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九年级讲义:定弦定角最值问题

九年级讲义:定弦定角最值问题
九年级讲义:定弦定角最值问题

九年级讲义:定弦定角最值问题

【例1】如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( )

A .1

B .2

C .2

D .2441-

【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( )

A .213-

B .213+

C .5

D .9

16 【练】如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( )

A .1

B .2

C .2

D .324-

【例3】如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( )

A .3612+

B .336+

C .3312+

D .346+

【练】如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( )

A .

21 B .

22 C .

23 D .4

3 【例4】如图,边长为3的等边△ABC ,D 、E 分别为边BC 、AC 上的点,且BD =CE ,AD 、BE 交于P 点,则CP 的最小值为

_________

【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB 为直径作⊙M ,射线OF 交⊙M 于E 、F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点.当射线绕O 点旋转时,CD 的最小值为__________

【练】如图,AB 是⊙O 的直径,AB =2,∠ABC =60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,连接CD ,则CD 的最小值为__________

针对练习:

1.如图,在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中,AB =6,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,连接DE .当点C 在运动过程中,始终有2

2 AB DE ,则点C 到AB 的距离的最大值是_________

O A

B

C D

P

2.如图,已知以BC 为直径的⊙O ,A 为 BC 中点,P 为 AC 上任意一点,AD ⊥AP 交BP 于D ,连

CD .若BC =8,则CD 的最小值为___________

定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题(教 师版) https://www.wendangku.net/doc/ea3930939.html,work Information Technology Company.2020YEAR

定弦定角最值问题(答案版) 【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 解:∵∠CDP =∠ACB =45° ∴∠BDC =135°(定弦定角最值) 如图,当AD 过O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′=45°+45°=90° ∴AO ′=5 又O ′B =O ′C =4 ∴AD =5-4=1 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D .9 16 解:连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB =∠AED =90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时,CE 有最小值为213-

【练】(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .324- 解:连接CD ∴∠PAC =∠PDC =∠ACB =45° ∴∠BDC =135° 如图,当AD 过圆心O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴O ′B =O ′C =4 又∠ACO ′=90° ∴AO ′=5 ∴AD 的最小值为5-4=1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( ) A .3612+ B .336+ C .3312+ D .346+

定弦定角最值问题含答案

精品文档 定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦,一个主动点,一个从动点,定弦所对的张角固定不变。【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题,一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等,定弦的同侧两个圆周角相等,则四点共圆,因此动点的轨迹是圆。 (线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆。) 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角,这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等) ③找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置,计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值:在此基础上,根据点到圆的距离求最值(最大值或最小值)。

精品文档. 精品文档24△=D为,∠ACB3,BC=45°,△【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,ABC中,AC =,CP于交⊙OP点,交BC于E点,弧AE=ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD)则AD的最小值为( 2 .. C DA.1 B.2 2?441 ACB=45°解:∵∠CDP=∠ (定弦定角最值)BDC∴∠=135°有最小值如图,当AD过O′时,AD 135°∵∠BDC=BO∴∠′C=90° ∴△BO′C为等腰直角三角形 ′=45°+45°=90°∴∠ACO5 ∴′=AO4 C=B=O′又O′1 4=AD=5-∴为直径作圆,连接AD为AC上一动点,以5AC=3,BC=,且∠BAC=90°,D】【例2如图,)CEBD交圆于E点,连,则CE的最小值为( 162213?13? D.AC..5 B .9 :连接AE解的直径∵AD为⊙O AED∴∠AEB=∠=90° ∴E点在以AB为直径的圆上运动 213?CE有最小值为过圆心当CEO′时,

最值问题(定弦定角定线段)

最值问题专题训练 一、定弦定角最值问题 【例1】如图,△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为()A.1 B.2 C.2D.2 41- 4 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() 16 A.2 13+C.5 D. 13-B.2 9 【练习1】如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM 上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为() A.1 B.2 C.2D.3 4- 2 【例3】如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为3 2,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的面积的最大值是() A.3 6 12+B.3 4 6+ 12+D.3 3 6+C.3 3

