弧长和扇形面积 知识点: 1、 弧长公式:180 n R l π= (牢记) 在半径是R 的圆中,360度的圆心角多对的弧长就是圆的周长C 2、扇形面积公式:2n R =360S π扇形或1 =2 S lR 扇形(牢记) 3、圆锥的侧面积和全面积(难点) 圆锥的侧面展开图形是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长R ,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。 典型例题 ~ 1.已知圆锥的高是cm 30,母线长是cm 50,则圆锥的侧面积是 . 【关键词】圆锥侧面积、扇形面积 答案:2000πcm 2 ; 2. (2010年福建省晋江市)已知:如图,有一块含?30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且3=AB . (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ,求双曲线的解析式; (2)若把含?30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后,斜边OA 恰好与x 轴重叠,点A 落在点A ',试求图中阴影部分的面积(结果保留π). ( 【关键词】反比例函数、扇形面积 答案:解:(1) 在OBA Rt ?中,?=∠30AOB ,3=AB , AB OB AOB = ∠cot , ∴3330cot =??=AB OB , ∴点() 33,3A 设双曲线的解析式为()0≠= k x k y ∴3 33k =,39=k ,则双曲线的解析式为x y 39= (2) 在OBA Rt ?中,?=∠30AOB ,3=AB ,

P : OA AB AOB = ∠sin ,OA 330sin =?, ∴6=OA . 由题意得:?=∠60AOC , ππ6360 6602' =??=AOA S 扇形 在OCD Rt ?中,?=∠45DOC ,33==OB OC , ∴2 63223345cos =? =??=OC OD . ∴42726321212 2 =??? ? ??==?OD S ODC . ∴'27 S 64 ODC AOA S S π?-=- 阴扇形= | 3.(2010年浙江省东阳市)在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,ABC △的三个顶点 都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). (1)如果建立直角坐标系,使点B 的坐标为(-5,2),点 C 的坐标为(-2,2),则点A 的坐标为 ▲ ; (2) 画出ABC △绕点P顺时针旋转90后的△A1B1C,并求线段BC 扫过的面积. 关键词:扇形面积公式 ] 答案:(1)A(-4,4) (2)图略 线段BC 扫过的面积= 4 π(42-12 )=415π 4、(2010福建德化)已知圆锥的底面半径是3cm ,母线长为6cm ,则侧面积为________cm 2 .(结 果保留π) 关键词:圆锥侧面积 答案:π18

弧长及扇形面积公式

弧长及扇形的面积 教学目标 (一)知识与技能 1.掌握弧长计算公式及扇形面积公式. 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式的推导过程,并会应用公式解决问题. (二)能力目标 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力. 2.了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. (三)情感与价值观 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.教学重点 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程. 2.了解弧长及扇形面积计算公式. 3.会用公式解决问题. 教学难点 1.探索弧长及扇形面积计算公式. 2.用公式解决实际问题. 教学方法 学生互相交流探索法 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]在校运会的4×100米比赛中,小明和小刚分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处? 师生总结得出:因为这些弯道的“展直长度”是一样的.怎样来计算弯道的“展直长度”? Ⅱ.新课讲解 一、复习 1.圆的周长如何计算?

2.圆的面积如何计算? 3.圆的圆心角是多少度? [生]若圆的半径为r ,则周长l =2πr ,面积S =πr 2,圆的圆心角是360°. 二、探索弧长的计算公式 [师]也就是说360°的圆心角对应圆周长2πR ,180°所对应的弧长为R π;90°所对应的弧长为2R π, [师]根据上面的计算,你能猜想出在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流. [生]根据刚才的讨论可知,360°的圆心角对应圆周长2πR ,那么180°的圆心角对应的弧长为 1802360R π?=R π,90°所对应的弧长为902360R π?=2 R π,n °的圆心角对应的弧长应为L =180n R π. [师]表述得非常棒. 在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为: l =180 n R π. 下面我们看弧长公式的运用. 1.已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求此圆弧的长度。 解: =503 π (cm) 注意:题目没有特殊要求,最后结果保留π 三、例题讲解 投影片(§3.7B) 制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算下图中管道的展直长度,即AB 的长(结果精确到0.1mm). 分析:要求管道的展直长度,即求AB 的长,根根弧长公式l = 180 n R π可求得AB 的长,其中n 为圆心角,R 为半径. 6050180180n R l ππ?==

