专题三：空间角(理)
向量法求空间角（教师版）
一．方法提炼
角这一几何量在本质上是对线线、线面、面面位置关系的定量分析，其中转化的思想非常重要，三种空间角都可以化为平面角来计算，因此，可进下转化为空间向量的夹角求解。
二．空间角公式： ⑴线线角:异面直线所成的角α利用它们所在的向量，转化为向量的夹角θ 问题，
但θ∈[0，π]， α∈(0, π
2]，所以cos α=|cos θ|=|a →.
b →||a →| |b →|
。
⑵线面角；在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图，
一种是按定义得∠POH=＜op ,oH
＞，另一种是利用法向量知识，平面α的法
向量为n ,先求op 与n 的夹角，注意op 与α所成角θ与＜op ,n
＞的关系，
于是就有sin θ=|cos ＜op ,n ＞|||
||||
op n op n ?=?
⑶二面角；（1）二面角的取值范围：[0，π] （2）二面角的向量求法：
①若AB,CD 分别是二面角α-L-β的两个面内与棱L 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角
②若1n ,2n 分别是二面角α-L-β的两个面α,β的法向量，则向量1
n
与2n
的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小
1．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M 为PC 上一点，且PA//平面BDM ，
（1）求证：M 为PC 的中点； （2）求证：面ADM ⊥面PBC 。
解：（1）证明：连接AC ，AC 与BD 交于G ，则面PAC ∩面BDM=MG ，
由PA//平面BDM ，可得PA//MG ∵底面ABCD 为菱形，∴G 为AC 的中点， ∴MG 为△PAC 的中位线。因此M 为PC 的中点。
（2）取AD 中点O ，连结PO ，BO 。∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ，
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，
∵底面ABCD 是菱形且∠BAD=60°，△ABD 是正三角形，∴AD ⊥OB 。
∴OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系{,,}OA OB OP
(1,0,0),(1,0,0),(A B D P DP AB -∴==-
则11()()22DM DP DC DP AB ∴=+=+=
(0,(2,0,0)
33
00,0000
22
BP CB DA DM BP DM CB ===∴?=-+=?=++=
,DM BP DM CB ∴⊥⊥ ∴DM ⊥平面PBC ，又DM ?平面ADM ，∴ADM ⊥面PBC
2．（本题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC
,点D 是棱11B C 的中点.
（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求二面角1D AC A --的余弦值.
（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A
均为正方形， 所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,
所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱.
A
B
C
C 1
B 1
A 1
D
因为1A D ?平面111A B C ，所以11CC A D ⊥，
又因为1111A B AC =，
D 为11B C 中点， 所以111A D B C ⊥. 因为1111CC B C C = ,
所以1A D ⊥平面11BB C C .
(Ⅱ)解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A
均为正方形， 90BAC ∠= ，
所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -.
设
1
AB =，
则
111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22
C B A
D ，.
11
11(,,0),(0,11)22
A D AC ==- ，， 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有
1100A D A C ?=??
?=?n n ，0
0x y y z +=??-=?
， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n . 又因为cos ,AB AB AB
???==
=
n n n AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的 法向量为(1,00)AB = ，，………
1D AC A --是钝角，
所以，二面角1D AC A --的余弦值为3
-. 3．（本小题满分12分）
已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90o， 2==BC RB ．点A 、D 分别是
RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、
PC ．
（Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；
（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值．
解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点， ∴ BC AD BC AD 2
1
//=
且.
P
C
A
D
B
R
∴ ∠0
90=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A = ∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥
∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,
∴ BC ⊥平面PAB . ∵ ?PB 平面PAB ,