【练习2】如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( ) A . 21 B .22 C .23 D .4 3 【例4】如图,边长为3的等边△ABC ,D 、E 分别为边BC 、AC 上的点,且BD =CE ,AD 、BE 交于P 点,则CP 的最小值为_________ 【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB 为直径作⊙M ,射线OF 交⊙M 于E 、F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点.当射线绕O 点旋转时,CD 的最小值为__________ 【练习3】如图,AB 是⊙O 的直径,AB =2,∠ABC =60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,连接CD ,则CD 的最小值为__________

定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题(答案版) 【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 解:∵∠CDP =∠ACB =45° ∴∠BDC =135°(定弦定角最值) 如图,当AD 过O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′=45°+45°=90° ∴AO ′=5 又O ′B =O ′C =4 ∴AD =5-4=1 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D .9 16 解:连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB =∠AED =90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时,CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .324-

解:连接CD ∴∠P AC =∠PDC =∠ACB =45° ∴∠BDC =135° 如图,当AD 过圆心O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴O ′B =O ′C =4 又∠ACO ′=90° ∴AO ′=5 ∴AD 的最小值为5-4=1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( ) A .3612+ B .336+ C .3312+ D .346+ 【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( ) A . 21 B .22 C . 2 3 D .43

(完整版)定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦,一个主动点,一个从动点,定弦所对的张角固定不变。【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题,一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等,定弦的同侧两个圆周角相等,则四点共圆,因此动点的轨迹是圆。 (线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆。) 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角,这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等) ③找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置,计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值:在此基础上,根据点到圆的距离求最值(最大值或最小值)。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 解:∵∠CDP =∠ACB =45° ∴∠BDC =135°(定弦定角最值) 如图,当AD 过O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′=45°+45°=90° ∴AO ′=5 又O ′B =O ′C =4 ∴AD =5-4=1 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D .9 16 解:连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB =∠AED =90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时,CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .324-

最值问题(定弦定角定线段)教学提纲

最值问题(定弦定角定 线段)

最值问题专题训练 一、定弦定角最值问题 【例1】如图,△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为() A.1 B.2 C.2 D.2 41- 4 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() A.2 13+C.5 13-B.2 16 D. 9 【练习1】如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P 在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为()A.1 B.2 C.2 D.3 4- 2

【例3】如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( ) A .3612+ B .336+ C .3312+ D .346+ 【练习2】如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( ) A .21 B .22 C .23 D .43 【例4】如图,边长为3的等边△ABC ,D 、E 分别为边BC 、AC 上的点,且BD =CE ,AD 、BE 交于P 点,则CP 的最小值为_________

A B C D P 【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB 为直径作⊙M ,射线OF 交⊙M 于E 、F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点.当射线绕O 点旋转时,CD 的最小值为__________ 【练习3】如图,AB 是⊙O 的直径,AB =2,∠ABC =60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,连接CD ,则CD 的最小值为__________ 4.如图,在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中,AB =6,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,连接DE .当点C 在运动过程中,始终有 2 2 AB DE ,则点C 到AB 的距离的最大值是_________ 5.如图,已知以BC 为直径的⊙O ,A 为BC 中点,P 为AC 上任意一点,AD ⊥AP 交BP 于D ,连CD .若BC =8,则CD 的最小值为___________ 二、定角、定线段与定圆问题

定弦定角最值问题复习过程

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题 【例1】在△ABC中,∠ABC=60°,AC=6,求△ABC面积的最大值. 【例2】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在CB、AB上,且AE⊥CF于G,连BG.则GB的最小值是_______. 1.如图,∠XOY= 45°,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,其中AB= 10,那么点O到AB的距离的最大值为__________. 2.如图正方形ABCD,AB=10,E、F分别为CD、AD上动点,且始终有CE=DF,连接CF、BE交于O点,连接AO,求△AOB面积的最小值 【例1】如图,△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为() 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() 【练】如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为() 例1 例2 练习 【例3】如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为3 2,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC 的面积的最大值是() 【练】如图⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是() 【例4】如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BD=CE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为_________ G A C E F O E D C B A

