概率论与数理统计 许承德 习题八答案

·110

· 习 题 八

1．设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设

00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域.

解 00:H λλ≥ 选统计量 2

001

22n

i i X nX χλλ===∑

记

2

1

2n

i

i X

χ

λ==∑

则22~(2)n χχ ，对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2

(2)n αχ，

使

22

((2))P n αχχα≥=

因 22χχ> ，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥?≥ ，从而

2222

{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥

可见00:H λλ≥的否定域为22

(2)n αχχ≥.

2．某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数

据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（0.05α=）. 解 问题是在2

σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中

29.4632.50

2.45 6.771.1

X u -=

=

?=-

0.025

1.96u =，因|| 6.77 1.96u =>

，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。

3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。

解 问题是在2

σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥ 0H 的否定域为/2u u α<-，其中

·111·

15801600

5.1 1.02100

X u -=

=?=-.

0.05 1.64

u -=-. 因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.

4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格？（0.05α=）

解 设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ，问题是检验假设

0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中

9501000

5 2.5100

X u -=

=?=- 0.05 1.64u =

因为

0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ，即元件不合格.

5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？ 解 问题是在2

σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ= 0H 的否定域为 /2||(4)t t α>

52

2

1

13.252,(5)0.00017,

0.0134i i X S X X S ===-?==∑

0.005(4) 4.6041t =

3.252 3.25

2.240.3450.013

X t -==?=

因为

0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=

所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.

6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99..1,100.5

·112

· 问该日打包机工作是否正常（0.05α=；已知包重服从正态分布）？

解 99.98X =，

9

2

21

1(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =， 问题是检验假设0:100H μ=

0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中

99.98100

30.051.21

X t -==?=-

0.025(8) 2.306t =

因为

0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.

7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下

22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。

(0.025)α=

解 设X 为维生素C 的含量，则2~(,)X N μσ，220,419.625X S ==，20.485S =，17n =. 问题是检验假设0:21.H μ≥

（1）0:21H μ≥.

（2）选择统计量t 并计算其值：

0.20X t =

==- （3）对于给定的0.025α=查t 分布表求出临界值0.025()(16) 2.2t n t α==.

（4）因为0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=。所以接受0H ，即认为维生素含量合格.

8．某种合金弦的抗拉强度2~(,)X N μσ，

由过去的经验知10560μ≤（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如

下：

10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.

·113·

问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（0.05α=）

解 10631.4X =，26558.89S =，80.99S =，10n =. 问题是检验假设

0:10560H μ≤

（1）0:10560H μ≤. （2）选统计量并计算其值.

X t =

=

2.772=

（3）对于0.05α=，查t 分布表，得临界值0.05(9)(9) 1.833t t α==.

（4）因0.05(9) 1.833 2.772t t =<=，故否定0H 即认为抗拉强度提高了。 9．从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得0.025S =，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.0004σ=有无显著差别？（0.05α=，椭圆度服从正态分布）。

解 20.025,0.00065,15S S n ==

=，问题是检验假设20:0.0004H σ=.

（1）2200:0.0004H σσ==.

（2）选统计量2χ并计算其值

2

2

2

(1)140.00065

22.750.0004

n S χσ-?=

=

=

（3）对于给定的0.05α=，查2χ分布表得临界值

222

/20.0251/2(14)(14)26.119,(14)ααχχχ-==20.975(14) 5.629χ==. （4）因为2220.9750.0255.62922.7526.119χχχ=<=<=所以接受0H ，即总

体方差与规定的20.0004σ=无显著差异。

10．从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.

问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（0.05α=，熔化时间服从正态分布）.

解 62.4X =，2121.82,

10,S n == 问题是检验假设20:80H σ≤.

（1）2200:80H σσ≤=；

（2）选统计量2

χ并计算其值

2

2

2

0(1)9121.82

13.70580

n S χσ-?=

=

= （3）对于给定的0.05α=，查2

χ分布表得临界值

·114

·

220.05(1)(9)16.919n αχχ-==.