∴ PB BC ⊥. （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．
则D （－1，0，0），C （－2，1，0），
P （0，0，1）.∴=（－1，1，0），
=（1，0，1）,
设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =
，则
00
n DC x y n DP x z ??=-+=?
??=+=??
……10分令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n
.显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．
∴ cos 3 3 1 31= ?= ． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是 3 3 . 4、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N . （I ） 求证： //SB 平面ACM ； （II ） 求二面角D AC M --的余弦值大小； （III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN . S N M D C B A 证明（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME. ABCD 是正方形，∴E是BD的中点. M 是SD的中点，∴ME是DSB ?的中位线. ∴// ME SB. 又∵ME?平面ACM，SB?平面ACM， ∴SB//平面ACM. （II）如图，以 A为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 由SA AB =故设1 AB AD AS ===，则 11 (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,) 22 A B C D S M SA⊥底面ABCD，∴AS 是平面ABCD的法向量， AS(0,0,1) = ． 设平面ACM的法向量为(,,) x y z = n, 11 (1,1,0),(,0,) 22 AC AM == , 则 0, 0. AC AM ??= ? ? ?= ?? n n 即 00, 11 00. 22 x y x z ++= ? ? ? ++= ?? ∴ , . y x z x =- ? ? =- ? 令1 x=,则(1,1,1) =-- n. ∴cos, 3 |||| AS AS AS ? <>=== ? n n n ,∴二面角D AC M --．（III） 11 ,0, 22 AM ?? = ? ?? ，() 1,1,1 CS=-- ， 11 22 AM CS ∴?=-+= AM CS ∴⊥ 又SC AN ⊥ 且AN AM A = . SC AMN ∴⊥平面. 又SC?平面, SAC∴平面SAC⊥平面AMN. 5. （本小题满分12分） 三棱锥ABC P-中， 90 = ∠BAC， 2 2= = = = =AB BC PC PB PA, （1）求证：面⊥ PBC面ABC （2）求二面角C AP B- -的余弦值． 第5题图 （1） 证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，由已知△BAC 为直角三角形， 所以可得OA =OB =OC ，又知P A =PB =PC ， 则△POA ≌△POB ≌△POC ∴∠POA =∠POB =∠POC =90°，∴PO ⊥OB ,PO ⊥OA ,OB ∩OA =O 所以PO ⊥面BCD ， ?PO 面ABC ，∴面PBC ⊥面ABC （2） 解：过O 作OD 与BC 垂直，交AC 于D 点， 如图建立坐标系O —xyz 则)0,21 ,23( -A ，)0,1,0(-B ，)0,1,0(C ，)3,0,0(P ， )3,1,0(),0,2 1 ,23( ==BP BA 设面P AB 的法向量为n 1=(x,y,z )，由n 1· =0，n 1·BP =0,可知n 1=(1,-3,1) 同理可求得面P AC 的法向量为n 1=(3,3,1) cos(n 1, n 2)= 2 121··n n n n =6565 6．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面A B C D ，且 2P A A D ==，,,E F H 分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PD ⊥平面AHF ． （Ⅱ）求二面角H EF A --的大小． 解：（Ⅰ）F 为PD 的中点，且PA AD =，PD AF ∴⊥， PA ⊥ 底面ABCD ，BA ?底面ABCD ，AB PA ∴⊥．………2分 四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥． 又PA AD A = ，AB ∴⊥平面PAD ． PD ? 平面PAD ， AB PD ∴⊥． AB AF A = ，PD ∴⊥平面AHF ．……6分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 第5题答案图 (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴,)2,0,0(P ， )1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H ．……………8分 设平面HEF 的法向量为n (,,)x y z =, ∵(0,1,0)EF = ，(1,0,1)EH =- ， 则0,0, n EF y n EH x z ??==???=-=?? 取).1,0,1(=又平面AEF 的法向量为),0,0,1(= ∴cos ,||||m n m n m n ?<>==== ,45,m n ∴<>= 所以，二面角H EF A --的大小为 45． …………………12分 7.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中， ,90AD BC ABC ∠=?∥，PA ⊥ 平面 ,3,2, 6.ABCD PA AD AB BC ==== （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角P BD A --的大小. 解：（1）如图，建立坐标系， 则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,3)A B C D P ， (0,0,3),(AP AC BD ∴===- ， 0,0.BD AP BD AC ∴?