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题(答案版) 【例11 (2016 ?新观察四调模拟 1)如图,△ ABC中,AC = 3 , BC = 4j2,/ ACB = 45° D为△ ABC内一动点,O O为^ ACD的外接圆,直线 BD交O O于P点,交BC于E点,弧AE= CP, 则AD的最小值为( D. 741 4^2 解:???/ CDP = / ACB = 45° ???/ BDC = 135 ° (定弦定角最值) 如图,当AD过0时,AD有最小值 ???/ BDC = 135 ° ???/ BOC = 90 ° ?- △ BOC为等腰直角三角形 :丄 ACO = 45。+ 45 °= 90 ° ??? AO = 5 又 O B = O 'C= 4 ? AD = 5 — 4= 1 【例21如图,AC = 3,BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点,以 AD为直径作圆,连接 BD交圆于E 点,连CE,贝y CE的最小值为( 2 C. 5 ?/ AD为O 0的直径 ???/ AEB = / AED = 90 ° ??? E点在以AB为直径的圆上运动 当CE过圆心 0时,CE有最小值为J13 1)如图,在△ ABC 中,AC = 3,BC = 4运,/ ACB = 45° AM II BC,【练1 (2015 ?江汉中考模 拟 BP交△APC的外接圆于 点P在射线AM上运动,连 A . 1 B . C. ?

解:连接CD FAC = Z PDC = Z ACB = 45 ° BDC = 135 ° ???/ 如图,当AD过圆心0时,AD有最小值 ???/ BDC = 135° ???/ BO 'C = 90° 又/ ACO = 90° ??? AO = 5 ? AD的最小值为 5 — 4= 1 4P M D 【例3】(2016 ?勤学早四调模拟 1)如图,O O的半径为2,弦AB的长为2/,点P为优弧AB 上一动点,AC丄AP交直线PB于点C,则△ ABC的面积的最大值是( C. 12 3^3 A. 12 6^3 B. 6 3 品 + 口016?学早佩?删一11帕如開,(50汩丰径etr:;■带』5凹艮尢?Jb点P糊:亚甘用上一 可 皿:丄处交直线戸母干怎G刚&1F匚的面积的眾"A灌是< A. 12+6 C L2+J 75 * 构诂H色BE崔歿扭摘汞眇三上P, 発罠二/肚的衆如杞.刖点C負的匪 离最俎丁堪£=2再?厶CA町…'点芒在O席上.斗仙=60%当点f为阀;曲旳中百时.点 £至].松們距fflS丸1 此梅二勺豚CV=2祷+3』^^c=|x2^X(27143)=6+3^/5* 【练】(2014 ?洪山区中考模拟 1)如图,O0的半径为1, AC丄AP交直线PB于点C, C. 2 则△ ABC的最大面积是( 2 也 4

定弦定角最值问题 (1)

九年级讲义:定弦定角最值问题 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD 【例1】如图,△ABC中,AC=3,BC=2 的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为() 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD 交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM上运动,【练】如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为() 2,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB 【例3】如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为3 于点C,则△ABC的面积的最大值是() 【练】如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是() 【例4】如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BD=CE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为_________

O A B C D P 【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB 为直径作⊙M ,射线OF 交⊙M 于 E 、 F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点.当射线绕O 点旋转时,CD 的最小值为__________ 【练】如图,AB 是⊙O 的直径,AB =2,∠ABC =60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,连接CD ,则CD 的最小值为__________ 针对练习: 1.如图,在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中,AB =6,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,连接DE .当点C 在运动过程中,始终有2 2 AB DE ,则点C 到AB 的距离的最大值是_________ 2.如图,已知以BC 为直径的⊙O ,A 为BC 中点,P 为AC 上任意一点,AD ⊥AP 交BP 于D ,连CD .若BC =8,则CD 的最小值为___________

定弦定角最值问题

九年级讲义:定弦定角最值问题 【例1】如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D . 916 【练】如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .324-

【例3】如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( ) A .3612+ B .336+ C .3312+ D .346+ 【练】如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( ) A . 21 B . 22 C . 23 D . 4 3 【例4】如图,边长为3的等边△ABC ,D 、E 分别为边BC 、AC 上的点,且BD =CE ,AD 、BE 交于P 点,则CP 的最小值为_________

O A B C D P 【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB 为直径作⊙M ,射线OF 交⊙M 于 E 、 F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点.当射线绕O 点旋转时,CD 的最小值为__________ 【练】如图,AB 是⊙O 的直径,AB =2,∠ABC =60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,连接CD ,则CD 的最小值为__________ 针对练习: 1.如图,在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中,AB =6,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,连接DE .当点C 在运动过程中,始终有2 2 AB DE ,则点C 到AB 的距离的最大值是_________ 2.如图,已知以BC 为直径的⊙O ,A 为BC 中点,P 为AC 上任意一点,AD ⊥AP 交BP 于D ,连CD .若BC =8,则CD 的最小值为___________

