第二章行列式

第二章 行列式

§1 映射与变换

映射：

（1）．映射的定义：

M 到'M 一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有'M 中一个确定的元素'a 与之对应。

（2）映射三要素：

f 是A 到B 的映射???

?

??B A A A 中元素对应元属于）中元素对应元唯一）中每一元都有对应元

32)1

（3） 映射的记号：

1）用表达式。

如：B A f →:，y x f =)(

2）写出对应过程（有限集）。

如：}2,1{=A ，}{甲，乙=B ，乙甲，：→→21f 1． 满射

f 是A 到B 的满射??

?

?=B A f f ）（）象集是一个映射

2)1 2． 单射

f 是A 到B 的单射???

?

应元

中不同的元有不同的对）是一个映射A f 2)1 3． 双射

f 是A 到B 的双射??

?

?是一个满射）是一个单射

f f 2)1

4. 复合（乘法） 满足结合律，不满足交换律

两个映射:'f S S →，:'''g S S →,其中f 的象集包含于g 的定义域，定义 :''h S S → ()(())h x g f x = 复合顺序：先右后左 5. 恒同变换1S 逆映射

§2 置换的奇偶性

1置换 有限集的一一变换 12(

)(1)

(2)()

n p p p n

n 元对称群n S 置换的合成12(

)((1))((2))(())

n

pq q p q p q p n =

2对换 (,)i j ，1

(,)(,)i j i j -=

定义 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.()N p

定义 逆序数为偶数的置换称为偶置换；逆序数为奇数的置换称为奇置换. 置换的符号 性质1 置换与对换相乘后，置换的符号必改变.

性质2 任意一个置换都可以分解为对换的乘积，并且所作对换的个数与这个置换有相同的奇偶性.

推论 在n S 中，奇、偶置换各半

性质3 对任意的置换,p q 有sgn()sgn()sgn()qp q p = 性质4 p 和其逆置换1

p -具有相同的奇偶性

§3 矩阵

矩阵： 长方形表,()m n M K 111212122212

n n m m mn a a a a a a a a a ??

? ? ? ??? 为一个m n ?矩阵 数ij a 称为矩阵的元素，i ,j 称为元素ij a 的行,列指标. n n ?矩阵也称为n 级方阵. 设()()

lk

ij mn

ij

b a A ,=，如果k n l m ==,，且ij ij b a =，对n j m i ,,2,1;,,2,1 ==都

成立，我们就说B A =.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.

方阵 零矩阵 对角元 对角阵 行（列）向量 转置矩阵 初等行变换 (0)i j i j i r kr r r cr c +?≠ 初等列变换 (0)i j

i j

i c kc c c cc c +?≠

注：用初等变换化矩阵为上（下）三角阵，结果不唯一

§4行列式

1交错和定义 n 级行列式

∑-=

n

n n j j j nj j j j j j nn

n n n n

a a a a a a a a a a a a

21212121)

(21

2222111211)1(τ

,

其中，

∑

n

j j j 21表示对所有n 级排列求和.等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘，

n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，

n 级行列式是由!n 项组成.

当行列式的元素全是数域K 中的数时，它的值也是数域K 中的一个数. 2函数定义（几何定义）

n 级行列式是2

n 个元素的n 次齐次多项式函数

n 个n 维向量张成的n 维平行多面体的有向体积 满足：有向体积可加性、体积与棱长正比例关系、体积的有向性 3归纳定义 一阶 1111||a a = 二阶 11121122122121

22

|

|a a a a a a a a =-

n 阶 111111111111

1||n

n

n n j j j n nn

a a D a A a A a A a a ===++=∑

其中代数余子式 111(1)

j

j j A M +=-

§5行列式的性质

交错和定义也可以写成

∑-=

n

n n i i i n i i i i i i nn

n n n n

a a a a a a a a a a a a

21212121)

(21

2222111211)1(τ

.

由此即得行列式的下列性质：

行列式的性质1 行列互换，行列式不变.即

nn

n n

n n nn

n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

21222121211121

2222111211=

.

下三角形的行列式

nn nn

n n a a a a a a a a a

221121

222111000=.

同样可解上三角形的行列式. 性质2一行的公因子可以提出:

nn

n n in i i n

nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

21

21

112112

1

2111211=

性质3

nn

n n n n nn

n n n n

nn

n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a

21

211121121

21112112

1

221111211+=

+++.

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.

§5 行列式的计算

1、利用行列式的性质计算行列式.

2、三角形法：已经看到，一个下三角形行列式就等于它主对角线上元素的乘积

nn a a a 2211

3、 行列式按一行(列) 展开

对于n 级行列式，有

n i A a A a A a a a a a a a a a a in in i i i i nn

n n in i i n

,,2,1,221121

2111211

=+++=.

?=ij A

余子式 在行列式

nn

nj n in ij i n j a a a a a a a a a

111111 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2

)1(-n 个元素按原来的排法构成一个1-n 级行列式

nn

j n j n n n

i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a

1

,1

,1

,11

,11,11,1,11,11,11,111

,11,111+-+++-++-+----+-

称为元素ij a 的余子式，记作ij M 。

ij j i ij M A +-=)1(称为元素ij a 的代数余子式。

行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.

又：

nn

n kn k kn k n in kn i k i k a a a a a a a a A a A a A a

1111112211=

+++

一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理 设

nn

n n n

n a a a a a a a a a d

2

1

2222111211

=

ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：

?

??≠==+++.,0,

,2211i k i k d A a A a A a in kn i k i k 当当 按第k 行展开

???≠==+++.

,0,

,2211j l j l d A a A a A a nj nl j l j l 当当 按第l 列展开

范德蒙德(Vandermonde)行列式

∏≤<≤-----=

n

i j j i

n n

n n n n n

a a

a a a a a a a a a a a a 11131

2

1

1223

22

2132

1)(11

11

.

4、拉普拉斯(Laplace)定理 按k 行k 列展开

定义 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的

2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中

划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.

从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式. 在五级行列式

55

54

5352

51

25242322211514131211

a a a a a a a a a a a a a a a D

=

中

4543

42

252322

151312

a a a a a a a a a M = 和

54

51

3431a a a a M =

'

是一对互余的子式.

定义 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)

()(2121)

1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.

因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述

引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式

D 的展开式中的一项，而且符号也一致.

定理 (拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .

§7 克拉默(Cramer)法则

考虑方程个数与未知量个数相等的线性方程组

定理（克拉默法则）如果线性方程组

??????

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********,,

的系数矩阵

??

??

?

?

?

??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211 的行列式

0||≠=A d

那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为

d

d x d d

x d d x n n ===

,,,2211 , 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即

.,,2,1,1,1

,1

21

,221

,22111,111,111

n j a a b a a a a b a a a a b a a d nn

j n n

j n n n j j n j j j

==

+-+-+-

定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：

1. 把),,,(

2

1d

d d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由此公式给出.

克拉默法则只能应用于系数矩阵的行列式不为零的方程组.

常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.齐次方程组总是有解，(因为

)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解).对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它

除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有

定理 如果齐次线性方程组

??????

?=+++=+++=+++0

,0,0221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果齐次方程组有非零解，那么必有0||=A .

克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系. 用克拉默法则进行计算是不方便的.