=?= ,BD AP BD AC ∴⊥⊥， 又PA AC A = ， B D P A C ∴⊥面. （2）设平面ABD 的法向量为(0,0,1)=m ， 设平面PBD 的法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0BD BP ?=?= n n (BP =- 2030 y z ?-+=?∴?-+=?? 解得，y z x ?=??=?? 令x = =n 1 cos ,|||2 ?∴==<>m n m n m n ∴二面角P BD A --的大小为60 . 例1：某国某年饭店业游客花费为1亿美元，饭店业员工年均工资为1万美元，工资支出比例占饭店业总收入的35％（不计消费税）。问： ①该国该年饭店业就业总人数？ ②该国饭店业年游客花费额每增加100万美元，可以为饭店业创造多少个就业机会？ 解：该国该年饭店业就业总人数＝10000×35％÷1＝3500（人） 创造的就业机会数＝100×35％÷1＝35（份工作） 例2：某国某年饭店业总收入1亿美元，其中35％用于工资支出。求该国该年饭店业工资总收入。 解：饭店业工资总收入＝10000×35％＝3500（万美元） 某饭店餐厅有餐座200个，餐厅每天应推销的固定费用1800元，每餐平均价格35元，消耗原材料平均占售价40%，营业税率5%，以此计算： 餐厅损益平衡的销售量； 每日餐厅的保本销售额； 使餐厅不赔不赚的占座率； 某饭店有客房150间，每间房价为100元，每日应推销的固定费用为2500元，日变动成本为房价的15%，全年按360天计算，若确定客房的目标利润为200万元，问要达此目标利润， 每天平均客房销售量； 每天平均客房销售额； 每天平均客房出租率； 某饭店有客房200间，去年客房出租平均价格650元，客房平均出租率为60%。今年为吸引更多的游客下榻，将客房平均价格降为580元，客房平均出租率上升至65%。试根据旅游需求价格弹性系数评述该旅游饭店的降价举措是否成功。 某旅游汽车公司2006年运载了4500人赴某景区旅游，2007年降至3600人，原因是这一年间小汽车平均价格由12.8万元降至9.6万元，赴该景区旅游的自驾车人数增多了。若小汽车平均价格降低10%，则会对该旅游汽车公司运载的游客数量产生多大影响？ 第九讲 空间直角坐标系 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 E F B C D H G X Y Z ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==? ??∴=-u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==? ??∴=u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121 cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u r 即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问 计算分析题解答参考 1.1．某厂三个车间一季度生产情况如下： 计算一季度三个车间产量平均计划完成百分比和平均单位产品成本。 解：平均计划完成百分比＝实际产量/计划产量＝733/（198/0.9+315/1.05+220/1.1） ＝101.81% 平均单位产量成本 X=∑xf/∑f=(15*198+10*315+8*220)/733 =10.75(元/件) 1.2．某企业产品的有关资料如下： 试分别计算该企业产品98年、99年的平均单位产品成本。 解：该企业98年平均单位产品成本 x=∑xf/∑f=(25*1500+28*1020+32*980)/3500 =27.83(元/件) 该企业99年平均单位产品成本x=∑xf /∑(m/x)=101060/(24500/25+28560/28+48000/32) =28.87(元/件) 年某月甲、乙两市场三种商品价格、销售量和销售额资料如下： 1.3．1999 解：三种商品在甲市场上的平均价格x=∑xf/∑f=(105*700+120*900+137*1100)/2700 =123.04(元/件) 三种商品在乙市场上的平均价格x=∑m/∑(m/x)=317900/(126000/105+96000/120+95900/137) =117.74(元/件) 2.1．某车间有甲、乙两个生产小组，甲组平均每个工人的日产量为22件，标准差为 3.5件；乙组工人日产量资料： 试比较甲、乙两生产小组中的哪个组的日产量更有代表性？ 解：∵X 甲=22件 σ甲=3.5件 ∴V 甲=σ甲/ X 甲=3.5/22=15.91% 列表计算乙组的数据资料如下: ∵x 乙=∑xf/∑f=(11*10+14*20+17*30+20*40)/100 =17(件) σ乙= √[∑(x-x)2 f]/∑f =√900/100 =3(件) ∴V 乙=σ乙/ x 乙=3/17=17.65% 由于V 甲＜V 乙,故甲生产小组的日产量更有代表性。 2.2．有甲、乙两个品种的粮食作物，经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤，标准差为162.7斤；乙品种实验的资料如下： 试研究两个品种的平均亩产量，确定哪一个品种具有较大稳定性，更有推广价值？ 解：∵x 甲=998斤 σ甲=162.7斤 ∴V 甲=σ甲/ x 甲=162.7/998=16.30% 列表计算乙品种的数据资料如下: 旅游经济学习题 第二章： 1、某景区门票为30元时，每天接待游客量为1000人，票价降至20元时，每天游客量增加到2000人，该景区的需求价格弹性是( ) A.1.37 B.1.47 C.1.57 D.1.67 2、如果某地旅游产品的价格从每天60美元下降至50美元，人们前往该地的平均天数则从10天增加到15天，则该旅游需求价格点弹性系数的绝对值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3、如果某地旅游产品的价格从每天20美元上升至40美元，人们前往该地的平均天数则从10天降到5天，则该旅游需求价格弹性系数的绝对值为( ) A.1/2 B.1 C.3 D.4 4、假日饭店上月将标准客房价格从每间400元提高到450元，使本月饭店餐饮部就餐客人从每天160人减少到120人，试计算餐饮部的交叉价格弹性系数的绝对值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5、如果某地旅游产品的价格从每天60美元下降至50美元，人们前往该地的平均天数则从11天增加到15天，则该旅游需求价格弹性的绝对值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6、某景区门票为30元时，每天接待游客量为1000人，票价降至20元时，每天游客量增加 到2000人，该景区的需求价格弹性是（） A．