定弦定角

定弦定角整理 解题技巧:构造隐圆 圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。 定弦定角解决问题的步骤: (1)让动点动一下,观察另一个动点的运动轨迹,发现另一个动点的运动轨迹为一段弧 (2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角),(这个补角一般为60? 、45? ) (3)找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆,确定圆心位置 (4)计算隐形圆的半径 (5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来 (6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径 例题讲解: 例1、(2016深圳二模)如图,在等腰Rt ABC ?中,90BAC ? ∠=,AB ﹦AC ,42BC =, 点D 是AC 边上一动点,连接BD ,以AD 为直径的圆交BD 于点E ,则线段CE 长度的最小值为 . 例2、(2014洪山区一模)如图,⊙O 的半径为1,弦AB ﹦1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积为 .

例3、(2013呼和浩特)在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(﹣6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA﹦45°,点C的坐标为. 例4、(2016黄冈二模)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,当D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最大值为.

巩固练习: 1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =10,BC =12,点D 为线段BC 上一动点.以CD 为⊙O 直径,作AD 交⊙O 于点E ,连BE ,则BE 的最小值为 . 2、直线4y x =+分别与x 轴、y 轴相交于点M ,N ,边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点,直线AN 与MC 相交于点P ,若正方形绕着点O 旋转一周,则点P 到点(0,2)长度的最小值是 . 3、如图,半径为2cm ,圆心角为90°的扇形OAB 的?AB 上有一运动的点P .从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H .设△OPH 的内心为I ,当点P 在? AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 . 4、如图,E ,F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点,满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是 . 5、如图,以G (0,1)为圆心,半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点,CF ⊥AE 于F .若点E 从在圆周上运动一周,则点F 所经过的路径长为 .

定弦定角最值问题(含答案)汇编

定弦定角最值问题(含 答案)

定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦,一个主动点,一个从动点,定弦所对的张角固定不变。 【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题,一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等,定弦的同侧两个圆周角相等,则四点共圆,因此动点的轨迹是圆。 (线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆。) 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角,这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等) ③找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置,计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值:在此基础上,根据点到圆的距离求最值(最大值或最小值)。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 解:∵∠CDP =∠ACB =45° ∴∠BDC =135°(定弦定角最值) 如图,当AD 过O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′=45°+45°=90° ∴AO ′=5 又O ′B =O ′C =4 ∴AD =5-4=1 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D .9 16 解:连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB =∠AED =90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时,CE 有最小值为213-

中考数学专题复习-定弦定角最值问题.doc

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 九年级讲义:定弦定角最值问题 【例1】如图,△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD 的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为() 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() 【练】如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为() 【例3】如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为3 2,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的面积的最大值是() 【练】如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是()

【例4】如图,边长为3的等边△ABC ,D 、E 分别为边BC 、AC 上的点,且BD =CE ,AD 、BE 交于P 点,则CP 的最小值为_________ 【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB 为直径作⊙M ,射线OF 交⊙M 于E 、F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点.当射线绕O 点旋转时,CD 的最小值为__________ 【练】如图,AB 是⊙O 的直径,AB =2,∠ABC =60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,连接CD ,则CD 的最小值为__________ 针对练习: 1.如图,在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中,AB =6,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,连接DE .当点C 在运动过程中,始终有 2 2 AB DE ,则点C 到AB 的距离的最大值是_________

《定弦定角》练习

定弦定角 解题技巧:构造隐圆 圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。 定弦定角解决问题的步骤: (1)让动点动一下,观察另一个动点的运动轨迹,发现另一个动点的运动轨迹为一段弧 (2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角),(这个补角一般为60?、45? ) (3)找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆,确定圆心位置 (4)计算隐形圆的半径 (5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来 (6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径 例题讲解: 例1、(2016深圳)如图,在等腰Rt ABC ?中,90BAC ?∠=,AB ﹦AC ,42BC =,点D 是AC 边上一动点,连接BD ,以AD 为直径的圆交BD 于点E ,则线段CE 长度的最小值为 . 例2、如图,⊙O 的半径为1,弦AB ﹦1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积为 .