（4）因22

0.0513.70516.919χχ=<=，故接受0H ，即可以认为方差不大于

80。

11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125；

第二种 134，137，135，140，130，134.

问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(0.05)α=

解 设第一、二种织品的强度分别为X 和Y ，则21~(,),

X N μσ 22~(,)Y N μσ

211131,36.667,4X S n ===

2

22135,35.2,6Y S n === 问题是检验假设012:H μμ=

（1）012:

H μμ=

（2）选统计量T 并计算其值.

T =

=

1.295

=- （3）对于给定的0.05α=，查t 分布表得临界值/212(2)t n n α+-

0.025(8) 2.3069t ==.

（4）因为0.025|| 1.295 2.3069(8)t t =<=，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。

12．在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为

旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;

设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（0.01α=）

解 设X 为新品种产量，Y 为旧品种产量；21~(,

)X N μσ，

·115·

22~(,)Y N μσ，问题是检验假设 012:H μμ≥

79.43X =，

21 2.2246S =，110n = 76.23Y =，2

2 3.3245S =，210n =

选统计量T 并计算其值：

T =

4.2956=

=

对给定的0.01α=，查t 分布表得临界值0.01(18)(18) 2.5524t t α==.

因为0.014.2956 2.5524(18)T t =>-=-故接受0H ，即新品种高于旧品种. 13．两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得

22

120.345,0.357S S ==，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？(0.05)α=

解 2110.345,

6,S n ==

2

220.357,

9S n ==

问题是检验假设

22

012:H σσ=

选统计量F 并计算其值

21220.3450.96640.357

S F S ===

对给定的0.05α=查F 分布表得临界值/20.025(5,8)(5,8) 4.65F F α==，

0.9751

(5,8)0.14796.76

F ==.

因 0.9750.025(5,8)0.14790.9664 4.65(5,8)F F F =<=<=故接受

0H ，即无显著差异.

13．甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm ）为

甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2.

问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（0.05α=，产品直径服从正态分布。）

·116

· 解 设甲加工的直径为X ，乙为Y . 211~(,)X N μσ，2

22~(,)Y N μσ.

19.925X =，210.2164S =，18n =

20Y =， 220.3967S =，27n =

问题是检验假设 22

012

:

H σσ= 选统计量F 并计算其值

120.21640.54550.3967

S F S =

==. 对于给定的0.05α=，查F 分布表得临界值/20.025(7,6)(7,6) 5.70

F F α==，0.9751

(7,6)0.19535.12

F ==

因0.9750.025(7,6)0.19530.5455(7,6) 5.70F F F =<=<=，故接受0H ，即精度无显著差异.

14．一颗骰子掷了120次，得下列结果：

问骰子是否匀称？（0.05α=）

解 用X 表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设 01

:

(),1,2,,6.6

i

H p P X i i ==== 这里6k =，01

,120,6

i p n ==

020i np =，{}i A i =故

226

2

0110

()(20)96

4.82020k

i i i i i i n np n np χ==--====∑∑

查2χ分布表，得临界值22

0.05(1)(5)11.071k αχχ-==因为22

0.05

4.8 1.071χχ=<=故接受0H ，即骰子匀称。

15．从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm ）为

·117·

是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布？（0.05α=）

解 数据中最小的为14.2，最大者为15.9，设14.05,16.15a b ==，欲把

[,]a b 分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为

16.1514.05

0.37

-=得

分点12314.35,14.65,

14.

95,y y y ==

=45615.25,15.55,15.85.y y y ===它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：

设钢珠的直径为X ，其分布函数为()F x ，我们的问题是检验假设：

0:()()x H F x μ

σ

-=Φ. 其中2,μσ未知.

在0H 成立之下，μ和

2σ的极大似然估计为 15.1X μ

==， 221

1()0.1849n

i i X X n σ==-=∑， 0.43σ

=. 在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成5组，分点为114.65t =，214.95t =，315.25t =，415.55t =.