1.37 B．1.47 C．1.57 D．1.67 计算题： 1、某景区门票的价格从60元/人次下降为50元/人次，去该景区旅游的人次数从每天5000人次上升为每天8000人次，分别计算该景区的需求价格点弹性系数和弧弹性系数。（保留两位小数） 2、2006年我国某航空公司由x国飞往我国的机票为400美元，年乘客为60000人，我国某旅行社为x国旅游者制定的包价旅游产品每人每天80美元，年接待x国旅游者65000人；2007年因燃油价格上涨，该航空公司将机票提高到430美元，年乘客降至50000人，由于航空机票价格上调，该旅行社也将其包价旅游产品提高至每人每天85美元，年接待x国旅游人次减至62000人，求该航空公司机票提价10%，则对该旅行社产品需求的影响程度。（运用点弹性公式计算） 3、2006年y国与x国的某包价旅游产品每人每天均为80美元，其中y国产品的需求量为10万人次，x国产品的需求量为8万人次，2007年，y国产品维持原价，x国则将其产品每人每天价格降为74美元，使该国产品的需求量增加至9万人次，y国需求则减少到9.5万人次，那么当x国产品降价10%时，对y国产品需求的影响是多少？ 4、某旅行社2006年某种包价旅游产品为4000元，销售量为1200人，2007年由于燃油价格上调，该包价旅游产品价格提升至4500元，销售量降为1000人。求它的需求价格弹性系数。 5、某饭店有客房200间，去年客房出租平均价格为650元，客房平均出租率为60%。今年为吸引更多游客下榻，将客房平均价格降为580元，客房平均出租率上升至65%。根据旅游需求价格弹性系数，评述该饭店这一降价举措是否成功。 2、残废给付 ①一次伤害、多处致残的给付 ∑各部位残废程度百分数＞100%——全额给付 ∑各部位残废程度百分数＜100%—— ∑各部位残废程度百分数×保险金额 一被保险人在一次意外伤害中，造成一肢永久性残废，并丧失中指和无名指，保险金额为1万元，保险公司应给付的残废保险金为多少？ 若该次事故还造成被保险人双目永久完全失明，则保险公司应给付的残废保险金又为多少？ 查表可知，一肢永久性残废的残废程度百分率为50%，一中指和一无名指的残废程度百分率为10%，双目永久完全失明的残废程度百分率为100%，则 A、残废保险金＝（50%+10%）×10000＝6000（元） B、按保险金额给付：1万元 保险的损失分摊机制 设某一地区有1000户住房，每户住房的市场价值为10万元，据以往资料知，每年火灾发生的频率为0.1%。假设每次火灾均为全损，保险公司要求每户房主缴纳110元保险金，保险公司则承担所有风险损 请问：风险损失的事实承担者是保险公司吗？保险公司怎样兑现承诺？ 所收金额：110×1000=11(万元) 每年可能补偿额：1000×0.1%×100000=10(万元) 赔余额：1万元 风险损失的事实承担者并不是保险公司，而是其他没有遭受风险损失的房主，其承担份额为110元，遭受风险损失者也承担了110元。保险公司不仅没有实质性地承担风险损失，反而因为提供了有效的保险服务而获得了1万元的报酬。+ ——保险公司的作用在于组织分散风险、分摊损失。 李某在游泳池内被从高处跳水的王某撞昏，溺死于水池底。由于李某生前投保了一份健康保险，保额5万元，而游泳馆也为每位游客保了一份意外伤害保险，保额2万元。事后，王某承担民事损害赔偿责任10万元。问题是： （1）因未指定受益人，李某的家人能领取多少保险金？ （2）对王某的10万元赔款应如何处理？说明理由。 解答：（1）李某死亡的近因属于意外伤害，属于意外伤害保险的保险责任，因此李某的家人只能领到2万元的保险金。 （2）对王某的10万元赔款应全部归李某的家人所有，因为人身 空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1 第二章： 1、某景区门票为30元时，每天接待游客量为1000人，票价降至20元时，每天游客量增加到2000人，该景区的需求价格弹性是( ) A.1.37 B.1.47 C.1.57 D.1.67 2、如果某地旅游产品的价格从每天60美元下降至50美元，人们前往该地的平均天数则从10天增加到15天，则该旅游需求价格点弹性系数的绝对值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3、如果某地旅游产品的价格从每天20美元上升至40美元，人们前往该地的平均天数则从10天降到5天，则该旅游需求价格弹性系数的绝对值为( ) A.1/2 B.1 C.3 D.4 4、假日饭店上月将标准客房价格从每间400元提高到450元，使本月饭店餐饮部就餐客人从每天160人减少到120人，试计算餐饮部的交叉价格弹性系数的绝对值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5、如果某地旅游产品的价格从每天60美元下降至50美元，人们前往该地的平均天数则从11天增加到15天，则该旅游需求价格弹性的绝对值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6、某景区门票为30元时，每天接待游客量为1000人，票价降至20元时，每天游客量增加 到2000人，该景区的需求价格弹性是（） A．1.37 B．1.47 C．1.57 D．1.67 计算题： 1、某景区门票的价格从60元/人次下降为50元/人次，去该景区旅游的人次数从每天5000人次上升为每天8000人次，分别计算该景区的需求价格点弹性系数和弧弹性系数。（保留两位小数） 2、2006年我国某航空公司由x国飞往我国的机票为400美元，年乘客为60000人，我国某旅行社为x国旅游者制定的包价旅游产品每人每天80美元，年接待x国旅游者65000人；2007年因燃油价格上涨，该航空公司将机票提高到430美元，年乘客降至50000人，由于航空机票价格上调，该旅行社也将其包价旅游产品提高至每人每天85美元，年接待x 国旅游人次减至62000人，求该航空公司机票提价10%，则对该旅行社产品需求的影响程度。（运用点弹性公式计算） 电学计算题分类例析专题姓名 一、知识储备： 1、欧姆定律： （1）内容： （2）公式：变形公式：、 （3）适用条件： 2、串联电路和并联电路特点：先文字叙述，再写公式。 物理量\电路串联电路并联电路 电流 电压 电阻 电功 电功率 电热 与电阻关系 3、计算电功所有公式：。 