§3.1直线的倾斜角与斜率
1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率;
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式;
3.能用公式和概念解决问题.
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复习1:在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
复习2:在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
※学习探究
新知1:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角(angle of inclination).
关键:①直线向上方向;②x轴的正方向;③小于平角的正角.
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试:请描出下列各直线的倾斜角.
反思:直线倾斜角的范围?
探究任务二:在日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”,则坡度的公式是怎样的?
新知2:一条直线的倾斜角()2
π
αα≠
的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=.
试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 ⑴当0o α=时,则k ; ⑵当090o o α<<时,则k ; ⑶当90o α=时,则k ; ⑷当090180o α<<时,则k .
新知3:已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式:21
21
y y k x x -=
-. 探究任务三:
1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时,与,A B 两点坐标的顺序有关吗?
2.当直线平行于y 轴时,或与y 轴重合时,上述公式还需要适用吗?为什么?
※ 典型例题
例1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: ⑴30οα=; ⑵135οα=; ⑶60οα=; ⑷90οα=
变式:已知直线的斜率,求其倾斜角. ⑴0k =; ⑵1k =;
⑶k =; ⑷k 不存在.
例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
※ 动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -; ⑵(5,0),(4,2)A B -.
练2.画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.
练3.判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系,并说明理由.
三、总结提升
※ 学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角的范围是[0,180)?.
2.直线斜率的求法:⑴利用倾斜角的正切来求;⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求;⑶当直线的倾斜角90οα=时,直线的斜率是不存在的王新敞
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 下列叙述中不正确的是( ).
A .若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
B .每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C .与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90ο
D .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α 2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角( ).
A .45ο
B .135ο
C .90ο
D .60ο
3. 过点P (-2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ). A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4. 直线经过二、三、四象限,l 的倾斜角为α,斜率为k ,则α为 角;k 的取值范围 .
5. 已知直线l 1的倾斜角为α1,则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.
1. 已知点(2,3),(3,2)A B --,若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.
2. 已知直线l 过2211
(2,()),(2,())A t B t t t
-+-两点,求此直线的斜率和倾斜角.
§ 3.2两直线平行与垂直的判定
1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;
2.通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力;
3.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣.
9598 复习1: 1.已知直线的倾斜角(90)οαα≠,则直线的斜率为 ;已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠,则直线的斜率为 .
2.若直线l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .
3.斜率为2的直线经过(3,5)、(a ,7)、(-1,b )三点,则a 、b 的值分别为 .
4.已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合,则两直线的位置关系 .
5.已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --,且直线的倾斜角为60ο,则m = .
复习2:两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?
二、新课导学:
※ 学习探究
问题1:特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为 ,两直线位置关系是 .
(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为 ,另一条直线的倾斜角为 ,两直线的位置关系是 .王新敞
问题2:斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .
⑴两条直线平行的情形.如果21//l l ,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立吗?
新知1:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即12//l l ?1k =2k 王新敞
注意,
上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立.
⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立吗?
新知2:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直.
即12l l ⊥?12
1k k =-
?121k k =- 王新敞
※ 典型例题
例1 已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---,试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.
例2 已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点,求点D 的坐标,使直线CD AB ⊥,且//CB AD .
变式:已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -,试判断三角形ABC 的形状.
※ 动手试试
练1. 试确定m 的值,使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线 ⑴平行; ⑵垂直
练2. 已知点(3,4)A ,在坐标轴上有一点B ,若2AB k =,求B 点的坐标.
三、总结提升: ※ 学习小结:
1.1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.
2.12121l l k k ⊥?=- 或10k =且2l 的斜率不存在,或20k =且1l 的斜率不存在.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A .若12l l ⊥,则121k k =-
B .若直线12//l l ,则两直线的斜率相等
C .若直线1l 、2l 的斜率均不存在,则12l l ⊥
D .若两直线的斜率不相等,则两直线不平行
2. 过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是( ). A .相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
3. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直,则m 值为( ).
A .75-
B .75
C .145-
D .145
4. 已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上,则a 的值为 .
5. 顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --,所组成的图形是 .
1. 若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=,直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠,试求a 为何值时,⑴12//l l ;⑵12l l ⊥.
2. 已知定点(1,3),(4,2)A B -,以,A B 为直径的端点,作圆与x 轴有交点C ,求交点C 的坐标.
§ 3.2.1直线的点斜式方程
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程;
3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
101104,找出疑惑之处)
复习1.已知直线12,l l 都有斜率,如果12//l l ,则
;如果12l l ⊥,则 .
2.若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上,则k 的值为 .
3.已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ,则第四个顶点D 的坐标
.
4.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?
二、新课导学:
※ 学习探究
问题1:在直线坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?
新知1:已知直线l 经过点00(,)P x y ,且斜率为k ,则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.
问题2:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?
问题3:⑴x 轴所在直线的方程是 ,y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴(即垂直于y 轴)的直线方程是 .
⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴(即垂直于x 轴)的直线方程是 . 问题4:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,)b ,求直线l 的方程.
新知2:直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(intercept ).直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.
注意:截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.
问题5:能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.
※ 典型例题
例1 直线过点(1,2)-,且倾斜角为135ο,求直线l 的点斜式和斜截式方程,并画出直线l .
变式:⑴直线过点(1,2)
-,且平行于x轴的直线方程;
⑵直线过点(1,2)
-,且平行于x轴的直线方程;
⑶直线过点(1,2)
-,且过原点的直线方程.
例2 写出下列直线的斜截式方程,并画出图形:
⑴y轴上的距截是-2;
⑵斜角是0
135,在y轴上的距截是0 王新敞
变式:已知直线的方程3260
+-=,求直线的斜率及纵截距.
x y
※动手试试
练1. 求经过点(1,2),且与直线23
=-平行的直线方程.
y x
练2. 求直线48
=+与坐标轴所围成的三角形的面积.
y x
三、总结提升:
※ 学习小结
1.直线的方程:⑴点斜式00()y y k x x -=-;⑵斜截式y kx b =+;这两个公式都只能在斜率.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 过点(4,2)-,倾斜角为135ο的直线方程是( ).
A 20y ++-=
B 360y +++=
C .40x -=
D .40x += 2. 已知直线的方程是21y x +=--,则( ). A .直线经过点(2,1)-,斜率为1- B .直线经过点(2,1)--,斜率为1 C .直线经过点(1,2)--,斜率为1- D .直线经过点(1,2)-,斜率为1-
3. 直线130kx y k -+-=,当k 变化时,所有直线恒过定点( ). A .(0,0) B .(3,1)C .(1,3) D .(1,3)--
4. 直线l 的倾斜角比直线1
2
y =
+的倾斜角大45ο,且直线l 的纵截距为3,则直线的方程 .
5. 已知点(1,2),(3,1)A B ,则线段AB 的垂直平分线的方
程 .
1. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -,求这个三角形的三边所在的直线方程.