锐角三角函数知识点总结
要点一:锐角三角函数的基本概念 一、选择题
1.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是( )
A .3
5
B .
43 C .34 D .45 【解析】选C. tan α4
3
==
角的邻边角的对边αα. 2.(2008·威海中考)在△ABC 中,∠C =90°,tan A =1
3
,则sin B =( )
A B .
23 C .
3
4
D . 【解析】选D. 3
1
tan ==
AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得
,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=
sin AC B AB =
= 3.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O
⊙的半径为
3
2
,2AC =,则sin B 的值是( )
A .
23 B .32 C .34 D .43
【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为
32.得AD=3. sin B =.3
2
sin ==AD AC D
4.(2009·湖州中考)如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是( )
A .sin A =
B .1tan 2A =
C .cos B =
D .tan B =
【解析】选D 在直角三角形ABC 中,1BC =,2AB =,所以AC
1
sin 2A =,cos 2A =,tan 3A =;sin 2
B =1cos 2B =,tan B =
5.(2008·温州中考)如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的中线,已知2CD =,
3AC =,则sin B 的值是( )
A .
23
B .
32 C .34 D .43
【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线,得AB=2CD=4.∴
sin B 4
3==AB
AC
6.(2007·泰安中考)如图,在ABC △中,90ACB ∠= ,CD AB ⊥于D ,
若AC =
AB =tan BCD ∠的值为( )
(A
(B
(C
(D
答案:B 二、填空题
7.(2009·梧州中考)在△ABC 中,∠C =90°, BC =6 cm ,5
3
sin =A ,则AB 的长是 cm .
【解析】,5
3
6sin ===AB AB BC A 解得AB=10cm 答案:10
8.(2009·孝感中考)如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边
OA 上有一点P (3,4),则 sin α= .
【解析】因为P (3,4),所以OP =5,所以4
sin 5
α=; 答案:
45
;
A
C
B
D
9.(2009·庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3
sin 5
A =
,则这个菱形的面积= cm 2.
【解析】.5
310
sin ===DE AD
DE A 解得DE=6cm.∴10660=?=?=LING S AB DE cm 2.
答案:60 三、解答题
10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线,CD ∥AB ,且CD = 24 m ,OE ⊥CD 于点E .已测得sin ∠DOE =
12
13
.
(1)求半径OD ;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降, 则经过多长时间才能将水排干?
【解析】(1)∵OE ⊥CD 于点E ,CD =24(m ), ∴ED =12
CD =12(m ). 在Rt △DOE 中,∵sin ∠DOE =ED
OD
=1213
,
∴OD =13(m ).
(2)OE
5(m ) ∴将水排干需:5÷0.5=10(小时).
O
B
D
11.(2009·綦江中考)如图,在矩形ABCD 中,
E 是BC 边上的点,AE BC =,D
F AE ⊥,垂足为F ,连接DE .
(1)求证:ABE △DFA ≌△;
(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值.
【解析】(1)在矩形ABCD 中,
90BC AD AD BC B =∠=,∥,° DAF AEB ∴∠=∠
DF AE AE BC ⊥= , 90AFD B ∴∠=∠°= AE AD =
ABE DFA ∴△≌△.
(2)由(1)知ABE DFA △≌△
6AB DF ∴==
在直角ADF △中,
8AF =
2EF AE AF AD AF ∴=-=-=
在直角DFE △中,
DE =
sin
EF EDF DE ∴∠=
==
.
12.(2008·宁夏中考)如图,在△ABC 中,∠C =90°,sin A =5
4
,AB =15,求△ABC 的周长和tan A 的值.
【解析】在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15
A sin =
AB BC =5
4
, ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC
∴周长为36,BC 124
tan A .AC 93
=
== 13.(2008·肇庆中考)在Rt △ABC 中,∠C = 90°,a =3 ,c =5,求sin A 和tan A 的值.
【解析】在Rt △ABC 中,c =5,a =3. ∴ 22a c b -=2235-=4=
∴ 53sin ==
c a A 4
3
tan ==b a A .