4、计算电功率所有公式：。 5、计算电热所有公式：。 6、电功和电热的关系: ⑴纯电阻电路：电阻R,电路两端电压U,通过的电流强度I. 电功: W= 电热:Q= 电热和电功的关系 表明: 在纯电阻电路中,电功电热.也就是说电流做功将电能全部转化为电路的 ⑵非纯电阻电路：电流通过电动机时 电功 :W= 电热: Q= 电热和电功的关系： =机械能+ 表明: 在包含有电动机,电解槽等非纯电阻电路中,电功仍 UIt,电热仍 I2Rt.但电功不再等于电热而是电热了. 7、电能表的铭牌含义：220V 5A 2500R/KW.h 8、额定电压是指用电器在__ _ _时的电压，额定功率是指用电器在____ 时的电功率。某灯泡上标有“PZ220-60”，“220”表示， “60”表示，电阻是。额定电压、额定功率、实际电压、实际功率的关系：。 二、典型题解析： 题型一：简单串并联问题 解题方法：解决串、并联电路的问题，首先要判断电路的连接方式，搞清串并联电路中电流、电压、电阻的关系，结合欧姆定律和其它电学规律加以解决。 练习： 1、把R1和R2串联后接到电压为12伏的电路中，通过R1的电流为0.2安，加在R2两端的电压是4伏．试求：（1）R1和R2的电阻各是多少?（2）如果把R1和R2并联后接入同一电路（电源电压不变），通过干路的电流是多少? 2、如图所示,电源电压不变.闭合开关S，小灯泡L恰好正常发光。已知R1=12 ，电流表A1的示数为0.5A，电流表A的示数为1.5A。求：（1）电源电压；（2）灯L 的电阻；（3）灯L的额定功率。 题型二：额定功率、实际功率的计算 解题方法：找准题中的不变量、变量，选择合适的公式计算 1、标有“6V,6W”和“3V,6W”的两只灯泡串联接在电源上，有一只灯泡正常发光，而另一只较暗，求：（1）电源电压（2）两灯泡消耗的实际功率分别是多少？（3）两灯泡哪只较亮？ 2、有一只标有“PZ220—40”的灯泡，接在220V家庭电路中，求：（1）灯泡正常发光时的电阻？（2）灯泡正常发光时通过它的电流？（3）1KW·h电可供此灯泡正常工作长时间？（4）若实际电压为110V，则灯泡的实际功率为多大？灯泡的发光情况如何？ 题型三：电热计算 解题方法：首先分清电路（纯电阻电路还是非纯电阻电路），选择正确的公式计算 1、两电阻串联在电路中，其R1=4Ω，R2=6Ω，电源电压10V，那么在1min时间内电流通过各电阻产生的热量是多少？总共产生了多少热量？ 2、一台电动机线圈电阻0.3Ω，接在12V的电路上时，通过电动机的电流为0.5A，在5min内电流做功及电流产生的热量分别多大？产生机械能是多少？ 1 空间角与距离的计算(1) 一 线线角 1.直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,∠BCA=900,点D 1,F 1分别就是A 1B 1与A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 就是直角梯形,∠BAD=900,AD ∥ BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥面ABCD,PD 与底面成300角. (1)若AE ⊥PD,E 为垂足,求证:BE ⊥PD; (2)若AE ⊥PD,求异面直线AE 与CD 所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1、CD 的中点,且正方体的棱 长为2. (1)求直线D 1F 与AB 与所成的角; (2)求D 1F 与平面AED 所成的角. 2.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,四边形AA 1B 1B 就是菱形,四边形BCC 1B 1就是矩形,C 1B 1⊥AB,AB=4,C 1B 1=3,∠ABB 1=600,求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小 三.二面角 1.已知A 1B 1C 1-ABC 就是正三棱柱,D 就是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC 1; (2)设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角的 大小. 2.ABCD 就是直角梯形,∠ABC=900,SA ⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=0、5. (1)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小; (2)求SC 与面ABCD 所成的角. 3.已知A 1B 1C 1-ABC 就是三棱柱,底面就是正三角形,∠A 1∠A 1AB=450,求二面角B —AA 1—C 的大小. 空间角与距离的计算(2) 四 空间距离计算 (点到点、异面直线间距离) 1、在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 就是BC 的中点交AC 于M,B 1P 交BC 1于N. (1)求证:MN 上异面直线AC 与BC 1的公垂线; (2)求异面直线AC 与BC 1间的距离. (点到线,点到面的距离) 2.点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA ⊥面ABCD,Q 为线段AP 的中点,AB=3,CB=4,PA=2,求: (1)点Q 到直线BD 的距离; (2)点P 到平面BDQ 的距离. 3.边长为a 的菱形ABCD 中,∠ABC=600,PC ⊥平面 A B 11 C 精品文档 旅游经济学习题 第二章： 1、某景区门票为30元时，每天接待游客量为1000人，票价降至20元时，每天游客量增加到2000人，该景区的需求价格弹性是( ) A.1.37 B.1.47 D.1.67 C.1.57 2、如果某地旅游产品的价格从每天60美元下降至50美元，人们前往该地的平均天数则从10天增加到15天，则该旅游需求价格点弹性系数的绝对值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3、如果某地旅游产品的价格从每天20美元上升至40美元，人们前往该地的平均天数则从10天降到5天，则该旅游需求价格弹性系数的绝对值为( ) A.1/2 B.1 C.3 D.4 4、假日饭店上月将标准客房价格从每间400元提高到450元，使本月饭店餐饮部就餐客人从每天160人减少到120人，试计算餐饮部的交叉价格弹性系数的绝对值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5、如果某地旅游产品的价格从每天60美元下降至50美元，人们前往该地的平均天数则从11天增加到15天，则该旅游需求价格弹性的绝对值为( ) A.1 B.2 D.4 C.3 元时，每天游客量增加20人，票价降至1000元时，每天接待游客量为30、某景区门票为6 2000人，该景区的需求价格弹性是（）到1.47 ．．