例3、(2013呼和浩特)在平面直角坐标系中,已知点A (4,0)、B (﹣6,0),点C 是y 轴上的一个动点,当∠BCA ﹦45°,点C 的坐标为 . 例4、(2016黄冈)如图,△ABC ,△EFG 均是边长为2的等边三角形,当D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时,线段BM 长的最大值为 . 巩固练习: 1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =10,BC =12,点D 为线段BC 上一动点.以CD 为⊙O 直径,作AD 交⊙O 于点E ,连BE ,则BE 的最小值为 . 2、直线4y x =+分别与x 轴、y 轴相交于点M ,N ,边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点,直 线AN 与MC 相交于点P ,若正方形绕着点O 旋转一周,则点P 到点(0,2)长度的最小值是 .

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题(答案版)△45°=【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC中,AC3,BC为==,∠,ACBD24,CP于E点,弧AE=△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BCABC内一动点,⊙O为的最小值为()则AD.B.2 CD.A.1 2241?4 =45°:∵∠CDP=∠ACB解135°(定弦定角最值)∴∠BDC= AD有最小值过O′时,如图,当AD 135°∵∠BDC= =BO90°′C∴∠BO′C∴△为等腰直角三角形 ∴∠ACO′=45°+45°=90° ∴AO′=5 又O′B=O′C=4 ∴AD=5-4=1 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() 162?21313?.D.B.5 A.C 9

解:连接AE ∵AD为⊙O的直径 ∴∠AEB=∠AED=90° ∴E点在以AB为直径的圆上运动 13?2 CE有最小值为CE过圆心O′时,当42,∠ACB=45°,3,BC=AM∥BC,AC如图,在(2015【练】·江汉中考模拟1)△ABC中,=点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为() A.1 B.2 242?3 .D .C CD解:连接=∠ACB=45°∴∠PAC=∠PDC 135°BDC=∴∠AD有最小值如图,当AD过圆心O′时,135°∵∠BDC=90°∴∠BO′C=4 B′=O′C=∴O又∠=90°ACO′5 ′=∴AO1 =5-4∴AD的最小值为 32AB例【3】(2016·勤学早四调模拟1)如图,的长为P,点的半径为2,弦AB为优弧⊙O ABC的面积的最大值是()C上一动点,AC⊥AP交直线PB于点,则△3633?12312?66?334?..AC.B . D

“定弦定角”模型延伸思考

“定弦定角”模型延伸思考 【前情回顾】 若在△ABC中,设定边AB=m,所对定角∠C=,当点C运动至所在弧中点位置时,△ABC面积最大(如图所示) 【问题呈现】 试确定点C的位置,使得△ABC周长最大 分析点C位置: ∵AD为直径 ∴∠ABD=90° ∴∠D+∠A=90°,∠CBD+∠ABC=90° ∵CD=CB ∴∠D=∠CBD ∴∠A=∠ABC 则CA=CB 故点C运动到所在弧中点时,△ABC周长最大 【得出结论】 在△ABC中,设定边AB=m,所对定角∠C=,当点C运动至所在弧中点位置时,△ABC面积与周长取得最大值(即△ABC是以点C为顶点的等腰三角形)

【典例赏析】 (1)已知△ABC中,AB=6,∠C=90°,求△ABC周长的最大值. 解析:由结论得:当CA=CB时,△ABC周长最大 ∵AC=BC= ∴ (2)已知△ABC中,AB=6,∠C=60°,求AC+的最大值. 解析:利用推导过程的“折化直”思想延长AC至D,使得CD=此时AC+转化为AD,当AD为直径时取得最大值,故∠ABD=90° 设CD=x,则BC=2x ∴CE=BC,BE= ∴DE=2x ∵(射影定理) ∴2x 则AE= 在Rt△ABE中, 解得:x= ∴AD=AE+DE= 故=AD=

【练习巩固】取材于刘东升老师挑战题 如图1,点A、B、C在一直线上,在同侧作等边△ABD与等边△ACE,连接BE、CD交于P,将△ACE绕点A逆时针旋转(0)(如图2所示),利用图2解决下列问题: (1)求证:BE=CD. (2)求∠BPC的度数. (3)连接AP ①试说明AP平分∠DPE. ②若AB=4,在旋转过程中,求△ADP面积及周长的最大值. 【延伸思考】 如图,AB为半圆O的直径,AB=4,点P为半圆O上一动点,过点P作PQ⊥AB,求PQ+3AQ的最大值.