1114.65

15.1

()()1(1.04)

0.1492

0.43

p F t -==Φ=-Φ=

·118

·

21214.9515.1

()()()0.14920.43

p F t F t -=-=Φ- 1(0.35)0.14920.214=-Φ-=

32315.2515.1

()()()0.36320.43

p F t F t -=-=Φ- (0.35)0.36320.2736=Φ-=

43415.5515.1

()()()0.43

p F t F t -=-=Φ- (1.04)0.63680.218=Φ-=

4515.5515.1

1()1()0.14520.43

p F t -=-=-Φ= 统计量

2

5

2

21()~(2)i i i i

n n p n p

χχ=-=∑

即2 1.24997χ=，对于0.05α=查2χ分布表得临界值22

0.05(2)(2) 5.991αχχ==.

因220.051.24997 5.991(2)χχ=<=，故接受0H ，即认为钢珠直径服从正

态分布(15.1,0.1849)N .

16．设413

(

,),1,2,3,(,2)222

i i i A i A -===，假设随机变量X 在(0,2)上是均匀分布的，今对X 进行100次独立观察，发现其值落入(1,2,3,4)i A i =的

频数分别为30，20，36，14，问均匀分布的假设，在显著性水平为0.05下是否可信。

解 检验假设：0:~[0,2]H X U 检验计算表如下：

·119·

统计量

4

2

221

()

11.68,~(41)i i i i

n np np χχχ=-==-∑

对于0.05α=，查得2

0.05(3)7.815χ=

因为

22

0.0511.687.815(3)χχ=>=

所以不接受0H ，即不能相信~[0,2]X U .

·120

· 习 题 九

1．一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表

问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响(0.01)= 解 123455,4,20

m n n n n n n ======

=，查附表5得 0.010.01(1,)(4,15) 4.89F m n m F --==.

21

(147.9)20

P =

? 1093.72= 1149.25Q = 1170.92R =

e S R Q =-

21.67=

A S Q P =-

55.53=

S R P =-

77.2=

·121·

因为9.6095 4.89>，所以工艺对缩水率有显著影响.

2．灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时），问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？（0.01α=）

解 1234

4,7,5,8,6,26m n n n n n ======，查附表5得

0.010.01(1,)(3,22) 4.82F m n m F --==

·122

· 2

1(124)591.38526

P =

=，1286.092Q =，2937R =

1650.908

e S R Q '=-=，1

16.509100e e

S S '== 694.707A S Q P '=-=，1

6.947100

A A S S '==

因为0.013.18 4.82(3,22)F F =<=，故不显著.

3．在单因素试验方差分析模型式（9.2）中，i μ是未知参数(1,2,,)i m = ，求i μ的点估计和区间估计.

解 因为2~(,

)i i X N μσ，所以i μ的点估计为?,1,2,,i i X i m μ

?== . 由定理9.1知22/~()e

S n m σχ-，再由定理 6.1知i X ?与

2

21

1()1i n i

ij i j i S X X n ?==--∑相互独立，又由ij X

独立，知i X ?与222

12,,,m S S S 独立，从而21

(1)m

e i

i i S n

S ==

-∑与i X ?独立，又

~(0,1)N

由t

分布的定义知

~()t n m -

其中 /()

e e S S n m =- 对于给定的α，查t 分布表求出临界值/2()t n m α-，使

/2()1P t n m αα?

?<-=-??

在上式括号内将i μ暴露出来得i μ在置信度1α-下的置信区间

·123·

/2/2((.i i X t n m X t n m αα???--+- ?

4．在单因素试验方差分析模型式（9.2）中，2

σ是未知参数，试证

2

e S n m

σ

=-是2σ的无偏估计，且2

σ的1α-下的置信区间为 22

/21/2,.()()e e

S S n m n m ααχχ-?? ?--??