A1.37 B 1.67 ．D 1.57 ．C 计算题：人次，去该景区旅游的人次数从每天50/元601、某景区门票的价格从人次下降为元/（保分别计算该景区的需求价格点弹性系数和弧弹性系数。8000人次上升为每天5000人次，留两位小数） 精品文档． 精品文档 2、2006年我国某航空公司由x国飞往我国的机票为400美元，年乘客为60000人，我国某旅行社为x国旅游者制定的包价旅游产品每人每天80美元，年接待x国旅游者65000人；2007年因燃油价格上涨，该航空公司将机票提高到430美元，年乘客降至50000人，由于航空机票价格上 立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D 能熟练运用欧姆定律解决简单的电路问题； ②知道串并联电路中电流、电压、电阻的关系，并分析解决简单的串、并联问题； ③知道电功、电功率的公式，并会求解简单的问题； ④知道额定电压、额定功率、实际功率以及它们之间的关系； ⑤记住焦耳定律公式并能用焦耳定律进行求解通电导体发热问题。 二、知识储备： 1、欧姆定律： （1）内容： （2）公式：变形公式：、 （3）适用条件： 2 ⑴纯电阻电路：电阻R,电路两端电 压U,通过的电流强度I. 电功: W= 电热:Q= 电热和电功的关系 表明: 在纯电阻电路中,电功 电热.也就是说电流做功将电能全部 转化为电路的 ⑵非纯电阻电路：电流通过电动 机M时 电功:W= 电热: Q= 电热和电功的关系： =机械能+ 表明: 在包含有电动机,电解槽等 非纯电阻电路中,电功仍 UIt, 电热仍 I2Rt.但电功不再等 于电热而是电热了. 4、电能表的铭牌含义：220V 5A 2500R/KW.h 5、额定电压是指用电器在__ __时 的电压，额定功率是指用电器在____ 时的电功率。某灯泡上标有 “PZ220-60”，“220”表 示， “60”表示电阻是 三、典题解析： 题型一：简单串并联问题 例1、如图1所示的电路中，电阻 R 1 的阻值为10Ω。闭合电键S，电流表A1的示数为0.3A，电流表A的示数为0.5A.求(1)通过电阻R2的电流.(2)电源电压.(3)电阻R2的阻值 例2、如图所示，小灯泡标有“2.5V”字样，闭合开关S后，灯泡L正常发光，电流表、电压表的示数分别为0.14A和6V.试求（1）电阻R的阻值是多少？（2）灯泡L消耗的电功率是多少？ 解题方法：解决串、并联电路的问题，首先要判断电路的连接方式，搞清串并联电路中电流、电压、电阻的关系，结合欧姆定律和其它电学规律加以 解决。 练习： 1、把R1和R2串联后接到电压为12 伏的电路中，通过R1的电流为0.2 安，加在R2两端的电压是4伏．试 求：（1）R1和R2的电阻各是多少? （2）如果把R1和R2并联后接入 同一电路（电源电压不变），通过 干路的电流是多少? 2、如图所示,电源电压不变.闭合开关S，小灯泡L恰好正常发光。已知R1=12Ω，电流表 A1的示数为 0.5A，电流表A 的示数为1.5A。 求：（1）电源电 压；（2）灯L的 电阻；（3）灯L的额定功率。 题型二：额定功率、实际功率的计算例1、把一个标有“220V 40W”灯泡接在电压为110V电源上使用，该灯泡的额定状态下的电阻、额定电流、额定功率、实际状态下的电阻、电流、实际功率分别是多少？ 第一章练习答案 一、国外旅游经济学产生的历史背景是什么？ 早在19世纪后半期，由于旅游活动在西欧和北美地区广泛开展，旅游对社会经济的作用逐渐显现，旅游发展过程中的矛盾开始暴露。一些专家和学者敏锐地觉察到旅游现象对于经济发展的重要性，并着手对其进行研究。第二次世界大战结束以后，旅游活动广泛发展。与此相适应，旅游经营范围不断扩大，旅游消费内容更加复杂，旅游经济活动得到所有国家政府的高度重视。一大批专家学者在总结世界旅游经济和本国旅游产业发展的基础上，对旅游经济理论和方法进行了全面深入研究，发表和出版了大量水平较高的论文与著作，对现代旅游经济学的产生和发展起到了很好的指导和促进作用。 二、我国旅游经济学产生和发展历程是什么？ 党的十一届三中全会确立了改革开放的基本国策之后，中国经济以前所未有的速度向前发展，从而为旅游活动的广泛兴起打下了坚实的经济基础。在我国旅游经济发展过程中，邓小平的旅游经济思想起了决定性的作用。从1978年10月到1979年8月，他先后五次比较集中、系统地论述了旅游业发展问题，提出一系列关于旅游发展的思想和观点，指导着我国旅游经济发展和理论研究。我国旅游经济在20世纪80-90年代得到广泛发展，这就为旅游经济研究提供了丰富的素材。产业界、学术界、教育界、旅游研究机构以及政府职能部门，对旅游经济问题的研究得以迅速展开，并取得了丰硕的研究成果。 三、旅游经济学的学科特征表现在哪些方面？ 旅游经济学是现代经济学的一个分支，是以现代经济学的基本原理和方法为指导，来研究旅游经济活动领域的各种经济现象、经济关系和发展规律的科学。因此，旅游经济学与其他学科相比较，具有自身的基本特征。主要表现在以下方面： 首先，旅游经济学属于一门应用经济学科 其次，旅游经济学属于一门产业经济学科 再次，旅游经济学属于一门新兴边缘学科 最后，旅游经济学属于一门旅游基础学科 四、旅游经济学的研究对象有哪些？ 不同的学科存在各自不同的矛盾规定性，从而决定了它们有着各自不同的研究对象。由于旅游经济活动中总是存在着旅游需求和旅游供给之间的基本矛盾，并由此产生一系列其他矛盾，因此，旅游经济学主要揭示旅游经济活动过程中的内在规定性及其运行机制，从而有效地指导旅游实践工作，促进旅游业健康发展。具体来说，旅游经济学的研究对象主要体现在以下几个方面： D C B A C 1 B 1 D 1 A 1 教学过程 一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 高考要求:空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合． 知识与方法整理： 空间角 异面直线所成的 角 直线和平面所成的 角 二面角 定义 范围 图示 求空间角的一般步骤是：（一“作”；二“证”；三“求”） (1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）； (2)证明此角为所求角； (3)计算。 