14.(2007·芜湖中考)如图,在△ABC 中,AD 是BC 上的高,tan cos B DAC =∠,
(1) 求证:AC=BD ; (2)若12
sin 13
C =
,BC =12,求AD 的长. 【解析】(1)∵AD 是BC 上的高,∴AD ⊥BC . ∴∠ADB =90°,∠ADC =90°. 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中, ∵tan B =
AD BD ,cos DAC ∠=AD
AC
又已知tan cos B DAC =∠
∴
AD BD =AD AC
.∴AC=BD . (2)在Rt △ADC 中, 12
sin 13
C =,故可设A
D =12k ,AC =13k .
DC 5k AD AD
BD 13k tan B cos DAC BC 13k 5k 122
k ,AD 8.
3
∴===
==∠∴=+=∴== 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题
1.(2009·钦州中考)sin30°的值为( )
A
B
C .12
D
.
答案:C
2.(2009·长春中考).菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,
45AOC OC ∠==°,B 的坐标为( )
A .
B .
C .11),
D .1)
答案:C
3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )
A .8米
B .
C
D 米 答案:C
4.(2008·宿迁中考)已知α为锐角,且2
3
)10sin(=
?-α,则α等于( ) A.?50 B.?60 C.?70 D.?80 答案:C
5.(2008·毕节中考) A (cos60°,-tan30°)关于原点对称的点A 1的坐标是( )
A .123?- ??,
B .23?- ??,
C .123?-- ??,
D .122?- ??
, 答案:A
6.(2007·襄樊中考)计算:2cos 45tan 60cos30+
等于( )
(A )1 (B (C )2 (D 答案:C
二、填空题
7. (2009
·荆门中考)104cos30sin60(2)2008)-??+--=______.
【解析】104cos30sin60(2)2008)-??+--
14()121
3()1
232=+--=+--= 答案:2
3
8.(2009·百色中考)如图,在一次数学课外活动中,测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米,钢缆与地面的夹角为60o,则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米.(结果保留根号).
答案:9.(2008·江西中考)计算:(1)1
sin 60cos302
-
= . 【解析】1
sin 60cos302-= .4
12143212323=-=-? 答案:
1
4
10.(2007·济宁中考)计算
sin 60tan 45cos30?
-??
的值是 。
答案:0 三、解答题
11.(2009·黄石中考)计算:3-1+(2π-1)0-
3
3
tan30°-tan45° 【解析】3-1+(2π-1)0-
3
3
tan30°-tan45° 11
11330=
+--=
12.(2009·崇左中考)计算:0
200912sin 603tan30(1)3??
-++- ???°°.
【解析】原式=2311--=0.
13.(2008+
2-+ =2.5
要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题
1.(2009·白银中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )
A .8米
B .
C
D 【解析】选C. 梯子的长至少为
33
860
sin 40
=(米).
2.(2009·衢州中考)为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据(单位:米),则该坡道倾斜角α的正切值是( )
A .1
4
B .4 C
D
答案:A
3.(2009·益阳中考)如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为( )
A. αcos 5
B.
αcos 5 C. αsin 5 D. α
sin 5
答案:B
4.(2009·兰州中考)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m .如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m ,那么相邻两树间的坡面距离为( )
A .5m
B .6m
C .7m
D .8m
【解析】选A 由坡度为0.75知,相邻两树间的水平距离为4m ,相邻两树间的垂直距离为h ,则0.754
h
=,则h =3m ,所以坡面距离为5m ;
5.(2009·潍坊中考)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得
30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的
距离为( )米.
A .25
B .
C D .25+
【解析】选B 过点B 作BE ⊥AD 于点E ,在直角三角形BAE 中,0tan 30,BE AE
=
则0,tan 30BE AE =
在直角三角形BCE 中,0
tan 60,BE CE =则0
tan 60
BE CE =。
所以AE-CE=AC=50,即
00
50,tan 30tan 60BE BE
-=解得BE =; 二、填空题
6.(2009·沈阳中考)如图,市政府准备修建一座高AB =6m 的过街天桥,已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为
3
5
,则坡面AC 的长度为 m .
【解析】因为sin ∠ACB =5
3
6==AC AC AB ,所以AC=10 答案:10.
7.(2009·衡阳中考)某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个坡面的坡度为_________.
答案:1:2
8. (2009·南宁中考)如图,一艘海轮位于灯塔P 的东北方向,距离灯塔
的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处,则海轮行驶的路程AB 为 _____________海里(结果保留根号).
【解析】∵402
2
24045sin 0=?
