西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲

西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲

数学分析Ⅱ

一、说明

（一）课程性质

数学分析（二）研究的主要内容是如何求解定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性以及多元函数基本性质，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础。

数学分析（二）是数学与应用数学专业的基础专业课之一，在第2学期开设。

（二）教学目的

掌握定积分的概念、可积条件，计算方法及几何意义；反常积分和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；Euclid空间上的函数性质及偏导数全微分；初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想；为分析数学及其后继课程的学习打好必要的基础知识。

（三）教学内容

分6部分。（1）第七章讨论定积分的基本理论；（2）第八章讨论反常积分的基本理论；（3）第九章讨论数项级数的基本理论；（4）第十章讨论函数项级数的基本理论和幂级数；（5）第十一章讨论Euclid空间上的基本概念和函数极限与连续；（6）讨论多元函数的偏导数、全微分及求多元复合函数导数的链式法则。

（四）教学时数

108学时

（五）教学方式

讲授法，同时注重基本理论和实际问题的密切结合。

二、正文

第七章定积分

教学要点

定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定理和定积分的计算，定积分的应用和定积分的数值计算。

教学时数

22学时

教学内容

第一节定积分的概念和可积条件（6学时）

定积分的引入和概念，Darboux和等基本概念，Riemann可积的充要条件和一些可积函数类。

第二节积分的基本性质（3学时）

定积分的基本性质：线性性，保序性，区间可加性和积分第一定理等。

第三节微积分基本定理（4学时）

积分上、下限函数，微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法，正交函数列，奇偶函数的定积分。

第四节定积分在几何中的应用（4学时）

求平面图形的面积，曲线的弧长，几何体的体积和旋转体的侧面积。

第五节微积分实际应用举例（2学时）

微元法和简单数学模型和求解及一些简单应用。

第六节定积分的数值计算（3学时）

介绍数值积分，Newton-Cotes求积公式，复化求积公式和Gauss型求积公式。

考核要求

重点掌握定积分的概念，Darboux和概念等；掌握可积的充要条件，可积函数类，定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶函数的定积分等）和求面积、弧长、体积和侧面积，了解微元法及其应用、定积分数值计算的几种方法。

第八章反常积分

教学要点

反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。

教学时数

8学时

教学内容

第一节反常积分的概念和计算（4学时）

反常积分的引入，反常积分敛散性概念，奇点，Cauchy主值和反常积分的计算。

第二节反常积分的收敛判别法（4学时）

绝对收敛和条件收敛的概念，反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel,Dirichlet判别法，介绍积分第二中值定理。

考核要求

掌握反常积分敛散性的定义，奇点，了解Cauchy主值和反常积分收敛的关系，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分，简单了解积分第二中值定理。

第九章数项级数

教学要点

数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，上、下极限及其性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。

教学时数

24学时

教学内容

第一节数项级数的收敛性（4学时）

数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，一些简单的级数求和。第二节上极限与下极限（4学时）

上极限与下极限的概念和运算法则。

第三节正项级数（6学时）

正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法。

第四节任意项级数（6学时）

级数的Cauchy收敛原理，Leibniz级数及其判别法，Abel变换、条件收敛和绝对收敛概念，Abel、Dirichlet判别法，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质（更序级数级数等），级数的乘法。

第五节无穷乘积（4学时）

无穷乘积的定义和敛散性概念，条件和绝对收敛概念，无穷乘积收敛的必要条件，无穷乘积收敛与级数收敛的关系。

考核要求

准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，熟练地求一些级数的和；准确理解上极限与下极限的概念及其性质，熟练地求上极限与下极限；比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

第十章函数项级数

教学要点

函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性；幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开。

教学时数

24学时

教学内容

第一节函数项级数的一致收敛性（6学时）

点态收敛，收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法。

第二节一致收敛级数的判别与性质（6学时）

函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法，一致收敛级数的连续性、可导性和可积性，Dini定理。

第三节幂级数（6学时）

幂级数概念，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。

第四节函数的幂级数展开（4学时）

函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。

第五节用多项式逼近连续函数（2学时）

Weierstrass第一逼近定理。

考核要求

重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法，掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；重点掌握用Cauchy-Hadamard、D`Alembert求幂级数收敛半径，可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和，掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开；简单了解Weierstrass第一逼近定理。

第十一章Euclid空间上的极限和连续

教学要点

Descartes乘积集，Euclid空间，Euclid范数，R n的极限，开集，闭集，Euclid空间的实数理论的推广，多元函数的定义，重极限和二次极限，多元函数的连续，向量值函数及其性质，紧集上的多元连续函数的性质。

教学时数

16学时

教学内容

第一节Euclid空间上的基本定理（6学时）

Descartes乘积集，内积及其性质，Euclid空间，Euclid范数，R n的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包，闭矩形套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy收敛定理，紧集及其Heine-Borel定理等。

第二节多元连续函数（6学时）

多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，向量值函数及其极限，连续等性质。

第三节连续函数的性质（4学时）

紧集上的连续映射概念，紧集上连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域。

考核要求

重点Descartes乘积集，内积及其性质，Euclid空间，Euclid范数，R n的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包，理解闭矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛定理，紧集及其Heine-Borel定理；掌握多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，了解向量值函数及其极限、连续等性质；理解紧集上的连续映射概念，紧集上连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，掌握连通集和区域等概念。

第十二章多元函数的微分学

教学要点

偏导数，方向导数，全微分及其之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，向量值函数的导数，多元复合函数的链式法则。

教学时数

12学时

教学内容

第一节偏导数（6学时）

偏增量和全增量，偏导数，方向导数，全微分，连续，可偏导，可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等，向量值函数的导数。

第二节多元复合函数的求导法则（6学时）

多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性。

考核要求

重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，了解混合偏导数的相等，向量值函数的导数；重点掌握多元复合函数的链式法及其应用，了解一阶全微分的形式不变性。

三、参考书目

1、陈纪修於崇华金路，《数学分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。

2、华东师范大学数学系编，《数学分析》（上，下），高等教育出版社，1991年（第二版））。