证：因为22/~()e S n m σχ-，所以2(/)e E S n m σ=-，即

2()e ES n m σ=-

于是

21e e S E ES n m n m

σ??== ?--?? 故

e

S n m

-是2σ的无偏估计； 因为22/~()e S n m σχ-

所以对于给定的α，查2χ分布表求出临界值2

/2()n m αχ-和21/2()

n m αχ--使得

22

1/2/22

(()())1e

S P n m n m ααχχασ

--<

<-=-

式中将2σ暴露出来得

222/21/21()

()e e

S S P n m n m αασαχχ-??<<=- ?--??

故2

σ的置信度为1α-下的置信区间为

2

2

/21/2,.()()e

e

S S n m n m ααχχ-?? ?--??

证毕 5．验证式（9.24）的解 ,a b 能使21

(,)()n

i i

i Q a b y a bx ==--∑达到最小值. 证： ,a b 是函数21

(,)()n

i i

i Q a b y a bx ==--∑的驻点. 而 2222

22

11

2,2,2n n

i i i i Q Q Q A n B X C X a a b b ==???======????∑∑

·124

· 222

114n n i i i i AC B n X X ==?????=-=-?? ???????

∑∑

由柯西不等式知0?>，而0,0A C >>所以 (,)a

b 是(,)Q a b 的极小点，而(,)Q a b 存在最小值，故 ,a

b 能使(,)Q a b 达到最小值. 6．利用定理9.2证明，在假设0:0H b =成立的条件下，统计量

~(2)t t n =-

并利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性(0.01)α=

证：因为2~(,)xx

b N b L σ

~(0,1)N 在0:0H b =

~(0,1)N

又

2

22

(2)~(2)n S n χσ

--

由t 分布的定义知

~(2)t t n ==-. 证毕

今利用t 统计量检验回归方程的显著性

.

6.133t ===

对于给定的0.01α=查t 分布表得临界值0.01(10) 2.7638t =.

因为0.016.133 2.738(10)t t =>=，所以回归方程显著. 7．利用定理9.2证明回归系数b 的置信区间为

/2/2((b t n b t n αα?? --+- ? 并利用这个公式求9.2中例1的回归系数b 的置信区间（置信度为0.95）.

解 由定理9.2知

~(2)t t n =-

·125·

对于给定的α，查t 分布表求出临界值/2(2)t n α-，使

/2/2{(2)(2)}1P t n t n ααα--<<-=-

在上式的大括号内，将b 暴露出来得

/2/2

{((1P b t n b b t n ααα--<<+-=- 故b 的置信度为1α-下的置信区间为

/2/2(2,(b t n b t n αα?? --+- ? 证毕

在例1中 27.156b = 12n =，10.897S =， 6.056xx L =

0.025(10) 2.228t =.

所以b 的置信度为0.95下的置信区间为(17.291,37.021)

8．在钢线碳含量(%)x 对于电阻(20y ℃时，微欧）效应的研究中，得到以下的数据

x

0.01 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 y

15

18 19 21 22.6 23.8

26

设对于给定的,x y 为正态变量，且方差与x 无关.

（1）求线性回归方程 y a

bx =+ ; （2）检验回归方程的显著性；

（3）求b 的置信区间（置信度为0.95）；

（4）求y 在0.50x =处的置信度为0.95的预测区间. 解

·126

· 0.543x =,

20.77y = 7

2217 2.595 2.0640.531xx i

i L x

x ==-=-=∑,

722173104.23019.7584.45yy i

i L y

y ==-=-=∑,

7

1

785.6178.947 6.663xy i

i

i L x y

xy ==

-=-=∑,

（1） 12.55xy xx

L b

L == , 13.95a y bx =-= ， 所以回归方程为 13.95

12.5

5.y x =+ （2）我们用方差分析表来检验回归方程的显著性

其中 ,,2

xy

yy U bL Q L U Q n ==-=

- . 查F 分布表求出临界值0.01(1,5)16.62F = 因为 0.01

503.6116.62(1,5),

F F =>= 所以回归方程高度显著.