===AP PC AC , 3403
3
40
30tan 0===
PC BC
∴40340+=+=AC BC AB
答案:()
40
9 (2009·安徽中考) 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 m .
【解析】当梯子与地面夹角为045时,梯子顶端高为04sin 45)m =;
当梯子与地面夹角为060时,梯子顶端高为04sin60)m =,
所以梯子顶端升高了;m
答案:;
10.(2008·庆阳中考)如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC =3米,
3
cos 4
BAC ∠=
,则梯子长AB = 米.
答案:4
11.(2007·湖州中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置,使其的倾斜角为75°,如果拖把的总长为1.80m ,则小明拓宽了行路通道_______________m .(结果保留三个有效数字,参考数据:sin15°≈26,cos15°≈0.97)
答案:1.28 三、解答题
12.(2009·庆阳中考)如图(1),一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定.如(2)是如图(1)中窗子开到一定位置时的平面图,若∠AOB =45°, ∠OAB =30°,
OA =60cm ,求点B 到OA 边的距离. 1.7,结果精确到整数)
【解析】如图,过点B 作BC ⊥OA 于点C
∵ ∠AOB =45°,∴∠CBO =45°,BC =OC . 设BC =OC =x ,∵∠OAB =30°, ∴ AC =BC ×tan60°=3x . ∵ OC +CA =OA ,∴x +3x =60, ∴ x =3
160 ≈22(cm ).
即点B 到OA 边的距离是22 cm .
13.(2009·郴州中考)如图,数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高
度,测角仪AB 的高度为1.5米,测得仰角α为30°,点B 到电灯杆底端N 的距离
BN 为10米,求路灯的高度MN ,结果保留两位小数)
【解析】在直角三角形MPA 中,30α∠=°,10AP =米 MP=10·tan300 =10×3
3
≈5.773米 因为 1.5AB =米
所以MN=1.5+5.77=7.27米 答:路灯的高度为7.27米
14.(2009·眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔
B在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。
【解析】如图,过B点作BD⊥AC于D
∴∠DAB=90°-60°=30°,∠DCB=90°-45°=45°
设BD=x,在Rt△ABD中,AD=x?tan30
在Rt△BDC中,BD=DC=x BC
又AC=5×2=10 10
+=
x,得1)
x=,
∴1)
BC=(海里)
答:灯塔B距C处海里
15.(2009·常德中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来
到山脚A 处,测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5
,求山的高度(不计测角仪的高度,1.73,结果保留整数)
.
【解析】设山高BC =x ,则AB =1
2
x ,
tan3012002
BC x BD x =
=
+ ,得
1)400x =,
解得162x 米
16.(2008·广安中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的
倾角由45o降为30o,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上.
(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)
(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。
( 2.449=== )
【解析】(1)在Rt ABC △中,
sin 45AC AB ==
cos 45BC AB ==
Rt ADC △中
sin 30AC
AD =
=
tan 30AC CD ==
2.07(m)AD AB ∴-≈
改善后的滑滑板会加长2.07m . (2)这样改造能行.
因为 2.59(m)CD BC -≈,而63 2.59->
三角函数知识点 考点1、弧度制 1.弧长公式与扇形面积公式: 弧长l r α= ?,扇形面积21 122 S lr r α==扇形(其中r 是圆的半径,α是弧所对圆心角的弧度数). 2.角度制与弧度制的换算: 180π=;180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=; 考点2、任意角的三角函数 1. 定义:在角α上的终边上任取一点(,)P x y ,记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号:(一全二正弦,三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系: 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系: α α αcos sin tan =
考点4、诱导公式“奇变偶不变,符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间: (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ,k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴:无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时,max 1y =; 32,2 x k k z π π=+∈时,min 1y =- 2,x k k z π=∈时,max 1y =; 2,x k k z ππ=+∈,min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 (3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 (3~5分) 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 (3~8分) 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ,即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA ,即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ,即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA ,即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3
三角函数知识点 一.考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二.知识点 1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。 (2)商数关系: ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ??? . x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义: 设α为任意一个角,点),(y x P 是该角终边上的任意一点(异于原点),),(y x P 到原点的距离为22y x r += ,则: )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值: sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=(√6-√2)/4 sin75°=(√6+√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin (45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式: αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式: (1))(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα (2);tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ (3);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- (函数名称不变,符号看象限)
三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,