弧长的公式扇形面积公式

弧长的公式扇形面积公 式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

【本讲教育信息】 一.教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二.教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三.重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例 如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的 另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,

中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲 一. 本周教学内容: 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的 1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征,使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想,培养学生空间想象能力和计算能力。 教学重点和难点: 教学重点是弧长和扇形面积公式,圆锥及其特征,圆锥的侧面积计算 难点是圆锥侧面展开图(扇形)中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程 1. 圆周长:r 2C π= 圆面积:2r S π= 2. 圆的面积C 与半径R之间存在关系R 2C π=,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是 360 R 2π。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n π 180 R n π= ∴l ? P 120 *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=,所以圆心角为n°的扇形面积是: R 2 1 360R n S 2l =π=扇形 (n 也是1°的倍数,无单位) 5. 圆锥的概念 观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。 如图,从点S 向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO 的长叫做圆锥的高,点S 叫做圆锥的顶点。

扇形弧长和面积公式

扇形的弧长公式和面积公式教案 价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通教学目标知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式 解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识, 提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为: 比较: 与 得到扇形面积 另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确应用理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公式进行计算 【活动四】应用、练习 例1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上 有水部分的面积。(精确到0.01cm)。 例2、如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交,且半径都是2cm,求图中阴影部分的面积。老师展示例题,学生阅读并寻找解题方法使学生能够运用所学的知识解决数学问题 【活动五】探究与拓展 探究2、如图,A是半径为1的圆O外一点,且OA=2,AB是⊙O的切线,BC//OA,连结AC,

弧长公式及扇形面积公式

弧长公式及扇形面积公式 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)

分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

《弧长及扇形面积的计算》教案

《弧长及扇形面积的计算》教案

《弧长及扇形面积的计算》教案 教学目标 一、知识与技能 1.理解弧长公式、扇形面积公式的推导; 2.会运用公式计算弧长、扇形及简单组合图形的面积; 二、过程与方法 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养探索精神与推理能力; 2.通过计算,提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力; 三、情感态度和价值观 1.通过获得成功的经验和克服困难的经历,增进学生数学学习的信心; 2.通过观察、推断可以获得教学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性; 教学重点 掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式; 教学难点 计算圆的弧长、扇形的面积; 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备

教师准备 课件、多媒体; 学生准备 三角板,圆规,练习本; 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 问题一:在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的一端拴着一只狗。(1)这只狗的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少? (2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角,那么它的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少? n 问题二:将以边长为1的等边三角形木板沿水平线翻滚(如图3所示),那么点B从开始至结束所经过的路径的长度为____________。

按钮 2 按钮 3 按钮 1 B 2 C 1 A 1 B 1 A B C 二、新课学习 问题(1) 如图,某传送带的一个转动轮的半径为rcm. 1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米? 2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为 L= n 360·2πr= nπr 180 实际应用: 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果用含π的式子表示).

圆弧长和扇形面积

民族中学九年级数学导学案 【学习目标】: n °的圆心角所对的弧长L=180 n R π ,圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π; 【学习重点、难点】 1. 重点:n °的圆心角所对的弧长L=180n R π,扇形面积S 扇=2 360 n R π及其它们的应用。 2. 难点:两个公式的应用。 【学习过程】 一、自主学习:自学教材P 110——112,完成下列作业: 1.请同学们回顾:(1)圆的周长公式是 。(2)圆的面积公式是 。 2.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧. 1°的圆心角所对的弧长是_______。 2°的圆心角所对的弧长是_______。 4°的圆心角所对的弧长是_______。 …… n °的圆心角所对的弧长是_______。 由此得出扇形的弧长计算公式: 。 3.什么叫扇形?答:由组成圆心角的两条 和圆心角所对的 弧所围成的图形,叫做扇形。 4、圆的面积可以看作 度圆心角所对的扇形的面积; 设圆的半径为R , 1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。 2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。 5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。 n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。 由此得出扇形的面积计算公式: 。 5、比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积? 二、合作探究: 例1.如右图,水平放置的圆柱形排水管道的界面半径是0.6m ,其中水面高0.3m 。求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位) 例2.如图,已知扇形AOB 的半径为10,∠AOB=60°, 求AB 的长(?结果精确到0.1)和扇形AOB 的面积结果精确到0.1) 课题:24.4圆弧长和扇形面积(1) 所属章节:第二十四章 撰稿人: 课型:授新课 编号:2413 审稿人:

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