定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题(答案版) 【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 解:∵∠CDP =∠ACB =45° ∴∠BDC =135°(定弦定角最值) 如图,当AD 过O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′=45°+45°=90° ∴AO ′=5 又O ′B =O ′C =4 ∴AD =5-4=1 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D .9 16 解:连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB =∠AED =90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时,CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .324-

解:连接CD ∴∠PAC =∠PDC =∠ACB =45° ∴∠BDC =135° 如图,当AD 过圆心O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴O ′B =O ′C =4 又∠ACO ′=90° ∴AO ′=5 ∴AD 的最小值为5-4=1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( ) A .3612+ B .336+ C .3312+ D .346+ 【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( ) A . 21 B .22 C . 2 3 D .43

九年级讲义:定弦定角最值问题(教师版)

九年级讲义:定弦定角最值问题(教师版) 【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,D 为△ABC 内一动点,⊙O 为△ACD 的外接圆,直线BD 交⊙O 于P 点,交BC 于E 点,弧AE =CP ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .2441- 解:∵∠CDP =∠ACB =45° ∴∠BDC =135°(定弦定角最值) 如图,当AD 过O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′=45°+45°=90° ∴AO ′=5 又O ′B =O ′C =4 ∴AD =5-4=1 【例2】如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ) A .213- B .213+ C .5 D .9 16 解:连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB =∠AED =90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时,CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC 中,AC =3,BC =24,∠ACB =45°,AM ∥BC ,点P 在射线AM 上运动,连BP 交△APC 的外接圆于D ,则AD 的最小值为( ) A .1 B .2 C .2 D .324-

解:连接CD ∴∠P AC =∠PDC =∠ACB =45° ∴∠BDC =135° 如图,当AD 过圆心O ′时,AD 有最小值 ∵∠BDC =135° ∴∠BO ′C =90° ∴O ′B =O ′C =4 又∠ACO ′=90° ∴AO ′=5 ∴AD 的最小值为5-4=1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图,⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的面积的最大值是( ) A .3612+ B .336+ C .3312+ D .346+ 【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图,⊙O 的半径为1,弦AB =1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ,则△ABC 的最大面积是( ) A . 21 B .22 C . 2 3 D .43

数学复习:定弦定角最值问题

数学复习:定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦,一个主动点,一个从动点,定弦所对的张角固定不变。 【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题,一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等,定弦的同侧两个圆周角相等,则四点共圆,因此动点的轨迹是圆。 (线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆。) 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角,这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等) ③找张角所对的定弦,根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置,计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值:在此基础上,根据点到圆的距离求最值(最大值或最小值)。

1.(2016·新观察四调模拟1)如图,△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC 于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为() A.1 B.2 C.2D.2 41- 4 2.如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为() 16 A.2 13-B.2 13+C.5 D. 9 3.(2015·江汉中考模拟1)如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为() A.1 B.2 C.2D.3 4- 2

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题 【例1】在△ABC中,∠ABC=60°,AC=6,求△ABC面积的最大值. 【例2】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在CB、AB上,且AE⊥CF于G,连BG.则 GB的最小值是_______. 1.如图,∠XOY = 45°,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,其中AB = 10,那么点O 到AB的距离的最大值为__________. 2.如图正方形ABCD,AB=10,E、F分别为CD、AD上动点,且始终有CE=DF,连接CF、BE交于O点,连接 AO,求△AOB面积的最小值 【例1】如图,△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD 交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,则AD的最小值为() 【例2】如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE, 则CE的最小值为() 【练】如图,在△ABC中,AC=3,BC=2 4,∠ACB=45°,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外 接圆于D,则AD的最小值为() 例1 例2 练习 【例3】如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为3 2,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC 的面积的最大值是() 【练】如图⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是 () 【例4】如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BD=CE,AD、BE交于P点,则CP的最小 值为_________ 例题3 练习例题4 例题5 【例5】如图,A(1,0)、B(3,0),以AB为直径作⊙M,射线OF交⊙M于E、F两点,C为弧AB的中点,D为EF的 中点.当射线绕O点旋转时,CD的最小值为__________ F G A B C E F O E D C B A

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