三、【例题讲解】 （一）异面直线夹角问题 例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 (2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、 F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角 的余弦值_________ （3）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，E 分别为BC 的中点， 直线C A 1与DE 所成的角等于 小结：线线角抓平行线 要求异面直线夹角，关键是将两条直线平移到同一平面上，将空间角转化为平面角。 异面直线所成的角求法：①平移法 ②割补法 （二）线面夹角问题 O (A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O （2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥； （II ）求CM 与平面CDE 所成的角． 小结：线面角抓面垂线（定射影）要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。 斜线与平面所成的角求法：定义法 （三）二面角问题 例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。 （2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为?45，AB 与平面β所成的角为?30，则二面角的大小为 ； （3）二面角βα--l 是锐角，空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22，4和 24，则这个二面角的度数为（ ） A 、?30或?45 B 、?15或?75 C 、?30或?60 D 、?15或?60 （4）如图，△ABC 中,∠ABC= 30,PA⊥平面ABC,PC⊥BC ,PB 与平面ABC 成45°角，①求证：平面PBC ⊥平面PAC ；②求二面角A —PB —C 的正弦值。 一、复习目标： ①记住欧姆定律的内容、表达式，并能熟练运用欧姆定律 解决简单的电路问题； ②知道串并联电路中电流、电压、电阻的关系，并分析解决简单的串、并联问题； ③知道电功、电功率的公式，并会求解简单的问题； ④知道额定电压、额定功率、实际功率以及它们之间的关系； ⑤记住焦耳定律公式并能用焦耳定律进行求解通电导体发热问题。 二、知识储备： 1、欧姆定律： （1）内容： （2）公式： 变形公式： 、 （3）适用条件： 2 3⑴纯电阻电路：电阻R,电路两端电压U,通过的电流强度I. 电功: W= 电热:Q= 电热和电功的关系 表明: 在纯电阻电路中,电功 电热.也就是说电流做功将电能全部转化为电路的 ⑵ 非纯电阻电路： 电流通过电动机M 时 电功 :W= 电热: Q= 电热和电功的关系： =机械能+ 表明: 在包含有电动机,电解槽等非纯电阻电路中,电功仍 UIt,电热仍 I 2Rt.但电功不再等于电热而是 电热了. 4、电能表的铭牌含义：220V 5A 2500R/KW.h 5、额定电压是指用电器在__ __时的电压，额定功率是指用电器在____ 时的电功率。某灯泡上标有“PZ220-60”，“220”表示 ， “60”表示 电阻是 三、典题解析： 题型一：简单串并联问题 例1、 如图1所示的电路中，电阻R 1的阻值为10 。闭合电键S ， 电流表A 1的示数为0.3A ，电流表A 的示数为0.5A.求(1)通过电阻 R 2的电流.(2)电源电压.(3)电阻R 2的阻值 练 例2、如图所示，小灯泡标有“2.5V”字样，闭合开关S后，灯泡L正 常发光，电流表、电压表的示数分别为0.14A和6V.试求（1）电阻R 的阻值是多少？（2）灯泡L消耗的电功率是多少？ 练习： 1、把R1和R2串联后接到电压为12伏的电路中，通过R1的电流为0.2 安，加在R2两端的电压是4伏．试求：（1）R1和R2的电阻各是多少?（2） 如果把R1和R2并联后接入同一电路（电源电压不变），通过干路的电流 是多少? 2、如图所示,电源电压不变.闭合开关S，小灯泡L恰好正常发光。已知R1=12 ，电流表A1的示数为0.5A，电流表A的示数为1.5A。求：（1）电源电压；（2）灯L的电阻；（3）灯L的额定功率。 题型二：额定功率、实际功率的计算 例1、把一个标有“220V 40W”灯泡接在电压为110V电源上使用，该灯泡的额定状态下的电阻、额定电流、额定功率、实际状态下的电阻、电流、实际功率分别是多少？ 例2 、标有“6V,6W”和“3V,6W”的两只灯泡串联接在电源上，有一只灯泡正常发光，而另一只较暗，分析： （1）电源电压（2）两灯泡消耗的实际功率分别是多少？（3）两灯泡哪只较亮？ 练习：1、有一只标有“PZ220—40”的灯泡，接在220V家庭电路中，求： 〈1〉灯泡正常发光时的电阻？ <2〉灯泡正常发光时通过它的电流？ 〈3〉1KW·h电可供此灯泡正常工作长时间？ 〈4〉若实际电压为200V，则灯泡的实际功率为多大？灯泡的发光情况如何？ 题型三：电热计算 例1、两电阻串联在电路中，其R1=4Ω，R2=6Ω，电源电压10V，那么在1min时间内电流通过各电阻产生的热量是多少？总共产生了多少热量？ 例2、一台电动机线圈电阻0.3Ω，接在12V的电路上时，通过电动机的电流为0.5A，在5min 内电流做功及电流产生的热量分别多大？ 例3、两根相同的电阻丝，电阻为R，将它们串联后接到电源上，20min可以烧开一壶水；如果将它们并联后，接到同一电源上（设电源电压不变），烧开这壶水需要多长时间。 练习：1、一台接在220V电压的电路中正常工作的电风扇，通过风扇电动机的电流为0.455A，测得风扇电动机线圈电阻为5Ω，试求 （1）电风扇的输入功率多大？ （2）电风扇每分钟消耗电能多少？ （3）风扇的电动机每分钟产生的电热多少？产生机械能多少？ 2、热水器中有两根电热丝，其中一根通电时，热水器中的水经15min沸腾，另一根单独通电时，热水器中的水经30min沸腾。如把两根电热丝分别串联和并联，问通电后各需多少时间才能沸腾？（设电热丝电阻不变）。 D C B A C 1 B 1 D 1 A 1 数学个性化教学教案 授课时间： 年 月 日 备课时间 年 月 日 年级 高二 学 科 数学 课 时 2 h 学生姓名 授课主题 综合法求空间角专题 授课教师 教学目标 1、让学生掌握用综合法求线线角，线面角和二面角； 2、通过空间角的专题复习，让学生进一步体会空间角的数学本质； 3、通过课堂教学，让学生积极参与课堂，实现方法的提炼和能力的提高. 