（3）由第7题知，b 的置信度为1α-下的置信区间为

/2/2((b t n b t n αα??

--+- ? 此处0.025

12.55,7,0.05,(5) 2.5706b n t α==== , 2()yy xy S L bL =- /(2)0.166n -=.

所以b 的置信度为0.95下的置信区间为（11.112, 13.987）

（4）0.0257,0.53,0.531,0.407,(5) 2.5706xx n x L s t =====, 00.50x =.

0/2()(1)x t n αδ=- 2.57060.407 1.12=?=

·127·

013.9512.550.520.225y =+?= 故y 在0.50x =处的置信度为0.95的置信区间为

00((0.5),(0.5))(19.105,21.345)y y δδ-+= 9．在硝酸钠3()NaNO 的溶解度试验中，对不同的温度t C

测得溶解于100ml 水中的硝酸钠质量Y 的观测值如下：

i t

0 4 10 15 21 29 36 51 68

i y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.6 113.6 125.1

从理论知Y 与t 满足线性回归模型式（9.20） （1）求Y 对t 的回归方程；

（2）检验回归方程的显著性(0.01)α=；

（3）求Y 在25t =℃时的预测区间（置信度为0.95）. 解

26,90.2t y == 9

2

2191014460844060,tt i

i L t

t ==-=-=∑

91924646.6

21106.83539.8

t y i

i i L t

y t y ==-=-=∑, 9

221

976317.8273224.363093.46yy i

i L y

y ==

-=-=∑

0.87187,67.5313,

ty tt

L b

a y bt L ===-=

·128

· 2()/7 1.0307, 1.0152

y y t y

S L b L S =-== （1）Y 对t 的回归方程为

67.53130.87187y t =+； （2）方差分析表如下

查F 分布表求出临界值0.01(1,7)12.25F =

因 0.012996.3612.25(1,7)F F =>>=，故方程高度显著.

（3）

067.53130.871872589.3281y =+?= /2(25)(2)t n S αδ=-?

2.3646 1.0152 1.05 2.53=??=

Y 在25t =℃时的置信度为0.95下的预测区间为

00((25),(25))(86.79,91.85))y y δδ-+=.

10．某种合金的抗拉强度Y 与钢中含碳量x 满足线性回归模型式（9.20）今实测了92组数据(,)(1,2,,92)i i x y i = 并算得 0.1255,45.7989,0.3018,2941.0339,26.5097

x x y y x y

x y L L L ==

=== （1）求Y 对x 的回归方程；

（2）对回归方程作显著性检验(0.01)α=；

（3）当含碳量0.09x =时求Y 的置信度为0.95的预测区间；

（4）若要控制抗拉强度以0.95的概率落在（38，52）中，那么含碳量x 应控制在什么范围内？

解 （1） 87.8386,

34.7752,xy xx

L b

a

y bx L ===-= 所以回归方程为

34.775287.8386y x =+；

（2）2328.575xy U bL == 612.4589yy Q L U =-=

·129·

查F 分布表求出临界值0.01(1,90) 6.85F = 因 0.01

342.1815

6.85(1,90)

F F =>=，故方程高度显著. （3）

034.775287.83860.0942.681y =+?= 因为92n =是很大的，0x 又接近x ，所以取

(0.09) 1.96 1.96 5.113S δ=?==

故当0.09x =时Y 的信度为0.95下的置信区间为（37.567, 47.794）；

（4）由 3834.7752 1.9687.8S x =-

?+ 得 0.09492x '= 5234.775 1.9687.8386S x =+?+ 0.1379x ''= 于是x 的控制范围为（0.09492, 0.1379）

11．电容器充电后，电压达到100V ，然后开始放电，设在i t 时刻，电压U 的观察值为i u ，具体数据如下.

i t

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 i u 100 75

55

40

30

20

15

10

10

5

5

（1）画出散点图；

（2）用指数曲线模型bt U ae =来似合U 与t 的关于，求,a b 的估计值. 解 （1

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;

（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.