教学重点 1、求异面直线所成的角；2、求直线与平面所成的角；3、求二面角． 教学难点 1、空间角的作法与求法． 教学过程 一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 高考要求:空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合． 知识与方法整理： 空间角 异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角 定义 范围 图示 求空间角的一般步骤是：（一“作”；二“证”；三“求”） (1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）； (2)证明此角为所求角； (3)计算。 三、【例题讲解】 （一）异面直线夹角问题 例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 (2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________ 学习札记 （3）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，E 分别为BC 的中点， 直线C A 1与DE 所成的角等于 小结：线线角抓平行线 要求异面直线夹角，关键是将两条直 线平移到同一平面上，将空间角转化为平面角。 异面直线所成的角求法：①平移法 ②割补法 （二）线面夹角问题 例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O 的角，且b 与 a 在α内的射影成45O 的角时，a 与α所成的角为( ) (A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O （2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥； （II ）求CM 与平面CDE 所成的角． 小结：线面角抓面垂线（定射影）要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。 斜线与平面所成的角求法：定义法 （三）二面角问题 例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。 （2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为?45，AB 与平面β所成的角为?30，则二面角的大小为 ； （3）二面角βα--l 是锐角，空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22，4和24，则这个二面角的度数为（ ） A 、?30或?45 B 、?15或?75 C 、?30或?60 D 、?15或?60 2009电学计算题分类例析专题 一、复习目标： ①记住欧姆定律的内容、表达式，并能熟练运用欧姆定律 解决简单的电路问题； ②知道串并联电路中电流、电压、电阻的关系，并分析解决简单的串、并联问题； ③知道电功、电功率的公式，并会求解简单的问题； ④知道额定电压、额定功率、实际功率以及它们之间的关系； ⑤记住焦耳定律公式并能用焦耳定律进行求解通电导体发热问题。 二、知识储备： 1、欧姆定律： （1）内容： （2）公式： 变形公式： 、 （3）适用条件： 2 3⑴纯电阻电路：电阻R,电路两端电压U,通过的电流强度I. 电功: W= 电热:Q= 电热和电功的关系 表明: 在纯电阻电路中,电功 电热.也就是说电流做功将电能全部转化为电路的 ⑵ 非纯电阻电路： 电流通过电动机M 时 电功 :W= 电热: Q= 电热和电功的关系： =机械能+ 表明: 在包含有电动机,电解槽等非纯电阻电路中,电功仍 UIt,电热仍 I 2 Rt.但电功不再等于电热而是 电热了. 4、电能表的铭牌含义：220V 5A 2500R/KW.h 5、额定电压是指用电器在__ __时的电压，额定功率是指用电器在____ 时 的电功率。某灯泡上标有“PZ220-60”，“220”表示 ， “60”表示 电阻是 三、典题解析： 题型一：简单串并联问题 例1、 如图1所示的电路中，电阻R 1的阻值为10Ω。闭合电键S ，电流表A 1的示数为0.3A ，电流表A 的示数为0.5A.求(1)通过电阻R 2的电流.(2)电源电压.(3)电阻R 2的阻 值 例2、如图所示，小灯泡标有“2.5V ”字样，闭合开关S 后，灯泡L 正常发光，电流表、 电压表的示数分别为0.14A 和6V.试求（1）电阻R 的阻值是多少？（2）灯泡L 消耗的 电功率是多少？ 练习： 1、把R 1和R 2串联后接到电压为12伏的电路中，通过R 1的电流为0.2安，加在R 2两 端的电压是4伏．试求：（1）R 1和R 2的电阻各是多少?（2）如果把R 1和R 2并联后 接入同一电路（电源电压不变），通过干路的电流是多少? 2、如图所示,电源电压不变.闭合开关S ，小灯泡L 恰好正常发光。已知R 1=12Ω，电 流表A 1的示数为0.5A ，电流表A 的示数为1.5A 。求：（1）电源电压；（2）灯L 的电阻； （3）灯L 的额定功率。 题型二：额定功率、实际功率的计算 例1、把一个标有“220V 40W ”灯泡接在电压为110V 电源上使用，该灯泡的额定状态下的电阻、额定电流、额定功率、实际状态下的电阻、电流、实际功率分别是多少？ 例2 、标有“6V,6W ”和“3V,6W ”的两只灯泡串联接在电源上，有一只灯泡正常发光， 而另一只较暗，分析： （1）电源电压（2）两灯泡消耗的实际功率分别是多少？ （3）两灯泡哪只较亮？ 练习：1、 有一只标有“PZ220—40”的灯泡，接在220V 家庭电路中，求： 〈1〉灯泡正常发光时的电阻？ <2〉灯泡正常发光时通过它的电流？ 〈3〉1KW·h 电可供此灯泡正常工作长时间？ 〈4〉若实际电压为200V ，则灯泡的实际功率为多大？灯泡的发光情况如何？ 题型三：电热计算 例1、两电阻串联在电路中，其R 1=4Ω，R 2=6Ω，电源电压10V ，那么在1min 时间内电流通过各电阻产生的 热量是多少？总共产生了多少热量？ 例2、一台电动机线圈电阻0.3Ω，接在12V 的电路上时，通过电动机的电流为0.5A ，在5min 内电流做功及电流产生的热量分别多大？ 例3、两根相同的电阻丝，电阻为R ，将它们串联后接到电源上，20min 可以烧开一壶水； 如果将它们并联后，接到同一电源上（设电源电压不变），烧开这壶水需要多长时间。 例2 练习2旅游经济学补充计算题
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